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長岡技術科学大学 鈴木孝 NGUYEN THAI PHAT 武井由智
p.243~245
Main topic: group algebra, convolution,…
Fourier Analysis on Finite Group and applications
Audrey Terras 1999
2.6 Young直交表現
2.7 対称群上のフーリエ解析
2.8 畳み込み
3. §2.6 Young直交表現(YOR)
• YORは対称群の既約表現: 整数の分割𝜆 ⊢ 𝑛でラベル付
𝜌 𝜆: 𝑆 𝑛 → ℝ 𝑑 𝜆×𝑑 𝜆
• 表現の次数𝑑 𝜆 = StTab 𝜆 ,
StTab 𝜆 : 𝜆に関する標準ヤング盤の集合
O 𝑑 𝜆 ∋ 𝜌 𝜆 𝑘, 𝑘 + 1 𝑡,𝑡
=
1
𝑑 𝑡 𝑘, 𝑘 + 1
(対角成分)
O 𝑑 𝜆 : 𝑑 𝜆 × 𝑑 𝜆 𝑜𝑟𝑡ℎ𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥 𝑠𝑒𝑡,
StTab 𝜆 ∋ 𝑡, 𝑆 𝑛 ∋ 𝑘, 𝑘 + 1 : 隣接互換
𝑖𝑓 𝑘, 𝑘 + 1 𝑡 ∈ StTab 𝜆 ⇒ 非対角要素が存在する
4. §2.6 Young直交表現(YOR)
𝜌 𝜆 𝑘, 𝑘 + 1 𝑡,(𝑘,𝑘+1)(𝑡)
= 1 −
1
𝑑 𝑡 𝑘, 𝑘 + 1
2
その他の行列要素は0.
𝑑 𝑡 𝑖, 𝑗 = 𝑐 𝑗 − 𝑐 𝑖
𝑐 𝑥 𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡 𝑜𝑓 𝑥.
標準ヤング盤𝑡上の𝑟行𝜇列に数字𝑥がある時,
𝑐 𝑥 = 𝜇 − 𝑟
∀𝜎 ∈ 𝑆 𝑛は隣接互換の積で表せる.
∴ ∀𝜎 ∈ 𝑆 𝑛の表現が定義できた!
特に,𝜌 𝜆 𝜎−1 = 𝜌 𝜆 𝜎 −1 = 𝜌 𝜆 𝜎 𝑇
5. §2.6 Young直交表現(YOR)
𝜆 = 2,2 =⊞⊢ 4, 𝜌 𝜆 123 4 = 𝜌⊞ 123 を求めてみる.
𝜌⊞ 123 = 𝜌⊞ (12)(23) = 𝜌⊞ (12) ⋅ 𝜌⊞ 23
𝑑⊞ = StTab ⊞ = 2
𝑡 =
1 3
2 4
, 𝑐 2 = 1 − 2 = −1, 𝑐 1 = 0, ∴ 𝑑 𝑡 1,2 = −1
𝑡′ =
1 2
3 4
, 𝑐 2 = 2 − 1 = 1, 𝑐 1 = 0, ∴ 𝑑 𝑡′ 1,2 = 1
1,2 𝑡 =
2 3
1 4
∉ StTab 𝜆 , 非対角要素は0, ∴ 𝜌⊞ 12 =
−1 0
0 1
6. §2.6 Young直交表現(YOR)
𝑡 =
1 3
2 4
, 𝑐 3 = 2 − 1 = 1, 𝑐 2 = 1 − 2 = −1, ∴ 𝑑 𝑡 2,3 = 2
𝑡′ =
1 2
3 4
, 𝑐 3 = 1 − 2 = −1, 𝑐 2 = 2 − 1 = 1, ∴ 𝑑 𝑡′ 2,3 = −2
2,3 𝑡 =
1 2
3 4
∈ StTab 𝜆 , 非対角要素が存在
∴ 𝜌⊞ 23 =
1/2 3/2
3/2 −1/2
7. ∴ 𝜌⊞ 123 =
−1 0
0 1
1/2 3/2
3/2 −1/2
=
−1/2 − 3/2
3/2 −1/2