Dokumen tersebut membahas tentang interval dan desimal. Terdapat empat jenis interval terbatas yaitu interval terbuka, tertutup, setengah terbuka/tertutup, dan panjang interval. Ada lima jenis interval tak terbatas. Interval bersarang adalah barisan interval dimana setiap interval mengandung interval sebelumnya.

1. 1 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
INTERVAL DAN DESIMAL
INTERVAL
1. DEFINISI DAN JENIS INTERVAL
Suatu interval adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan real R yang
memenuhi syarat tertentu. Pada prinsipnya, interval dapat dikelompokkan menjadi dua
kelompok yaitu interval berhingga (terbatas) dan interval tak hingga (tak terbatas).
Ada empat jenis interval terbatas, yaitu :
a) Interval terbuka
maka interval terbuka oleh dan dinyatakan :
Contoh :
b) Interval tertutup
maka interval tertutup oleh dan dinyatakan :
Contoh :
c) Interval setengah terbuka atau setengah tertutup
maka interval setengah terbuka atau setengah tertutup oleh dan
dinyatakan :


Contoh :
Untuk menentukan panjang interval oleh a dan b, dimana , maka :
Panjang interval =
Jika , berarti . Maka, ada dua kasus ketika panjang interval = 0, yaitu :


Ada lima jenis interval tak terbatas, yaitu :
a) Interval terbuka tak berhingga
maka interval terbuka tak berhingga oleh dan dinyatakan :

2. 2 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i


Contoh :
b) Interval tertutup tak berhingga
maka interval tertutup tak berhingga oleh dan dinyatakan :


Contoh :
c) Interval tak hingga
Interval tak hingga dinotasikan dengan
Salah satu contoh interval tak hingg adalah himpunan bilangan real
2. KARAKTERISTIK INTERVAL
Teorema 2.5.1 (Teorema Karakteristik)
Jika , S memiliki paling sedikit 2 anggota, maka S memenuhi sifat :
dan
Sehingga S adalah suatu interval.
Bukti.
Untuk membuktikan teorema 2.5.1, ada 4 kasus yang akan dibuktikan yaitu :
(i) S terbatas
S terbatas, artinya S punya batas atas dan S punya batas bawah
Misalkan a = inf S
b = sup S
maka  
b
a
S ,
 ........... (*)
Akan ditunjukkan   S
b
a 
,
Misalkan   b
z
a
b
a
z 



 ,
z > a artinya z bukan batas bawah dari S sehingga z
x
S
x 


 .....................(1)
z < b artinya z bukan batas atas dari S sehingga y
z
S 


 y ..........................(2)
Dari (1) dan (2) maka y
z
x 


3. 3 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
y
z
x 
 artinya  
y
x
z ,

Berdasarkan sifat (1) maka S
z
S
z 
 ,
Karena z sebarang bilangan  
b
a,
Maka   S
b
a 
, ............................(**)
Dari (*) dan (**) maka  
b
a
S ,

Karena  
b
a
S ,
 dan   S
b
a 
, maka  
b
a
S ,

Terbukti bahwa S interval
 Jika S
a  dan S
b maka  
b
a, = S
 Jika S
a  dan S
b maka (a,b) =S
 Jika S
a dan S
b maka   S
b
a 
,
 Jika S
a dan S
b maka   S
b
a 
,
(ii) S terbatas atas tapi tidak terbatas bawah
Misalkan b = sup S
maka  
b
S ,


 ........................ (*)
Akan ditunjukkan   S
b 

 ,
Misalkan S
z 

 Jika z < b artinya z bukan batas atas dari S sehingga y
z
S
y 


 ..............(1)
 Jika z < b artinya z bukan batas bawah dari S sehingga z
x
S
x 


