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集合の直積に関するメモ 𝐴×𝐵={(𝑎,𝑏) | 𝑎∈𝐴, 𝑏∈𝐵}, 𝑝_1 ((𝑎,𝑏))=𝑎,𝑝_2 ((𝑎,𝑏))=𝑏
𝑔:𝑊→𝐴×𝐵, 𝑔(𝑤)=(𝑓_1 (𝑤),𝑓_2 (𝑤))∈𝐴×𝐵
集合の直積に関するメモ 𝐴×𝐵={(𝑎,𝑏) | 𝑎∈𝐴, 𝑏∈𝐵}, 𝑝_1 ((𝑎,𝑏))=𝑎,𝑝_2 ((𝑎,𝑏))=𝑏
- 1. 集合の直積に関するメモ 2025 Septemer 01 𝐴× 𝐵 = 𝑎, 𝑏 | 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 , 𝑝1 𝑎, 𝑏 = 𝑎, 𝑝2 𝑎, 𝑏 = 𝑏 ⇕ ∀𝑊, Hom 𝑊, 𝐴 × Hom 𝑊, 𝐵 ≅ 𝐻𝑜𝑚 𝑊, 𝐴 × 𝐵
- 2. 集合𝐴, 𝐵の直積𝐴 ×𝐵 集合𝐴, 𝐵の直積𝐴 × 𝐵の定義は以下 𝐴 × 𝐵 = 𝑎, 𝑏 | 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 直積𝐴 × 𝐵とは、集合𝐴の要素𝑎と集合𝐵の要素𝑏の順序対 𝑎, 𝑏 の集合と定義する。 直積𝐴 × 𝐵には射影𝑝1: 𝐴 × 𝐵 → 𝐴 , 𝑝2: 𝐴 × 𝐵 → 𝐵という関数が定義できる。 (𝑝1, 𝑝2の定義は以下) 𝑝1 𝑎, 𝑏 = 𝑎 𝑝2 𝑎, 𝑏 = 𝑏 順序対 𝑎, 𝑏 から集合𝐴の要素のみ取り出す関数が射影𝑝1: 𝐴 × 𝐵 → 𝐴 , 順序対 𝑎, 𝑏 から集合𝐵の要素のみ取り出す関数が射影𝑝2: 𝐴 × 𝐵 → 𝐵である。 次のページで具体例を説明する。
- 3. 集合𝐴, 𝐵の直積𝐴 ×𝐵の例 𝐴 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 , 𝐵 = 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑏4 の時、集合𝐴, 𝐵の直積𝐴 × 𝐵 = 𝑎, 𝑏 |𝑎 ∈ 𝐴 , 𝑏 ∈ 𝐵 は以下のようになる。 𝐴 × 𝐵 = 𝑎1, 𝑏1 𝑎1, 𝑏2 𝑎1, 𝑏3 𝑎1, 𝑏4 𝑎2, 𝑏1 𝑎3, 𝑏1 𝑎2, 𝑏2 𝑎3, 𝑏2 𝑎2, 𝑏3 𝑎3, 𝑏3 𝑎2, 𝑏4 𝑎3, 𝑏4 直積𝐴 × 𝐵の要素数 𝐴 × 𝐵 は 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 × 𝐵 = 3 × 4 = 12である。 射影𝑝1: 𝐴 × 𝐵 → 𝐴 , 𝑝2: 𝐴 × 𝐵 → 𝐵に値を代入した例は以下のようになる。 𝑝1 𝑎1, 𝑏1 = 𝑎1, 𝑝1 𝑎1, 𝑏2 = 𝑎1, … 𝑝2 𝑎2, 𝑏3 = 𝑏3, …
