Algebra lyceum b_2002_2015

Άλγεβρα B΄ Λυκείου
Επαναληπτικά Θέματα
(προσομοίωσης Εξετάσεων)
Ο.Ε.Φ.Ε. 2002-2015 (και
των δύο φάσεων Α΄ & Β΄)
Επιμέλεια : Χρήστος Κ.Λοΐζος Μαθηματικός
https://liveyourmaths.wordpress.com/

1
Προσομοίωση 2002
Άλγεβρα
Β΄ Λυκείου – Γενικής Παιδείας
Θέμα 1ο
α) i) Να αποδειχτούν οι τύποι
ημ2
α =
2
21 ασυν−
, συν2
α =
2
21 ασυν+
Μονάδες 5
ii) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 22,5ο
.
Μονάδες 5
β) i) Να δώσετε τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου.
Μονάδες 5
ii) Αν αν, βν, ν∈Ν* είναι μια αριθμητική και μια γεωμετρική πρόοδος με διαφορά ω και λόγο λ
αντίστοιχα, να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της
στήλης Β που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση.
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β
α) αν+1
β) βν+1
γ) αν
δ) βν
ε) Sν
1.
2
ν
(α1+αν)
2. α1+(ν-1)ω
3. β1λ
4. αν+ω
5.
λ
βν 1+
Μονάδες 5
δ) Να χαρακτηρίσετε σαν Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις προτάσεις i έως v:
i lne = 1
ii loge =
10ln
1
iii ln0 = 1
iv ln
x
1
= - lnx με x > 0
v αx
> 0 με α > 0 και x ∈ R.
Μονάδες 5
Θέμα 2ο
Δίνονται τα πολυώνυμα
P(x)=2x3
+αx2
+x+2, Q(x)=βx2
+γx+1 και

2
F(x)=x3
+(2β+γ)x2
-10x+4β,
όπου α, β, γ ∈R και x∈R.
Το P(x) έχει ρίζα το –1, το υπόλοιπο της διαίρεσης Q(x):(x-2) είναι 15 και η αριθμητική τιμή του F(x)
για x=1 είναι 6.
α) Ν’ αποδείξετε ότι α=1, β=2 και γ=3 Μονάδες 7
β) Να λύσετε:
i) την εξίσωση P(x) = Q(x) Μονάδες 5
ii) την ανίσωση P(x) < F(x) Μονάδες 6
iii) την εξίσωση 2ημ3
x-ημ2
x-2ημx+1=0 Μονάδες 7
Θέμα 3ο
Δίνεται η συνάρτηση f με f(0)=f(1)=0 και τύπο f(x) = log(1+ex
)-α-βx, α,β∈R
i) Ν’ αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το R. Μονάδες 5
ii) Να βρείτε τις τιμές των α,β. Μονάδες 7
iii) Ν’ αποδείξετε ότι f(x) = log
( ) 





⋅
+
+ −1
2
1
1 x
x
x
e
e
Μονάδες 6
iv) Να λύσετε την ανίσωση log[(1+e
x
)⋅2
x-1
]-f(x)≤x Μονάδες 7
Θέμα 4ο
Η ποσότητα μιας τοξικής ουσίας Τ στα νερά μιας λίμνης ανέρχεται σε 3 μονάδες και αρχίζει να
αυξάνεται με την έναρξη της λειτουργίας μιας παραλίμνιας βιομηχανίας κατά 0,5 μονάδες ημερησίως.
Α. i) Να βρείτε σε πόσες ημέρες η ποσότητα της ουσίας Τ θα ξεπεράσει το όριο των 1863 μονάδων.
(δίνεται 29929 = 1732
).
Μονάδες 5
ii) Αν το 30% της ποσότητας της ουσίας Τ που διοχετεύεται από την βιομηχανία στην λίμνη κάθε
μέρα, αδρανοποιείται κατά τη διάρκειά της, πόση θα παραμείνει ενεργή στο τέλος της 82ης
ημέρας;
Μονάδες 6
Β. Ο πληθυσμός Α=100 χιλιάδες μιας ποικιλίας ψαριών τη λίμνης, αρχίζει να μειώνεται αμέσως μετά
την έναρξη της λειτουργίας της βιομηχανίας με ρυθμό 1% ημερησίως. Έστω βν ο αριθμός των
ψαριών που πεθαίνουν κατά την διάρκεια της ν-οστής ημέρας.
i) Ν΄ αποδείξετε ότι η ακολουθία (βν), ν∈Ν* είναι γεωμετρική πρόοδος με γενικό όρο:
βν = 0,01⋅Α⋅(0,99)ν-1
χιλιάδες
Μονάδες 10
ii) Να βρείτε τον πληθυσμό των ψαριών που απέμειναν στην λίμνη ύστερα από ν=5 ημέρες.
Μονάδες 4