 ............(2)
Dari (1) dan (2) maka y
z
x 

y
z
x 
 artinya  
y
x
z ,

Berdasarkan sifat 1) maka S
z
S
z 
 ,
Karena z sebarang bilangan pada  
b
,

 , maka
  S
b 

 , ...................(**)
Dari (*) dan (**) maka  
b
S ,



Terbukti bahwa S interval.
Jika  
b
S
S
b ,
maka 



Jika  
b
S
S
b ,
maka 




4. 4 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
(iii) S terbatas bawah tapi tidak terbatas atas
Misalkan a = inf S
Maka  

 ,
a
S ............... (*)
Akan ditunjukkan   S
a 

,
Misalkan R
z 
 sehingga
 Jika z > a artinya z bukan batas atas dari s sehingga y
z
S
y 


 .............(1)
 Jika z > a artinya z bukan batas bawah dari S sehingga z
x
S
x 


 .........(2)
Dari (1) dan (2) maka: y
z
x 

y
z
x 
 artinya  
y
x
z ,

Berdasarkan sifat di atas maka S
z
S
z 
 ,
Karena z sebarang bilangan pada  

,
a
Maka   S
a 

, ................... (**)
Dari (*) dan (**) maka :  

 ,
a
S
Terbukti bahwa S interval.
Jika S
a  maka  

 ,
a
S
Jika S
a  maka  

,
a
(iv) S tidak terbatas
Karena S tidak terbatas maka  



 ,
S .........(*)
Akan ditunjukkan   S



 ,
Misalkan R
z 
 sehingga
 Jika 

z artinya z bukan batas atas dari S sehingga y
z
S
y 


 ...........(1)
 Jika 

z artinya z bukan batas bawah dari S sehingga z
x
S
x 


 ............(2)
Dari (1) dan (2) maka y
z
x 

Berdasarkan sifat di atas maka S
z
S
z 
 ,
Karena z sebarang bilangan pada  


 ,
Maka   S



 , ..........(**)
Dari (*) dan (**) maka  



 ,
S
Terbukti bahwa S interval.

5. 5 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
INTERVAL BERSARANG
Suatu barisan interval In , n N disebut interval bersarang jika memenuhi syarat:
....
.... 1
2
1 



 
n
n I
I
I
I
Perhatikan gambar berikut:
Dari gambar terlihat bahwa 5
4
3
2
1 I
I
I
I
I 


 , sehingga barisan interval di atas
merupakan interval bersarang.
Contoh:
1). N
n
n
In 







1
,
0
  














3
1
,
0
2
1
,
0
1
,
0 3
2
1 I
I
I
dst
Jika digambarkan dalam garis bilangan
Dari gambar terlihat bahwa ....
3
2
1 

 I
I
I
Barisan interval   N
n
I n
n 
 1
,
0 merupakan interval bersarang.
Pada contoh ini semua In akan memiliki 0. 0 ini disebut titik sekutu, sehingga  
 0
1 

 n
n I .
I5
I3
I1
I4
I2
I1
I2
0 1
2
1

6. 6 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
2).  
n
n
J 1
,
0

 
1
,
0
1 
J
 
2
1
2 ,
0

J , dst
Sehingga ....
.... 1
2
1 


 
n
n J
J
J
J
Barisan interval   N
n
J n
n 
 ,
,
0 1
merupakan interval bersarang tetapi tidak memiliki
titik sekutu.
3).  

 ,
n
Kn
 

 ,
1
1
K
 

 ,
2
2
K
Sehingga ....
.... 1
2
1 



 
n
n K
K
K
K
Barisan interval  

 ,
n
Kn merupakan interval bersarang tetapi tidak memiliki titik sekutu.
SIFAT INTERVAL BERSARANG
  N
n
b
a
I n
n
n 
 , adalah suatu interval bersarang dari interval tertutup berhingga
N
n
I
R n 




 
 .
In adalah interval bersarang, maka N
n
I
In 

 1 , sehingga N
n
b
an 

 1 . Akibatnya suatu
himpunan tak kosong  
N
n
an  terbatas di atas.
Misalkan  supremum dari  
N
n
an 
Maka jelaslah N
n
an 

