1. Dokumen ini membahas sistem koordinat satu dan dua dimensi, termasuk definisi titik, garis, dan bidang serta cara menentukan posisi dan jarak antar titik di R dan R2. Juga dibahas kedudukan titik terhadap garis dan bidang.

1. 1
1. SISTEM KOORDINAT
a. Posisi Titik terhadap R dan 𝑅2
R disebut dimensi satu dan berupa sebuah garis. Sebuah titik yang terletak di R
dapat bergerak ke kiri maupun ke kanan. Namun bagaimanapun titik tersebut bergerak,
mereka tidak dapat bergereak layaknya gerak pada dimensi lain, yaitu ke atas dan ke
bawah. Posisi setiap titik pada R adalah selalu bilangan riil. Sebenarnya, R berasal dari
dimensi nol. Dimensi nol adalah titik. Dimensi ini disebut dimensi nol karena pada
sistem ini titik tidak dapat bergerak ke manapun. Mungkin satu-satunya pilihan yang
ada bagi titik tersebut adalah ada dan tidak ada seperti berkedip.
Selanjutnya, apabila kita menarik sebuah garis maka kita akan mendapatkan satu
dimensi sebagaimana dimaksud. Perhatikan gambar di bawah! Itu adalah salah satu
contoh sebuah titik pada R.
0 1 2 3 4 5 6
Jika kita misalkan titik tersebut dengan P1 maka posisi P1 pada R adalah 1.
Berbeda dengan dimensi satu, titik yang terletak pada dimensi dua dapat bergerak
tidak hanya ke kanan dan ke kiri namun juga ke atas dan ke bawah. Untuk menentukan
posisi sebuah titik pada R2 kita harus menggambar dua garis tegak lurus pada sebuah
bidang, satu horizontal dan lainnya vertikal. Kedua aris tersebut disebut sumbu-x dan
sumbu-y.
Posisi titik yang terletak pada bidang tersebut dituliskan sebagai pasangan
bilangan berurutan yang diletakkan di dalam tanda kurung. Sebagai contoh, A adalah
sebuah titik (2,3). Bilangan pertama (2) menunjukkan sumbu-x dan disebut koordinat-x
dari titik tersebut. Bilangan kedua (3) menunjukkan sumbu-y dan disebut koordinat-y
dari titik tersebut.
Urutan penulisan letak titik pada R2 terbilang penting. Koordinat-x selalu
dituliskan terlebih dahulu. Alasannya karena pada alfabet huruf “x” terletak lebih
dahulu dari huruf “y”. Titik dimana kedua sumbunya saling berpotongan disebut titik
asal. Titik asal biasanya dilambangkan dengan huruf O. Koordinat titik asal adalah
(0,0).
P1

2. 2
b. Jarak Dua Titik Sembarang pada R dan 𝑅2
Sebuah garis adalah dimensi satu yang dibatasi oleh dua titik dari garis. Untuk
menentukan jarak antara dua titik pada R, kita dapat menggunakan rumus berikut:
d
0
Dalil : Jarak antara dua buah titik pada garis itu sama dengan harga mutlaknya
selisih kedua absis titik-titik itu.
c. Sedangkan untuk menentukan jarak antara dua titik pada R2 kita bisa menggunakan
Teorema Phytagoras, dengan begitu kita bisa memperoleh rumus untuk menentukan
jarak (𝑑) antara dua titik pada koordinat bidang (𝑅2
). Perhatikan gambar berikut!
Jika kita misalkan titik P = (𝑥1, 𝑦1) dan R = (𝑥2, 𝑦2), maka garis yang melintas
melalui kedua titik tersebut adalah sisi miring sebuah segitiga siku-siku dengan
panjang alas | 𝑥1 − 𝑥2| dan tinggi | 𝑦1 − 𝑦2|. Apabila kita refleksikan ke dalam
Teorema Phytagoras maka:
𝑑2
= | 𝑥1 − 𝑥2|2
+ | 𝑦1 − 𝑦2|2
𝑑2
= ( 𝑥1 − 𝑥2)2
+ ( 𝑦1 − 𝑦2)2
A
Posisi titik A adalah (3,5) karena titik
tersebut terletak tiga satuan pada sumbu-
x dan 5 satuan pada sumbu-y.
3
5
(3,5)
𝑥1
𝑥2
𝑑 = |𝑥2 − 𝑥1|
d

