Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian pertidaksamaan dan persamaan trigonometri bentuk acosx + bsinx dengan mengubahnya menjadi bentuk kcos(x - α). Terdapat contoh-contoh penyelesaian pertidaksamaan trigonometri dan pengubahan bentuk acosx + bsinx.
2. 2
Setelah menyaksikanSetelah menyaksikan
tayangan ini anda dapattayangan ini anda dapat
MenyelesaikanMenyelesaikan
pertidaksamaan trigonometripertidaksamaan trigonometri
dan persamaan trigonometridan persamaan trigonometri
bentuk acosx + bsinxbentuk acosx + bsinx
5. 5
Himpunan penyelesaian dari suatuHimpunan penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan trigonometripertidaksamaan trigonometri
berupa satu atau beberapaberupa satu atau beberapa
interval peubah sudutinterval peubah sudut
6. 6
Himpunan penyelesaian dari suatuHimpunan penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan trigonometripertidaksamaan trigonometri
ditentukan dengan dua cara:ditentukan dengan dua cara:
• sketsa grafik fungsi trigonometrisketsa grafik fungsi trigonometri
• garis bilangangaris bilangan
7. 7
Dengan garis bilanganDengan garis bilangan
langkah-langkahnyalangkah-langkahnya
1.1. Tentukan harga-harga nolTentukan harga-harga nol
(pembuat nol fungsi).(pembuat nol fungsi).
2.2. Gambarkan harga-harga nolGambarkan harga-harga nol
pada garis bilangan.pada garis bilangan.
8. 8
3. Tentukan tanda (positif atau3. Tentukan tanda (positif atau
negatif) pada setiap ruas garisnegatif) pada setiap ruas garis
dengan menguji salah satudengan menguji salah satu
harga x di salah satu ruas garis.harga x di salah satu ruas garis.
4. Tentukan himpunan penyelesaian4. Tentukan himpunan penyelesaian
sesuai dengan soal.sesuai dengan soal.
9. 9
Contoh 1Contoh 1
Himpunan penyelesaian dariHimpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan sinxpertidaksamaan sinx° >° > ½½,,
untuk 0 ≤ x ≤ 360untuk 0 ≤ x ≤ 360
adalah….adalah….
10. 10
PenyelesaianPenyelesaian
▪▪ Harga nol dari persamaan sinxHarga nol dari persamaan sinx° =° = ½½,,
pada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalahpada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalah
30° dan 150°30° dan 150°
▪▪
▪▪ tentukan nilai sinx -tentukan nilai sinx - ½½ pada salahpada salah
satu ruas garis (interval garis)satu ruas garis (interval garis)
misal x = 90°misal x = 90° →→ sin90° -sin90° - ½½ == ½½ > 0> 0
30° 150°
+
0° 360°
11. 11
▪▪ x = 90°x = 90° →→ sin90° -sin90° - ½½ = 1 -= 1 - ½½ > 0> 0
▪▪ karena sinx >½ atau sinx - ½ > 0karena sinx >½ atau sinx - ½ > 0
maka himpunan penyelesaiannyamaka himpunan penyelesaiannya
adalah {x / 30° < x < 150°}adalah {x / 30° < x < 150°}
0° 360°
30° 150°
+
12. 12
Contoh 2Contoh 2
Himpunan penyelesian dariHimpunan penyelesian dari
pertidaksamaan cosxpertidaksamaan cosx° ≤° ≤ ½½√2,√2,
untuk 0 ≤ x ≤ 360untuk 0 ≤ x ≤ 360
adalah….adalah….
13. 13
PenyelesaianPenyelesaian
▪▪ Harga nol dari cosxHarga nol dari cosx° =° = ½√2½√2,,
pada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalahpada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalah
45° dan 315°45° dan 315°
▪▪
▪▪ uji interval 0°≤ x < 45° denganuji interval 0°≤ x < 45° dengan
mengambil x = 30°→ cosx - ½√2 =mengambil x = 30°→ cosx - ½√2 =
cos30°-cos30°- ½½√2 =√2 = ½½√3 -√3 - ½½√2 > 0√2 > 0
45° 315°
+
0° 360°
+
14. 14
▪▪ x = 30°x = 30° →→ cos30° -cos30° - ½√2½√2 > 0> 0
▪▪ karena cosx ≤karena cosx ≤ ½√2½√2 atauatau
cosx -cosx - ½√2½√2 ≤ 0 (berarti negatif)≤ 0 (berarti negatif)
maka himpunan penyelesaiannyamaka himpunan penyelesaiannya
adalah {x / 45° ≤ x ≤ 315°}adalah {x / 45° ≤ x ≤ 315°}
+
0° 360°45° 315°
+
15. 15
Contoh 3Contoh 3
Himpunan penyelesian dariHimpunan penyelesian dari
pertidaksamaan 2sin2xpertidaksamaan 2sin2x° <° < 11,,
untuk 0 ≤ x ≤ 180untuk 0 ≤ x ≤ 180
adalah….adalah….
