Αποκλειστικά από το lisari - Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

1. 2016
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
http://lisari.blogspot.com
1/1/2016
18 Μαθηματικές προ(σ)κλήσεις
στην Θεωρία Αριθμών
στ΄ έκδοση

2. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος http://lisari.blogspot.com
[2]
…ένα φυλλάδιο αφιερωμένο στους μικρούς μας φίλους
που αγαπάνε τα μαθηματικά και στοχεύουν πολύυυυυυυυ ψηλά!

3. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος http://lisari.blogspot.com
[3]
18 Μαθηματικές προκλήσεις
στη «Θεωρία αριθμών»
για τους μικρούς φίλους των Ολυμπιάδων
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
http://lisari.blogspot.com
1. Α. Αν α, β είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί τότε συμπληρώστε τα κενά:
α) α : άρτιος αν, και μόνο αν, ……………………………………………..
δηλαδή γράφεται στην μορφή ………………………………………………
β) β: περιττός αν, και μόνο αν, ……………………………………….…… …………………………………
δηλαδή γράφεται στην μορφή …………...
γ) Αν α < β διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί, τότε ισχύει ………………………..
και αν α > β διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί, τότε ισχύει ………………………….. .
Γενικά: αν α, β διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί τότε ισχύει ………………………………
Β. Να αποδείξετε τις παρακάτω εκφράσεις:
α) (άρτιος) + (άρτιος) = (άρτιος)
β) (άρτιος) ν
= (άρτιος), όπου ν θετικός ακέραιος
γ) (περιττός) + (περιττός) = (άρτιος)
δ) (περιττός) ν
= περιττός
Γ. Να βρεθούν οι φυσικοί x, y που ικανοποιούν την σχέση
α) x y
2 4 1025 
β) x y
4 16 257 
γ) x y
3 9 10 
2. Δίνεται συνάρτηση  
 2
x x 2
f x
3


(Α) Να δείξετε ότι:  x f x  
(Β) Βρείτε (αν υπάρχει) τον ακέραιο x στις παρακάτω περιπτώσεις:
i. f (x) = 1
ii.  f x 11
iii.  f x 1649 (Υπόδειξη: Το 1649 ισούται με 17 97 )
(Γ) Υπάρχει ακέραιος x0 τέτοιος ώστε:  0f x 2011 ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας
(Δ) Ισχύει το αντίστροφο του ερωτήματος (Α); Δηλαδή, αν  f x  τότε x ;

4. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος http://lisari.blogspot.com
[4]
3. Έστω α, β οι ακέραιοι αριθμοί που δεν είναι πολλαπλάσια του 3 και 5 αντίστοιχα.
α) Να γίνει η Ευκλείδεια διαίρεση του α με το 3 και του β με το 5.
β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης α2
: 3 και τα υπόλοιπα της διαίρεσης β2
: 5
γ) Να αποδείξετε ότι το α2
β2
δεν είναι πολλαπλάσιο του 15.
4. (Α) Αναλύστε τον φυσικό αριθμό 45, σε γινόμενο πέντε διαφορετικών παραγόντων.
(Β) Αν α, β, γ, δ, ε ακέραιοι αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους, τέτοιοι ώστε:
         3 3 3 3 3 45          
Βρείτε την τιμή της παράστασης Κ =       
(Γ) Αν α, β, γ, δ, ε, λ ακέραιοι αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους, τέτοιοι ώστε:
          45               
Βρείτε την τιμή της παράστασης        συναρτήσει του λ και να αποδείξετε ότι είναι πολλαπλάσιο
του 5.
5. Οι πλευρές α, β, γ ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ρητοί αριθμοί. Αν ΑΔ ύψος του τριγώνου, όπως φαίνεται στο
σχήμα, να δειχθεί ότι :
α) 2 2 2 2
     
