L i n g k a r a n

2,164 views

Published on

Materi lingkaran untuk membantu proses pembelajaran dikelas

Published in: Education
  • Be the first to comment

L i n g k a r a n

  1. 1. Materi : L I N G K A R A N SMA kelas X M u l a i Profil
  2. 2. M e n u M a t e r i L a t i h a n
  3. 3. M e n u M a t e r i Persamaan-persamaan Lingkaran Posisi Garis Terhadap Lingkaran Persamaan Garis Singgung Lingkaran Hubungan Dua Lingkaran L a t i h a n
  4. 4. M e n u M a t e r i L a t i h a n Latihan Mandiri Contoh soal
  5. 5. M e n u M a t e r i Persamaan-persamaan Lingkaran Posisi Garis Terhadap Lingkaran Persamaan Garis Singgung Lingkaran Hubungan Dua Lingkaran L a t i h a n
  6. 6. M e n u M a t e r i Persamaan-persamaan Lingkaran Posisi Garis Terhadap Lingkaran Persamaan Garis Singgung Lingkaran Hubungan Dua Lingkaran L a t i h a n
  7. 7. M e n u M a t e r i Persamaan-persamaan Lingkaran Posisi Garis Terhadap Lingkaran Persamaan Garis Singgung Lingkaran Hubungan Dua Lingkaran L a t i h a n
  8. 8. M e n u M a t e r i Persamaan-persamaan Lingkaran Posisi Garis Terhadap Lingkaran Persamaan Garis Singgung Lingkaran Hubungan Dua Lingkaran L a t i h a n
  9. 9. M e n u M a t e r i L a t i h a n Latihan Mandiri Contoh soal
  10. 10. M e n u M a t e r i L a t i h a n Latihan Mandiri Contoh soal
  11. 11. M e n u M a t e r i L a t i h a n Latihan Mandiri Contoh soal
  12. 12. Persamaan-Persamaan Lingkaran 1 2 3 4 5 Definisi Lingkaran : Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang Cartesius r
  13. 13. Persamaan-Persamaan Lingkaran 1 2 3 4 5 Secara Umum posisi atau kedudukan titik P(a.b) terhadap lingkaran L ≡ x2 + y2 = r2 Dapat dirumuskan sbb : 1.Titik P(h,k) terletak di dalam Lingkaran 2.Titik P(h,k) terletak pada lingkaran 3.Titik P(h,k) terletak diluar lingkaran .P(h,k) .P(h,k) .P(h,k)
  14. 14. Persamaan-Persamaan Lingkaran 1 2 3 4 5 • Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r Subtitusikan OP = r, OP’=x dan PP’ = y maka : • Maka Persamaan Lingkaran Dengan pusat O dan jari-jari r adalah :
  15. 15. Persamaan-Persamaan Lingkaran 1 2 3 4 5 Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A(a,b) dan Berjari-jari r Dalam Notasi pembentuk himpunan dapat ditulis :
  16. 16. Persamaan-Persamaan Lingkaran 1 2 3 4 5 Posisi Suatu Titik Terhadap Lingkaran 1. Titik P(h,k) terletak di dalam Lingkaran 2. Titik P(h,k) terletak pada Lingkaran 3. Titik P(h,k) terletak di luar lingkaran .P(h,k) .A(a,b) r r .A(a,b).A(a,b) r .P(h,k) .P(h,k)
  17. 17. Persamaan-Persamaan Lingkaran 1 2 3 4 5 Persamaan Lingkaran dalam bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Pusat (-½A, -½B) r = CBA  2 2 12 2 1 )()( .O(a,b) r
  18. 18. Contoh Soal Persamaan – Persamaan Lingkaran 1 2 3 4 5 a. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 5 b. Gambarlah lingkaran pada soal a pada sebuah kertas grafik c. Pada Gambar yang Telah Anda peroleh pada soal Lukislah titik-titik P(2,3), Q(3,4), R(3,6) d. Sebutkanlah kedudukan titik-titik P,Q dan R terhadap lingkaran. Di dalam, pada ataukah di luar Lingkaran? Cek Jawaban 6
  19. 19. Penyelesaian 1 2 3 4 5 a. P(-1,2) dan Jadi Titik P(-1,2) terletak di luar lingkaran b. P(2,-3) dan Jadi Titik P(2,-3) terletak pada lingkaran c. P(3,5) dan Jadi titik P(3,5) terletak didalam lingkaran 6
  20. 20. Contoh Soal Posisi Garis Terhadap Lingkaran 1 2 3 4 5 Cek Jawaban Tanpa Menggambar bidang Cartesius, tentukan posisi titik pada P terhadap Lingkaran L berikut ini : a.Titik P(-1,2) terhadap lingkaran b.Titik P(2,-3) terhadap lingkaran c.Titik P(3,5) terhadap lingkaran 6