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003
ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ
ΘΕΜΑ 1Ο
Α1 Αν α>0 µε 1α ≠ τότε για οποιουσδήποτε 0, 21 >θθ να δείξετε ότι ισχύουν :
1. 2α1α21α loglog)(θlog θθθ +=⋅
2. 1α1α logθlog θκ
κ
= , Rκ ∈ (ΜΟΝΑ∆ΕΣ 7,5)
Α2 ∆ίνεται η συνάρτηση ( )∞+∈= ,0x,log)( xxf
Να γράψετε στο τετράδιο σας ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές
και ποιες λανθασµένες
α) )()()( yfxfyxf ⋅=+
β) Η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση
γ) f(e)=1 (ΜΟΝΑ∆ΕΣ 7,5)
B1 Αντιστοιχίστε τα νούµερα της στήλης Α µε τα γράµµατα της στήλης Β
ΣΤΉΛΗ Α ΣΤΉΛΗ Β
1. ηµα α. συνα συν(-β)-ηµαηµ(-β)
2. συν(α-β)
β.
2
συν2α1−
3. ηµ2
α
γ. )
2
3
()
2
(ηµ 22
α
π
συνα
π
−−−
4. ηµ(α-β)
δ.
22
α
2
α
συνηµ ⋅
5 συν2α
ε. )
2
()
2
( α
π
ηµηµβσυνβα
π
συν −⋅−⋅−
(ΜΟΝΑ∆ΕΣ 5)
Β2 Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση:
Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ηµΑσυνΒ+ηµΒσυνΑ=1 τότε το τρίγωνο είναι
α. Οξυγώνιο β. Ισόπλευρο
γ. Ορθογώνιο δ. Κανένα από τα παραπάνω.
(ΜΟΝΑ∆ΕΣ 5)

ΘΕΜΑ 2Ο
∆ίνεται το πολυώνυµο 2λ)2λ()4λ()( 233
+−−+−= xxxP λλ
α) Να βρείτε τον βαθµό του Ρ(x) για τις διάφορες τιµές του λ (ΜΟΝΑ∆ΕΣ 8)
β) Για λ=1 να βρεθεί το Ρ(x) και να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ
διέρχεται από το σηµείο (1,-3). (ΜΟΝΑ∆ΕΣ 7)
γ) Να λύσετε την ανίσωση Ρ(x)<-3. (ΜΟΝΑ∆ΕΣ 10)
ΘΕΜΑ 3ο
∆ίνονται οι συναρτήσεις x
xf log
5)( = 5log
)( xxg = , ( )∞+∈ ,0x
Α. Να αποδείξετε ότι:
1. )()( xgxf = 2. )()()( yfxfyxf ⋅=⋅
3.
)(
)(
yf
xf
y
x
f =





