1. BAB 2
KOORDINAT
2.1 GARIS DAN LINGKARAN
Tentu kalian sering melihat bnda-benda yang berbentuk lingkaran. Uang logam
dan pizza adalah beberapa contoh bentuk lingkaran. Dalam bidang transportasi, bentuk
lingkaran ternyata sangat bermanfaat untuk menjalankan kendaraan. Coba kalian
perhatikan bentuk ban mobil. Bentuk ban mobil adalah lingkaran.
Lalu, apa lingkaran itu? Lingkaran adalah sekumpulan titik-titik yang berjarak sama
terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama disebut jari-jari sedangkan titik tertentu
dinamakan pusat lingkaran. Pada bab ini kita akan membahas tentang garis dan
lingkaran seperti posisi dua lingkaran, posisi garis terhadap lingkaran dan perpotongan
garis dan lingkaran.
Sebelumnya kita akan mengulas kembali kemiringan untuk menentukan persamaaan
garis, persamaan lingkaran dan pengetahuan dasar yang banyak digunakan adalah
rumus jarak antara dua titik. Bentuk-bentuk geometri seperti lingkaran digambarkan
dengan menggunakan sistem koordinat cartes. Mari kita ingat kembali koordinat cartes.
Kita membayangkan sepasang garis tegak lurus yaitu sumbu x dan sumbu y yang saling
berpotongan di titik O disebut titik asal . kita asumsikan bahwa arah positif pada sumbu
x adalah ke kanan dan arah positif pada sumbu y-adalah atas.
2. 2.1.1 Garis dan Persamaan Garis
Garis adalah himpunan titik-titik yang tak kosong dan mengandung paling
sedikit dua titik.
Berdasarkan gambar diatas terlihat ada dua ruas garis yang sama:
AB, naik garis 𝐵𝐶 dan menembus 𝐴𝐶
A’B’, naik garis 𝐵′𝐶′ dan menembus 𝐴′𝐶′
Sudut α sama karena AC dan A’C’ adalah sejajar
Sudut β sama karena BC dan B’C’ adalah sejajar
Sudut C dan C’ keduanya sudut kanan
Dengan demikian segitiga ABC dan segitiga A’B’C’ sama. Sehingga,
𝐵𝐶 𝐵′𝐶′
= Kemiringannya konstan
𝐴𝐶 𝐴′𝐶′
Kemiringan dapat ditentukan dengan membandingkan perubahan jarak tegak (nilai y)
terhadap perubahan jarak mendatar (nilai x).
Misal dibuat garis miring yang melintasi sumbu y di titik Q dimana y=c adalah a. Jika
P=(x,y) dititik lain. Maka kenaikan dari titik Q ke titik P adalah y-c. Yang mendatar
adalah x (Gambar 3).
3. 𝑦 −𝑐
Kemiringan = a =
𝑥
ax = y - c
y=ax+c
persamaan ini dinamakan Persamaan Garis.
2.1.2 Jarak
Misalkan P1 = (x1,y1) dan P2 = (x2,y2) adalah dua titik R2.
Maka koordinatnya adalah segitiga siku-siku. Sehingga 𝑃1 𝑃2 adalah panjang sisi
miringnya.
Berdasarkan Teorema Phytagoras:
𝟐 𝟐 𝟐
𝑷𝟏 𝑷𝟐 = 𝑿𝟐− 𝑿𝟏 + 𝒚𝟐− 𝒚𝟏
𝑷𝟏 𝑷𝟐 = 𝒙𝟐− 𝒙𝟏 𝟐 + 𝒚𝟐− 𝒚𝟏 𝟐
4. 2.1.3 Persamaan Lingkaran
Rumus jarak mengarah langsung ke persamaan lingkaran, sebagai
berikut.
Misalkan kita memiliki sebuah lingkaran dengan pusat di titik O(0,0) dan jari-jari r.
Titik P adalah sebuah titik pada lingkaran.
Dari gambar tersebut kita dapat menuliskan persamaan 𝑂𝑃 = r.
𝑂𝑃 = 𝑟
𝑥−0 2 + 𝑦−0 2 = 𝑟
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Misalkan kita memiliki sebuah lingkaran dengan jari-jari r dan pusat pada titik
P = (a, b). Titik Q(x,y) adalah sebuah titik pada lingkaran.( Gambar 6).
