ehehhshshdd

2. Sistem penalaran deduktif ( deductive reasoning )

4. • Suatu tempat (posisi) dalam ruang (space), namun tidak
mempunyai panjang dan tidak mempunyai tebal
• Mengidikasikan suatu lokasi
• Direpresentasikan dengan dot dan dinamakan dengan huruf
kapital 𝐴
𝐵
𝐶

5. • Himpunan yang terdiri dari tak hingga titik Mengidikasikan
suatu lokasi
• Mempunyai panjang tetapi tidak mempunyai lebar.
• Dapat diperpanjang tanpa akhir (batas) di dua arah)
• Garis dapat terbentuk minimal dari 2 titik
• Titik-titik yang berada di garis yang sama disebut titik-titik
kolinear
• Postulat: hasil perpotongan 2 garis adalah sebuah titik
A B C
r
𝐴𝐵, 𝐵𝐴, 𝐴𝐶, 𝐶𝐴, 𝐵𝐶, atau r

6. • Suatu bentuk yang memiliki panjang, lebar, tapi tidak
mempunyai tebal
• Dapat diperluas tanpa batas
• Dapat dibentuk dengan minimal 3 titik yang tidak segaris
(nonkolinear), 1 titik dan 1 garis, 2 titik dan 1 garis, 2 garis
• Bidang diberi nama dengan huruf kapital atau huruf Yunani
• Titik-titik yang berada di bidang yang sama disebut titik-titik
koplanar
• Postulat: hasil perpotongan 2 bidang adalah sebuah garis

7. Bidang V dapat dilambangkan 𝑨𝑩𝑪 (𝑨𝑩𝑪 dibaca Bidang yang memuat tiga titik A, B,
C yang tidak segaris
Bidang 𝒂 𝐝𝐢𝐛𝐞𝐫𝐢 𝐥𝐚𝐦𝐛𝐚𝐧𝐠 𝑷𝑸𝑹 (𝑷𝑸𝑹 dibaca Bidang yang memuat tiga titik P, Q, R
yang tidak segaris

8. Ungkapan yang membatasi konsep/pernyataan yang mendeskripsikan suatu onjek(bangun) dan
sifat-sifat tertentu
Example :
Sudut adalah bangun yang dibentuk oleh 2 sinar garis yang tidak segaris dan berimpit titik
pangkal.
Pernyataan yang diasumsikan benar tanpa perlu dibuktikan
Example :
Ada tepat satu garis yang memuat dua titik berbeda
A C r

9. Pernyataan yang kebenarannya harus dibkutikan
Example :
Dua sudut yang bertolak belakang adalah kongruen.
Untuk membuktikan teorema tersebut, diperlukan definisi sudut, definisi sudut bertolak belakang
dan sifat-sifat (teorema) hubungan dua sudut

10. Postulat ( tidak perlu dibuktikan )
Postulat 1
Diberikan dua titik berbeda, maka ada tepat satu garis yang memuat kedua titik tersebut
Bermakna ( bahwa dua titik yang diketahui menentukan tepat satu garis
→ dua titik itu membangun tepat satu dan hanya 1 garis.

11. Postulat ( tidak perlu dibuktikan )
Postulat 2 (postulat jarak)
Setiap pasang titik berbeda berkesesuaian dengan tepat satu bilangan real positif.

12. Postulat ( tidak perlu dibuktikan )
Postulat 3 (postulat penggaris)
Titik-titik pada garis bersesuaian dengan bilangan-bilangan real sedemikian sehingga :
1. Setiap titik pada garis itu berkesesuaian dengan tepat satu bilangan real (garis bilangan)
2. Setiap bilangan real berkesesuain dengan tepat satu titik pada garis(garis bi langan)
3. Jarak antara dua titik adalah nilai mutlak selisih bilangan-bilangan yang bersesuaian (alat
ukur)
.
Artinya : bahwa setiap bilangan real dapat dipasangkan dengan tepat satu titik pada gars
itu, dan setiap titik pada garis itu dapat dipasangkan dengan tepat satu bilangan real

