Διαγωνίσματα Α φάσης από το lisari.blogspot.com

Τάξη: A΄ Γυμνασίου
Μάθημα: Μαθηματικά
Ημερομηνία: Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2020
Διάρκεια Εξέτασης: 90 λεπτά
Στοιχεία μαθητή: .
http://lisari.blogspot.com
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2020
A΄ ΦΑΣΗ
Πολλαπλής
επιλογής
Άσκηση 1η
Άσκηση 2η
Σύνολο /20
17.01.2020 lisari.blogspot.com Page 1 of 22

(Α) Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής
Από τις παρακάτω ερωτήσεις επιλέγουμε σε κάθε περίπτωση μία μόνο απάντηση χωρίς
αιτιολόγηση. Κυκλώνουμε την απάντηση πάνω στην κόλλα ερωτήσεων. Η κάθε σωστή
απάντηση βαθμολογείται με 1 μονάδα / 20.
Εκφωνήσεις Πρόχειρο
1) Η τιμή της αριθμητικής παράστασης
23 49 77 49   ισούται:
i) 5900 ii) 4900 iii) 6900
iv) τίποτα από τα προηγούμενα
 
3 2
2 3 8 3   ισούται:
i) 50 ii) 51 iii) 52
3) Ο αριθμός 12.510 δεν διαιρείται με τον
αριθμό:
i) 2 ii) 3 iii) 4 iv) 9
4) Μια δεξαμενή πετρελαίου σε μια πολυκατοικία
χωράει 1.200 λίτρα. Ο διαχειριστής σε μία
μέτρηση βρήκε ότι ήταν γεμάτη κατά
3
4
. Πόσα
λίτρα πετρέλαιο είχε η δεξαμενή;
i) 900 ii) 300 iii) 800
5) Το κλάσμα
4
5
δεν είναι ισοδύναμο με το
κλάσμα:
i)
12
15
ii)
8
10
iii)
20
25
iv)
18
20
6) Δίνονται οι αριθμοί
7 7
α , β 1, γ
10 15
   τότε
ισχύει:
i) α β γ  ii) α γ β 
iii) γ α β  iv) β γ α 
7) Ένας αριθμός μεταξύ
5
7
και
6
7
είναι:

i)
14
21
ii)
11
14
iii)
31
35
8) Το άθροισμα
15 5 1
12 4 2
  ισούται:
i)
21
18
ii) 2 iii) 3
7 2 3
3 15 8
 
  
 
ισούται με:
i)
33
70
ii)
15
16
iii)
39
80
3 1
5 5
2 4
3 6


ισούται με:
i)
3
5
ii)
4
5
iii) 1
3 11 2 54 : 2 1    ισούται με:
i) 45 ii) 49 iii) 55
24 5 2 3 5    ισούται με:
i) 87 ii) 150 iii) 133

(Β) Επίλυση ασκήσεων
Να επιλύσετε αναλυτικά τις παρακάτω ασκήσεις πάνω στην κόλλα.
Άσκηση 1η
Ο όγκος μιας δεξαμενής δίνεται από τον τύπο V x y z   όπου, V: όγκος, x: μήκος, y: πλάτος και z:
ύψος.
α) Αν η δεξαμενή έχει διαστάσεις 12m ύψος, 5m μήκος και 4m πλάτος, να βρείτε τον όγκο της
δεξαμενής.
β) Αν ο όγκος της δεξαμενής είναι 3
60m , το μήκος είναι 5m και το πλάτος 3m να υπολογίσετε το ύψος
της δεξαμενής.
γ) Αν x y z  και ο όγκος της ισούται με 3
125m , να βρείτε τις διαστάσεις της δεξαμενής.
Μονάδες 1 + 2 + 1 = 4
Απάντηση
Άσκηση 2η
Επιχειρηματίας αγόρασε μετοχές του μαθηματικού ιστότοπου lisari.blogspot.com προς 50 ευρώ την
κάθε μετοχή. Σε ένα μήνα η μετοχή έπεσε κατά 8% και το επόμενο δίμηνο ανέβηκε κατά 5% το μήνα.
α) Ποια ήταν η τιμή της μετοχής στο τέλος του τρίτου μήνα;
β) Η επένδυση του επιχειρηματία ήταν κερδοφόρα ή όχι; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
γ) Ποιο είναι το ποσοστό κέρδους ή ζημίας του επί του αρχικού κεφαλαίου;
Μονάδες 2 + 1 +1 = 4
Απάντηση