  ...................(1)
Misalkan suatu himpunan  
N
k
ak 
akan dipertimbangkan 2 kasus yaitu:
(i) k
n 
maka, k
n I
I 
artinya n
k
k b
b
a 
 .........................(2)

7. 7 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
(ii) k < n
maka n
k I
I 
artinya n
n
k b
a
a 
 ..........................(3)
Dari (2) dan (3) maka dapat disimpulkan N
k
b
a n
k 


Maka bn batas atas dari himpunan
Sehingga sup   N
n
b
N
k
a n
k 



  ............(4)
Dari (1) dan (4) maka:
N
n
b
a n
n 


  , artinya n
I

 .
Teorema 2.5.3
  N
n
b
a
I n
n
n 
 ,
, adalah barisan bersarang tertutup.
In merupakan interval terbatas yang memiliki panjang n
n a
b  dari In yang memenuhi
  N
n
I
ξ
N
n
a
b n
n
n 




 di
ada
bilangan
0 .
Bukti.
Misalkan  
N
n
bn 
 inf
 , maka n
b


Karena n
n b
a  maka n
n b
a 

N
n
an 

 ............(1)
In
Ik
an ak bk bn
Ik
In
ak an bn bk

8. 8 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
Misalkan sup  
N
n
an  adalah  sehingga
N
n
an 

  ............(2)
Dari (1) dan (2) 
 

n
a , secara khusus 
 
0
0








Karena inf   


 







 0
0
0
N
n
a
b n
n
Berdasarkan teorema 2.1.9 maka 0


n
Sehingga n
n b
a
n 

 
 maka
 ada di In.
BENTUK BINER
Biner adalah sistem nomor yang digunakan oleh perangkat digital seperti komputer ,dll.
Biner berbasis 2, dengan kata lain biner hanya memiliki 2 angka yang berbeda untuk
menunjukkan nilai. Dua angkannya yaitu 0 dan 1.
Misalkan akan dinyatakan dalam barisan dari dan sebagai berikut :
Proses pertama
Interval dibagi 2 dengan titik bagi , menjadi interval kiri dan interval kanan
Akan dipertimbangkan 2 kasus yaitu :
1.
Jika interval kiri maka
Jika interval kanan maka
2. atau
Sehingga didapat suatu pertidaksamaan
atau
dapat ditulis
atau
dapat digeneralisasikan

9. 9 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
Proses kedua
interval dibagi 2 maka :
* Sub interval kiri dibagi menjadi 2 dengan titik, bagi menjadi dan akan
dipertimbangkan 2 kasus, yaitu:
1.
Jika interval kiri maka
Jika interval kanan maka
2. jika atau
* Sub interval kanan dibagi menjadi 2 dengan titik bagi menjadi dan akan
dipertimbangan 2 kasus, yaitu:
1.
Jika interval kiri maka
Jika interval kanan maka
Dapat digeneralisasikan
dapat dilanjutkan dengan proses ke-n maka akan ditemukan :
1. Jika bukan titik bagi dan berada di interval kiri maka
2. Jika bukan titik bagi dan berada di interval kanan maka

10. 10 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
sehingga untuk kita dapatkan suatu pertidaksamaan
Jika adalah titik bagi, maka , m ganjil. Pada kasus ini dapat dipilih subinterval kiri
atau kanan, sehingga dan .
Misalkan dipilih subinterval kiri, sehingga , maka adalah titik ujung kanan
subinterval akibatnya . Misalkan dipilih subinterval kanan, sehingga
, maka adalah titik ujung kanan subinterval akibatnya
Contohnya : , maka ada dua kemungkinan barisan yaitu ( 0,1,1,1 . . .) dan (1,0,0,0 . . .)
Kesimpulan :
suatu barisan dari 0 dan 1 yang memenuhi :
N
n
a
a
a
x
a
a
a
n
n
n
n
n









