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1. 解説 : @takayuta1999

2.  直線𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐と𝑥 = 0, 𝑦 = 0で囲まれた
領域に含まれる格子点に含まれる格子点
(𝑥, 𝑦)すべてに対する 𝑥+𝑦
𝑥
の和を求める

3.  直線𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐と𝑥 = 0, 𝑦 = 0で囲まれた
領域に含まれる格子点に含まれる格子点
(𝑥, 𝑦)すべてに対する 𝑥+𝑦
𝑥
の和を求める
 このようなクエリに𝑄個答える

4.  直線𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐と𝑥 = 0, 𝑦 = 0で囲まれた
領域に含まれる格子点に含まれる格子点
(𝑥, 𝑦)すべてに対する 𝑥+𝑦
𝑥
の和を求める
 このようなクエリに𝑄個答える
 1 ≦ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≦ 10000 , 1 ≦ 𝑄 ≦ 1000000

5.  とりあえずクエリに答えることを考える
 座標の最大値を𝑀とすると、毎回すべての座
標を見ると𝑂 𝑀2
個の座標を見ることになり
間に合わない
 𝑥座標ごとにまとめてCombinationの合計を求
められればよさそう

6.  Combination の値は漸化式などを用いて
𝑂 𝑀2
ですべて計算できるので、𝑥座標ごとに
累積和を計算しておく
 そうすることで、
クエリ毎𝑂 𝑀 前計算𝑂 𝑀2
で可能となる

7.  今度は別の方法でクエリ毎𝑂 𝑀 に答えること
を考える
 Combination の漸化式の性質を利用しよう

8.  クエリで与えられる(𝑎, 𝑏)に対して、𝑑𝑝 𝑡 を
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑡 となる格子点に書かれてる数の
和とすると、以下の漸化式が成立する
𝑑𝑝 0 = 1
𝑑𝑝[𝑡] = 𝑑𝑝[𝑡 − 𝑎] + 𝑑𝑝[𝑡 − 𝑏]

9.  各座標(𝑥, 𝑦)に対して、そのマスには𝑥 + 𝑦個
のものから𝑥個選ぶ方法が何通りあるか書か
れている
 つまり、これは𝑥個の𝑎と𝑦個の𝑏を並べ替える
方法と一致する

10.  よって、𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑡 となる格子点に書かれて
る数の和とは、すなわち、𝑎と𝑏を並べて合計
が𝑡になる方法が何通りあるかと一致する
 これは簡単に動的計画法を行え、最後に並べ
るのが𝑎か𝑏かの二通りの場合分けで所望の漸
化式が得られる

11.  この漸化式を用いることで、クエリ(𝑎, 𝑏, 𝑐)に
対して、得られた𝑑𝑝[0]～𝑑𝑝[𝑐]の値の合計が
求めるクエリの答えとなる

12.  以上の二つの解法をまとめて使うことを考える
 以下、クエリにおいて、𝑥, 𝑦の対称性から𝑎 ≧
𝑏であるとして考える
 このとき、𝑎 ≧ 𝑆となるクエリに対しては、解
法(1)を用いて、 𝑎 < 𝑆 なる (𝑎, 𝑏) に対しては、
すべてのクエリをまとめて解法(2)を用いる、
とする

13.  このとき、解法(1) では、
前計算 𝑂(𝑀2
/𝑆) 毎クエリ 𝑂(𝑀/𝑆)
 解法(2) では、
クエリの後処理 𝑂(𝑀𝑆2
)

14.  よって、計算量 𝑂 𝑀 𝑆2
+
𝑀+𝑄
𝑆
 これで、𝑆 = 3
𝑀 + 𝑄 とおくことで、十分間
に合う計算量となる