電子光波のメモ 複素誘電率 分散関係

1. 1
June 1 Thursday , 2016 Hanpen Robot
電子光波工学基礎 1 中間試験対策
練習問題 No.3
問 1 複素誘電率について以下の式を導出せよ.
𝑚
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
= (−𝑒)𝐸0e−𝑖𝜔𝑡
−
𝑚
𝜏
𝑣(𝑡) ⋯ (1)
注意: exp(−𝑖𝜔𝑡)はe−𝑖𝜔𝑡
と全く同じ意味. exp(𝑥)は指数関数e 𝑥
の別の記号表記.
解く前に知っておくべきこと
(1)の微分方程式は𝑣(𝑡)に関する「一階線形非同次微分方程式」である.
この微分方程式の解𝑣(𝑡)は
𝒗(𝒕) = (𝟏)の特殊解+(𝟏)の一般解
という形をしている.
一般解は「試行関数法」で計算できる.特殊解は「定数変化法」で計算できる.
解答:
(1)の微分方程式の解き方: まず，(1)の一般解を試行関数法で求める.
(1)の一般解とは以下に示す微分方程式(a)の解のこと
𝑚
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
= −
𝑚
𝜏
𝑣(𝑡) ⋯ (a)
試行関数法で解く. 𝑣(𝑡) = 𝐴𝑒 𝜆𝑡
と置いて(a)に代入する.ただし，𝐴は定数.
𝑚
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑚
𝑑
𝑑𝑡
𝐴𝑒 𝜆𝑡
= 𝑚𝐴𝜆𝑒 𝜆𝑡
なので，𝑚𝐴𝜆e 𝜆𝑡
= −𝑚
1
𝜏
𝐴𝑒 𝜆𝑡
となる.
𝑚𝐴exp(𝜆𝑡)を約分すると,
∴ 𝜆 = −
1
𝜏
∴ (1)の一般解𝑣(𝑡) = 𝐴e−
𝑡
𝜏
次に(1)の特殊解を定数変化法で求める. 定数𝐴を時間𝑡の関数𝐴(𝑡)とみなして，
𝑣(𝑡) = 𝐴(𝑡)e−
𝑡
𝜏を(1)に代入する.
𝑑
𝑑𝑡
𝑣(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
(𝐴(𝑡)e−
𝑡
𝜏) =
𝑑𝐴(𝑡)
𝑑𝑡
e−
𝑡
𝜏 −
1
𝜏
𝐴(𝑡)e−
𝑡
𝜏 ∵ 積の微分公式
に注意して𝑣(𝑡) = 𝐴(𝑡)e
𝑡
𝜏を(1)に代入する.