Τάξη: Γ΄ Γυμνασίου
Μάθημα: Μαθηματικά
Διάρκεια Εξέτασης: 90 λεπτά
A΄ ΦΑΣΗ
Πολλαπλής
επιλογής
Άσκηση 1η
Άσκηση 2η
Σύνολο /20

(Α) Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής
Από τις παρακάτω ερωτήσεις επιλέγουμε σε κάθε περίπτωση μία μόνο απάντηση χωρίς
αιτιολόγηση. Κυκλώνουμε την απάντηση πάνω στην κόλλα ερωτήσεων. Η κάθε σωστή
απάντηση βαθμολογείται με 1 μονάδα / 20. Η δεξιά στήλη χρησιμοποιείται ως πρόχειρο.
Εκφωνήσεις Πρόχειρο
 
3 1 1 1
Α 3 3
2 3 3 2
       
                
       
i) 1 ii) 2 iii) 3
2) Αν α β 3   και γ δ 5   , τότε η τιμή της
παράστασης  
δ
Α 2α γ 2 β
2
 
    
 
ισούται:
i) -1 ii) 0 iii) 1
3) Ο αριθμός
16
9
δεν είναι:
i) πραγματικός ii) ακέραιος
iii) ρητός iv) άρρητος
4) Η παράσταση
 
 
32 2
32 3
x x y
x y
 

ισούται:
i) x ii) 2
x iii)
1
x
     
2 2 2
2 3 2 3 5 2 : 5 5        
i) 6 ii) 16 iii) 11
6) Ο αριθμός 6 12 3 9 ισούται:
i) 6 ii) 6 iii) 8

7) Η αριθμητική τιμή της αλγεβρικής
παράστασης 3 2
2xy x y 4   για x 2  και
y 1 είναι:
i) 4 ii) – 3 iii) 2
8) Αν   2
P x x 3x 4   , τότε το πολυώνυμο
     Q x P 2x P x   ισούται με:
i) 2
3x 9x ii) 2
3x 9x  iii) 2
3x 9x
9) Αν   2
P x 2x 2x 9   , τότε το
   3P 1 P 3 ισούται:
i) 2 ii) 0 iii) 2
10) Το πολυώνυμο
      2 2 2 2
P x x 4x 4 x 4x 4 x x 18 16       
i) x 2 ii) x 2 iii) 0
11) Το πολυώνυμο
        
2 2
P x x 3 3x 1 10 x 1 x 1 3       
είναι βαθμού:
i) 1ου ii) 2ου iii) μηδενικού
12) Αν x 3 5  και y 3 5  , τότε η
παράσταση 2 2
x y ισούται με:
i) 2 ii) 2 iii) 18

(Β) Επίλυση ασκήσεων
Να επιλύσετε αναλυτικά τις παρακάτω ασκήσεις πάνω στην κόλλα.
Άσκηση 1η
Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ το σημείο Μ είναι μέσο της
βάσης ΒΓ. Αν Δ και Ε σημεία της ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα,
τέτοια ώστε ΒΔ = ΓΕ, να αποδείξετε ότι:
α) το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές.
β) τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΑΕΜ είναι ίσα.
Μονάδες 2 + 2 = 4
Απάντηση
Άσκηση 2η
Να βρείτε την πλευρά ενός τετραγώνου, που έχει
εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του τετράπλευρου
ΑΒΓΔ όπως φαίνεται στο σχήμα.
Μονάδες 2 + 1 +1 = 4
Απάντηση

Τάξη: Α΄ Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες
A΄ ΦΑΣΗ
Θέμα Α Α1/ Α2/
Θέμα Β Β1/ Β2/ Β3/
Θέμα Γ Γ1/ Γ2/ Γ3/
Θέμα Δ Δ1/ Δ2/ Δ3/
Σύνολο /100
/20