2
1
2
......
2
2
2
......
2
2 2
2
1
2
2
1
Bentuk ini disebut bentuk biner. Bentuk ini tunggal kecuali n
m
x
2
 , m ganjil, akan ada 2
bentuk yaitu:
   2
1
2
1
2
1
2
1 ...
0111
.....
.....
1000
..... 
 
 n
n a
a
a
a
a
a
x . Hal yang sebaliknya juga berlaku, yaitu:
Masing-masing barisan dari 0 dan 1 adalah bentuk biner dari suatu bilangan real tunggal di
 
1
,
0 .
BENTUK DESIMAL
Bentuk desimal dari bilangan real serupa dengan bentuk biner, diberikan  
1
,
0

x
Jika interval  
1
,
0 dibagi menjadi 10 subinterval maka
   
.9
0,1,......
di
10
1
,
10
1
1
1
b
b
b
x 





 

Dengan menggunakan cara yang sama dengn bentuk biner, akan didapatkan barisan (bn)
dengan 



 N
n
bn 9
0 x memenuhi n
n
n
n b
b
b
x
b
b
b
10
1
......
10
10
10
......
10
10 2
2
1
2
2
1 







Maka dapat dikatakan bahwa x memiliki bentuk desimal yang ditunjukkan oleh
...
....
. 2
1 n
b
b
b
x  .
Jika ....
,...
,
1
dan
1 2
1 n
b
b
b
B
x
B
x
B
N
B
x 







Sehingga bentuk desimal dari B
x  adalah
   
B
b
b
b
B
B
x n 

 ...
....
. 2
1

11. 11 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
n
b
b
b .......
.
0 2
1

 
1
,
0

 B
x
Dari bentuk desimal n
b
b
b ....
. 2
1 akan didapatkan suatu barisan interval bersarang dengan
panjang n
10
1
. Ini jelas bahwa ada bilangan tunggal x yang ada disetiap sub interval. Sehingga
berdasarkan pertidaksamaan maka ...
....
. 2
1 n
b
b
b
x 
Bentuk desimal dari  
1
,
0

x adalah tunggal, kecuali x adalah titik bagi dari setiap interval
sehingga x akan memenuhi bentuk n
n
m
N
n
m
m
x 10
1
,
,
10




 (asumsikan m tidak
dapat dibagi 10)
Maka x merupakan titik bagi pada tingkat ke n, dan ada 2 nilai untuk contoh yang mungkin.
 Misalnya dipilih sub interval kiri, sehingga x merupakan titik yang kanan sub interval ini,
yang mengakibatkan seluruh nilai sub interval berikutnya adalah 9.
1
9 


 n
k
bk
 Misalnya dipilih sub interval kanan, sehingga x merupakan titik ujung kiri pada sub
interval ke n, yang mengakibatkan nilai sub interval berikutnya adalah 0.
1
0 


 n
k
bk
Sehingga bentuk desimal  00
1
....
. 2
1 
 n
b
b
b
x
Contoh:
Jika ,
2
1

x maka .....
4999
,
0

x ( interval kiri) atau 5000
,
0

x (interval kanan) sehingga
5000
,
0
4999
,
0 

x .
Jika
100
38

y maka 3799
,
0

y atau 3800
,
0

y sehingga 3800
,
0
3799
,
0 

y .
PERIODE DESIMAL
Suatu desimal ...
,...
. 2
1 n
b
b
b
B dikatakan periodik (berulang), jika N
k 
 dan
k
n
a
a
N
m m
n
n 



  . Pada kasus ini digit 1
1..... 

 m
k
k
k a
a
a diulang satu kali jika mencapai
digit ke k. Bilangan terkecil m dengan sifat ini disebut periode desimal.
Misalnya : ...
90
....
2159090
,
0
88
19
 memiliki periode m = 2 yang mengulang digit 90 yang dimulai
pada k = 4. Akhir dari desimal adalah ketika mengulang digit 0.