5. Dari gambar tersebut kita dapat menuliskan persamaan 𝑄𝑃 = r.
𝑄𝑃 = 𝑟
𝑥− 𝑎 2 + 𝑦− 𝑏 2 = 𝑟
𝟐 𝟐
𝒙− 𝒂 + 𝒚− 𝒃 = 𝒓𝟐 *
Sehingga persamaan (*) dinamakan persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dengan
jari-jari r.
𝟐
Lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r mempunyai persamaan 𝒙− 𝒂 +
𝟐
𝒚− 𝒃 = 𝒓 𝟐 . Persamaan tersebut dapat kita nyatakan dengan:
𝟐 𝟐
𝒙− 𝒂 + 𝒚− 𝒃 = 𝒓𝟐
𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦 2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏 2 = 𝑟 2
𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦 2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏 2 − 𝑟 2 = 0
Disederhanakan menjadi Persamaan Umum Lingkaran
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Misalkan dua titik P1 = (a1,b1) dan P2=(a2,b2). Selanjutnya titik P=(x,y) merupakan
jarak yang sama dari P1 dan P2 jika 𝑷𝑷 𝟏 = 𝑷𝑷 𝟐 , sehingga persamaannya.
𝒙− 𝒂𝟏 𝟐 + 𝒚− 𝒃𝟏 𝟐 = 𝒙− 𝒂𝟐 𝟐 + 𝒚− 𝒃𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝒙− 𝒂𝟏 + 𝒚− 𝒃𝟏 = 𝒙− 𝒂𝟐 + 𝒚− 𝒃𝟐
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟐𝒃 𝟏 𝒚 + 𝒃 𝟐 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒂 𝟐 𝒙 + 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟐𝒃 𝟐 𝒚 + 𝒃 𝟐
𝟏 𝟏 𝟐 𝟐
Akan menghasilkan Persamaan Linear,
𝟐 𝒂𝟏− 𝒂𝟐 𝒙+ 𝟐 𝒃𝟐− 𝒃𝟏 𝒚+ 𝒃𝟐− 𝒃𝟐 = 𝟎
𝟏 𝟐
2.1.4 Perpotongan Garis dan Lingkaran
Garis dan lingkaran di definisikan dengan persamaan. Kita merinci secara aljabar
kesetaraan garis lurus dan batas operasi:
Menggambar garis yang melewati titik-titik sesuai dengan persamaan garis melalui
𝒚 𝟐 −𝒚 𝟏
titik (x1,y1) dan (x2,y2). Kemiringan antara dua titik adalah harus sama dengan
𝒙 𝟐 −𝒙 𝟏
𝑦 −𝑦 1
antara titik (x,y) dan titik (x1,y1) sehingga persamaannya
𝑥−𝑥 1
𝑦 − 𝑦1 𝑦2 − 𝑦1
=
𝑥 − 𝑥1 𝑥2 − 𝑥1
𝑦 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑥 − 𝑥1 (𝑦2 − 𝑦1 )
𝑦2 − 𝑦1 𝑥 − 𝑥2 − 𝑥1 𝑦 − 𝑥1 𝑦2 + 𝑦1 𝑥2 = 0
6. Menggambar sebuah lingkaran dengan pusat dan jari-jari yang diberikan sesuai
dengan mencari persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r.
2 2
𝑥− 𝑎 + 𝑦− 𝑏 = 𝑟2
Menemukan titik baru sebagai perpotongan gambar garis sebelumnya dan lingkaran
sesuai untuk menemukan titik solusi dari:
Sepasang persamaan garis
Sepasang persamaaan lingkaran
Persamaan garis dan persamaan lingkaran
2.1.5 Posisi Dua Lingkaran
Beberapa kemungkinan posisi dua lingkaran diperlihatkan pada gambar 2.6
dibawah:
Pada gambar 2.6 (a), lingkaran L1 dan L2 berpotongan di dua titik yang
berlainan.