Θέμα Α (10 + 15 = 25 μονάδες)
Α1. Να αποδείξετε ότι: α β α β   για οποιοδήποτε α,βR .
Α2. Να συμπληρώσετε κατάλληλα τα κενά έτσι ώστε να προκύψουν ισοδύναμα
ορισμοί ή ιδιότητες των πραγματικών αριθμών:
i) α β α β.....0   ii) α β ..... α β  iii) α β ..... 
iv)
μ
ν
α ..... v)  
3
α β ........................ 
Θέμα B (8 + 12 + 5 = 25 μονάδες)
Β1. Να βρείτε, ένα αριθμό α, τέτοιο, ώστε:
5 6
α
7 7
  .
Β2. Να βρείτε, ένα αριθμό β, τέτοιο, ώστε: 25 6
β
7 7
  .
Β3. Σε ποια σύνολα αριθμών ανήκουν οι αριθμοί α και β (μονάδες 3) των ερωτημάτων Β1
και Β2;
Σύμφωνα με τα ερωτήματα Β1 και Β2 να απαντήσετε τα παρακάτω με τη λέξη
«Σωστό», αν η πρόταση είναι ορθή ή «Λάθος», αν η πρόταση δεν ισχύει (μονάδες 2):
i. Μεταξύ δύο ρητών αριθμών υπάρχει πάντα ένας ρητός.
ii. Μεταξύ δύο άρρητων αριθμών, υπάρχεις πάντα ένας άρρητος.
Θέμα Γ (6 + 10 + 9 = 25 μονάδες)
Δίνονται οι αριθμοί:
11 6
12 20
9 27
α 3 2 2, β , γ 2018 2022 4
9 3

     

. Να
αποδείξετε ότι:
Γ1.
5
α
2 2 3


Γ2. β; Γ3. γn
Θέμα Δ (10 + 9 + 6 = 25 μονάδες)
Δίνονται οι αριθμοί
6 3
α 10, β 2, γ 3, δ 1   
και η αριθμητική παράσταση
5
α β β γ γ δ δ α
Α 2020
α β β γ γ δ δ α
       
          
.
Να αποδείξετε ότι:
Δ1. δ β γ α   Δ2. Α 2020 Δ3.
2 α β γ
1
3 3
 
 

Τάξη: Α΄ Λυκείου
Μάθημα: Γεωμετρία
Σύνολο
/100
/20
A΄ ΦΑΣΗ

Α1. Να αποδείξετε ότι: «Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια
χορδή του ( = απόστημα) διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της».
Α2. Να συμπληρώσετε κατάλληλα τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:
i) Το άθροισμα των πλευρών του τριγώνου λέγεται ………………
ii) Το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές του άνισες λέγεται ……………….
iii) Tο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της
απέναντι πλευράς λέγεται ……..
iv) Αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα τότε και …………….. και …………………
είναι ίσα.
Θέμα B (10 + 5 + 10 = 25 μονάδες)
Θεωρούμε δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ. Η διάμεσος ΑΜ και η διχοτόμος ΒΔ του
ΑΒΓ τέμνονται στο Θ, ενώ η αντίστοιχη διάμεσος ΑʹΜʹ και η αντίστοιχη διχοτόμος
ΒʹΔʹ του ΑʹΒʹΓʹ τέμνονται στο Θʹ. Να αποδείξετε ότι:
Β1. ΒΔ = ΒʹΔʹ και  Β Α Μ Β΄Α΄Μ΄ .
Β2. Τα τρίγωνα ΑΒΘ και ΑʹΒʹΘʹ είναι ίσα.
Β3. ΘΔ = ΘʹΔʹ
Θέμα Γ (8 + 7 + 10 = 25 μονάδες)
Δίνεται κύκλος  Α,ρ όπου Α η αρχή των αξόνων του
καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων Oxy όπως
φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αν  ΚΕ Κ΄Ε΄ και ΑΔ
διχοτόμος της γωνίας ΚΑΚ΄ να αποδείξετε ότι:
Γ1. ΑΕΚ ΑΕ΄Κ΄
 