2. 2
𝑚
𝑑𝐴(𝑡)
𝑑𝑡
e−
𝑡
𝜏 −
𝑚
𝜏
𝐴(𝑡)e−
𝑡
𝜏 = (−𝑒)𝐸0e−𝑖𝜔𝑡
−
𝑚
𝜏
𝐴(𝑡)e−
𝑡
𝜏
の部分が消えるので，
𝑑𝐴(𝑡)
𝑑𝑡
e−
𝑡
𝜏 =
(−𝑒)
𝑚
𝐸0e−𝑖𝜔𝑡
𝑑𝐴(𝑡)
𝑑𝑡
=
(−𝑒)
𝑚
𝐸0e−𝑖𝜔𝑡
e
𝑡
𝜏 =
(−𝑒)
𝑚
𝐸0e
(
1
𝜏
−𝑖𝜔)𝑡
⋯ (b)
(b)の両辺を𝑡で積分すると，
∴ 𝐴(𝑡) =
(−𝑒)
𝑚 (
1
𝜏
− 𝑖𝜔)
𝐸0e
(
1
𝜏
−𝑖𝜔)𝑡
𝑣(𝑡) = 𝐴(𝑡)e−
𝑡
𝜏 =
(−𝑒)
𝑚 (
1
𝜏
− 𝑖𝜔)
𝐸0e
(
1
𝜏
−𝑖𝜔)𝑡
e−
𝑡
𝜏 =
𝑒
𝑖𝑚𝜔 +
𝑚
𝜏
𝐸0 𝑒−𝑖𝜔𝑡
ゆえに𝑣(𝑡) =
𝑒
𝑖𝑚𝜔+
𝑚
𝜏
𝐸0 𝑒−𝑖𝜔𝑡
が(1)の特殊解である.
微分方程式(1)の解＝「(𝟏)の特殊解」+「(𝟏)の一般解」
よって，
∴ 𝑣(𝑡) =
𝑒
𝑖𝑚𝜔 +
𝑚
𝜏
𝐸0 𝑒−𝑖𝜔𝑡
+ 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡. e−
𝑡
𝜏
ただし，𝐴 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡.と置いた.
複素導電率𝜎̂(𝜔)の導出.
𝐽 = −𝑒𝑛𝑣(𝑡)
∴ 𝜎̂(𝜔) =
𝐽
𝐸 𝑜 𝑒−𝑖𝜔𝑡
= −
𝑛𝑒2
𝑖𝑚𝜔 +
𝑚
𝜏
(定常状態の複素導電率)
練習問題 No.4 問 1 (4)連続体近似ではなく，元の微分差分方程式
𝑚 ∂2
𝜙(𝑥, 𝑡)
∂𝑡2
= 𝑘 𝐻{𝜙(𝑥 + 𝑎, 𝑡) − 2𝜙(𝑥, 𝑡) + 𝜙(𝑥 − 𝑎, 𝑡)}
𝜙(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥)
の解を仮定した時に得られる分散関係を求めよ.
Note: 分散関係とは𝜔 = 𝑓(𝑘)のこと. この問題はカンタン！

3. 3
解答:
右辺 =
𝑚 ∂2
𝜙(𝑥, 𝑡)
∂𝑡2
= 𝐴
𝑚 ∂2
∂𝑡2
𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥)
= −𝐴𝑚𝜔2
𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥)
より，
−𝐴𝑚𝜔2
𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥)
= 𝐴𝑘 𝐻{𝑒 𝑖{𝜔𝑡−𝑘(𝑥+𝑎)}
− 2𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥)
+ 𝑒 𝑖{𝜔𝑡−𝑘(𝑥−𝑎)}
}
−𝐴𝑚𝜔2
𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥)
= 𝐴𝑘 𝐻 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥)
{𝑒−𝑖𝑘𝑎
− 2+𝑒 𝑖𝑘𝑎
}
の部分が約分できるので，
∴ −𝑚𝜔2
= 𝑘 𝐻(𝑒−𝑖𝑘𝑎
− 2+𝑒 𝑖𝑘𝑎
)
Euler の公式を使う.
𝑒 𝑖𝑘𝑎
= cos(𝑘𝑎) + sin(𝑘𝑎)
𝑒−𝑖𝑘𝑎
= cos(𝑘𝑎) − sin(𝑘𝑎)
∴
𝑒𝑖𝑘𝑎 + 𝑒−𝑖𝑘𝑎
2
= cos( 𝑘𝑎)
𝜔2
= −
𝑘 𝐻
𝑚
{2 cos(𝑘𝑎) − 2} =
2𝑘 𝐻
𝑚
{1 − cos(𝑘𝑎)} =
4𝑘 𝐻
𝑚
sin2
(
𝑘𝑎
2
)
∵ 2 sin2
(
𝑎𝑘
2
) = 1 − cos(𝑘𝑎) 半角公式
∴ 𝜔 = √
4𝑘 𝐻
𝑚
sin2 (
𝑘𝑎
2
) = (√
4𝑘 𝐻
𝑚
) √sin2 (
𝑘𝑎
2
) = (√
4𝑘 𝐻
𝑚
) |𝑠𝑖𝑛 (
𝑘𝑎
2
)|
ω > 0の条件と√𝑥2 = |𝑥| (絶対値の定義)を使った.
∴ 𝜔 = 2√𝑘 𝐻/𝑚 |𝑠𝑖𝑛 (
𝑘𝑎
2
)|