4. [ ] Ννf(x))( ν
∈=
ν
xf (ΜΟΝΑ∆ΕΣ 8)
Β. Να λύσετε την εξίσωση: )(45)(2
xgxf ⋅+= (ΜΟΝΑ∆ΕΣ 8)
Γ. Να λύσετε την ανίσωση: )4()3( 2
−> xfxf (ΜΟΝΑ∆ΕΣ 9)
ΘΕΜΑ 4ο
Α. Αν elnα1 = και 18lnα4 += ο πρώτος και τέταρτος όρος µιας αριθµητικής προόδου να
βρεθούν τα εξής.
1. Η διαφορά της προόδου. (ΜΟΝΑ∆ΕΣ 3)
2. Αν Sν είναι το άθροισµα των ν πρώτων όρων της παραπάνω αριθµητικής προόδου, να
δείξετε ότι: 2
)1(
ν 2ln
−
+=
vv
S ν (ΜΟΝΑ∆ΕΣ 7)
3. Να βρεθεί το πλήθος των όρων ώστε :
21ν
ν
3
2ln
2
1 −
+=νS
(ΜΟΝΑ∆ΕΣ 5)
Β. ∆ίνονται οι αριθµοί 6,α2 ,α3, …,αν-1,36 ώστε να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής
προόδου.
α) Να βρεθεί η διαφορά της προόδου συναρτήσει του ν. (ΜΟΝΑ∆ΕΣ 5)
β) Να προσδιορίσετε τον αριθµό ν αν είναι γνωστό ότι ο αν-2 είναι διπλάσιος του τέταρτου
όρου της προόδου. (ΜΟΝΑ∆ΕΣ 5)

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ùùþ ÿ ù ,üù ù ü-ü

,0.2.ù0!. úï#0 #
+0./0.
ýþ þù
ù ùŒ.2120 $!.2 1

12.0Œ 0. 0!2.2.
û02. 1#.!21 1#[

˜ +!.%202 012 22
0.$12 2. 2Œ0! / 21#.!21 ./0

ù . /# 1 Œ!..2 .! . #0 002! 01
2. 2 .!
S

.
S .
S .r
S . ./0

S
#Œ!120112.20Œ 0Œ! 2.1 10 2 20#0.

H . 2!.3Œ.!.12.121#.!21 [
0

ü. 112 . 1$#!1 )2 2 ©#Œ Œ 2/.!010)
Œ ## #[

. .
. #0 © .! 2 # Œ! .1 2 .ª ./.

+û02. Œ ##011 .$.$.$.

0 .0!. #
1#200120ù .0!. .! z 0. #1 2011. /0020)2
2 0. /.!022 #12.0! # ! #. ÿ1$#0 2 .212! 3 û. 120
2.Œ.21 1.

û . 1#! # 02 .! [. 0. 12 )2 .

ú . !0 # Œ!..2 .! [ Œ@. 2 # Œ #
[1#

[
1#

[
[
˜ ./0

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ýþ þù
û02. 2 Œ ## .[[[

[
0 . 5 .z . 2
Œ 0. 12 )2 0$0 Œ.!. 2.2 [

0 [ [ [ /020)2
.! [ [ [ 0 2 10!. Œ #..30! 2..Œ 20 #/./ $ #
! #.!2Œ! / #0+ .! [[[
HHH 0Œ10 2 10!.
Œ #..30! 2..Œ 20 #/./ $ # ! #002!Œ! / #
./0

. !0 #2!0.! 0/.01 2 [
H . [
H +120.
Œ020. .Œ 20 #/./ $ # ! #2/. +002!! / #
./0

ýþ þù
ü12 [ 02 .! 0 [ z
û020)2 1$#0 [OQORJ[ORJOQ ˜˜ ./0

ù 1$#0 1 22.
[ORJ
ORJ

[OQ
OQ

¸
¹
·
¨
©
§
!020 Œ . 1$01 1#/00
2 #.! #[ ./0

Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2005
Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας
1
B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Αν α, β ,
2
π
κπβα +≠+ , zκ ∈ να δειχθεί ότι ( )
εφαεφβ1
εφβεφα
βαεφ
−
+
=+
(Μονάδες 10)
Β. Το παρακάτω γράφηµα είναι της συνάρτησης f
i) ( ) 1
2
x
συν2xf += ii) ( ) 1xηµxf +=
iii) ( )
2
x
συνxf = iv) ( ) 1
2
x
ηµ2xf +=
(Μονάδες 4)
Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας τη λέξη
Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση
α. Το σύνολο τιµών της συνάρτησης ( ) ogxxf l= είναι το ( )+∞,0
β. Η συνάρτησης που εκφράζει τον νόµο της εκθετικής απόσβεσης είναι ( ) ct
0eQtQ =
όπου 0c .
γ. Η εκθετική συνάρτηση ( ) 1α,0α,αxf x
≠= είναι γνήσια αύξουσα όταν 0α1.
δ. Το άθροισµα των v πρώτων όρων κάθε Γεωµετρικής Προόδου µε 1λ ≠ είναι
( )
1λ
1λα
S
v
1
v
−
−
=
ε. Ο τύπος που υπολογίζει το ηµίτονο γωνίας α από το συνηµίτονο της γωνίας 2α είναι
2
α2συν1
αηµ2 +
=
(Μονάδες 5)
ε π α ν α λ η π τ ι κ ά
2 0 0 5θ έ µ α τ α