  21. 21. Penyelesaian 1 2 3 4 5 a. P(-1,2) dan Jadi Titik P(-1,2) terletak di luar lingkaran b. P(2,-3) dan Jadi Titik P(2,-3) terletak pada lingkaran c. P(3,5) dan Jadi titik P(3,5) terletak didalam lingkaran 6
  22. 22. Contoh Soal Posisi Garis Terhadap Lingkaran 1 2 3 4 5 SOAL 1: Diketahui garis g ≡ x + y =1 dan Lingkaran L≡ x2 + y2 = 4 a.Gambarlah garis g dan lingkaran L pada sebuah bidang Cartesius. Sebutkan posisi garis g terhadap lingkaran L. b.Tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriman dari persamaan kuadrat gabungan itu. Cek Jawaban 6
  23. 23. Penyelesaian 1 2 3 4 5 Penyelesaian : a. Garis g ≡ x + y =1 dan lingkaran L≡ x2 + y2 = 4 digambarkan pada bidang cartesius seperti yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini. Tampak bahwa garis g ≡ x + y =1 memotong lingkaran L≡ x2 + y2 = 4 di dua titik yang berlainan. 6
  24. 24. Contoh Soal persamaan – persamaan lingkaran 1 2 3 4 5 Cek Jawaban Tentukan pusat dan jari-jari tiap lingkaran berikut ini : 6
  25. 25. Penyelesaian 1 2 3 4 5 a. Pusat di (3,4) dan jari-jari r=5 b. Pusat di (-1,5) dan jari-jari r=4 c. Pusat di (2,3) dan jari-jari r = 4 d. Pusat di (-1,-2) dan jari-jari r=4 6
  26. 26. POSISI GARIS TERHADAP LINGKARAN 3 macam kemungkinan posisi garis g terhadap lingkaran L: 1.Garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan, yaitu titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2). 1 2 3 4
  27. 27. 2. garis g memotong lingkaran di satu titik atau dikatakan garis g menyinggung lingkaran di titik S(xs,ys). 3.Garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran. 1 2 3 4 POSISI GARIS TERHADAP LINGKARAN
  28. 28. Posisi Garis Terhadap Lingkaran Posisi garis g terhadap lingkaran L dapat ditentukan melalui langkah berikut ini : Misalkan garis g dan lingkaran L mempunyai persamaan : Langkah 1 Pada bagian persamaan garis (berbentuk linear), nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x. 1 2 3 4
  29. 29. Posisi Garis Terhadap Lingkaran Langkah 2 Substitusikan x atau y yang diperoleh pada Langkah 1 ke dalam persamaan lingkaran (berbentuk kuadrat). Substitusi ini menghasilkan persamaan kuadrat dalam peubah x atau y. Lalu, hitunglah nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan itu. Langkah 3 Posisi garis g terhadap lingkaran L ditentukan oleh nilai diskriman D :  D>0 ⇔ garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan.  D=0 ⇔ garis g menyinggung lingkaran L.  D<0⇔ garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L. Dengan demikian, posisi garis g terhadap lingkaran L dapat ditentukan tanpa harus menggambarkan garis dan lingkaran pada sebuah bidang Cartesius. 1 2 3 4
  30. 30. Persamaan garis singgung lingkaran 1 2 3 Pada gambar, garis g adalah garis singggung lingkaran dan titik p(x1,y1) adalah titik singgungnya. Artinya titik P(x1,y1) terletak pada lingkaran sehingga berlaku Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui suatu titik pada lingkaran A.Untuk lingkaran yang berpusat di (0,0) dan jari – jari r
  31. 31. Persamaan garis singgung lingkaran 1 2 3 Persamaan garis singgung g: Jadi, persamaan garis singgung lingkaran Yang melalui titik P(x1,y1) pada lingkaran ditentukan dengan rumus
  32. 32. Persamaan garis singgung lingkaran 1 2 3 Pada gambar, garis g adalah garis singggung lingkaran dan titik p(x1,y1))terletak pada lingkaran B. Untuk lingkaran dengan pusat di A(a,b) dan jari – jari r