3. 3
𝑑 = √( 𝑥1 − 𝑥2)2 + ( 𝑦1 − 𝑦2)2
Jadi, 𝑑 = √( 𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐)2 + ( 𝒚 𝟏 − 𝒚 𝟐)2 adalah rumus untuk menentukan jarak dua titik
pada R2.
Soal :
1. Carilah koordinat sebuah titik yang terletak pada sumbu-y yang memiliki jarak
yang sama dari titik-titik A(3,-5) dan B(2,4)!
Jawab :
Misalkan C(0,y) adalah titik yang memliki jarak yang sama dari titik A(3,-5)
dan B(2,4) sehingga
|𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|
𝑑1 = 𝑑2
√( 𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2 = √( 𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2 )2
√(0 − (3))
2
+ (𝑦 − (−5))
2
= √(0− 2)2 + ( 𝑦 − 4)2
32
+ ( 𝑦 + 5)2
= (−2)2
+ ( 𝑦 − 4)2
9 + 𝑦2
+ 10𝑦 + 25 = 4 + 𝑦2
− 8𝑦 + 16
18𝑦 = −14
𝑦 = −
7
9
Jadi, koordinat titik C adalah (0,−
7
9
).
2. Tentukan jarak antara titik P(2,3) dan titik Q(−3,5)!
Jawab :
𝑑 = √( 𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2 )2
𝑑 = √(−3 − 2)2 + (5 − 3)2
𝑑 = √(−5)2 + (2)2
𝑑 = √25 + 4 = √29
Jadi, jarak antara titik P(2,3) dan titik Q(−3,5) adalah √29.

4. 4
3. Gunakan rumus jarak untuk membuktikan titik K(-2,1), L(2,2), dan M(10,4)
terletak pada sebuah garis lurus!
Jawab :
K = (−2,1), L = (2,2), M = (10,4)
Jarak antara dua titik adalah :
𝑑 = √( 𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2 )2
𝐴𝐵 = √(−2 − 2)2 + (1 − 2)2 = √16 + 1 = √17
𝐾𝑀 = √(−2 − 10)2 + (1 − 4)2 = √144+ 9 = √153 = 3√17
𝐿𝑀 = √(2 − 10)2 + (2 − 4)2 = √64 + 4 = √68 = 2√17
Jarak antara dua titik adalah kelipatan dari jarak dua titik yang lainnya, jadi
terbukti bahwa titik K(−2,1), L(2,2), dan M(10,4) terletak pada sebuah garis
lurus.
4. Perlihatkan bahwa segitiga yang sudut-sudutnya terletak pada titik A (1,2), B
(3,4) dan C (−1,4) adalah sebuah segitiga siku-siku!
Jawab:
Gunakan rumus jarak, 𝑑 = √( 𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2 , diperoleh:
 Jarak antara titik A (1,2) dan B (3,4)
𝐴𝐵 = √(1 − 3)2 + (2 − 4)2 = √4 + 4 = √8
𝐴𝐵2
= 8
 Jarak antara titik A (1,2) dan C (−1,4)
𝐴𝐶 = √(1 − (−1))
2
+ (2 − 4)2 = √4 + 4 = √8
𝐴𝐶2
= 8
 Jarak antara titik B (3,4) dan C (−1,4)
𝐵𝐶 = √(3 − (−1))
2
+ (4 − 4)2 = √16+ 0 = √16
𝐵𝐶2
= 16
Dari perhitungan di atas, kita peroleh bahwa 𝐵𝐶2
= 𝐴𝐵2
+ 𝐴𝐶2
yang berarti hal
tersebut menunjukkan bahwa segitiga ABC adalah sebuah segitiga siku-siku.
5. Nyatakan dengan rumus bahwa titik P (x,y) selalu terletak pada jarak 4 dari
titik (-1,2). Apa yang bisa anda ungkapkan tentang posisi titik P?

5. 5
Jawab:
𝑑 = √( 𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2
4 = √( 𝑥 + 1)2 + ( 𝑦 − 2)2
(4)2
= (√( 𝑥 + 1)2 + ( 𝑦 − 2)2)
2
16 = ( 𝑥 + 1)2
+ ( 𝑦 − 2)2
Dari perhitungan di atas, kita peroleh bahwa 16 = ( 𝑥 + 1)2
+ ( 𝑦 − 2)2
adalah
persamaan lingkaran, maka titik P (-1,2) adalah pusat sebuah lingkaran dengan
jari-jari 4.
6. Tentukan luas daerah segitiga yang sudut-sudutnya terletak pada titik A (−5,1),
B(3,−5),and C(2,2) !
Jawab:
 𝑎 = √(3 − 2)2 + ((−5) − 2)
2
= √1 + 49 = √50 = 5√2
 𝑏 = √(2 − (−5))
2
+ (2 − 1)2 = √49 + 1 = √50 = 5√2
 𝑐 = √(3 − (−5))
2
+ (−5 − 1)2 = √64 + 36 = √100 = 10
Karena a = b maka kita bisa mencari t
𝑡 = √(5√2)
2
− (5)2 = √50 − 25 = √25 = 5
𝐴 =
1
2
× 𝑎 × 𝑡 =
1
2
× 10 × 5 = 25
5√2 5√2
B(3,−5)
C(2,2)A(−5,1)
a
b
c
5 5