12. 12 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
Ada hubungan antara bilangan rasional dan irrasional dan bilangan asli terhadap bentuk desimal, yaitu
suatu bilangan rasional positif jika dan hanya jika bentuk desimalnya periodik.
Akan ditunjukkan:
(1) Suatu bilangan rasional (+)  bentuk desimalnya periodic
Misalkan suatu bilangan rasional
q
p
,
N
q
N
p


  1
, 
q
p
Ambil kasus q
p 

0
Jika p dibagi q maka akan didapatkan bentuk desimal dari
q
p
. Masing-masing langkah algoritma
pembagiannya menghasilkan sisa berupa bilangan bulat dari 0 ke 1

q sehingga setelah langkah
ke q sisa akan muncul untuk kedua kalinya, dan begitu selanjutnya sisa akan terus berulang.
Bentuk desimal
q
p
adalah periodic.
Terbukti.
(2) Bentuk desimalnya periodic bilangan rasional (+)
Misalnya ....
1414
,
7314
1000
...
14
.....
31414
,
7 
 x
x
...
14
...
1414
,
73
10 
x
   
990
7241
7241
990
73
7314
990
...
14
...
1414
,
73
...
14
...
14
,
7314
10
1000







x
x
x
x
x
Dari (1) dan (2) terbukti desimal periodik.

13. 13 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
HIMPUNAN HINGGA DAN TAK HINGGA
Himpunan berhingga
Defenisi 2.7.1
a. Suatu himpunan kosong dikatakan memiliki 0 anggota.
b. , suatu himpunan dikatakan memiliki anggota jika ada fungsi bijektif dari
himpunan ..n}
…
{1,2,
=
n
N ke
c. Suatu himpunan dikatakan berhingga jika merupakan himpunan kosong atau memiliki
anggota
d. Suatu himpunan dikatakan tak hingga jika tidak berhingga.
Teorema 2.7.2
1). punya anggota  ada fungsi bijektif dari ke yang memiliki anggota
2). berhingga  ada fungsi bijektif dari ke yang berhingga.
Bukti.
1) punya anggota  ada fungsi bijektif dari ke yang memiliki anggota
Bukti 1.
punya anggota fungsi bijektif dari ke yang memiliki anggota
punya anggota artinnya ada fungsi bijektif dari ke ………(1)
Misalkan , R
 , memiliki anggota.
punya anggota artinnya ada fungsi bijektif dari ke ………(2)
Dari persamaan (1) dan (2) maka fungsi bijektif dari ke
Terbukti.
Bukti 2.
fungsi bijektif dari ke yang memiliki anggota punnya anggota
punnya anggota artinnya ada fungsi bijektif dari ke ………(1)
Karena ada fungsi bijektif dari ke …………………(2)
Dari persamaan (1) dan (2) maka fungsi bijektif dari ke sehingga punya
anggota.
Terbukti .

14. 14 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
Dari bukti 1 dan bukti 2 maka (1) terbukti.
2). berhingga fungsi bijektif dari ke yang berhingga.
Bukti 1.
berhingga, maka berdasarkan defenisi memiliki anggota.
memiliki anggota artinya ada fungsi bijektif dari ke ………(1)
Misalkan yang berhingga, misal memiliki anggota.
memiliki anggota artinya ada fungsi bijektif dari ke ………(2)
Dari (1) dan (2) maka fungsi bijektif dari ke
Terbukti .
Bukti 2.
fungsi bijektif dari ke yang berhingga berhingga
berhingga artinnya memiliki anggota
memiliki anggota artinnya fungsi bijektif dari ke ………(1)
fungsi bijektif dari ke ………….(2)
Dari (1) dan (2) maka fungsi bijektif dari ke sehingga memiliki anggota
berhingga .
Terbukti.
Dari bukti 1dan 2 maka (2) terbukti.
Teorema 2.7.3.
a. , fungsi injektif dari ke
b. , fungsi injektif dari ke
Bukti.
a. , fungsi injektif dari ke
Misal : fungsi didefenisikan : 
Fungsi injektif terbukti.
b. , fungsi injektif dari ke
Gunakan induksi matematika.
Misal : fungsi didefenisikan : g 
 Buktikan benar untuk
Jika