16. 16
PenyelesaianPenyelesaian
▪▪ Pembuat nol dari 2sin2x = 1Pembuat nol dari 2sin2x = 1
→→ sin2x =sin2x = ½½ → sin2x = sin 30→ sin2x = sin 30
2x = 30 +2x = 30 + kk.360.360
x = 15 +x = 15 + kk.180.180
kk = 0 diperoleh x = 15°= 0 diperoleh x = 15°
2x = (180 – 30) + k.3602x = (180 – 30) + k.360
x = 75 +x = 75 + kk.180.180
17. 17
x = 75 +x = 75 + kk.180.180
kk = 0 → x = 75°= 0 → x = 75°
▪▪ harga x = 15° dan x = 75° digambarharga x = 15° dan x = 75° digambar
pada garis bilanganpada garis bilangan
▪▪ diuji x = 45° → sin2x -diuji x = 45° → sin2x - ½½ = 1 - ½ > 0= 1 - ½ > 0
▪▪ yang diminta sin2x - ½ < 0 (negatif)yang diminta sin2x - ½ < 0 (negatif)
jadi, himpunan penyelesaiannya:jadi, himpunan penyelesaiannya:
{x/0° ≤ x < 15° atau 75°< x ≤ 180°}{x/0° ≤ x < 15° atau 75°< x ≤ 180°}
0° 180°15° 75°
+
18. 18
Contoh 4Contoh 4
Himpunan penyelesian dariHimpunan penyelesian dari
pertidaksamaan cos(2xpertidaksamaan cos(2x + 30)° <+ 30)° < ½½,,
untuk 0 ≤ x ≤ 180untuk 0 ≤ x ≤ 180
adalah….adalah….
20. 20
cos(2x + 30) = cos 60cos(2x + 30) = cos 60
2x + 30 = -60 +2x + 30 = -60 + kk.360.360
2x = -90 +2x = -90 + kk.360.360
x = -45 +x = -45 + kk.180.180
kk = 1 diperoleh x = 135°= 1 diperoleh x = 135°
▪▪ harga x = 15° dan x = 135°harga x = 15° dan x = 135°
digambar pada garis bilangandigambar pada garis bilangan
0° 180°15° 135°
21. 21
0° 180°15° 135°
▪▪ Diuji interval 15 < x < 135 denganDiuji interval 15 < x < 135 dengan
mengambil x = 30mengambil x = 30 →→
cos(2x + 30) - ½ = cos90 - ½ < 0cos(2x + 30) - ½ = cos90 - ½ < 0
▪▪ yang diminta cos(2x + 30)° -yang diminta cos(2x + 30)° - ½½ < 0< 0
(negatif). Jadi, himpunan(negatif). Jadi, himpunan
penyelesaiannya adalahpenyelesaiannya adalah
{x / 15°< x < 135°}{x / 15°< x < 135°}
+ +
22. 22
Bentuk : a.cosx + b.sinxBentuk : a.cosx + b.sinx
Bentuk acosx + bsinxBentuk acosx + bsinx
dapat diubah ke bentukdapat diubah ke bentuk
k.cos(x –k.cos(x – αα))
dengan k =dengan k =
tantan αα ==
0 ≤0 ≤ αα ≤ 360≤ 360
22
ba +
a
b
23. 23
tan α =
sudut α dapat terletak
di kuadran I, II, III atau IV
tergantung tanda a dan b
a
b
tanda a dan btanda a dan b αα di kuadrandi kuadran
a > 0, b > 0a > 0, b > 0
a < 0, b > 0a < 0, b > 0
a < 0, b < 0a < 0, b < 0
a > 0, b < 0a > 0, b < 0
II
IIII
IIIIII
IVIV
24. 24
Contoh 1Contoh 1
Ubahlah bentuk cosx +Ubahlah bentuk cosx + √3sinx√3sinx
menjadi bentuk kcos(x –menjadi bentuk kcos(x – αα))
25. 25
JawabJawab
cosx + √3sinxcosx + √3sinx →→ a = 1 dan b = √3a = 1 dan b = √3
k =k =
k =k =
tantan αα ==
αα = 60°= 60°
Jadi,Jadi, cosx + √3sinxcosx + √3sinx dapat di ubahdapat di ubah
menjadimenjadi 2cos(x – 60°)2cos(x – 60°)
22
ba +
22