2
∆. Να συµπληρώσετε στο τετράδιο σας στις παρακάτω ισότητες, τα κενά που σηµειώνονται
µε…
α. ( )=−βασυν ………………………………
όπου α, β γωνίες
(Μονάδες 2)
β. =⋅ 10noge ll ………………………………
(Μονάδες 2)
γ. =
2
1
θ
θ
ogl …………………………………..
όπου 1θ και 2θ θετικοί αριθµοί
(Μονάδες 2)
ΘΕΜΑ 2ο
Α. Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός x αν οι αριθµοί 1, x, 2- x είναι διαδοχικοί όροι
Γεωµετρικής Προόδου.
(Μονάδες 10)
Β. ∆ίνεται το πολυώνυµο ( ) ( ) ( ) 2xxβ3α2xβαxxP 234
−+−−−+= . Να βρεθούν τα α και
Rβ∈ αν το ( )xP έχει ρίζα το 1 και παράγοντα το 2x +
(Μονάδες 15)
ΘΕΜΑ 3ο
∆ίνονται οι αριθµοί 1α1 = α2συν
2
1
α2 = και αηµ2α 2
3 −= µε 





∈
2
π
,0α
α. να δειχθεί ότι 321 α,α,α αποτελούν τρεις πρώτους διαδοχικούς όρους Αριθµητικής
Προόδου
(Μονάδες 5)
β. να βρεθεί η τιµή του α αν το 2S4 −= όπου 4S το άθροισµα των 4 πρώτων όρων
(Μονάδες 8)
γ. αν
4
π
α = να υπολογιστεί το άθροισµα 103S των 103 πρώτων όρων της Α.Π.
(Μονάδες 7)
δ. να βρεθεί ο βαθµός του πολυωνύµου ( ) 2005xSxSxSxSxSxP 1
2
2
3
3
4
4
5
5 +++++=
(Μονάδες 5)
ΘΕΜΑ 4ο
Έστω η συνάρτηση f µε τύπο ( ) ( )1x1x2
ee2nxf ++
+= l
α. να βρεθεί το Πεδίο Ορισµού της και να δειχθεί ότι το γράφηµά της τέµνει τον yy ′ στο
σηµείο ( )3n1,0A l+
(Μονάδες 7)
β. να λυθεί η εξίσωση ( ) 1xf =
(Μονάδες 10)
γ. να βρεθούν τα διαστήµατα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την
ευθεία 1y =
(Μονάδες 8)

1
Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ∆ΕΙΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ΘΕΜΑ 1ο
Α α) Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α µε ένα και µόνο ένα
στοιχείο της στήλης Β που είναι ίσο
Στήλη Α Στήλη Β
Α. εφ2α
Β. συν2α
Γ. συν2
α
∆. ηµ(α-β)
1.1-2ηµ2
α
2. συνασυνβ-ηµαηµβ
3.
αεφ1
εφα2
2
−
4. ηµασυνβ-ηµβσυνα
5.
2
21 ασυν−
6.
2
α2συν1+
Μονάδες 5
β)Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των πρώτων ν όρων µιας γεωµετρικής
προόδου (αν) µε λόγο λ 1≠ είναι
1λ
1λ
αS
ν
1ν
−
−
=
Να εξετάσετε και την περίπτωση λ=1
Μονάδες 10
Β. α) Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή
απάντηση . Η τιµή της παράστασης Α=συν640
συν260
-ηµ640
ηµ260
είναι :
i) α.
2
2
β. 0 γ. 1 δ.-1
ii) Η τιµή της παράστασης 101-log2
είναι
α. 1 β.5 γ.2 δ.10
Μονάδες 5