Γ2. ΑΔ μεσοκάθετος του Ε΄Ε

Γ3. η απόσταση του Ε από το ΑΚ ισούται με την απόσταση του Ε΄ από το ΑΚ΄ και η
απόσταση του Ε από το ΑΚ΄ ισούται με την απόσταση του Ε΄ από το ΑΚ.
Θέμα Δ (8 + 8 + 9 = 25 μονάδες)
Θεωρούμε γωνία xÔy και δύο κύκλους (Ο, ρ) (Ο, R)
με ρ < R. Αν ο πρώτος κύκλος τέμνει τις πλευρές Οx,
Oy στα Α, Β, ο δεύτερος στα Γ, Δ και Μ είναι το
σημείο τομής των ΑΔ, ΒΓ, να αποδείξετε ότι:
Δ1. ΑΔ ΒΓ
Δ2. ΑΓ ΒΔ
Δ3. η OM είναι η διχοτόμος της xÔy.

Τάξη: B΄ Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
A΄ ΦΑΣΗ
Θέμα Α Α1/ Α2/ Α3/
Θέμα Β
Θέμα Δ Δ1 i/ ii/ iii/ Δ2/
Σύνολο /100
/20

Θέμα Α (8 + 8 + 9 = 25 μονάδες)
Α1. Να αποδείξετε ότι
2
2
2
εφ ω
ημ ω
1 εφ ω


.
Α2. Να συμπληρώσετε κατάλληλα τα παρακάτω κενά του πίνακα:
γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω
μοίρες rad ημω συνω εφω σφω
0
0
30
π
4
0
60
π
2
0
180
0
270
2π
Α3. Να συμπληρώσετε κατάλληλα τα κενά του παρακάτω πίνακα θεωρώντας ένα σημείο
 Μ x,y του καρτεσιανού επιπέδου που σχηματίζει με τον άξονα των x γωνία ω:
Τεταρτημόρια Γωνία ω x y ημω συνω εφω σφω
Ι
π
0 ω
2
 
ΙΙ
ΙΙΙ
IV

Θέμα B (25 μονάδες)
Να λύσετε το μη γραμμικό σύστημα (μονάδες 23)
2 2
x y 10
x y 4
  

 
και στη συνέχεια να δικαιολογήσετε το πλήθος των λύσεων (μονάδες 2).
Θέμα Γ (12 + 7 + 6 = 25 μονάδες)
Στο παρακάτω σχήμα δίνονται ορισμένα τμήματα της γραφικής παράστασης μιας
άρτιας συνάρτησης f που έχει πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημα  6,6 .
Γ1. Να χαράξετε και τα υπόλοιπα τμήματα της γραφικής παράστασης της f.
Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f να βρεθούν:
Γ2. τα διαστήματα μονοτονίας της f .
Γ3. τα ακρότατα της f.
Θέμα Δ ([ 7 + 4 + 8] + 6 = 25 μονάδες)
Έστω ότι υπάρχει γωνία x τέτοια, ώστε:
3
ημx συνx
2
  (1)
Δ1. Να υπολογίσετε τις εξής παραστάσεις:
i)ημx συνx και
1 1
ημx συνx

ii) εφx σφx και 2 2
ημ x συνx ημx συν x  
iii) 3 3
ημ x συν x και 6 6
ημ x συν x
Δ2. Να αποδείξετε ότι: ημω συνω 2  για οποιαδήποτε γωνία ω. Τι συμπεραίνετε για
τη σχέση (1);

Τάξη: Β΄ Λυκείου
Μάθημα: Γεωμετρία
Θέμα Β Β1/ Β2/ Β3/ Β4/
Θέμα Γ Γ1/ Γ2/ Γ3/ Γ4/
Σύνολο
/100
/20
A΄ ΦΑΣΗ