)3(1 + 2=
a
b
I)kuadrandi(3
1
3
α==
26. 26
Contoh 2Contoh 2
Ubahlah bentuk -Ubahlah bentuk -√3√3cosx +cosx + sinxsinx
menjadi bentuk kcos(x –menjadi bentuk kcos(x – αα))
27. 27
JawabJawab
-√3cosx + sinx-√3cosx + sinx →→ a = -√3 dan b = 1a = -√3 dan b = 1
k =k =
k =k =
tantan αα ==
αα = (180 – 30)° = 150°= (180 – 30)° = 150°
Jadi,Jadi, -√3cosx + sinx-√3cosx + sinx dapat di ubahdapat di ubah
menjadimenjadi 2cos(x – 150°)2cos(x – 150°)
22
ba +
22
1)3( +− 2=
a
b
II)kuadrandi(3
3
1
3
1
α−=
−
=
28. 28
Contoh 3Contoh 3
Ubahlah bentuk cosx –Ubahlah bentuk cosx – sinxsinx
menjadi bentuk kcos(x –menjadi bentuk kcos(x – αα))
29. 29
JawabJawab
cosx – sinxcosx – sinx →→ a = 1 dan b = -1a = 1 dan b = -1
k =k =
k =k =
tantan αα ==
αα = (360 – 45)° = 315°= (360 – 45)° = 315°
Jadi,Jadi, cosx - sinxcosx - sinx dapat di ubahdapat di ubah
menjadimenjadi √2cos(x – 315°)√2cos(x – 315°)
22
ba +
22
)1(1 −+ 2=
a
b
IV)kuadrandi(1
1
1
α−=
−
=
30. 30
Contoh 4Contoh 4
BentukBentuk √3√3cosx –cosx – sinx dapat diubahsinx dapat diubah
menjadi bentuk kcos(x –menjadi bentuk kcos(x – αα))
adalah….adalah….
a. 2cos(x - )a. 2cos(x - )
b. 2cos(x - )b. 2cos(x - )
c. 2cos(x - )c. 2cos(x - )
d. 2cos(x - )d. 2cos(x - )
e. 2cos(x - )e. 2cos(x - )
π6
1
π3
1
π6
5
π3
4
π6
11
31. 31
Jawab
√3cosx – sinx → a = √3 dan b = -1
k =
k =
tan α =
α = (2π – ) =
Jadi, √3cosx - sinx dapat di ubah
menjadi 2cos(x – ) → e→ e
22
ba +
22
)1()3( −+ 2=
a
b
IV)kuadrandi(3
3
1
3
1
α−=
−
=
π6
1 π6
11
π6
11
32. 32
Contoh 4Contoh 4
BentukBentuk √3√3cosx –cosx – sinx dapat diubahsinx dapat diubah
menjadi bentuk kcos(x –menjadi bentuk kcos(x – αα))
adalah….adalah….
a. 2cos(x - )a. 2cos(x - )
b. 2cos(x - )b. 2cos(x - )
c. 2cos(x - )c. 2cos(x - )
d. 2cos(x - )d. 2cos(x - )
e. 2cos(x - )e. 2cos(x - )
π6
1
π3
1
π6
5
π3
4
π6
11
33. 33
Persamaan : a.cosx + b.sinx = cPersamaan : a.cosx + b.sinx = c
Langkah-langkah penyelesaiannya:Langkah-langkah penyelesaiannya:
▪▪ ruas kiri ubah ke bentuk kcos(x –ruas kiri ubah ke bentuk kcos(x – αα))
▪▪ kcos(x –kcos(x – αα) = c → cos(x –) = c → cos(x – αα) = c/k) = c/k
▪▪ selesaikan persamaan sederhananyaselesaikan persamaan sederhananya
Syarat dapat diselesaikan:Syarat dapat diselesaikan:
-k ≤ c ≤ k atau lcl ≤-k ≤ c ≤ k atau lcl ≤
22
ba +
34. 34
Contoh 1Contoh 1
Nilai x yang memenuhi persamaanNilai x yang memenuhi persamaan
--√2 cosx° + √2 sinx° = 1√2 cosx° + √2 sinx° = 1
untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah….untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah….
jawab:jawab:
▪▪ a = -√2 dan b = √2a = -√2 dan b = √2
→→ k =k =
tantanαα ==
22
)2()2( +− 222 =+=
II)kuadrandi(1
2
2
α−=
−