Dokumen tersebut membahas tentang irisan kerucut dan koordinat kutub. Terdapat empat jenis irisan kerucut yaitu lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Dibahas pula definisi, persamaan standar, fokus, direktris, dan contoh soal untuk setiap jenis irisan kerucut. Translasi sumbu juga dijelaskan sebagai perubahan sumbu koordinat.

1. Irisan Kerucut dan Koordinat Kutub
I Irisan Kerucut (kurva-kurva)
• Lingkaran : bidang yang tegak lurus kepada sumbu kerucut.
• Elips : bidang yang memiliki sudut tertentu terhadap sumbu
kerucut.
• Parabola : bidang yang sejajar dengan sisi kerucut.
• Hiperbola : bidang yang sejajar dengan sumbu kerucut.

2. Definisi: Himpunan titik-titik P dimana rasio antara jarak |PF| dari
fokus dengan jarak |PL| dari garis l merupakan sebuah konstanta e
positif.
e = eksentrisitas
PF
PL
e 
disebut irisan kerucut
PF  e PL
Parabola mempunyai satu titik puncak sedangkan elips dan
hiperbola mempunyai dua titik puncak.

3.  Parabola (e = 1)
Definisi : himpunan titik-titik P yang berjarak sama dari garis l dan
fokus F, maka :
PF  PL
sumbu koordinat pada sumbu x dan fokus pada (p,0) dan
direktris (garis l ) pada persamaan x=-p maka berdsarkan rumus
jarak maka :
PF  PL
       2 2 2 2 x  p  y 0  x  p  y  y

4. Persamaan standar:
dimana p adalah jarak dari fokus ke
titik puncak.
y 4xp 2 
Parabola yang lain :

5. Contoh soal:
1. Tentukan fokus dan direktris (garis tetap) dari parabola yang
mempunyai persamaan
Peny:
F(p,0) maka fokus di (3,0) dan direktriks (l ) x=-p maka
x=-3
2. Tentukan koordinat fokus dan persamaan direktris pada
parabola dibawah ini:
y 12 x 2 
y 4 px y 12x 4xp 12x 2 2     
3  p
x 16 y 2  

6. Peny:
x 4 py x 16 y 4 py 16 y 2 2        
p  4
Parabolanya vertikal dan terbuka ke bawah pada F(0,-4) dan
persamaan direktrisnya y=4.
3. Tentukan persamaan parabola yang verteksnya (titik puncak)
di titik asal melalui (-2,4) dan terbuka ke kiri.
Peny:
Titik puncaknya (0,0), terbuka ke kiri dan melalui (-2,4) maka:
4 4 4  2 2 2 y   px   p 
16  8p p  2

7. Maka persamaan parabolanya:
y 4px y 42x 2 2     
y 8x 2  
4. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari
16 1, 4 2 y  x 
parabola dibawah ini
Peny:
Titik singgung: pada (1,-4)
y 16 x 2 
16
y
yy y
2
2 16 ' '   
2 ' y  

8. Maka persamaan garis singgungnya:
y  2x 2
Garis normal merupakan garis yang tegak lurus pada garis
singgung, syaratnya:
. 1 1 2 m m  
1
1
y  x 
2 m  2
2
9
2

9.  Elips ( 0 < e < 1 )
Apabila |PF|= e |PL| dimana 0 < e < 1 maka akan membentuk
elips.
Fokusnya F(c,0), direktrisnya x=k dan verteksnya A’ (-a,0) dan
A (a,0) maka :
a c  ek  a ek ea
a  c  ek  a ek  ea

10. Dari persamaan sebelumnya didapat nilai c dan k :
ea c 
a
e
k 
Dari gambar diatas dengan syarat |PF|= e |PL| maka:
2
a


 x ae  2  y 0  2 e x 2

  y  y
e

    