2
β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας στο τετράδιό
σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί στην
κάθε πρόταση:
α. Αν σε µια ακολουθία είναι αν 0≠ και
λ
1
α
α
1ν
ν
=
+
για κάθε
*
Nν ∈ τότε η
ακολουθία (αν) είναι γεωµετρική πρόοδος µε λόγο λ
β. Ισχύει ότι: 2ηµ150
συν150
=

γ. Ισχύει ότι: συν2
300
-ηµ2
300
=συν600
δ. logα(θ1+θ2)=logαθ1+logαθ2
ε. 2α1α
2α
1α
θlogθlog
θlog
θlog
−=
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ 2ο
∆ίνεται το πολυώνυµο P(x)=2x3
+αx2
+βx-20 µε α,β R∈
α) Αν το πολυώνυµο P(x) έχει παράγοντα το x+2 και το υπόλοιπο της
διαίρεσης µε το x+1 είναι το -16 να αποδείξετε ότι α=12 και β=6
Μονάδες 8
β) Να λυθεί η εξίσωση P(x)=0
Μονάδες 8
γ) Να λυθεί η ανίσωση P(x)0
Μονάδες 9
ΘΕΜΑ 3ο
α) Να λύσετε την εξίσωση εφx=- 3
Μονάδες 5
β) Θεωρούµε τους θετικούς πραγµατικούς xκ=κπ-
3
π
, κ=1,2,3...
i) Να δείξετε ότι είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου και να βρείτε
τον πρώτο όρο και την διαφορά της
Μονάδες 5
ii) Να βρείτε το κ ώστε ο αριθµός
3
π6017
να είναι λύση της παραπάνω
εξίσωσης
Μονάδες 7
iii) Να υπολογίσετε το άθροισµα x1+x2+...x30
Μονάδες 8

3
ΘΕΜΑ 4Ο
Έστω η συνάρτηση f(x)= nxℓ , x0
α. Να λύσετε την εξίσωση f(2-ηµx)-f(συν2x)=f(3) αν 





∈
4
π
,0x
Μονάδες 6
β. Αν α0 και f(α) + f(α2
)+...+f(α100
)=5050 να αποδείξετε ότι α=e
Μονάδες 6
γ. Έστω α,β,γ0. Να αποδείξετε ότι:αν οι f(α), f(β), f(γ) είναι διαδοχικοί
όροι αριθµητικής προόδου τότε οι α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής
προόδου.
Μονάδες 5
δ. Να λύσετε την ανίσωση 012)x(f)x(f)x(f −+
Μονάδες 8

1
1
B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέµα 1ο
Α. α) Για κάθε τόξο α να αποδείξετε ότι:
2 2 2
2 2 1a a a aσυν συν ηµ συν= − = −
Μονάδες 6
β) Αν 0 1a ≠ και 1 2, 0θ θ , να αποδείξετε ότι:
( )1 2 1 2log log loga a aθ θ θ θ= +
Μονάδες 7
Β. Να απαντήσετε αν είναι Σωστή ή Λάθος κάθε µια από τις
παρακάτω προτάσεις:
1. Ισχύει ( ) 1
1 1 0 0P x a x a x a x aν ν
ν ν
−
−= + + + + =K για κάθε χ ∈ ബ αν
και µόνο αν 0 1 0a a aν= = = =K .
2. Αν το πολυώνυµο ( )P x είναι ν βαθµού (ν ∈ ത
) τότε το ( )2
P x
είναι 2ν βαθµού.
3. Η εξίσωση x aσυν = έχει λύση για κάθε α ∈ ബ.
4. Η συνάρτηση ( ) , 0 1α= ≠x
f x a έχει σύνολο τιµών το ( )0,+∞ .
5. Η συνάρτηση ( ) lnf x x= έχει πεδίο ορισµού το ( )0,+∞ .
6. Για κάθε 0x ισχύει: ln
=x
e x .
7. Για κάθε 0≠x ισχύει: 2
ln 2ln=x x .
8. Για κάθε 1x ισχύει: ln 0x .
Μονάδες 12
Θέµα 2ο
∆ίνεται ότι το πολυώνυµο:
( ) 3 2
4x x ax xβΡ = + + + όπου α, β ∈ R
έχει παράγοντες τους 1, 2x x+ − .
α) Να αποδείξετε ότι:
3a = − και 0β = Μονάδες 8
β) Να λύσετε την εξίσωση
( ) 0xΡ =
Μονάδες 8