15. 15 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
bukan injektif.
 Asumsi benar untuk , artinya dan bukan fungsi
injektif.
 Akan ditunjukkan : benar untuk artinya bukan
fungsi injektif.
Sehingga h(Nm) berada di 1

 k
k N
N maka dengan asumsi n bukan fungsi injektif ke
N.
Misalkan h(Nm) tidak berada di Nk.
Jika lebih dari 1 anggota Nm dipetakan ke bilangan asli k+1, maka h bukan injektif.
Asumsikan m
N
p  yang dipetakan ke k + 1 oleh h didefenisikan k
m N
N
h 
1
1 :
oleh:
    p
q
N
q
q
h
q
h m 


  1
,
jika 1
1
  1
,
jika
1 1 




  m
q
p
N
q
q
h m
Dengan asumsi maka h1 bukan injektif
Sehingga k
m N
N
h 
1
1 : bukan injketif
Terbukti bahwa tidak ada fungsi injektif dari Nm ke Nn.
Teorema 2.7.4.
a. fungsi injektif dari ke
b. fungsi injektif dari ke
Bukti.
a. fungsi injektif dari ke
artinya N
m 
Maka berdasarkan teorema 2.7.3 (a)
fungsi injektif dan Nm ke N
b. fungsi injektif dari ke
artinya N
m 
Berarti m
N  , maka berdasarkan teorema 2.7.3 (b) fungsi injektif dari N ke
Terbukti.

16. 16 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
Akibat 2.7.5
Himpunan N dari bilangan asli adalah himpunan tak hingga.
Bukti.
Andaikan N himpunan berhingga, N berhingga berdasarkan defenisi ada 2 kemungkinan:
1). 

N
Ambil N

1 , sehingga 

N
Kontradiksi.
2). N memiliki n anggota
Berdasarkan defenisi maka  fungsi bijektif N
N
f n 
 :
Ambil N
n 
1 , maka
Akibatnya f bukan fungsi bijektif
Kontradiksi.
Pengandaian salah, haruslah himpunan N tak hingga.
(Terbukti)
Teorema 2.7.6
Misalkan S dan T adalah suatu himpunan dan S
T 
S berhingga T berhingga
Bukti.
S berhingga, maka berdasarkan defenisi, maka ada 2 kasus yang dipertimbangankan, yaitu:
 

S
Berdasarkan defenisi banyak anggota S adalah 0
S
T  artinya S
x
T
x 



Maka 

T
Berdasarkan defenisi maka T berhingga
 Untuk 

S
Gunakan induksi matematika,
* Bukti benar untuk n(s) = 1
n(s) =1, maka

17. 17 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
S
T 
 
  S
a
T 

Berdasarkan defenisi maka T berhingga
* Asumsikan benar untuk n(s)=k
* Buktikan benar n(s) = k +1
S memiliki k + 1 anggota, artinya ada fungsi bijektif dari Nk+1 ke S
- Jika  
 
1
maka
)
1
( 1 



 k
f
S
S
T
T
k
f
Artinya n(S1)= k
Berdasarkan asumsi, maka T berhingga
- Jika   T
k
f 
1 , maka misalkan  
 
1
1 
 k
f
T
T dengan 1
1 S
T 
Karena n(s) = k, maka berdasarkan asumsi maka T1 berhingga.
Sehingga  
 
1
1 

 k
f
T
T , maka T berhingga
T berhingga.
Terbukti.
Teorema 2.7.7
S himpunan tak hingga,  U
 tak hingga.
Bukti.
Andaikan U berhingga
Jika U berhingga maka ada 2 kasus yaitu:

 Untuk , U punnya n anggota.
punya anggota artinya ada fungsi bijektif dari ke
Maka himpunan bagian U adalah .
Bannyak anggota S adalah
S berhingga kontradiksi.
Pengandaian salah
Haruslah U tak hingga
Terbukti.

