1. Jika titik P berada di luar lingkaran, garis yang melalui P akan memotong lingkaran di dua titik dan menyentuh lingkaran di satu titik. Kuasa titik P terhadap lingkaran adalah tetap dan positif. 2. Kuasa titik P terhadap dua lingkaran yang berbeda akan sama jika titik P berada pada garis kuasa, yaitu garis yang merupakan tempat titik-titik dengan kuasa yang sama terhadap dua lingkaran. 3.

1. Loading

3. Kuasa Titik Terhadap Lingkaran
P (x1, y1) Q
a
A1
b
B1
c
C1
Jika P(x1, y1) diluar lingkaran L = 0 maka melalui P dapat dibuat garis banyak
sekali, sehingga memotong L = 0 di A dan A’ ; B dan B’ ; C dan C’ dan seterusnya
serta menyinggung L = 0 di Q.
Pandang PAQ dan PQA’
P = P (berimpit)
Q1 = A’ ( AQ)
A= Q (1800 – ( P + Q1))
Jadi, PQA  PA’Q
=  PQ2 = PA . PA’
Analog  PQ2 = PB – PB’
PQ2 = PC . PC’

4. Rumus
 Jika P(x1, y1) diluar lingkaran L = 0 dan garis melalui P
memotong L di A dan A’; B dan B’; C dan C’ dan
seterusnya serta menyinggung L = 0 di Q, maka berlaku
PQ2 = PA . PA’ = PB . PB’ = PC . PC’ = tetap harganya.
 Bilangan yang tetap ini disebt kuasa P terhadap L = 0.
 Jika P diluar lingkaran maka kuasa P terhadap L = 0
positif.
 Jika P pada lingkaran maka kuasa P terhadap L = 0 sama
dengan 0.
 Jika P didalam lingkaran maka kuasa P terhadap L = 0
negatif.

5. Dalil
 Jika kuasa P(x1, y1) terhadap L x2 + y2 + Ax + Bx + C = 0 adalah k2 maka
berlaku :
k2 = PQ2 = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C
 Jika kuasa P (x1, y1) terhadap L (x - )2 + (y - )2 = R2
k2 = PQ2 = (x1 - )2 + (y1 - )2 – R2
 Bukti
P x1 , y1 Q
B
L(α, β) B’
 L (x - )2 + (y - )2 = R2
Pusat L ( , )
2 2
QL = Rx1 y1
PL =
PQ2 = PL2 – QL2
k2 = PQ2 = (x1 - )2 + (y1 - )2 – R2 (terbukti)

6. Garis Kuasa
Jika L1 x2 + y2 + ax + by + c = 0
L2 x2 + y2 + px + qy + r = 0
Maka tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap
dua lingkaran k = 0 dan L2 = 0 berbentuk garis dengan persamaan :
Garis kuasa
L1 = L2 = 0
“Garis yang mempunyai kuasa sama terhadap 2
lingkaran”
Q1 Q2
L1 L2
L1 L2
g L1 - L2 = 0
g L1 – L2 = 0
L garis kuasa

7. Contoh :
 Tentukan sebuah titik pada garis x – y + 2 = 0 yang mempunyai kuasa sama terhadap
lingkaran x2 + y2 – 4y + 2 = 0 dan x2 + y2 – 6x + 4 = 0
Jawab :
I
L1 x2 + y2 – 4y + 2 = 0
L2 x2 + y2 – 6x + 4 = 0
Garis kuasa = L1 – L2
L1 x2 + y2 – 4y + 2 = 0 L1 L2
L2 x2 + y2 – 6x + 4 = 0 _
6x – 4y – 2 = 0 g
Garis kuasa 3x – 2y – 1 = 0
I x–y+2=0
Jadi titik pada I yang mempunyai kuasa sama terhadap L1 = 0 ; L2 = 0 adalah titik potong
dan I
1 2
2 1 1 4
x 5
3 2 3 2
1 1
3 1
1 2 6 1
y 7 Jadi titik itu (5, 7)
1 1

8. 2. Tentukan panjang garis singgung dari titik P(7,1) terhadap lingkaran x2 + y2 = 25
Jawab :
Q
P(7, 1)
Kuasa P terhadap L
k2 = PQ2
jadi panjang garis singgung
PQ = kuasa
x2 + y2 = 25
k2 = PQ2 = x12 + y12 = R2
k2 = PQ2 = 49 + 1 – 25 = 25
jadi panjang garis singgung PQ = 25 = 5
Cara Lain :
P(7, 1)  x2 + y2 = 25
49 + 1 > 25
Jadi, (7, 1) diluar lingkaran.
Garis kutub x1 .x + y1 . y = R2
7x + y = 25
y = 25 – 7x

9. Dipotongkan Lingkaran :
x2 + (25 – 7x)2 = 25
x2 + 625 – 350x + 49x2 = 25
50x2 – 350x + 600 = 0
x2 – 7x + 12 = 0
(x - 3) (x - 4) = 0
x=3 V x=4
x=3  y = 25 – 21 = 4
Titik singgung Q = (3, 4)
Panjang garis singgung PQ = 7 3 2 (1 4) 2 = 25 = 5
x=4  y = 25 – 28 = -3
Titik singgung Q (4, -3)
PQ = 7 4 2 (1 3) 2 = 25 = 5