Pada gambar 2.6 (b) i, lingkaran L1 dan L2 bersinggungan di dalam. 2.6 (b) ii
lingkaran L1 dan L2 bersinggungan di luar
Pada gambar 2.6 (c) ), lingkaran L1 dan L2 tidak berpotongan maupun
bersinggungan
7. Sebagai contoh, menentukan perpotongan dua lingkaran
2 2
𝑥 − 𝑎1 + 𝑦 − 𝑏1 = 𝑟 2 ...............(1)
2 2
𝑥 − 𝑎2 + 𝑦 − 𝑏2 = 𝑟 2 ...............(2)
2 2 2
𝑥 2 − 2𝑎1 𝑥 + 𝑎1 + 𝑦 2 − 2𝑏1 𝑦 + 𝑏1 − 𝑟1 = 0
2 2 2
𝑥 2 − 2𝑎2 𝑥 + 𝑎2 + 𝑦 2 − 2𝑏2 𝑦 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0
Dengan mengurangkan pers.(2) dengan pers.(1) sehingga di dapat persamaan linear:
2 2
2 𝑎1 − 𝑎2 𝑥 + 2 𝑏2 − 𝑏1 𝑦 + 𝑟2 − 𝑟1 = 0
2.1.6 Posisi Garis terhadap Lingkaran
Dari tinjauan geometri bidang, posisi atau kedudukan garis g terhadap lingkaran
L ada 3 macam:
Pada gambar 2.6 a, garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan yaitu
titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2) (D > 0)
Pada gambar 2.6 b, garis g memotong lingkaran di satu titik atau dikatakan garis
g menyinggung lingkaran di titik A(x1,y1) (D = 0)
8. Pada gambar 2.6 c, garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran
(D<0)
Perpotongan Garis Dan Lingkaran
Persamaan garis : y = mx + n ........................................(1)
2 2 2
Persamaan lingkaran : x + y = r ........................................(2)
Subtitusikan pers.(1) ke pers.(2), diperoleh
𝑥2 + 𝑚𝑥 + 𝑛 2
= 𝑟2
𝑥 2 + 𝑚2 𝑛2 + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛2 − 𝑟 2 = 0
1 + 𝑚2 𝑥 2 + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛2 − 𝑟 2 = 0
Diperoleh diskriminan D = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2
𝐷 = 2𝑚𝑛 − 4 1 + 𝑚2 𝑛2 − 𝑟 2
Sehingga ada 3 kemungkinan garis dan lingkaran seperti diatas.
Kuasa suatu titik terhadap suatu lingkaran
Misal titik dan berada di luar lingkaran, kuasanya:
TP = pusat lingkaran
r = jari-jari lingkaran
K = kuasa titik
Jika K>0 maka T di luar lingkaran
K=0 maka T pada lingkaran
9. K<0 maka T di dalam lingkaran
Contoh Soal:
Diketahui persamaan x2 + y2 = 9 dan titik P (5,1)
Kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran x2 + y2 = 9 adalah :
K = 25 + 1 – 9 = 17
K > 0 ,maka titik P (5,1) di luar lingkaran
Menurut definisi (2) K = PQ2
Jadi kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran adalah 17
Garis kuasa
Adalah tempat kedudukan titik-titik yang kuasanya terhadap dua lingkaran adalah sama.
Misal,
Maka garis kuasa ke dua lingkaran tersebut:
Titik Kuasa
Adalah suatu titik yang memiliki kuasa yang sama terhadap beberapa lingkaran.
Misal,
10. Persamaan titik kuasa:
Contoh Soal
1. Diberikan titik 𝑃1 𝑥1 , 𝑦1 𝑑𝑎𝑛 𝑃2 𝑥2 , 𝑦2 , misal P(x,y) adalah titik pada garis yang
melalui P1 dan P2, dengan persamaan kemiringan tunjukkan bahwa x dan y
memenuhi persamaan.
𝑦2 − 𝑦1 𝑦 − 𝑦1
= , 𝑥 ≠ 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥1 2
2. Mempertimbangkan segitiga, kita ambil titik O = (0,0), titik P = (𝑥1 , 0) 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥1 >
0 dan titik Q = (𝑥2 , 𝑦2 ), tunjukkan bahwa
2 2 2 2
𝑂𝑃 = 𝑥1 , 𝑃𝑄 = 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦2 , 𝑂𝑄 = 𝑥2 + 𝑦2
Selanjutnya tunjukkan bahwa
2 2 2 2
𝑂𝑃 + 𝑃𝑄 − 𝑂𝑄 = 2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦2 − 𝑥2 − 𝑥1
3. Temukan perpotongan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 dan 𝑥 − 1 2
+ 𝑦−2 2
=4
4. Periksa jawaban latihan no 2 dengan sketsa dua lingkaran
Pembahasan:
1. Titik 𝑃1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑃2 𝑥2 , 𝑦2 , dan P(x,y) melalui titik P1 dan P2.
Misal a = 𝑃1 𝑃2 dan b = 𝑃𝑃1