2
2
γ) Έστω C η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )xΡ .
Να βρείτε
i) Τις συντεταγµένες του σηµείου στο οποίο η C τέµνει τον άξονα
y΄y.
Μονάδες 3
ii) Τις τιµές του x για τις οποίες η C είναι κάτω από τον άξονα x΄x.
Μονάδες 6
Θέµα 3ο
Έστω η αριθµητική πρόοδος ( )aν µε πρώτο όρο 1 2a xσυν= και
διαφορά 2xω ηµ= , όπου 0,
2
x
π 
∈  
 
.
α) Να αποδείξετε ότι: 2
4 8
1
1 2
a
x
a a
σϕ
+
=
− +
.
Μονάδες 9
β) Να αποδείξετε ότι:
1 2 3 10... 10 2 45 2συν ηµ+ + + + = +a a a a x x
Μονάδες 7
γ) Να λύσετε την εξίσωση:
1 2 3 10... 10 55 2ηµ+ + + + = − +a a a a x
Μονάδες 9
Θέµα 4ο
Έστω η συνάρτηση ( ) ( )ln 2x
f x e= −
α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f
Μονάδες 3
β) Να λύσετε την εξίσωση:
( ) ( )2 ln7f x f x= +
Μονάδες 7
γ) Να αποδείξετε ότι οι αριθµοί ( ) ( ) ( ), ,f a f fβ γ είναι διαδοχικοί
όροι Αριθµητικής προόδου αν και µόνο αν: ( ) ( ) ( )
2
2 2 2e e eβ α γ
− = − −
Μονάδες 7
δ) Να αποδείξετε ότι:
( ) ( ) ( )
101
1 2 100 201 200
...
1
f f f e e
e e e
e
− +
+ + + =
−
Μονάδες 8

1
1
Β' ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Α) Αν 0α µε 1α ≠ , να αποδείξετε ότι για κάθε 0θ και Rκ ∈
ισχύει: log logκ
α αθ = κ ⋅ θ.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 8
Β) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας
την ένδειξη Σ ΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε
πρόταση.
α) Για κάθε x R∈ ισχύει
x
x1
3
3
 
 
 
.
β) Το π είναι λύση της εξίσωσης συνx + 1 = ηµ2x.
γ) Η εξίσωση 4 2
x 3x x 1 0+ + + = δεν έχει ακέραιες ρίζες.
δ) Ισχύει 5
5 ln e= .
ε) Αν (αν), *
v N∈ είναι µία αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω≠ 0, τότε ισχύει:
2007 2008α − α = ω .
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 5
Γ) Για τις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα, που
αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση, δίπλα στον αριθµό κάθε ερώτησης.
1. Η συνάρτηση
x
1
f (x)
 
=  
α 
µε 1α είναι :
Α. γνησίως αύξουσα στο R Β. σταθερή στο R
Γ. γνησίως φθίνουσα στο R ∆. κανένα από τα προηγούµενα
2. Αν x 0 και ισχύει ln x 3= , τότε :
Α. 4
x e= Β. 6
x e=
Γ. 3
x e= ∆. 9
x e=
3. Η εξίσωση ηµxσυν3x + ηµ3xσυνx = 4, x∈R:
Α. έχει λύση το x = 0 Β. έχει λύση τοx
2
π
=
Γ. έχει λύση το x = π ∆. είναι αδύνατη
4. Αν το πολυώνυµοP(x) έχει παράγοντα το x–1, τότε έχει οπωσδήποτε
παράγοντα και το
Α. x+1 Β. –x–1
Γ. 1–x ∆. κανένα από τα προηγούµενα.