6. 6
d. Kedudukan Titik terhadap R dan 𝑅2
1) Kedudukan titik terhadap R
Kedudukan titik terhadap garis
dibedakan menjadi dua yaitu titik terletak
pada garis dan titik terletak di luar garis.
Kedudukan titik terletak pada garis dan
titik terletak di luar garis dapat
dianalogikan seperti burung yang hinggap
di kabel listrik, seperti gambar di samping.
Sekarang coba perhatikan gambar di
atas. Gambar tersebut merupakan segerombolan burung yang hinggap di kabel
listrik. Misalkan burung-burung tersebut adalah sebuah titik dan kabel tersebut
merupakan garis, maka burung yang hinggap di kabel listrik (dilingkari merah)
dapat dikatakan sebagai titik terletak pada garis. Jadi, sebuah titik dikatakan terletak
pada garis, jika titik tersebut dapat dilalui oleh garis, seperti gambar di bawah ini.
Sekarang coba perhatikan gambar burung yang terbang dan akan hinggap di
kabel listrik (dilingkari warna biru) dapat dikatakan sebagai titik terletak diluar
garis. Sebuah titik dikatakan terletak di luar garis, jika titik tersebut tidak dapat
dilalui garis, seperti gambar di bawah ini.

7. 7
Silahkan perhatikan dan dipelajari contoh soal di bawah ini untuk
memantapkan pemahaman Anda tentang konsep kedudukan titik terhadap garis.
Contoh Soal
1. Bagaimanakah kedudukan titik P(3,4) terhadap garis 7𝑥 + 5𝑦 = 32 !
Jawab :
𝑃(3,4) → 7𝑥 + 5𝑦 = 32
7.3 + 5.4 = 32
21+ 20 = 32 ( 𝑝𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑎𝑛 𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ)
Jadi, karena pernyataan di atas salah, maka kedudukan titik P(3,4) berada di
luar garis.
2. Bagaimanakah kedudukan titik 𝑄(4,3) terhadap persamaan 9𝑥 + 2𝑦 = 42
Jawab :
𝑄(4,3) → 9𝑥 + 2𝑦 = 42
9.4 + 2.3 = 42
36 + 6 = 42 ( 𝑝𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟)
Jadi, karena pernyataan di atas bernilai benar, maka kedudukan titik Q(4,3)
berada pada garis.
2) Kedudukan titik terhadap 𝑅2
Kedudukan titik terhadap bidang (dimensi dua) dapat diketahui melalui
contoh-contoh berikut ini.
Keterangan :
Kedudukan titik A (2,2) terletak pada kuadran pertama.

8. 8
Kedudukan titik B(-5,1) terletak pada kuadran kedua.
Kedudukan titik C(-3,-2) terletak pada kuadran ketiga.
Kedudukan titik D(7,-3) terletak pada kuadran keempat.
Kedudukan titik E(0,0) terletak pada titik pusat sumbu koordinat.
Kedudukan titik F(0,3) terletak pada sumbu y (ordinat).
Kedudukan titik G(5,0) terletak pada sumbu x (absis).
e. Bagian-Bagian Daerah pada 𝑅2
Jika pada suatu garis g diambil sebuah titik yang tertentu O, maka letak tiap titik P
pada garis itu dapat diketahui dengan jalan menentukan jarak OP. Akan tetapi, cara
tersebut menghasilkan dua buah titik yaitu satu di sebelah kanan O dan yang lain di
sebelah kirinya. Untuk menghilangkan keraguan-keraguan diberlah tanda-tanda.
Sebelah kiri daripada O diberi tanda negative dan disebelah kanannya diberi tanda
positif. Contoh : P (+3) berarti P terletak pada g. 3 satuan (umpamanya cm) sebelah
kanan O. Titik Q(-2) berarti Q terletak pada g, 2 cm kiri O.
Kesimpulan : jika pada suatu garis g terdapat titik tetap O, lengkap dengan tanda-
tanda serta satuannya maka tiap titik lain pada garis itu ditentukan oleh sebuah
bilangan saja. Sebaliknya tiap bilangan merupakan sebuah titik yang tertentu pada
garis itu. Garis itu disebut sumbu atau garis bilangan.
Titik O disebut titik nol atau titik pangkal sedangkan bilangan dengan tandanya
disebut absis. Titik O sendiri berabsis nol.
Untuk menentukan sebuah titik pada suatu bidang datar, cara tersebut di atas
masih belum sempurna. Diambillah sekarang dua buah garis yang tegak lurus
sesamanya, yang satu mendatar dan yang satu tegak lurus pdanya, berturut-turut
disebut sumbu-x dan sumbu-y. Titik potong kedua sumbu dijadikan titik O (= titik
pangkal ). Bagian sumbu-x yang terletak sebelah kananya O diberi tanda positif dan
sebelah kirinya O diberi tanda negative. Bagian sumbu-y yang terletak di atasnya O
diberi tanda positif dan dibawahnya O diberi tanda negative. Bilangan –bilangan pada
sumbu x disebut absis atau koordinat x. Bilangan pada sumbu y disebut ordinat atau
koordinat y. Kesemuanya disebut pasangan sumbu koordinat.
Kedua sumbu membagi bidang datar atas 4 bagian :
Kuadran I : di atas sumbu x, sebelah kanannya sumbu y
Kuadran II : di atas sumbu x, sebelah kirinya sumbu y
Kuadran III : dibawah sumbu x, sebelah kirinya sumbu y