13. Pemilihan Penggaris Tak Hingga
Postulat penggaris mungkinkan menciptakan sisten koordinat pada garis.
Dapat dilakukan dengan cara : memilih sebarang titik P berkoordinat 0,
kemudian labeli koordinat positif disalah satu arahnya.
Postulat 4 ( postulat penempatan penggaris)
Diberikan dua titik P dan Q pada satu garis, sistem koordinat dapat
dipilih sedemikian hingga koordinat titik P adalah nol dan koordinat titik
Q adalah positif.

14. Diberikan tiga titik A, B, dan C, titik B dkatakan diantara titik A dan titik C jhj
1. A, B, dan C pada garis yang sama
2. AB + BC = AC
A B C
O T
Titik U tidak diantara titik O dan titik T, sedangkan titik B berada diantara titik A
dan titik C, sehingga jika suatu titik berada diantara dua titik yang lain maka ketiga
titk tersebut pasti berada pada satu garis.
Dikatakan bahwa jarak AC sama dengan jarak AB ditambah jarak BC
U

15. Misal A, B, dan C tiga titik pada sebuah garis dengan koordinat berturut –turut x,y, dan z. Jika
x < y < z, maka B diantara A dan C
A B C
Diketahui : A, B, dan C pada garis yang sama dan mempuyai koordinat x,y, dan z
dengan x < y < z
Buktikan : B diantara A dan C
Bukti :
Terbukti bahwa B terletak diantara A dan C
No Pernyataan Alsan
1. A, B, dan C segaris dan x < y < z Diketahui
2. AB + BC = 𝑦 − 𝑥 + 𝑧 − 𝑦 Postulat penggaris
AB = 𝑦 − 𝑥 dan BC = 𝑧 − 𝑦
3. AB + BC = y – x + z – y Dari 2, karena x < y dan x < z sehingga nilainya
akan positif (sama dengan nilai mutlaknya),
4. AB + BC = -x + z Akibat 3, Sebab y + (-y) = 0
5. 𝑧 − 𝑥 adalah jarak antara A dan C Berd. Postulat penggaris
6. AB + BC = AC Akibat 4

16. Dari tiga titik berbeda pada garis yang sama ada tepat satu titik di antara dua titik lainnya.
Pembuktian :
Diketahui : A, B, dan C adalah tiga titik pada garis yang sama
Buktikan : salah satu diantara A, B, dan C terletak diantara titik yang lain
Bukti :
1. a. AB + BC = AC
b. AC + CB = AB
c. BA + AC = BC
2. Perlu menunjukkan salah satu pernyataan benar dari no 1
 Jika pernyataan a benar, maka AC adalah jarak terpanjang, dan B diantara A dan C
 Jika pernyataan b benar, maka AB adalah jarak terpanjang, dan C diantara A dan B
 Jika pernyataan c benar, maka BC adalah jarak terpanjang, dan A diantara B dan C
3. Hanya satu diantara tiga bilangan yang bisa terbesar, oleh karena itu hanya satu
pernyataan tadi yang bisa benar. (sifat trikotomi)
Jadi, hanya satu titik yang berada diantara dua titik lainnya.

17. Misal 𝐴𝐵 adalah sinar dan x adalah bilangan positip. Maka tepat ada satu titik P
p𝑎𝑑𝑎 𝐴𝐵 sedemikian hingga AP = x
Diketahui : 𝐴𝐵 dan bilangan positip x
Buktikan : ada tepat satu titik P harus p𝑎𝑑𝑎 𝐴𝐵 sedemikian hingga AP = x
Bukti :
Dengan postulat penggaris. Pilih sistem koordinat pada 𝐴𝐵 sedemikian hingga A
mempunyai koordinat 0 dan B positip. Misal P adalah titik koordinat x.
x > 0 dan P pada 𝐴𝐵, dan misal hanya satu titik yang mempunyai koordinat x
AP = 𝑥 − 0 = x
Maka hanya P yang berjarak x dari A.