  33. 33. Persamaan garis singgung lingkaran 1 2 3 Persamaan garis singgung : Karena P(x1,y1) terletak pada lingkaran maka berlaku:
  34. 34. Persamaan garis singgung lingkaran 1 2 3 Substitusi x1 2 + y1 2 = 2ax1 + a2 – 2by1 + b2 + r2 ke persamaan * diperoleh Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Yang melalui titik P(x1,y1) pada lingkaran ditentukan dengan rumus (x1 – a)(x – a) + (y1 –b)(y – b) = r2
  35. 35. Persamaan garis singgung lingkaran 1 2 3 Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien diketahui A.Untuk lingkaran yang berpusat di (0,0) dan jari – jari r Persamaan garis singgung pada lingkaran L≡ x2 + y2 = r2 apabila gradien garis singgung m diketahui : Persamaan garis singgung dengan gradient m adalah y = mx + n (n akan ditentukan kemudian) Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L≡ x2 + y2 = r2 diperoleh:
  36. 36. Persamaan garis singgung lingkaran 1 2 3 Nilai diskriminan persamaan kuadrat (1 + m2)x2+ 2mnx + (n2 – r2) = 0 Adalah Karena garis menyinggung lingkaran maka nilai diskriminan D=0
  37. 37. Persamaan garis singgung lingkaran 1 2 3 Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x2 + y2 = r2 dapat ditentukan dengan rumus
  38. 38. Persamaan garis singgung lingkaran 1 2 3 B. Untuk lingkaran dengan pusat di A(a,b) dan jari – jari r Persamaan garis singgung dengan gradien m adalah y = mx + n (n akan ditentukan kemudian) Substitusi ke persamaan lingkaran diperoleh:
  39. 39. Persamaan garis singgung lingkaran 1 2 3 Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D=0
  40. 40. Persamaan garis singgung lingkaran 1 2 3 Substitusi ke persamaan garis diperoleh Sehingga persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradien m ditentukan dengan rumus
  41. 41. Persamaan garis singgung lingkaran 1 2 3 Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik di luar lingkaran langkah – langkah sbb: Langkah 1: Persamaan garis melaui P(x1,y1) dimisalkan gradiennya m (nilai m ditentukan kemudian). Persamaanya adalah
  42. 42. Persamaan garis singgung lingkaran 1 2 3 Langkah 2: Substitusikan y = mx – mx1 + y1 kepersamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan di hitung. Langkah 3: Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D=0. Dari syarat D=0 diperoleh nilai – nilai m. Nilai – nilai selanjutnya disubstitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1 sehingga diperoleh persamaan – persamaan garis singgung yang diminta.
  43. 43. 1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melaui titik (-3,1) 2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat A(a,b) yang melalui titik(7,2) 3. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran jika diketahui Mempunyai gradient 3 Membentuk sudut terhadap sumbu X Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran 1 2 3 4 5 6
  44. 44. Hubungan Dua Lingkaran 1 2 3 4 L1 dan L2 berpotongan di dua titik. L1 dan L2 bersinggungan L1 dan L2 Saling lepas Posisi Dua Lingkaran 5
  45. 45. Hubungan Dua Lingkaran 1 2 3 4 Garis Singgung Persekutuan Luar Lingkaran L1 dan L2 saling lepas. Garis PQ dan RS adalah garis singgung persekutuan luar. P, Q, R, S adalah titik-titik singgungnya. Pusat lingkaran L1 adalah M1 dan jari- jarinya adalah r1. Pusat lingkaran L2 adalah M2 dan jari- jarinya adalah r2. Jarak M1M2 = d. 5