2
2
5. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων x
f (x) e= και g(x) ln x= είναι
συµµετρικές ως προς :
Α. τον άξονα y΄y Β. την ευθεία y = x
Γ. τον άξονα χ΄χ ∆. την ευθεία y = 2x
6. Το πολυώνυµο ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 2 2
(x) 1 x 1 x 1 x 2Ρ = λ − + λ − + λ − + λ + λ − είναι το
µηδενικό πολυώνυµο, όταν το λ ισούται µε :
Α. 1 Β. –1
Γ. –2 ∆. κανένα από τα προηγούµενα.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 12
ΘΕΜΑ 2ο
∆ίνονται τα πολυώνυµα P(x) = x3
–5x2
+16x–12 και F(x) = x2
+5x–6.
α) Να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) = F(x) (1).
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 8
β) Να βρείτε το διάστηµα, που ανήκει το x, έτσι ώστε η γραφική παράσταση της
συνάρτησης Ρ(x), να βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 8
γ) Έστω (αν), *
v N∈ µία γεωµετρική πρόοδος µε πρώτο όρο τη µεγαλύτερη ρίζα
της εξίσωσης (1) και λόγο λ τη µεσαία ρίζα της (1), τότε:
i) Να υπολογίσετε την τάξη του όρου της γεωµετρικής προόδου αν, που
ισούται µε 192.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 5
ii) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 2008 2005
2007 2006
α α
α α
⋅ .
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 4
ΘΕΜΑ 3ο
∆ίνεται η συνάρτηση f(x) =
ηµ4x 2ηµ2x
συνx
+
, µε
π
x κπ ,κ Ζ
2
≠ + ∈ .
α) Να αποδείξετε ότι: f(x) = 8ηµx–8ηµ3
x.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 9
β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 16ηµx.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 8

3
3
γ) Να αποδείξετε ότι, οι αριθµοί f(
π
6
− ), f(0), f(
π
6
) µε τη σειρά που δίνονται
είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 8
ΘΕΜΑ 4ο
∆ίνεται η συνάρτηση f (x) ln(x )α β= + − ,όπου α, β R∈ .
Α. Αν
π
ln 6 f ( ) ln 5 ln π
2
+ − = ,τότε:
α) Να αποδείξετε ότι: α – β =
3
π
.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 8
β) Να λύσετε την εξίσωση f (x ) f ( x ) 1
ηµ(e ) συν(e )
2
⋅ = .
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 5
Β. Αν η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα χ΄χ στο σηµείο Α(1,0), τότε:
α) Να αποδείξετε ότι: α – β = 0.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 4
β) Nα λύσετε την ανίσωση
)ln(2ef(x) 4
2216 ⋅ .
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 8
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

1
1
Β' ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Α.1. Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυµο P(x) έχει παράγοντα το x−ρ αν και µόνο
αν, το ρ είναι ρίζα του P(x), δηλαδή αν και µόνο αν Ρ(ρ) = 0.
9 MΟΡΙΑ
A.2. Πότε ένα πολυώνυµο λέγεται µηδενικό πολυώνυµο; Πότε ένα πολυώνυµο
λέγεται πολυώνυµο µηδενικού βαθµού;
3 MΟΡΙΑ
Β.1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό
σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε
πρόταση.
α. Το άθροισµα των ν πρώτων όρων µιας γεωµετρικής προόδου αν µε
πρώτο όρο α1 και λόγο λ 1≠ δίνεται από τον τύπο
( )ν
1
ν
α λ 1
Σ
λ 1
−
=
−
β. Ο σταθερός όρος του πολυωνύµου 2 2009
P(x) (x 1) 2007x 2009= − + +
είναι 2009.
γ. Η παράσταση ln10 loge
A e 10= + είναι ίση µε 10+e .
δ. Αν ( )συν α β 0 , συνα 0 και συνβ 0+ ≠ ≠ ≠ τότε ισχύει
εφα+εφβ
εφ(α-β)=
1-εφα.εφβ
.
ε. Αν η διαίρεση ενός πολυωνύµου P(x) 4ου
βαθµού δια του 2
x 1+ δεν
είναι τέλεια τότε το υπόλοιπο είναι πολυώνυµο το πολύ 1ου
βαθµού.
5 MΟΡΙΑ
Β.2. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή
απάντηση.
Αν το πολυώνυµο Ρ(x) = x2009
+ 3λx - 4, όπου λ πραγµατικός αριθµός, έχει
παράγοντα το x − 1, τότε το λ είναι:
Α: −2
Β: 2
Γ: 1
∆: 0
Ε: −1 2 MΟΡΙΑ