9. 9
Kuadran IV : di bawah sumbu x, sebelah kanannya sumbu y
Tanda –tanda absis dan ordinat suatu titik adalah sebagai berikut :
Kuadran
Koordinat
x Y
I + +
II - +
III - -
IV + -
Absisnya 𝑃 = +1 ; Ordinatnya 𝑃 = −1 ; Ditulis 𝑃(1, −1).
Dengan cara demikian tiap titik pada bidang dapat ditentukan oleh sepasang bilangan,
yang pertama menunjukkan absis dan yang kedua ordinat. Sebaliknya tiap pasang
bilangan menentukan sebuah titik pada bidang.
Umum : sebuah titik Q yang berabsis 𝑥0 dan berodinat 𝑦0 ditulis 𝑄(𝑥0, 𝑦0).
2. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS DITINJAU DARI PERSAMAAN DAN
GRAFIKNYA
Sebelum membahas tentang mengenai hubungan antara dua garis ditinjau dari
persamaan dan grafiknya, maka kita harus mengetahui bahwa bentuk umum dari suatu
garis lurus adalah 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, dengan 𝑎 disebut dengan koefisien arah atau 𝑡𝑔 𝑎, kalau
𝑎 = sudut antara garis itu dan sumbu 𝑥, terhitung dari sumbu 𝑥 kegaris itu, berlawanan
Kuadran I : {( 𝑥, 𝑦)| 𝑥 > 0, 𝑦 > 0,(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}
Kuadran II : {( 𝑥, 𝑦)| 𝑥 < 0, 𝑦 > 0, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}
Kuadran III : {( 𝑥, 𝑦)| 𝑥 < 0, 𝑦 < 0, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}
Kuadran IV : {( 𝑥, 𝑦)| 𝑥 > 0, 𝑦 < 0, (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}
Sb-Y
+
Sb-X
+
+
+
-
-
--
+1
-1 P(1,-1)
III
III IV

10. 10
dengan jalannya jarum jam. Jadi, 0° ≤ 𝑎 ≤ 180°,| 𝑏| = jarak dari titik pangkal ke titik
potong garis itu dengan sumbu 𝑦.
Kadang-kadang persamaan garis lurus tersebut ditulis dalam bentuk b implisit yaitu :
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0. Disini koefisien arahnya =
−𝑎
𝑏
( hanya boleh jika 𝑏 ≠ 0 ).
Kemungkinan-kemungkinan lain adalah :
 𝑦 = 𝑎𝑥 ( suatu garis yang melalui titik pangkal, karena 𝑏 = 0 )
 𝑦 = 𝑘 (𝑘 = bilangan tetap, disini 𝑎 = 0 jadi 𝑡𝑔 𝑎 = 0, maka 𝑎 = 0° ; artinya garis itu
sejajar sumbu 𝑦 )
 𝑥 = 𝑐 (𝑐 = bilangan tetap, disini 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 tidak dapat dipakai. Maka kita ambil dari
bentuk implisit 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 dan 𝑎 ≠ 0 )
 𝑦 = 0 ( sumbu 𝑥 sendiri )
 𝑥 = 0 ( sumbu 𝑦 sendiri )
Setelah mengetahui bentuk umum dari persamaan garis dan kemungkinan-
kemungkinan yang lain, maka selanjutnya adalah hubungan antara dua gari ditinjau dari
persamaan dan grafiknya. Sebelumnya sesuai dengan dalil yang terdapat dalam buku
menyatakan “ Grafiknya suatu fungsi linier ialah gari lurus “, sebaliknya “ Garis lurus
merupakan grafiknya suatu fungsi linier”. Dan kita ketahui bahwa persamaan garis lurus
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 atau 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 ataupun bentuk lainnya adalah fungsi linier maka
grafiknya akan membentuk suatu garis lurus.
Diketahui dua persamaan garis lurus yaitu sebagai berikut :
Persamaan I : 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 = 0
Persamaan II : 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 = 0, dengan 𝐴1, 𝐴2 , 𝐵1, 𝐵2, 𝐶1 𝑑𝑎𝑛 𝐶2 sebagai bilangan-
bilangan tetap. Disini terdapat dua persamaan dengan dua kebesaran / variabel x dan y.
Untuk menghitung harga x dan y, kalikan dulu persamaan I dengan 𝐵2 dan
persamaan II dengan 𝐵1. Kemudian kurangi persamaan I dengan persamaan II, maka
diperolehlah :
(𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1)𝑥 = 𝐵1 𝐶2 − 𝐵2 𝐶1 ………………………………………( 1 )
 Dari persamaan ( 1 ), kalau (𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1) ≠ 0 atau
𝐴1
𝐴2
≠
𝐵1
𝐵2
, tentulah ada harga x
tunggal. Analog terdapat pula harga y tunggal. Jadi, kedua persamaan itu