β) Τα μήκη x, y είναι ρητοί αριθμοί
γ) Στη συνέχεια, διαλέξτε την σωστή απάντηση και να την
δικαιολογήστε στις παρακάτω περιπτώσεις τριγώνου.
Α. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο  0ˆA 90 , τότε το ύψος ΑΔ είναι
i. Πάντα ρητός αριθμός, αφού ισούται A 
ii. Πάντα άρρητος αριθμός, αφού ισούται με x y  
iii. Άλλοτε είναι ρητός και άλλοτε άρρητος αριθμός, ανάλογα τις τιμές των α, β και γ.
Β. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι τυχαίο, τότε το ύψος ΑΔ είναι
i. Πάντα ρητός αριθμός, αφού όλα τα τμήματα είναι ρητοί αριθμοί
ii. Πάντα άρρητος αριθμός, αφού ισούται με 2 2 2 2
x y      
iii. Άλλοτε είναι ρητός και άλλοτε άρρητος αριθμός (ανάλογα το είδος του τριγώνου και τις τιμές των α, β, γ.)
6. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ (γ < α < β) και είναι γνωστό ότι η διχοτόμος της γωνίας Α είναι κάθετη με την διάμεσο
ΒΜ του τριγώνου. Να βρείτε τις πλευρές του, στις παρακάτω περιπτώσεις:
α) Οι πλευρές του είναι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί
β) Οι πλευρές του είναι διαδοχικοί άρτιοι αριθμοί
γ) Υπάρχει τέτοιο τρίγωνο με διαδοχικούς περιττούς αριθμούς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας

5. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος http://lisari.blogspot.com
[5]
7. Έστω οι ακέραιοι αριθμοί x, y διαστάσεις του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Αν το εμβαδόν του είναι
τριπλάσιο της ημι-περιμέτρου του, τότε:
α) Να δείξετε ότι:   x 3 y 3 9  
β) Βρείτε τα ζεύγη των αριθμών x ,y
γ) Ποιο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, από τα παραπάνω ζεύγη των (x, y), έχει την ελάχιστη περίμετρο και
εμβαδόν; Τι παρατηρείται;
8. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί x, y, z τέτοιοι ώστε : 2
x y z 0 x y 2z 10      
α) Αν x,y και z πραγματικός αριθμός, βρείτε τους αριθμούς αυτούς.
β) Αν x,y,z , βρείτε τον αριθμό z έτσι ώστε το άθροισμα x + y να είναι μέγιστο.
9. Η Τούλα έχει τρία παιδιά, ενώ η Μαριέττα τέσσερα, και στις δύο περιπτώσεις γνωρίζουμε ότι το γινόμενο
των ηλικιών παιδιών και μάνας είναι 11.935.
Βρείτε τις ηλικίες παιδιών και μάνας, αν γνωρίζουμε ότι όλα τα παιδιά πάνε σχολείο εκτός από το μικρότερο
παιδί της κα Μαριέττας. Τι ηλικία είχαν οι μανάδες όταν γέννησαν το πρώτο παιδί;
10. Βρείτε τους τρεις μικρότερους διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς, που το γινόμενό τους να είναι ίσο με το
οκταπλάσιο του αθροίσματός τους.
11. Α. Αν ν ακέραιος αριθμός και
2 1 2 1
1 1
   
 
   
υπολογίστε τις δυνατές τιμές του ακέραιου ν.
Β. Έστω τρεις διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί
α) Γράψτε όλα τα δυνατά κλάσματα που προκύπτουν με αυτούς τους αριθμούς
β) Βρείτε τους αριθμούς αυτούς, αν το άθροισμα όλων των παραπάνω κλασμάτων είναι ακέραιος αριθμός.
12. Οι αριθμοί α, β, γ ικανοποιούν τις σχέσεις 2
2 2      , 2
3 1      και 2
2 1    
Να αποδείξετε ότι :
α) Οι αριθμοί α, β, γ είναι ακέραιοι
β) 2011 2012 2013
       
13. Ποιος είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος n για τον οποίο o
n
2
είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου
αριθμού και ο
n
3
είναι τέλειος κύβος ακέραιου επίσης;
14. Να δείξετε ότι
i) Οι πράξεις ρητών αριθμών δίνει αποτέλεσμα ρητό αριθμό
ii) (ρητός) + (άρρητος) = (άρρητος)

6. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος http://lisari.blogspot.com
[6]
iii) (ρητός)(άρρητος) = (άρρητος)
15. Οι αριθμοί α, β, γ είναι αριθμοί,
i) Αν α + β + γ είναι περιττός αριθμός, τι συμπεραίνουμε για τα α, β, γ;
ii) Αν α + β + γ είναι άρτιος αριθμός, τι συμπεραίνουμε για τα α, β, γ;
iii) Αν  είναι άρτιος αριθμός, τι συμπεραίνουμε για τα α, β, γ;
iv) Αν  είναι περιττός αριθμός, τι συμπεραίνουμε για τα α, β, γ;
v) Να δείξετε ότι ο αριθμός           είναι άρτιος αριθμός.
16. (Θωμάς Ποδηματάς) Βάλτε στο μυαλό σας ένα τριψήφιο αριθμό (πχ. 542), μην το πείτε σε
κανέναν!! Αλλάξτε σειρά στα ψηφία με όποιο τρόπο επιθυμείτε (πχ. 452), αφαιρέστε τα δύο νούμερα
(πχ. 542 – 452). Το αποτέλεσμα αν είναι διψήφιο αριθμός τότε βάλτε το μηδέν στην αρχή για να
εκφραστεί ως τριψήφιος αριθμός (πχ. αν το αποτέλεσμα βγει 90 γράψτε 090). Πάμε στο μαγικό
μέρος, μου δίνετε δύο από τα τρία ψηφία του αριθμού που βρήκατε (πχ. 0 και 9) τότε εγώ θα σας
βρίσκω το τρίτο ψηφίο που κρύβεται (πχ. το 0)!
α) Περιγράψτε τη διαδικασία
β) Δώστε τη μαθηματική ερμηνεία.
γ) Το ίδιο πρόβλημα γίνεται και μεγαλύτερα νούμερα (πχ. τετραψήφια, πενταψήφια κ.τ.λ);
17. (Θωμάς Ποδηματάς) Βάλτε στο μυαλό σας έναν τριψήφιο αριθμό (πχ. 521) και μην το πείτε σε
κανέναν! Επαναλάβετε το νούμερο και κάντε το εξαψήφιο νούμερο (πχ. 521521). Διαιρέστε το
διαδοχικά με τη θύρα του Ολυμπιακού (το 7) και τη θύρα του Παναθηναϊκού (το 13). Τελικά
διαιρέστε το τελικό νούμερο με τον τριψήφιο αριθμό που θέσατε στην αρχή. Στο αποτέλεσμα
προσθέτουμε το 10. Κάνω τα μαγικά μου και βρίσκω ότι το νούμερο που εμφανίστηκε είναι η
επίσημη θύρα της ΑΕΚ δηλαδή ο αριθμός 21!!!
α) Περιγράψτε τη διαδικασία
β) Δώστε τη μαθηματική ερμηνεία.
γ) Το ίδιο πρόβλημα γίνεται και μεγαλύτερα νούμερα (πχ. τετραψήφια, πενταψήφια κ.τ.λ);
18. (Θωμάς Ποδηματάς) Διαλέξτε δύο μονοψήφιους και μη μηδενικούς αριθμούς x, y. Κάντε τα
εξής:
- Δεκαπλασιάστε τον πρώτο αριθμό
- Προσθέστε τον δεύτερο αριθμό στο αποτέλεσμα
- Διπλασιάστε το νούμερο που βρήκατε
- Και στο τέλος προσθέστε το τρία
Εγώ θα κάνω τα μαγικά μου, θα επικαλεστώ και την σοφία των αρχαίων μαθηματικών και θα σας
βρίσκω πάντα τους αριθμούς x και y.

7. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος http://lisari.blogspot.com
[7]
α) Περιγράψτε τη διαδικασία
β) Δώστε τη μαθηματική ερμηνεία.
γ) Το ίδιο πρόβλημα γίνεται και μεγαλύτερα νούμερα (πχ. τετραψήφια, πενταψήφια κ.τ.λ);