Dokumen tersebut membahas tentang konsep kuasa lingkaran dan aplikasinya dalam bidang olahraga dan geometri. Konsep ini digunakan untuk menentukan posisi pemain bola dan titik kuasa dari tiga lingkaran.

1. KUASA LINGKARAN
DZIKRA FUADIAH
137785071
PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGEGRI SURABAYA
2014

2. Kuasa Lingkaran  1
Kuasa Lingkaran
Roda telah digunakan dalam transportasi selama lebih dari lima ribu tahun, kendaraan
pertama pribadi praktis dengan menggunakan roda yaitu sepeda, ditemukan lebih dari seratus
tahun yang lalu. Sepeda modern adalah salah satu transportasi yang paling efisien, dengan
jumlah energi yang diperlukan untuk membawa sejumlah berat.
Untuk mencegah rangka sepeda goyang, maka posisi titik temu rangka harus
diperhitungkan dengan tepat dan memperhatikan posisi roda pula.
Bidang olah raga juga menggunakan konsep kuasa lingkaran untuk memperhitungka n
posisi pemain untuk melukan lemparan, tendang dan lainnya. Contohnya dalam kasus berikut:
Misalkan seorang pemain bola berlari di garis sisi lapangan dan dia ingin
melepaskan tendangan. Pada posisi mana seharusnya dia menendang
sehingga memberikannya kesempatan terbaik menggolkannya.
Permasalahan di atas adalah menentukan titik pada garis sisi lapangan sehingga
memaksimumkan sudut terhadap garis gawang. Diillustrasikan pada gambar di bawah ini:
1. Kuasa Titik terhadap Lingkaran
Jika diketahui sebuah titik P(xp,yp) dan lingkaran K
2 2 2 (M,R) (x x ) (y y ) R M M       dan sembarang garis g yang melalui P dan
memotong lingkaran di A dan B maka yang dimaksud dengan kuasa titik P terhadap lingkara n
L adalah perkalian panjang PA dengan panjang PB.

3. Kuasa Lingkaran  2
Gambar 1
Perhatikan gambar 1. Menurut definisi maka kuasa titik P ditulis K(P) atau KP adalah
KP = PA x PB (1)
Kuasa titik P terhadap lingkaran K tersebut bernilai tetap. Artinya kuasa titik P terhadap
lingkaran K itu tidak bergantung pada posisi garis g yang melalui titik P tersebut.
Bukti:
Ambil garis l yang melalui P dan memotong lingkaran di titik C dan D maka kuasa titik P
terhadap lingkaran K adalah PC.PB.
Perhatikan PAD  dan PBC 
mPDA mPBC(menghadap busur AC) (2)
mAPD mBPC(berhimpit) (3)
mPAD mPCB(jumlah besar sudut segitiga) (4)
Berdasarkan pernyataan (2), (3), dan (4), maka PAD  sebangun dengan PBC  .
Maka PA : PD = PC : PB atau PC x PD = PA x PB ■
Sehingga terbukti kuasa titik P terhadap lingkaran K bernilai tetap.
Selanjutnya, dengan melukis garis ⃡푃 푀 yang memotong lingkaran K di titik S dan T.
Maka kuasa titik P terhadap lingkaran K adalah
Kp = PS x PT = (PM – MS)(PM + MT) = = (PM – R)(PM + R)
= PM 2 – R2 (5)
= 2 2 2 (x x ) (y y ) R p M p M     (6)
Jadi kuasa titik P terhadap lingkaran K
2 2 2 : (x x ) (y y ) R M M     adalah
Kp = 2 2 2 (x x ) (y y ) R p M p M     (7)
dan begitu juga pada K: 0 2 2 x  y  Ax  By C  adalah
Kp= x y Ax By C p p p p     2 2
(8)