- 4. 集合𝐴, 𝐵の直積𝐴 ×𝐵、 射影𝑝1: 𝐴 × 𝐵 → 𝐴 , 𝑝2: 𝐴 × 𝐵 → 𝐵の別の特徴づけ • 集合𝑊と写像𝑓1: 𝑊 → 𝐴, 𝑓2: 𝑊 → 𝐵が与えられたとする。このとき、写像𝑔: 𝑊 → 𝐴 × 𝐵を以下で定義する。 𝒈: 𝑾 → 𝑨 × 𝑩, 𝒈 𝒘 = 𝒇𝟏 𝒘 , 𝒇𝟐 𝒘 ∈ 𝑨 × 𝑩 すると𝑝1 ∘ 𝑔 = 𝑓1, 𝑝2 ∘ 𝑔 = 𝑓2が成立する。(∘は写像の合成, 𝑝1 𝑎, 𝑏 = 𝑎, 𝑝2 𝑎, 𝑏 = 𝑏) 𝐴 ՚ 𝑝1 𝐴 × 𝐵 → 𝑝2 𝐵 𝑊 𝑓1 𝑓2 𝑔 証明: 𝑊 ∋ 𝑤, 𝑔 𝑤 = 𝑓1 𝑤 , 𝑓2 𝑤 とすると 𝑝1 ∘ 𝑔 𝑤 = 𝑝1 𝑔 𝑤 = 𝑝1 𝑓1 𝑤 , 𝑓2 𝑤 = 𝑓1 𝑤 ∴ 𝑝1 ∘ 𝑔 = 𝑓1 𝑝2 ∘ 𝑔 𝑤 = 𝑝2 𝑔 𝑤 = 𝑝2 𝑓1 𝑤 , 𝑓2 𝑤 = 𝑓2 𝑤 ∴ 𝑝2 ∘ 𝑔 = 𝑓2 ∎
- 5. 集合𝐴, 𝐵の直積𝐴 ×𝐵、 射影𝑝1: 𝐴 × 𝐵 → 𝐴 , 𝑝2: 𝐴 × 𝐵 → 𝐵の別の特徴づけ • 集合𝑊と写像𝑓1: 𝑊 → 𝐴, 𝑓2: 𝑊 → 𝐵が与えられたとする。このとき、写像𝑔: 𝑊 → 𝐴 × 𝐵を以下で定義する。 𝑔: 𝑊 → 𝐴 × 𝐵, 𝑔 𝑤 = 𝑓1 𝑤 , 𝑓2 𝑤 ∈ 𝐴 × 𝐵 すると𝑝1 ∘ 𝑔 = 𝑓1, 𝑝2 ∘ 𝑔 = 𝑓2が成立する。(∘は写像の合成, 𝑝1 𝑎, 𝑏 = 𝑎, 𝑝2 𝑎, 𝑏 = 𝑏) 𝐴 ՚ 𝑝1 𝐴 × 𝐵 → 𝑝2 𝐵 𝑊 𝑓1 𝑓2 𝑔 証明: 𝑊 ∋ 𝑤, 𝑔 𝑤 = 𝑓1 𝑤 , 𝑓2 𝑤 とすると 𝑝1 ∘ 𝑔 𝑤 = 𝑝1 𝑔 𝑤 = 𝑝1 𝑓1 𝑤 , 𝑓2 𝑤 = 𝑓1 𝑤 ∴ 𝑝1 ∘ 𝑔 = 𝑓1 𝑝2 ∘ 𝑔 𝑤 = 𝑝2 𝑔 𝑤 = 𝑝2 𝑓1 𝑤 , 𝑓2 𝑤 = 𝑓2 𝑤 ∴ 𝑝2 ∘ 𝑔 = 𝑓2 ∎ つまり、任意の集合𝑊と任意の写像 𝑓1: 𝑊 → 𝐴, 𝑓2: 𝑊 → 𝐵は 𝑔: 𝑊 → 𝐴 × 𝐵によって𝒑𝟏 ∘ 𝒈 = 𝒇𝟏, 𝒑𝟐 ∘ 𝒈 = 𝒇𝟐と分解される ∴ Hom 𝑊, 𝐴 × Hom 𝑊, 𝐵 ≅ 𝐻𝑜𝑚 𝑊, 𝐴 × 𝐵 直積𝐴 × 𝐵、射影𝑝1, 𝑝2の別の特徴づけ ただし、 Hom(𝑋, 𝑌)は集合𝑋, 𝑌の間の写像𝑓: 𝑋 → 𝑌の集合を意味する 例: Hom 𝑊, 𝐴 = 𝑓: 𝑊 → 𝐴 ≅は左辺の集合と右辺の集合の要素の間に全単射がある(有限集合なら1対1対 応)ことを示す