18. 18 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
COUNTABLE SETS
Himpunan tak hingga
Defenisi 2.7.8
(a) Himpunan S dikatakan denumerable ( himpunan tak hingga yang dapat dihitung) jika
fungsi bijektif dari N ke S
(b) Himpunan S dikatakan countable jika berhingga atau denumerable
(c) Himpunan S dikatakan tidak countable jika tidak countable.
Contoh 2.7.9
a) Suatu himpunan dari bilangan asli genap adalah denumerable
karena dengan , , f bijektif dan ke E.
b) Himpunan Z adalah denumerable.
Karena bijektif
1 dipetakan ke 0
Bilangan asli genap dipetakan ke bilangan bulat (+)
Bilangan asli ganjil dipetakan kebilangan bulat (-)
c) Gabungan dari himpunan denumerable yang saling lepas juga denumerabel.
Misal : A denumerable berarti
B denumerable berarti
Maka , bijektif.
Teorema 2.7.10
(a) S1 denumerable 
 fungsi bijektif dari S1 ke S2 yang denumerable
(b) T1 countable 
 fungsi bijektif dan T1 ke T2 yang countable
Bukti.
(a) Bukti 1.
S1 denumerable 
 fungsi bijektif dari S1 ke S2 yang denumerable
S1 denumerable artinya  fungsi bijektif dari N ke S1 .....(1)
Misalkan S2 denumerable artinya  fungsi bijektif dari N ke S2......(2)

19. 19 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
Dari (1) dan (2) maka  fungsi bijektif dari S1 ke S2.
Terbukti.
Bukti 2.
 fungsi bijektif dari S1 ke S2 yang denumerable  S1 denumerable
S2 denumerable artinya  fungsi bijektif dari N ke S2 .......(1)
 fungsi bijektif dari S1 ke S2 .........(2)
Dari (1) dan (2) maka  fungsi bijketif dari N ke S1 sehingga S1 denumerable.
Terbukti.
Dari bukti 1 dan bukti 2 maka (a) terbukti
(b) Bukti 1.
T1 countable 
 fungsi bijektif dari T1 ke T2 yang countable
T1 countable maka berdasarkan defenisi T1 berhingga atau T1 denumerable
 Ambil kasus T1 berhingga
T1 berhingga, misalnya banyak anggota T1 adalah n
Sehingga  fungsi bijektif dari Nn ke T1...........(1)
Misalkan T2 countable artinya T2 berhingga atau T2 denumerable
 Ambil kasus T2 berhingga
T2 berhingga misalnya banyak anggota T2 adalah n
Sehingga  fungsi bijektif dari Nn ke T2 ........(2)
Dari (1) dan (2) maka  fungsi bijektif dari T1 ke T2
Terbukti.
Bukti 2.
 fungsi bijektif dari T1 ke T2 yang countable  T1 countable
T2 countable artinya T2 berhingga atau T2 denumerable
Ambil kasus T2 berhingga
Misalnya anggota T2 adalah n, sehingga  fungsi bijektif dari Nn ke T2..........(1)
 fungsi bijektif dari T1 ke T2..........(2)
Dari (1) dan (2) maka  fungsi bijektif dari Nn ke T1 sehingga anggota T1 adalah n
Berarti T1 berhingga.
Artinya T1 countable (terbukti).
Dari bukti 1 dan bukti 2 maka (b) terbukti.