11. 11
menghasilkan sepasang harga x, y tunggal atau persamaan-persamaan itu mempunyai
satu dan hanya satu penyelesaian x,y.
Susunan persamaan demikian (
𝐴1
𝐴2
≠
𝐵1
𝐵2
) disebut tak bergantungan. Karena harga x
dan y memnuhi kedua persamaan, tentulah (𝑥, 𝑦) dianggap sebagai titik, terletak pada
grafik kedua persamaan itu. Jadi, titik itu merupakan titik potong kedua garis, atau
grafiknya dua fungsi linier itu berpotongan.
 Dari persamaan ( 1 ), kalau (𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1) = 0 atau
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
, maka berakibat berikut:
a. 𝐵1 𝐶2 − 𝐵2 𝐶1 ≠ 0 atau
𝐵1
𝐵2
≠
𝐶1
𝐶2
. Persamaan ( 1 ) menjadi 0. Hal tersebut
mengakibatkan 𝑥 ≠ 0 itu artinya tidak menghasilkan sebuah harga 𝑥 apapun. Oleh
karenanya kedua persamaan itu tak mempunyai penyelesaian. Susunan persamaan
demikian (
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
≠
𝐶1
𝐶2
) disebut berlawanan. Grafik kedua persamaan itu tak
mempunyai sebuah titik persekutuan atau kedua garis tersebut sejajar.
b. 𝐵1 𝐶2 − 𝐵2 𝐶1 = 0 atau
𝐵1
𝐵2
=
𝐶1
𝐶2
. Persamaan (1) menjadi 0. Hal tersebut
mengakibatkan 𝑥 = 0 merupakan suatu identitas, itu artinya kedua persamaan itu
mempunyai banyak sekali penyelesaian. Susunan demikian (
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
=
𝐶1
𝐶2
)
dinamakan bergantungan. Grafik kedua persamaan itu mempunyai banyak sekali
titik persekutuan, atau kedua garis itu berimpit.
Untuk lebih jelasnya mengenai hubungan antara dua garis ditinjau dari grafiknya maka
perhatikanlah contoh berikut ini :
1. Diketahui persamaan-persamaan berikut :
a. 𝑦 = 𝑥 + 1
𝑦 = −5𝑥 + 3
b. 3𝑥 + 5𝑦 = 2
2𝑥 − 𝑦 = 3
Penyelesaian :
a. 𝑦 = 𝑥 + 1 ⇔ 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
𝑦 = −5𝑥 + 3 ⇔ 5𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
Maka diketahui nilai-nilai berikut :
𝐴1 = 1
𝐴2 = 5

12. 12
𝐵1 = −1
𝐵2 = 1
𝐶1 = 1
𝐶2 = −3
𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 1 + 5 = 6, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 ≠ 0
Karena 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 ≠ 0 maka kedua persamaan itu memenuhi kemungkinan I
yaitu :
𝐴1
𝐴2
=
1
5
,
𝐵1
𝐵2
=
−1
1
akibatnya
𝐴1
𝐴2
≠
𝐵1
𝐵2
.
Sebab, kedua persamaan memenuhi kemungkinan I maka kedua persamaan garis
itu memiliki satu buah penyelesaian yang berua titik potong, sehingga hubungan
antara kedua garis itu adalah berpotongan.
Untuk mengetahui di titik mana kedua persamaan garis tersebut berpotongan dan
bagaimana posisi titik tersebut pada bidang cartesius ( grafik ), maka dapat
mengetahuinya melalui cara berikut :
 Gambar garis lurus melalui persamaan 𝑦 = 𝑥 + 1 dengan cara mengambil titik
sembarang.
X −1 0 1
Y 0 1 2
 Gambar garis lurus melalui persamaan 𝑦 = −5𝑥 + 3 dengan cara mengambil
titik sembarang.
X 0 1
Y 3 −2
 Untuk mencari nilai titik potong dari kedua persamaan garis itu bisa mencarinya
dengan cara mengeliminasi persamaan 𝑦 = 𝑥 + 1 dan 𝑦 = −5𝑥 + 3 .
𝑦 = 𝑥 + 1
𝑦 = −5𝑥 + 3
0 = 6𝑥 − 2
⇔ 2 = 6𝑥
⇔ 𝑥 =
1
3

13. 13
Setelah itu substitusi nilai 𝑥 =
1
3
ke salah satu persamaan garis, disini substitusi
nilai 𝑥 =
1
3
ke persamaan 𝑦 = 𝑥 + 1, maka :
𝑦 = 𝑥 + 1
⇔ 𝑦 =
1
3
+ 1
⇔ 𝑦 =
4
3
Maka titik potong dari kedua persamaan garis itu adalah (
1
3
,
4
3
)
 Menggambar kedua persamaan garis 𝑦 = 𝑥 + 1 dan 𝑦 = −5𝑥 + 3 pada bidang
kartesius
b. 3𝑥 + 5𝑦 = 2 ⇔ 3𝑥 + 5𝑦 − 2 = 0
2𝑥 − 𝑦 = 3 ⇔ 2𝑥 − 𝑦 − 3 = 0
Maka diketahui nilai-nilai berikut :
𝐴1 = 3
𝐴2 = 2
𝐵1 = 5
𝐵2 = −1
𝐶1 = −2
𝐶2 = −3
𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 15 − 10 = 5, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 ≠ 0
Karena 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 ≠ 0 maka kedua persamaan itu memenuhi kemungkinan I yaitu:

14. 14
𝐴1
𝐴2
=
3
2
,
𝐵1
𝐵2
=
5
−1
akibatnya
𝐴1
𝐴2
≠
𝐵1
𝐵2
.
Sebab, kedua persamaan memenuhi kemungkinan I maka kedua persamaan garis itu
memiliki satu buah penyelesaian yang berua titik potong, sehingga hubungan antara
kedua garis itu adalah berpotongan.
Untuk mengetahui di titik mana kedua persamaan garis tersebut berpotongan dan
bagaimana posisi titik tersebut pada bidang cartesius ( grafik ), maka dapat
mengetahuinya melalui cara berikut :
 Gambar garis lurus melalui persamaan 3𝑥 + 5𝑦 = 2 ⇔ 𝑦 =
2−3𝑥
5
dengan cara
mengambil titik sembarang.
X 0 1 2
Y
2
5
−1
5
−4
5
 Gambar garis lurus melalui persamaan 2𝑥 − 𝑦 = 3 ⇔ 𝑦 = 2𝑥 − 3 dengan cara
mengambil titik sembarang.
x 0 1 2
y −3 −1 1
 Untuk mencari nilai titik potong dari kedua persamaan garis itu bisa mencarinya
dengan cara mengeliminasi persamaan 3𝑥 + 5𝑦 = 2 dan 2𝑥 − 𝑦 = 3.
3𝑥 + 5𝑦 = 2
2𝑥 − 𝑦 = 3
⇔ 3𝑥 + 5𝑦 = 2
10𝑥 − 5𝑦 = 15
13𝑥 = 17
⇔ 𝑥 =
17
13
Setelah itu substitusi nilai 𝑥 =
17
13
ke salah satu persamaan garis, disini substitusi
nilai 𝑥 =
17
13
ke persamaan 2𝑥 − 𝑦 = 3 ⇔ 𝑦 = 2𝑥 − 3, maka
𝑦 = 2𝑥 − 3
⇔ 𝑦 = 2.
17
13
− 3
⇔ 𝑦 =
−5
13

15. 15
Maka titik potong dari kedua persamaan garis itu adalah (
17
13
,
−5
13
)
 Menggambar kedua persamaan garis 3𝑥 + 5𝑦 = 2 dan 2𝑥 − 𝑦 = 3 pada bidang
kartesius
2. Diketahui persamaan-persamaan berikut :
a. 5𝑥 − 2𝑦 = 8 ⇔ 5𝑥 − 2𝑦 − 8 = 0
5𝑥 − 2𝑦 = 25 ⇔ 5𝑥 − 2𝑦 − 25 = 0
Maka diketahui nilai-nilai berikut :
𝐴1 = 5
𝐴2 = 5
𝐵1 = −2
𝐵2 = −2
𝐶1 = −8
𝐶2 = −25
𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = −10 − (−10) = 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 0
Karena 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 0 maka kedua persamaan itu memenuhi kemungkinan II
bagian (a) yaitu :
𝐴1
𝐴2
=
5
5
=
1
1
,
𝐵1
𝐵2
=
−2
−2
=
1
1
akibatnya
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
.
Dan karena 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
, maka perlu diketahui bahwa 𝐵1 𝐶2 −
𝐵2 𝐶1 = 16 − 50 = −34 sehingga 𝐵1 𝐶2 − 𝐵2 𝐶1 ≠ 0 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝐵1
𝐵2
≠
𝐶1
𝐶2
.

16. 16
Sebab, kedua persamaan memenuhi kemungkinan II bagian (a) (
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
≠
𝐶1
𝐶2
)
dimana maka kedua persamaan garis itu tidak memiliki penyelesaian, sehingga
hubungan antara kedua garis itu adalah sejajar.
Untuk mengetahui kedua persamaan garis tersebut sejajar dan bagaimana
gambarnya pada bidang cartesius ( grafik ), maka dapat mengetahuinya melalui
cara berikut :
 Gambar garis lurus melalui persamaan 5𝑥 − 2𝑦 = 8 ⇔ 𝑦 =
5𝑥−8
2
dengan cara
mengambil titik sembarang.
X 0 1 2
Y −4
−3
2
1
 Gambar garis lurus melalui persamaan 5𝑥 − 2𝑦 = 25 ⇔ 𝑦 =
5𝑥−25
2
dengan
cara mengambil titik sembarang.
X 0 1 2
Y
−25
2
−10
−15
2
 Jika kita mengeliminasi kedua persamaan 5𝑥 − 2𝑦 = 8 dan 5𝑥 − 2𝑦 = 25,
maka
5𝑥 − 2𝑦 = 8
5𝑥 − 2𝑦 = 25
0𝑥 − 𝑜𝑦 = −17
Maka tidak ada penyelesaian untuk kedua persamaan tersebut.
 Menggambar kedua
persamaan garis 5𝑥 − 2𝑦 =
8 dan 5𝑥 − 2𝑦 = 25 pada
bidang kartesius

