Supと極限

1. {𝑎 𝑛} 𝑛≧1
を有界な実数列とし,各自然数nに対して
𝐴 𝑛={𝑎 𝑛|m ≧ 𝑛},𝑆 𝑛=sup𝐴 𝑛とおく.以下の問に答えよ.
( 1 ) {𝑆 𝑛} 𝑛≧1
は( 広義) 単調減少列となり,その極限が存在すること,すなわち
各自然数γ‘ に対して𝑆 𝑛≧𝑆 𝑛+1, および lim
𝑛→∞
𝑆 𝑛 が存在する 沌一-ナ“
ことを示せ.以下ではこの極限を lim
𝑛→∞
sup𝑎 𝑛と書く.
( 2 ) X = { x G R 無限個のm に対して𝑎 𝑚 > x } とおく.このとき
lim
𝑛→∞
sup𝑎 𝑛=supX となることを示せ.
( 3 ) 有界な実数列{𝑎 𝑛} 𝑛≧1
, {𝑏 𝑛} 𝑛≧1
に対して
lim
𝑛→∞
sup(𝑎 𝑛+𝑏 𝑛) ≦ lim
𝑛→∞
sup𝑎 𝑛+ lim
𝑛→∞
sup𝑏 𝑛
( 4 ) ( 3 ) の不等式において等号は一般には成立しない.反例を具体的に挙げよ.

2. {𝑎 𝑛} 𝑛≧1
を有界な実数列とし,各自然数nに対して
𝐴 𝑛={𝑎 𝑛|m ≧ 𝑛},𝑆 𝑛=sup𝐴 𝑛とおく.以下の問に答えよ.
参考[杉浦]解析学入門１
( 1 ) {𝑆 𝑛} 𝑛≧1
は( 広義) 単調減少列となり,その極限が存在すること,すなわち
各自然数γ‘ に対して𝑆 𝑛≧𝑆 𝑛+1, および lim
𝑛→∞
𝑆 𝑛 が存在する
ことを示せ.以下ではこの極限を lim
𝑛→∞
sup𝑎 𝑛と書く.
証明 単調減少であることはn>n’ならば𝐴 𝑛′⊃𝐴 𝑛からわかる。{𝑎 𝑛} 𝑛≧1が有界であるから全てのεに対
してあるδが存在してn’>δならば|y-sup𝐴 𝑛′|< ε 背理法で証明すると、全てのδに対してあるεが存在
してn’>δならばε ≦ |y-sup𝐴 𝑛′|となり, {𝑎 𝑛} 𝑛≧1
が有界でなくなる。
( 2 ) X = {x |無限個のm に対して𝑎 𝑚 > x } とおく.
このとき lim
𝑛→∞
sup𝑎 𝑛=supX となることを示せ.
証明 lim
𝑛→∞
sup𝑎 𝑛は(1)より収束する。の点をyとする。全てのεに対してあるδが存在してδ≦nならば|y-
sup𝑆 𝑛|<εなるが、このδ≦n を満たす元にはXで選ばれるmが必ず存在する。よって任意のXの元は
lim
𝑛→∞
sup𝑎 𝑛 以下である。またXのある元の無限個で選ばれるmを𝐴 𝑛={𝑎 𝑛|m ≧ 𝑛}で切り捨てられるn以
下の数にすれば lim
𝑛→∞
sup𝑎 𝑛 ≦supXとなる。
3 ) 有界な実数列{𝑎 𝑛} 𝑛≧1
, {𝑏 𝑛} 𝑛≧1
に対して
lim
𝑛→∞
sup(𝑎 𝑛+𝑏 𝑛) ≦ lim
𝑛→∞
sup𝑎 𝑛+ lim
𝑛→∞
sup𝑏 𝑛
証明 左辺の方が大きいのは明らか。[杉浦]解析学入門１p40
( 4 ) ( 3 ) の不等式において等号は一般には成立しない.反例を具体的に挙げよ.
反例 𝑎 𝑛=もしnが奇数なら１、偶数なら0 𝑏 𝑛=もしnが偶数なら１、奇数なら0
とすれば、右辺＝0,左辺＝2である。