4. Kuasa Lingkaran  3
Gambar 2
Perhatikan gambar 2. Misalkan Q adalah titik singgung garis yang melalui P. P QM 
adalah segitiga siku-siku di Q dan
PQ 2=PM 2 – R2 (9)
Sehingga berdasarkan (5) dan (7)
Kp =PQ 2 (10)
Catatan :
a. Jika titik P berada di luar lingkaran L, maka kuasa titik P terhadap lingkaran tersebut adalah
positif. Hal ini jelas karena panjang garis singgung dari titik P ke titik singgungnya adalah
bilangan positif.
b. Jika titik P berada pada lingkaran maka kuasa titik P terhadap lingkaran itu adalah nol.
c. Jika titik P berada di dalam lingkaran maka kuasa titik P terhadap lingkaran adalah negatif,
sehingga memperoleh panjang garis singgungnya inajiner. Hal ini sesuai dengan kenyataan
geometrik bahwa garis singgung suatu lingkaran tidak bisa dikonstruksi dari sebuah titik di
dalam lingkaran.
Soal Latihan:
1. Selidikilah letak titik-titik A(5,2), B(-1,-6) dan C(7,1) terhadap lingkaran L
: ( 3) ( 2) 25 2 2 x   y   (terletak di dalam, di luar atau pada lingkaran)
2. Melalui titik A(4,2) dilukis garis singgung pada lingkaran K: 2 4 4 0 2 2 x  y  x  y  
dengan titik singgung S. Tentukan setengah panjang AS.
3. Lukislah illustrasi penerapan konsep kuasa lingkaran terhadap masalah pemain bola di awal
pembelajaran.

5. Kuasa Lingkaran  4
2. Garis Kuasa
Tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap dua lingkara n
berupa garis lurus dan disebut garis kuasa.
Jika diberikan dua lingkaran K1 dan K2 maka garis kuasa dapat dicari. Misalkan kita
akan menentukan persamaan garis kuasa lingkaran
K1  x2 + y2 + a1x + b1y + c1 dan
K2  x2 + y2 + a2x + b2y + c2
dan misalkan P(xP, yP) adalah titik yang mempunyai kuasa sama terhadap K1 dan K2.
Menurut (8) maka kuasa titik P terhadap lingkaran K1 adalah
퐾1푝
= xP
2 + yP
2 + a1xP + b1yP + c1
dan kuasa titik P terhadap lingkaran K2 adalah
퐾2푝
= xP
2 + yP
2 + a2xP + b2yP + c2
Kuasa titik P terhadap kedua lingkaran adalah sama sehingga:
xP
2 + yP
2 + a1xP + b1yP + c1 = xP
2 + yP
2 + a2xP + b2yP + c2
 (a1 – a2)xP + (b1 – b2)yP + (c1 – c2) = 0
Jika titik P berubah-ubah maka diperoleh tempat kedudukan titik-titik yang mempunya i
kuasa sama terhadap lingkaran K1 dan K2 yaitu
(a1 – a2)x + (b1 – b2)y + (c1 – c2) = 0 (11)
Secara simbolis persamaan garis kuasa lingkaran 퐾1푝
= 0 dan 퐾2푝
= 0 dituliska n
sebagai:
퐾1푝
− 퐾2푝
= 0 (12)
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang kuasa sama terhadap lingkaran L1 : (x – 1)2
+ (y – 4)2 =
16 dan L2 : x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0.
Jawab:

6. Menurut (11) maka persamaan garis kuasa kedua lingkaran adalah L1 – L2 = 0. Jadi persamaan
garis kuasanya adalah :
a 
a
1 2
  . Titik pusat
1 b b
1