Α1. Να αποδείξετε ότι για κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ 
 0
Α 90 ισχύει:
2 2 2
ΒΓ ΑΒ ΑΓ 
Α2. Στο διπλανό σχήμα είναι   0
Α Δ 90  . Να συμπληρώσετε τις ισότητες:
α) ΔΒ ΔΓ .. 
β) ΔΒ ΒΓ ....... 
γ) 2
ΑΓ ..... ...... 
Θέμα B (5 + 10 + 10 + 10 = 35 μονάδες)
Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ που έχει πλευρές αντίστοιχα
2 2 2 2
α κ λ , β 2κλ, γ κ λ     ,
όπου κ, λ θετικοί ακέραιοι με κ λ . Να αποδείξετε ότι:
Β1. α είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ.
Β2. ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο.
Β3. 2
α2μ βγ
Β4. Για κ 2 και λ 1 να βρείτε τρίγωνο που είναι όμοιο με το ΑΒΓ και έχει περίμετρο 24 cm.
Θέμα Γ (5 + 15 + 10 + 5 = 35 μονάδες)
Δίνεται (ορθογώνιο) τραπέζιο ΑΒΓΔ με   0
Α Β 90  τέτοιο, ώστε:
 ΑΒ = 12, ΒΓ = 11, ΓΔ = 13
όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, τότε να υπολογίσετε τα εξής:
Γ1. την προβολή του ΒΓ πάνω στην ΑΔ.
Γ2. το μήκος της διαγωνίου ΒΔ.
Στη συνέχεια, αν Μ, Ν τα μέσα των διαγωνίων ΒΔ,
ΑΓ αντίστοιχα και Κ το σημείο τομής της ΑΜ με τη
ΒΓ να αποδείξετε ότι:
Γ3. το ΑΒΚΔ είναι ορθογώνιο
Γ4.
ΑΚ
ΜΝ
8
 .

Τάξη: Β΄ Λυκείου
Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης
Θέμα Α Α1/ Α2/ Α3/
Θέμα Γ Γ1/ Γ2/ Γ3/ Γ4/
Σύνολο
/100
/20
A΄ ΦΑΣΗ

Θέμα Α (5 + 12 + 8 = 25 μονάδες)
Α1. Να γράψετε τον ορισμό γινομένου ενός μη μηδενικού πραγματικού αριθμού λ με
το μη μηδενικό διάνυσμα α

.
Α2. Έστω Μ μέσο του ΑΒ και Ο ένα σημείο αναφοράς, τότε να αποδείξετε ότι:
ΟΑ ΟΒ
ΟΜ
2


 

.
Α3. Στις παρακάτω περιπτώσεις να σημειώσετε το γράμμα «Α», αν είναι αριθμός, είτε το
γράμμα «Δ», αν είναι διάνυσμα:
α β

….. α β

….. λα

…...,λ  R

 συν α,β

…….
 det α,β

….. λα μβ

……..,λ,μ  R α α
 
….. α β

……
Θέμα B (10 + 10 + 5 = 25 μονάδες)
Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ 2i 4 j, ΟB 3i j   
    
και ΟΓ 5i 5 j, 
  
όπου i

και j

είναι τα
μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x΄x και y΄y αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
Β1.  ΑΒ 1, 3 

και  ΒΓ 2, 6 

.
Β2. τα σημεία Α, Β και Γ δεν σχηματίζουν τρίγωνο.
Β3. Οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων ΑΒ

και ΒΓ

είναι κάθετο στο
διάνυσμα γ

, όπου γ ΑΒ
 
.
Θέμα Γ (4 + 8 + 6 + 7 = 25 μονάδες)
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με    ΑΒ ΑΓ 1  και Μ μέσο της
πλευράς ΒΓ. Να υπολογίσετε τα εξής:
Γ1. ΑΒ ΑΓ
 
και ΑΜ ΒΓ
 
Γ2. ΒΑ ΒΓ
 
και ΑΓ ΓΒ
 
Γ3. ΒΜ ΓΜ
 
και
2
ΑΜ

Γ4. ΑΜ ΑΒ
 
Θέμα Δ (6 + 8 + 11 = 25 μονάδες)
Δίνονται τα διανύσματα  α 3,1

και  β 1,2

.
Δ1. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α,β

δεν είναι συγγραμμικά.
Δ2. Να αποδείξετε ότι

  π
0 α,β
2
 

και

 π
α,μβ π,
2
 

όπου μ 0 .
Δ3. Να αναλυθεί το β

σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο
διάνυσμα α

.

Διαγωνίσματα Α φάσης από το lisari.blogspot.com

More Related Content

What's hot

Similar to Διαγωνίσματα Α φάσης από το lisari.blogspot.com

More from Μάκης Χατζόπουλος

Recently uploaded

Διαγωνίσματα Α φάσης από το lisari.blogspot.com