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超複素数
- 2. 複素数 • 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏 ∈ 𝑹, 𝑖2 = −1) 2
- 3. 複素数 • 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏 ∈ 𝑹, 𝑖2 = −1) • 二元数 • 共役： 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 実部 虚部 3
- 4. 複素数の和と積 • 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 • 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 • 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑏1 + 𝑏2 𝑖 • 𝑧1 𝑧2 = 𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 + 𝑎1 𝑏2 + 𝑏1 𝑎2 𝑖 4
- 5. 複素数平面 • 複素数を横軸に実部，縦軸に虚部の平面に描画 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑧′ = 𝑒 𝑖𝜃 𝑧 5 𝜃
- 6. 複素数平面 • 複素数を横軸に実部，縦軸に虚部の平面に描画 • 乗算で回転を計算 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑧′ = 𝑒 𝑖𝜃 𝑧 6 𝜃
- 7. 複素数の応用 • 代数学の基本定理 • 図形の回転 • 微分方程式 • （ラプラス，フーリエ（逆）変換） • 2次元の運動の記述 7
- 8. 複素数の応用 • 代数学の基本定理 • 図形の回転 • 微分方程式 • （ラプラス，フーリエ（逆）変換） • 2次元の運動の記述 8
- 9. 理想流体の渦無し流れ場（2D）～正則 • 速度場 𝑢, 𝑣 に対する複素速度場：𝒗 = 𝑢 − 𝑣𝑖 に ポテンシャル 𝐹 𝑧 が存在 • 𝑑𝐹 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑢 − 𝑣𝑖 • 例 9 α 一様流 𝐹 𝑧 = 𝑈𝑧𝑒−𝑖α 湧き出し 𝑚 > 0 & 吸い込み 𝑚 < 0 𝐹 𝑧 = 𝑚 log 𝑧
- 10. 重ね合わせて色々な流れ場を作れる • 一様流＋二重湧き出し（湧き出し＆吸い込み）で 円柱周りの流れを作る • 𝐹 𝑧 = 𝑈𝑧 + lim 𝜀→0 𝑚 log 𝑧 − 𝑚 log 𝑧 + 𝜀 10
- 12. 超複素数 • 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘 • 𝑖(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑹, 𝑖2 = 𝑗2 = 𝑘2 = 𝑖𝑗𝑘 = −1, • 𝑖(𝑖𝑗 = 𝑘, 𝑗𝑘 = 𝑖, 𝑘𝑖 = 𝑗, 𝑗𝑖 = −𝑘, 𝑘𝑗 = −𝑖, 𝑖𝑘 = −𝑗) 12
- 13. 超複素数 • 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘 • 𝑖(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑹, 𝑖2 = 𝑗2 = 𝑘2 = 𝑖𝑗𝑘 = −1, • 𝑖(𝑖𝑗 = 𝑘, 𝑗𝑘 = 𝑖, 𝑘𝑖 = 𝑗, 𝑗𝑖 = −𝑘, 𝑘𝑗 = −𝑖, 𝑖𝑘 = −𝑗) • 四元数 • 乗算の交換法則が成立しない • 共役： 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 − 𝑐𝑗 − 𝑑𝑘 13
- 14. 超複素数の和と積 • 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 + 𝑐1 𝑗 + 𝑑1 𝑘 • 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑖 + 𝑐2 𝑗 + 𝑑2 𝑘 • 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑏1 + 𝑏2 𝑖 + 𝑐1 + 𝑐2 𝑗 + 𝑑1 + 𝑑2 𝑘 • 𝑧1 𝑧2 = 𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 − 𝑐1 𝑐2 − 𝑑1 𝑑2 + 𝑎1 𝑏2 + 𝑏1 𝑎2 + 𝑐1 𝑑2 − 𝑑1 𝑐2 𝑖 • 𝑧1 𝑧2 = + 𝑎1 𝑐2 − 𝑏1 𝑑2 + 𝑐1 𝑎2 + 𝑑1 𝑏2 𝑗 + 𝑎1 𝑑2 + 𝑏1 𝑐2 − 𝑐1 𝑏2 + 𝑑1 𝑎2 𝑘 14
- 15. 超複素数空間 • 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘 • 𝑖(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑹, 𝑖2 = 𝑗2 = 𝑘2 = 𝑖𝑗𝑘 = −1, • 𝑖(𝑖𝑗 = 𝑘, 𝑗𝑘 = 𝑖, 𝑘𝑖 = 𝑗, 𝑗𝑖 = −𝑘, 𝑘𝑗 = −𝑖, 𝑖𝑘 = −𝑗) • 交換則の不成立はベクトル積に似ている • 𝒊𝒙 × 𝒚 = 𝒛, 𝒚 × 𝒙 = −𝒛 • 複素数平面に対して， 𝑖, 𝑗, 𝑘 の単位次元の張る空 間と同一視できそう 15
- 16. 超複素数空間と（単純）回転 • 回転軸方向の単位ベクトル u に対して q を定める • 𝒊𝒖 = 𝑢𝑖, 𝑢𝑗, 𝑢 𝑘 , 𝒖 = 1 • 𝑖𝑞 = cos 𝜃 2 + 𝑢𝑖 𝑖 + 𝑢𝑗 𝑗 + 𝑢 𝑘 𝑘 sin 𝜃 2 • このとき 𝑖, 𝑗, 𝑘 空間における u 軸まわりに 𝜃 だけ 回転する3次元回転は， • 𝑖𝑧′ = 𝑞𝑧 𝑞 16
- 17. 超複素数空間と（単純）回転 • 𝑧′ = 𝑞𝑧 𝑞 で u 軸周りの回転 17 u 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘 u 𝑧′ = 𝑞𝑧 𝑞 i j k 𝜃
- 18. 3次元回転の合成 • これまで3次元の回転を q で考えた．同様に，p を 用意して2回の回転を掛ける． • 𝑧′ = 𝑞𝑧 𝑞, • 𝑧′′ = 𝑝𝑧′ 𝑝 • 𝑧′′ = 𝑝 𝑞𝑧 𝑞 𝑝 • 𝑧′′ = 𝑝𝑞 𝑧 𝑞 𝑝 • 𝑧′′ = 𝑝𝑞 𝑧 𝑝𝑞 • 複数の回転が乗算でまとめられる！ 18
- 19. 四元数の応用 • CGの3D回転 • 衛星の姿勢計算 • 3次元の運動の記述？ 19
- 20. ちなみに • 三元数は無いのか？ • 加算，乗算の法則があてはめられなかった • 一，二，四，八元数はある • 八元数は球面幾何などにも応用 20
- 21. ちなみに • 行列でも回転演算は出来るのでは？ • できる • 𝑧′ = 𝑒 𝑖𝜃 𝑧 ↔ 𝑥′ 𝑦′ = cos 𝜃 sin 𝜃 − sin 𝜃 cos 𝜃 𝑥 𝑦 • 𝑧′ = 𝑞𝑧 𝑞 ↔ 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′ = cos 𝛾 sin 𝛾 0 − sin 𝛾 cos 𝛾 0 0 0 1 cos 𝛽 0 − sin 𝛽 0 1 0 sin 𝛽 0 cos 𝛽 1 0 0 0 cos 𝛼 sin 𝛼 0 − sin 𝛼 cos 𝑎 𝑥 𝑦 𝑧 21
- 22. おまけ • ハミルトンの橋（Broom Bridge, Dublin, Ireland） 22