17. 17
b. 2𝑥 + 5𝑦 − 1 = 0
2𝑥 + 5𝑦 − 19 = 0
Maka diketahui nilai-nilai berikut :
𝐴1 = 2
𝐴2 = 2
𝐵1 = 5
𝐵2 = 5
𝐶1 = −1
𝐶2 = −19
𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 10 − 10 = 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 0
Karena 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 0 maka kedua persamaan itu memenuhi kemungkinan II
bagian (a) yaitu :
𝐴1
𝐴2
=
2
2
=
1
1
,
𝐵1
𝐵2
=
5
5
=
1
1
akibatnya
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
.
Dan karena 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
, maka perlu diketahui bahwa 𝐵1 𝐶2 −
𝐵2 𝐶1 = −95 − (−5) = −90 sehingga 𝐵1 𝐶2 − 𝐵2 𝐶1 ≠ 0 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝐵1
𝐵2
≠
𝐶1
𝐶2
.
Sebab, kedua persamaan memenuhi kemungkinan II bagian (a) (
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
≠
𝐶1
𝐶2
)
dimana maka kedua persamaan garis itu tidak memiliki penyelesaian, sehingga
hubungan antara kedua garis itu adalah sejajar.
Untuk mengetahui kedua persamaan garis tersebut sejajar dan bagaimana
gambarnya pada bidang cartesius ( grafik ), maka dapat mengetahuinya melalui
cara berikut :
 Gambar garis lurus melalui persamaan 2𝑥 + 5𝑦 − 1 = 0 ⇔ 𝑦 =
1−2𝑥
5
dengan
cara mengambil titik sembarang.
X 0 1 2
Y
1
5
−1
5
−3
5
 Gambar garis lurus melalui persamaan 2𝑥 + 5𝑦 − 19 = 0 ⇔ 𝑦 =
19−2𝑥
5
dengan cara mengambil titik sembarang.
X 0 1 2
Y
19
5
17
5
15
5

18. 18
 Jika kita mengeliminasi kedua persamaan 2𝑥 + 5𝑦 − 1 = 0 dan 2𝑥 + 5𝑦 −
19 = 0, maka
2𝑥 + 5𝑦 − 1 = 0
2𝑥 + 5𝑦 − 19 = 0
0𝑥 − 𝑜𝑦 + 18 = 0
Maka tidak ada penyelesaian untuk kedua persamaan tersebut.
 Menggambar kedua persamaan garis 2𝑥 + 5𝑦 − 1 = 0 dan 2𝑥 + 5𝑦 − 19 = 0
pada bidang kartesius
3. Diketahui persamaan berikut
a. 2𝑥 + 4𝑦 + 3 = 0
6𝑥 + 12𝑦 + 9 = 0
Maka diketahui nilai-nilai berikut :
𝐴1 = 2
𝐴2 = 6
𝐵1 = 4
𝐵2 = 12
𝐶1 = 3
𝐶2 = 9
𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 24 − 24 = 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 0
Karena 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 0 maka kedua persamaan itu memenuhi kemungkinan II
bagian (b) yaitu :

19. 19
𝐴1
𝐴2
=
2
6
=
1
3
,
𝐵1
𝐵2
=
4
12
=
1
3
akibatnya
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
.
Dan karena 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
, maka perlu diketahui bahwa 𝐵1 𝐶2 −
𝐵2 𝐶1 = 36 − 36 = 0 sehingga 𝐵1 𝐶2 − 𝐵2 𝐶1 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝐵1
𝐵2
=
𝐶1
𝐶2
.
Sebab, kedua persamaan memenuhi kemungkinan II bagian (b) (
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
=
𝐶1
𝐶2
)
maka kedua persamaan garis itu memiliki banyak sekali penyelesaian, sehingga
hubungan antara kedua garis itu adalah berhimpit.
Untuk mengetahui kedua persamaan garis tersebut berhimpit dan bagaimana
gambarnya pada bidang cartesius ( grafik ), maka dapat mengetahuinya melalui
cara berikut :
 Gambar garis lurus melalui persamaan 2𝑥 + 4𝑦 + 3 = 0 ⇔ 𝑦 =
−3−2𝑥
4
dengan
cara mengambil titik sembarang.
X 0 1
Y
−3
4
−5
4
 Gambar garis lurus melalui persamaan 6𝑥 + 12𝑦 + 9 = 0 ⇔ 𝑦 =
9−6𝑥
12
=
3−2𝑥
4
dengan cara mengambil titik sembarang.
X 0 1
Y
−3
4
−5
4
 Jika kita mengeliminasi kedua persamaan 2𝑥 + 4𝑦 + 3 = 0 dan 6𝑥 + 12𝑦 +
9 = 0, maka
2𝑥 + 4𝑦 + 3 = 0
6𝑥 + 12𝑦 + 9 = 0
⇔ 6𝑥 + 12𝑦 + 9 = 0
6𝑥 + 12𝑦 + 9 = 0
0𝑥 + 0𝑦 + 0 = 0
Maka ada banyak sekali penyelesaian untuk kedua persamaan tersebut.
 Menggambar kedua persamaan garis 2𝑥 + 4𝑦 + 3 = 0 dan 6𝑥 + 12𝑦 + 9 = 0
pada bidang kartesius