18. Definisi 1.2 (Ruas Garis)
1. Himpunan titik-titik disebut ruas garis jhj himpunan itu memuat dua titik dan semua
titik-titik lainnya berada diantara dua titik itu, atau
2. Ruas garis adalah bagian garis yang dibatasi oleh dua titik
A B
𝑨𝑩 atau 𝑩𝑨
Definisi 1.3 (Ruas Garis Kongruen)
Dua atau lebih ruas garis dikatakan kongruen jhj garis tersebut mempunyai
panjang yang sama
Ruas-ruas garis yang kongruen dikatakan mempunyai kongruensi Simbol
ˮ ≅ ˮ 𝒌𝒐𝒏𝒈𝒓𝒖𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 , ˮ≇ ˮ( tidak kongruen dengan)
Ukuran ruas garis?

19. Definisi 1.4 (Sinar Garis)
Sinar garis AB ( 𝐴𝐵 ) adalah bagian garis yang memuat titik A dan setiap titik pada 𝐴𝐵
pada sisi yang sama seperti B dari A.
Misal A dan B adalah dua titik berbeda pada l. Himpunan titik-titik disebut sinar AB jhj
himpunan titik-titik itu adalah gabungan :
1. Ruas garis AB dan
2. Himpunan semua titik-titik C dengan B diantara titik A dan titik C
Sinar garis hanya mmiliki 1 titik pangkal dan diperpanjang ke satu arah saja
Titik pangkal
Arah sinar
Definisi 1.5 (Sinar Berlawanan)
𝐴𝐵 dan 𝐴𝐶 disebut dua sinar yang berlawanan jhj A diantara B dan C

20. Definisi 1.6 (titik tengah)
Titik B disebut titik tengah pada 𝐴𝐶 jhj
1) B diantara A dan C
2) AB = BC

21. Setiap ruas garis mempunyai tepat satu titik tengah.
Pembuktian :
Diketahui : 𝐴𝐶 dan B titik tengah 𝐴𝐶
Buktikan : Ada tepat satu titik B pada 𝐴𝐶 sedemikian hingga (1)
B diantara A dan C , (2) AB = BC
Bukti :
No Pernyataan Alasan
1. 𝐴𝐶 dan B titik tengah 𝐴𝐶 Diketahui
2. AB + BC = 𝐴𝐶 Definisi keantaraan titik
3. AB = BC Definisi titik tengah
4. AB + AB = AC
2𝐴𝐵 = 𝐴𝐶
Dari 2 dsn 3, substitusi
5. 𝐴𝐵 =
1
2
𝐴𝐶 Akibat 4
6. Ada tepat satu titik B pada AC yang berjarak
1
2
𝐴𝐶 dari A Akibat 5, teorema penempatan titik

22. Definisi 1.7 ( Pembagi Dua Bisektor)
Suatu titik, garis, sinar atau bidang membagi dua sebuah segmen bila dan
hanya bila persekutuannya dengan segmen hanya pada titik tengah segmen.
Bangun yang membagi dua sama panjang 𝐴𝐶 disebut Bisektor 𝐴𝐶
Definisi 1.8 ( Garis Sumbu [perpendicular bisector])
Garis sumbu segmen adalah garis yang tegak lurus segmen ini di titik
tengahnya

24. • sudut terbentuk dari dua sinar garis yang memiliki titik
pangkal yang sama
• Titik pangkal dari dua sinar garis tersebut merupakan
puncak (vertex) dari sudut tersebut
• Dua sinar garis itu menjadi sisi dari sudut tersebut
• Sudut terbentuk ketika garis, atau sinar garis, atau segmen
garis saling berpotongan.
Dinakamakan ∠𝑅𝑆𝑇 atau ∠𝑇𝑆𝑅