  46. 46. Hubungan Dua Lingkaran 1 2 3 4 Garis Singgung Persekutuan Luar Dari M2 tarik garis sejajar PQ sehingga memotong PM1 di A. maka AM2 = PQ, AM1 =r1 – r2 dan ∆AM1M2 siku-siku di A. Dengan Theorema Phytagoras, maka: Karena M2A = PQ dan PQ = RS Maka 5
  47. 47. Hubungan Dua Lingkaran 1 2 3 4 Garis Singgung Persekutuan Dalam Lingkaran L1 dan L2 saling lepas. Garis AB dan CD adalah garis singgung persekutuan dalam. A, B, C, D adalah titik-titik singgungnya. Pusat lingkaran L1 adalah M1 dan jari- jarinya adalah r1. Pusat lingkaran L2 adalah M2 dan jari- jarinya adalah r2. Jarak M1M2 = d. 5
  48. 48. Hubungan Dua Lingkaran 1 2 3 4 Garis Singgung Persekutuan Dalam Dari M2 tarik garis sejajar AB sehingga memotong perpanjangan M1A di E. maka EM2 = AB, EM1 =(r1 + r2) dan ∆EM1M2 siku-siku di E. Dengan Theorema Phytagoras, maka: EM2 Karena EM2 = AB dan AB = CD Maka AB = CD = 5
  49. 49. 1 2 3 4 Hubungan Dua Lingkaran Panjang Sabuk Lilitan Luar Lingkaran L1 dan L2 saling lepas. Lingkaran L1 pusat di M1 dan jari-jari r1 Lingkaran L2 pusat di M2 dan jari-jari r2 Jarak pusat lingkaran L1 dengan lingkaran L2 adalah M1M2 = d. Sabuk lilitan luar adalah sabuk lilitan yang dibuat dengan cara lingkaran L1 dan lingkaran L2 dikelilingi atau dililit dengan erat oleh sebuah sabuk atau tali mengikuti garis singgung persekutuan luar. 5
  50. 50. 1 2 3 4 Hubungan Dua Lingkaran Panjang Sabuk Lilitan Luar Panjang sabuk lilitan luar minimal yang diperlukan untuk menghubungkan lingkaran L1 dan lingkaran L2 adalah Panjang PQ + panjang RS + panjang busur besar PR + panjang busur kecil QS = 2 panjang PQ + panjang busur besar PR + panjang busur kecil QS, sebab PQ = RS. 5
  51. 51. 1 2 3 4 Hubungan Dua Lingkaran Panjang Sabuk Lilitan Luar Besar sudut α: ∆AM1M2 siku-siku di A, AM1 = (r1 – r2) dan M1M2 = d Jadi panjang sabuk lilitan luar minimal untuk menghubungkan lingkaran L1 dan lingkaran L2 ditentukan dengan rumus 5
  52. 52. 1 2 3 4 Hubungan Dua Lingkaran Panjang Sabuk Lilitan Dalam 5 Sabuk lilitan dalam adalah sabuk atau tali dililitkan mengikuti garis singgung persekutuan dalam.
  53. 53. 1 2 3 4 Hubungan Dua Lingkaran Panjang Sabuk Lilitan Dalam 5 Panjang sabuk lilitan dalam minimal yang diperlukan untuk menghubungkan lingkaran L1 dan lingkaran L2 adalah Panjang AB + panjang CD + panjang busur besar AC + panjang busur besar BD = 2 panjang AB + panjang busur besar AC + panjang busur besar BD, sebab AB = CD.
  54. 54. 1 2 3 4 Hubungan Dua Lingkaran Panjang Sabuk Lilitan Dalam 5 Jadi panjang sabuk lilitan dalam minimal untuk menghubungkan lingkaran L1 dan lingkaran L2 ditentukan dengan rumus
  55. 55. Contoh Soal Hubungan Dua Lingkaran 1. Tentukan posisi dua lingkaran L1 ≡ x2 + y2 = 9 dan L2 ≡ x2 + y2 - 6x -6y + 9 = 0. 2. Jari-jari lingkaran L1 adalah r1 = 11 cm, jari-jari lingkaran L2 adalah r2 = 4 cm, jarak titik pusat lingkaran L1 dengan lingkaran L2 adalah M1M2 = 25 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar dari kedua lingkaran itu. 3. Misalkan jari-jari lingkaran L1 adalah r1 = 5 cm, jari-jari lingkaran L2 adalah r2 = 1 cm, dan jarak titik pusat lingkaran L1 dengan lingkaran L2 adalah M1M2 = 8 cm. hitunglah panjang sabuk lilitan luar minimal yang menghubungkan kedua lingkaran itu. Cek Jawaban 1 2 3 4 5 6
  56. 56. LATIHAN SOAL SOAL-SOAL SOLUSI SOAL
  57. 57. CREATED BY : 1. FINA NURMITA 2. GUSNIARTI 3. FITRI FUJI ASTUTI 4. SARI ASTI SETYA NINGSIH 5. SIYAM MURTINAH Gusniarti F i n a Fitri Siyam Asti

×