20. 20
b. 2𝑥 − 3𝑦 − 12 = 0
4𝑥 − 6𝑦 − 24 = 0
Maka diketahui nilai-nilai berikut :
𝐴1 = 2
𝐴2 = 4
𝐵1 = −3
𝐵2 = −6
𝐶1 = −12
𝐶2 = −24
𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = −12 − (−12) = 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 0
Karena 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 0 maka kedua persamaan itu memenuhi kemungkinan II
bagian (b) yaitu :
𝐴1
𝐴2
=
2
4
=
1
2
,
𝐵1
𝐵2
=
−3
−6
=
1
2
akibatnya
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
.
Dan karena 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
, maka perlu diketahui bahwa 𝐵1 𝐶2 −
𝐵2 𝐶1 = −72 − (−72) = 0 sehingga 𝐵1 𝐶2 − 𝐵2 𝐶1 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝐵1
𝐵2
=
𝐶1
𝐶2
.
Sebab, kedua persamaan memenuhi kemungkinan II bagian (b) (
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
=
𝐶1
𝐶2
)
maka kedua persamaan garis itu memiliki banyak sekali penyelesaian, sehingga
hubungan antara kedua garis itu adalah berhimpit.
Untuk mengetahui kedua persamaan garis tersebut berhimpit dan bagaimana
gambarnya pada bidang cartesius ( grafik ), maka dapat mengetahuinya melalui
cara berikut :

21. 21
 Gambar garis lurus melalui persamaan 2𝑥 − 3𝑦 − 12 = 0 ⇔ 𝑦 =
2𝑥−12
3
dengan
cara mengambil titik sembarang.
X 0 1
Y −4
−10
3
 Gambar garis lurus melalui persamaan 4𝑥 − 6𝑦 − 24 = 0 ⇔ 𝑦 =
4𝑥−24
6
=
2𝑥−12
3
dengan cara mengambil titik sembarang.
X 0 1
Y −4
−10
3
 Jika kita mengeliminasi kedua persamaan 2𝑥 − 3𝑦 − 12 = 0 dan 4𝑥 − 6𝑦 −
24 = 0, maka
2𝑥 − 3𝑦 − 12 = 0
4𝑥 − 6𝑦 − 24 = 0
⇔ 4𝑥 − 6𝑦 − 24 = 0
4𝑥 − 6𝑦 − 24 = 0
Maka ada banyak sekali penyelesaian untuk kedua persamaan tersebut.
 Menggambar kedua persamaan garis 2𝑥 − 3𝑦 − 12 = 0 dan 4𝑥 − 6𝑦 − 24 =
0 pada bidang kartesius

22. 22
DAFTAR PUSTAKA
http://documents.tips/documents/bank-soal-dan-pembahasan-persamaan-garis-lurus.html
diakses pada Rabu, 2 Maret 2016.
http://mafia.mafiaol.com/2013/01/kedudukan-dua-garis.html diakes pada Rabu, 2 Maret 2016.
http://mafia.mafiaol.com/2013/10/persamaan-garis-lurus-bidang-kartesisus.html diakes pada
Rabu, 2 Maret 2016.
https://www.academia.edu/10081128/geo_analitik_bidang diakses pada Rabu, 2 Maret 2016.
https://www.google.com/search?1=Sriyuli%27s+Blog.htm&ie=utf-8oe=utf-8 diakes pada
Rabu, 2 Maret 2016.
Oetjoep, M. Ilman,dkk. 1966. Ilmu Ukur Ruang Djilid 1. Djakarta: Widjaya Djakarta.
__________________. 1966. Ilmu Ukur Ruang Djilid 2. Djakarta: Widjaya Djakarta.
Pandjaitan, S.D, dkk. 1969. Ilmu Ukur Untuk Sekolah Menengah Pertama. Medan: Firma
Hasmar.
Purcell, J. Edwin. 1987. Calculus with Analytic Geometry, 5th Edition (Terjemahan). Jakarta:
Erlangga.
Rawuh. 1971. Geometri Analtik Bidang. Bandung.
Sukirman.1996. Geometri Analitik Bidang dan Rung. Jakarta: Departemen Pendidikan dan
Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah Bagian Proyek
Penetaraan Guru SLTP Setara G-III.