集合の上極限，下極限は無限数列を使うとスッキリ理解できます.

1. 集合の上極限と下極限
Hanpen Robot
2017 November 12 (Sunday)

2. 集合列 𝐴 𝑛 = {𝐴1, 𝐴2, … }の
上極限limsup 𝑛→∞ 𝐴 𝑛の定義
limsup
𝑛→∞
𝐴 𝑛 : =
𝑘=1
∞
𝑛=𝑘
∞
𝐴 𝑛
意味:
𝑥 ∈ limsup
𝑛→∞
𝐴 𝑛 ⟺ ∀𝑘 ≥ 1, ∃𝑛 ≥ 𝑘, 𝑥 ∈ 𝐴 𝑛
つまり，
整数𝑘 = 1に対し，ある整数𝑛1が存在し，𝑥 ∈ 𝐴 𝑛1
整数𝑘 = 2に対し，ある整数𝑛2が存在し，𝑥 ∈ 𝐴 𝑛2
⋮

3. ゆえに，
𝑥 ∈ limsup
𝑛→∞
𝐴 𝑛 ⟺ ある無限数列 𝑛𝑖 𝑖=1
∞
に対し𝑥 ∈ 𝐴 𝑛 𝑖
が成立する.
∴ limsup
𝑛→∞
𝐴 𝑛 = 𝑥 ∈ 𝐴 𝑛 𝑖
| 𝑛𝑖 = 𝑛1, 𝑛2, … : 無限数列

4. 集合列 𝐴 𝑛 = {𝐴1, 𝐴2, … }の
下極限liminf 𝑛→∞ 𝐴 𝑛の定義
liminf
𝑛→∞
𝐴 𝑛 : =
𝑘=1
∞
𝑛=𝑘
∞
𝐴 𝑛
意味:
𝑥 ∈ liminf
𝑛→∞
𝐴 𝑛 ⟺ ∃𝑘 ≥ 1, ∀𝑛 ≥ 𝑘, 𝑥 ∈ 𝐴 𝑛
つまり，
ある整数𝑘 ≥ 1が存在し，𝑥 ∈ 𝐴 𝑘, 𝑥 ∈ 𝐴 𝑘+1, 𝑥 ∈ 𝐴 𝑘+2, …
となる.

5. liminf
𝑛→∞
𝐴 𝑛 ⊂ limsup
𝑛→∞
𝐴 𝑛の証明の仕方:
𝑥 ∈ liminf
𝑛→∞
𝐴 𝑛 ⟺ ∃𝑘 ≥ 1, 𝑥 ∈ 𝐴 𝑘, 𝑥 ∈ 𝐴 𝑘+1, 𝑥 ∈ 𝐴 𝑘+2, …
⇒ 𝑥 ∈ limsup
𝑛→∞
𝐴 𝑛
∵無限数列𝑛1 = 𝑘, 𝑛2 = 𝑘 + 1, 𝑛3 = 𝑘 + 2, …に対して，
𝑥 ∈ 𝐴 𝑛 𝑖
, 𝑖 = 1,2, …となるから.