20. 20 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
Teorema 2.7.11
S countable dan T
S
T 
 countable
Bukti.
S countable artinya S berhingga
Karena S berhingga maka berdasarkan Teorema 2.7.6 S berhingga T
S
T 
 berhingga
Karena T berhingga maka T countable.
Terbukti.
Teorema 2.7.12
(a) S countable 
 fungsi injektif dari S ke N
(b) S countable 
 fungsi surjektif dari N ke S
Bukti.
(a) S countable 
 fungsi injektif dari S ke N
Bukti 1.
S countable artinya S berhingga atau S denumerable
Pilih kasus S denumerable artinya  fungsi bijektif dari N ke S
Karena  fungsi bijektif dari N ke S maka fungsi dari S ke N juga bijektif.
Fungsi bijektif terdiri dari fungsi injektif dan fungsi surjektif
Maka terbukti bahwa  fungsi injektif dari S ke N
Bukti 2.
 fungsi injektif dari S ke N S countable
Misalkan N
S
f 
: injektif
Maka f merupakan fungsi bijektif dari S ke f(s)
Sehingga f(s) countable.
Dari bukti 1 dan bukti 2 terbukti.
(b). S countable 
 fungsi surjektif dari N ke S
Bukti 1.
S countable artinya S berhingga atau S denumerable

21. 21 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
Pilih kasus S denumerable, artinya  fungsi bijektif dari N ke S
Fungsi bijektif terdiri dari fungsi injektif dan surjektif
Maka terbukti bahwa  fungsi surjektif dari N ke S
Bukti 2.
 fungsi surjektif dari N ke S S countable
Misalnya S
N
g 
: surjektif
Misalkan N
S
g 
:
1 , g1(s) adalah elemen terkecil dari himpunan
  )
(
)
( 1
s
g
S
n
g
N
n 


 , berarti g1 injektif dari S ke N.
Berdasarkan (a) maka terbukti S countable.
Dari bukti 1 dan bukti 2 (b) terbukti.
Countability Dari Q
Akan ditunjukkan bilangan rasional (Q)
Teorema 2.7.13
Himpunan bilangan rasional adalah countable
Bukti.
Akan ditunjukkan Q+
(bilangan rasional positif) denumerable karena Q = Q+
{0} Q-
Dengan Q-
adalah bilangan rasional negatif sehingga Q denumerable
Misalkan F adalah semua pecahan n
m
dengan (m,n) N.
:
:
:
:
...
4
4
4
3
4
2
4
1
...
2
4
3
3
3
2
3
1
...
2
4
2
3
2
2
2
1
...
1
4
1
3
1
2
1
1
Fungsi dari N ke F dinyatakan dengan garis diagonal sehingga:
 
,......
,
,
,
,
, 1
3
2
2
3
1
1
2
2
1
1
1

F
Sehingga F denumerable.

22. 22 | P a g e
R i z k i K u r n i a w a n R a n g k u t i
Masing-masing bilangan rasional dinyatakan oleh banyak bilangan yang berbeda dari F
(misalnya ....)
2
1
1
1
1 


untuk setiap r Q+
, bisa dipilih bentuk pecahan dengan penyebut paling kecil, akibatnya
Q+
F, sehingga berdasarkan teorema 2.7.11 Q+
countable.
Karena Q+
F maka Q countable.
Terbukti.
Teorema 2.7.14
Himpunan  
1
0 


 x
R
x
I tidak countable
Bukti.
Gunakan kontradiksi
Karena R
x dan 1
0 
 x maka x merupakan bentuk desimal yaitu ....
,
0 3
2
1 a
a
a
x  dengan
ai menyatakan bilangan dari 0-9.
Misalnya nilai x pada I dinyatakan :
....
.....
,
0
:
....
.....
,
0
....
.....
,
0
....
......
,
0
3
2
1
3
33
32
31
3
2
23
22
21
2
1
13
12
11
1
nn
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x




Defenisikan suatu bilangan real n
y
y
y
y
y ....
,
0 3
2
1

Kita misalkan:






4
jika
7
5
jika
2
nn
nn
n
a
a
y
Maka 1
0 
 y .
Karena 9
,
0

n
y maka y tidak sama dengan 2 bentuk y dan xn berbeda pada desimal ke n.
Akibatnya interval ini tidak countable.