2
y

a e
  1
1 2 2
2
2


x
a

11. Persamaan standar elips:
maka
2 2  2  2 b  a 1e b  a 1e
2
 
x
Pada elips syarat a > b
2
1 2
2
y
b
a

12. Contoh soal:
1. Sketsalah grafik dan tentukan fokus dan
eksentrisitasnya.
Peny:
Berdasarkan pers
2 2
 
x y
2
y
2
    
x
maka a = 6 dan b =2 maka dari per
fokusnya (±c,0) =
1
36 4
1
36 4
1
2 2
2
2
x y
b
a
2 2 2 a  b  c
c
c  4 2     0,94
a
c ae e
 4 2,0

13. Bentuk grafik dari persamaan diatas:
2. Tentukan fokus dan eksentrisitas dari persamaan berikut:
Peny:
2 2
 
x y
2
y
2
 
x
dimana a=5 dan b =4 dan c=3 maka :
fokusnya(0,±3)
1
16 25
1 2
2
a
b
c
   e  0,6
a
c ea e

14.  Hiperbola (e > 1 )
Seperti yang terlihat pada gambar diatas dimana e > 1 maka:
2
y

a e
supaya e2 - 1 bernilai positif maka   1
2 1 2
2
2


x
a
2 2  2  b  a 1 e
 1 2 2 2 1 b  a e 
2
2
2



b
y
x
a

15. maka persamaan hiperbola horizontal menjadi:
dimana c=ae maka c2=a2+b2
persamaan disamping untuk hiperbola
horizontal.
2
2
 
1 2
2
y
b
x
a
Sedangkan hiperbola vertikal adalah:
verteksnya (0,±a)
fokusnya (0,±c)
2
2
 
1 2
2
x
b
y
a
Dari gambar diatas diagonalnya merupakan asimtotnya :
b
x
a
y  

16. Contoh soal:
1. Sketsalah grafik dan tunjukkan asimtot-asimtotnya,
bagaimana persamaan asimtotnya dan berapa fokusnya dari
persamaan berikut:
Peny:
2 2
 
x y
2
y
2
    
x
a =3 dan b=4 dimana a kaki horizontal dan b kaki vertikal
Asimtot dan
Fokusnya
1
9 16
1
9 16
1
2 2
2
2
x y
b
a
4
4
 y x
y x
3
3
 
3 4 5 2 2 2 2 2 c  a b c   

17. Fokusnya (±c,0) F (±5,0)
2. Tentukan fokus dari persamaan berikut:
2 2
x y
  
dari pers diatas kurvanya merupakan hiperbola vertikal
dimana a =3 dan b =2 maka :
Fokusnya (0,±3,61)
1
4 9
3 2 3,61 2 2 2 2 2 c  a b c   

18. Bentuk grafik dari hiperbola vertikal adalah:
3. Jarak maksimum bumi dari matahari 94,56 juta mil dan jarak
minimumnya 91,45 juta mil. Bagaimana eksentrisitas dari
orbitnya dan bagaimana diametermayor dan minornya.

19. Peny:
Sesuai gambar diatas maka:
_
a  c  maxa  c  94,56
a c  mina c  91,45
Maka
2c  3,11c 1,56
a  c  94,56a  93,01
0,017
1,56
a
    
93,01
c
c ae e

20. Diameter mayor dan minornya dalam juta mil adalah:
Mayor = 2 a = 2 (93,01) =186,02
Minor =2 b dimana a2 = b2 + c2 maka
= 2
 Translasi Sumbu
Definisi: kedudukan dimana sumbu mayor tidak berada di
salah satu sumbu koordinat dan pusatnya tidak berada di titik
asal.
ex:
2 2 b  a c
93,01 1,56 185,99 2 2  
 2  3 25 2 2 x   y  

21. Diskusi:
1. Tentukan koordinat fokus dan persamaan direktris dan
gambar sketsanya:
y 2  3 x  0 dan
3 x 2  9 y 
0 2. Tentukan persamaan standar dari info berikut dan asumsikan
verteksnya berada di titik asal.
• Direktrisnya adalah x= 3
• Fokusnya adalah


1
3. Sketsa grafik dan tentukan verteks, fokus dan asimtot apabila
hiperbola:
dan





9
0,
4 25 100 2 2 x  y  4 8 2 2 x  y 

22. Dari pers diatas grafiknya:
Secara umum bentuk grafiknya:
Penggunaan sumbu-sumbu baru tidak mengubah bentuk atau
ukuran dari sebuah kurva.

