幾何ブラウン運動の確率微分を求めました

1. 確率微分
Hanpen Robot
2017 November 11 (Monday)

2. 𝑑(𝑒 𝑊(𝑡)
)の求め方.
(𝑊(𝑡)は標準ブラウン運動)
目的:
𝑑(𝑒 𝑊(𝑡))を𝑑𝑊(𝑡)で表す.
解法:
𝑑(𝑒 𝑊(𝑡)
) を𝑑𝑊(𝑡) に関して2次まで，Taylor 展開する.
𝑑 𝑒 𝑊 𝑡 = 𝑒 𝑊 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 +
1
2
𝑒 𝑊 𝑡 𝑑𝑊 𝑡
2
ブラウン運動の性質𝑑𝑡 = 𝑑𝑊 𝑡
2
を適用すると，
∴ 𝑑 𝑒 𝑊 𝑡 = 𝑒 𝑊 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 +
1
2
𝑒 𝑊 𝑡 𝑑𝑡

3. ゆえに，確率微分方程式
𝑑𝑋 𝑡 = 𝑋 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 +
1
2
𝑋 𝑡 𝑑𝑡
の解は𝑋 𝑡 = 𝑊(𝑡)である.

4. 𝑑(𝑆0 𝑒
𝜇−
1
2
𝜎2 𝑡+𝜎𝑊(𝑡)
)の求め方.
(𝑊(𝑡)は標準ブラウン運動)
𝑆 𝑡 = 𝜇 −
1
2
𝜎2
𝑡 + 𝜎𝑊(𝑡)と置く.
目的:
𝑑(𝑆0 𝑒 𝑆(𝑡)
)を𝑑𝑆 𝑡 = 𝜇 −
1
2
𝜎2
𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊 𝑡 で表す.
解法:
𝑑(𝑆0 𝑒 𝑆(𝑡)
)を𝑑𝑆(𝑡) に関して2次まで，Taylor 展開する.
𝑑 𝑆0 𝑒 𝑆 𝑡 = 𝑆0 𝑒 𝑆 𝑡 𝑑𝑆 𝑡 +
1
2
𝑆0 𝑒 𝑆 𝑡 𝑑𝑆 𝑡
2
ここで， 𝑑𝑆 𝑡
2
= 𝜇 −
1
2
𝜎2 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊 𝑡
2
= 𝜎2 𝑑𝑊 𝑡
2
= 𝜎2 𝑑𝑡
を適用すると，

5. 𝑑 𝑆0 𝑒 𝑆 𝑡 = 𝑆0 𝑒 𝑆 𝑡 𝜇 −
1
2
𝜎2 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊 𝑡 +
1
2
𝑆0 𝑒 𝑆 𝑡 𝜎2 𝑑𝑡
∴ 𝑑 𝑆0 𝑒 𝑆 𝑡 = 𝑆0 𝑒 𝑆 𝑡 𝜇𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊 𝑡
∴
𝑑 𝑆0 𝑒 𝑆 𝑡
𝑆0 𝑒 𝑆 𝑡
= 𝜇𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊 𝑡
ゆえに，確率微分方程式
𝑑𝑋 𝑡
𝑋 𝑡
= 𝜇𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊 𝑡
の解は𝑋 𝑡 = 𝑆0 𝑒
𝜇−
1
2
𝜎2 𝑡+𝜎𝑊(𝑡)
である.

6. 𝑑(𝑊 𝑡 2)の求め方.
(𝑊(𝑡)は標準ブラウン運動)
目的:
𝑑(𝑊 𝑡 2
)を𝑑(𝑊(𝑡))で表す.
解答: 𝑑(𝑊 𝑡 2)を𝑑𝑊(𝑡) に関して2次まで，Taylor 展開する.
𝑑 𝑊 𝑡 2 = 2𝑊 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 + 2 𝑑𝑊 𝑡
2
∴ 𝑑 𝑊 𝑡 2 = 2𝑊 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 + 2𝑑𝑡