a b , sehingga

  2 2 2
b 
b
1 2
 .
2 a b
Kuasa Lingkaran  5
(x – 1)2
+ (y – 4)2 –16 – (x2 + y2 + 2x – 6y – 15) = 0
 –4x – 2y + 16 = 0
 2x + y – 8 = 0
Semua titik yang berada pada garis ini mempunyai kuasa sama terhadap kedua lingkaran L1
dan L2 di atas.
Soal:
1. Diketahui : K1 : x2 + y2 + 2x – 4y – 6 = 0
K2 : (M, 3) dan M (1,2)
g : 2x – y + 3 = 0
Tentukan:
a. Koordinat titik pada sumbu-x yang berkuasa sama terhadap K1 dan K2
b. Koodinat titik pada garis g yang berkuasa sama terhadap terhadap K1 dan K2
3. Melukis Garis Kuasa
1) Kedua lingkaran saling lepas
Perhatikan bahwa garis kuasa (11) mempunyai gradien
1 2
m


1

  1 1 2
lingkaran K1 dan K2 berturut adalah M1 



1
,
2
b a dan M1 



1
,
2
gradien garis penghubung kedua pusat lingkaran ini adalah
1 2
m

Karena m1.m2 = -1, maka garis kuasa dua buah lingkaran akan tegak lurus dengan garis
penghubung titik-titik pusat kedua lingkaran tersebut.

7. Kuasa Lingkaran  6
Gambar 3
2) Kedua lingkaran bersinggungan
Jika K1 dan K2 bersinggungan di titik A maka garis kuasa K1 dan K2 akan melalui titik A
dan tegak lurus dengan garis penghubung titik-titik pusat kedua lingkaran tersebut melalui
titik A.
Gambar 4
3) Kedua lingkaran berpotongan
Jika K1 dan K2 berpotongan di titik A dan B maka garis kuasa K1 dan K2 adalah garis AB.
Bukti:
Titik A terletak pada K1 maka kuasa titik A terhadap K1 = 0
Titik A terletak pada K2 maka kuasa titik A terhadap K2 = 0
Jadi titik A berkuasa sama terhadap K1 dan K2
Dengan uraisan yang sama didapat juga bahwa titik B berkuasa sama terhadap K1 dan K2.

8. Kuasa Lingkaran  7
4. Titik Kuasa
Misalkan K1, K2, K3 adalah tiga lingkaran yang pusat-pusatnya tidak berada pada satu
garis lurus (konsentris). Ketiga lingkaran tersebut mempunyai tiga garis kuasa yang saling
berpotongan di satu titik. Titik potong ketiga garis ini disebut titik kuasa (gambar 4).
Dilambangkan dengan:
K1 = K2 = K3 atau





K K
 
1 2
K K
 
2 3
K K
 
0
0
0
1 3
Gambar 3
Jika ketiga lingkaran adalah konsentris maka garis-garis kuasanya sejajar, dan ini
berarti titik kuasa ketiga lingkaran berada di titik tak hingga.
Contoh:
Tentukan titik kuasa lingkaran L1  x2 + y2 + 3x + 5y – 7 = 0; L2  x2 + y2 – 2x + 4y – 6 = 0; dan
L3  x2 + y2 + 4x – 2y – 2 = 0.
Jawab:
Garis kuasa lingkaran L1 dan L2 adalah L1 – L2 = 0 yaitu
5x + y – 1 = 0 (1)
Garis kuasa lingkaran L1 dan L3 adalah L1 – L3 = 0 yaitu
x – 7y + 5 = 0 (2)

9. Dari persamaan simultan (1) dan (2) menghasilkan penyelesaian x = 1/18 dan y = 13/18.
Dengan demikian koordinat titik kuasa ketiga lingkaran tersebut adalah (1/18, 13/18).
Kuasa Lingkaran  8
Soal Tes Evaluasi :
1. Tentukan nilai x dari gambar di bawah ini:
2. Diketahui:
L1  x2 + y2 - 6x - 4y + 4 = 0;
L2  x2 + y2 + 4x - 4y – 1 = 0; dan
L3  x2 + y2 = 4.
Gambarkan 3 garis kuasa yang berkuasa sama terhadap L1, L2 dan L3 dan tentukan titik
kuasa 3 lingkaran tersebut!