23. Dari gambar diatas :
(x,y) = koordinat lama
(u,v) = koordinat baru
(h,k) = titik asal yang baru
Hubungan dari koordinat yang lama terhadap koordinat yang
baru:
u  xhx  u h
v  y  k y  v  k
Contoh soal:
1. Tentukan koordinat baru dari P (-6,5) setelah translasi
sumbu-sumbu ke titik asal baru di (2,-4)
Peeny:

24. Titik asal baru (2,-4) ; maka P (-6,5)
u = x – h v = y – k
= -6-2 = 5 – (-4)
u = -8 v = 9
Koordinat yang baru (-8,9)
2. Diketehui persamaan
4 40 2 97 0 2 2 x  y  x  y  
Tentukan persamaan dari grafiknya setelah proses translasi
dengan titik asal baru (-5,1).
Peny:
maka didapat :
x  u  h y  v  k
x  u 5 y  v 1

25. Sesuai persamaan diatas :
4 5  1 40 5 2 1 97 0 2 2 u   v   u   v   
4 4 0 4 4 2 2 2 2 u v    u v 
Persamaan Elips
4 40 2 97 0 2 2 x  y  x  y  
 Melengkapi kuadrat
1
2
v
2  
4
u
bertujuan menghilangkan suku-suku berderajat satu dalam
persamaan :
0 0 0 2 2 Ax Cy  Dx  Ey  F   A  C 

26. Contoh:
1. Buatlah sebuah translasi yang akan menghilangkan suku-suku
berderajat satu.
4 9 8 90 193 0 2 2 x  y  x  y  
dan gambar grafiknya.
Peny:
4 x 2  9 y 2  8 x  90 y  193 
0  x    y

Translasi:
dan
1
1 2 5
2
4
9



u  x1 v  y 5
1
2 2
 
u v
9 4

27. Kurva berbentuk elips horizontal.
2. Namailah irisan kerucut yang ditunjukkan oleh persaman
berikut:
Peny:
5 4 6 0 2 y  x  y  
4 5 6 2 y  y  x 
 2 5 2 2 y   x 
Kurvanya adalah parabola yang terbuka ke kanan.

28. Maka gambar grafiknya:
v 4pu v 5u 4pu 5u 2 2     
5
 p
4
3. Tulislah persamaan sebuah hiperbola dengan fokus di (1,1)
dan (1,11) dan verteks-verteksnya di (1,3) dan (1,9).
Peny:
Verteksnya (1,3) dan (1,9) maka titik sumbunya (1,6)
Pertengahan dari keduanya.maka a= 3 dan c=5 maka
25 9 4 2 2 b  c a   
   
1
1
16
y  x
9
6 2 2




29. Ringkasan :
1.
2.
3.
y  k   4 px  h 2
2
   y k

1 2
x h
2
2




b
a
2
   y k

1 2
x h
2
2




b
a

30. Tugas:
1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal
kemudian sketsalah parabola, garis singgung dan garis
normal dari pers berikut:
x 2  2 y , 4,8 dan
y 2   9 x ,   1, 
3 2. Tentukan persamaan dari irisan kerucut dan sketsa grafiknya:
2
a) Elips dengan fokus di (6,0) dan eksentrisnya
b) Hiperbola dengan fokus di (5,0) dan verteks (4,0)
3. Namailah irisan kerucut yang dipresentasikan oleh
persamaan berikut:
dan
4. Sketsa grafik dari persamaan-persamaan berikut:
dan
3
4 4 8 28 11 0 2 2 x  y x  y   4 4 2 2 1 0 2 2 x  y  x  y  
 3  4 25 2 2 x   y      2 4 x  3  y  2