2
2
B.3. Για ποιες τιµές του α η συνάρτηση ( )
x
α-2
f x
α+2
 
=  
 
έχει νόηµα στο R.
Α. α −2
Β. α 2
Γ. –2 α 2
∆. α −2 ή α 2
Ε. α ≤ −2 ή α ≥ 2
2 MΟΡΙΑ
B.4. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε
γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που είναι λύση της εξίσωσης της Στήλης Α.
Στήλη Α Στήλη Β
A. x
2 =32 1. x=9
Β.
x
3 8
2 27
 
= 
 
2. x=10
Γ. 3log x=2 3. x=5
∆. xlog 0,001= -3 4. x=-3
5.
1
x
10
=
4 MΟΡΙΑ
ΘΕΜΑ 2ο
∆ίνεται το πολυώνυµο 3 2
P(x)=x -(α+3)x +(2β+1)x-2α , όπου α και β είναι πραγµατικοί
αριθµοί.
α) Αν ο αριθµός 2 είναι ρίζα του πολυωνύµου P(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης
του πολυωνύµου P(x) δια του x+1 είναι -18, να βρεθούν τα α και β.
10 MΟΡΙΑ
β) Για α=2 και
7
β
2
= :
i) Να λυθεί η εξίσωση P(x)=0 .
5 MΟΡΙΑ
ii) Να γίνει η διαίρεση του πολυωνύµου P(x) δια του πολυωνύµου x2
+1
και να γραφεί το P(x) µε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης.
5 MΟΡΙΑ
iii) Να λυθεί η ανίσωση P(x) 7x 1≥ + .
5 MΟΡΙΑ

3
3
ΘΕΜΑ 3ο
A. ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = συνx.
α) Να λυθεί η εξίσωση f 2x 3f x 2 0+ + =( ) ( )
6 MΟΡΙΑ
β) Αν
π
x=
3
να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης
( ) ( ) ( )2 10 10
L= 1+f x +f x +...+f x 2 38  − 
7 MΟΡΙΑ
Β. ∆ίνεται η συνάρτηση ( )x
g(x) 1 2α= − , x∈R
α) Για ποιες πραγµατικές τιµές του α ορίζεται στο R η συνάρτηση g και
είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισµού της.
6 MΟΡΙΑ
β) Για α=-1 να λυθεί η εξίσωση ( ) ( )2 2
g ηµ x g συν x 2 3+ = .
6 MΟΡΙΑ
ΘΕΜΑ 4ο
∆ίνεται η συνάρτηση
2ln x 1
f (x)
2ln x 1
+
=
−
.
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f και το σηµείο τοµής της
γραφικής της παράστασης µε τον άξονα x΄x..
6 MΟΡΙΑ
β) Να δείξετε ότι
( )
1 1
f
x f x
 
= 
 
για κάθε x 0 και
1 1
2 2x e , x e
−
≠ ≠ .
6 MΟΡΙΑ
γ) Να λυθεί η εξίσωση
1
f (x) 2f 3
x
 
+ = 
 
για κάθε x 0 και
1 1
2 2x e , x e
−
≠ ≠ .
7 MΟΡΙΑ
δ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης
( ) ( ) ( ) ( )1000 1001 1002 1003 1004
A=lnf(e )+lnf e +lnf e +lnf e +lnf e
6 MΟΡΙΑ

1
1
B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Α.1. Αν α, β είναι δύο γωνίες για τις οποίες ισχύει συν 0α ≠ , συν 0β ≠ και
( )συν 0α β+ ≠ να αποδείξετε ότι:
( )
εφ εφ
εφ
1 εφ εφ
α β
α β
α β
+
+ =
− ⋅
.
Μονάδες 10
Α.2. Σε µία αριθµητική πρόοδο (αν) να γράψετε τον τύπο που δίνει το νιοστό όρο αν
που έχει πρώτο όρο α1 και διαφορά ω καθώς και τον τύπο του αθροίσµατος
των ν πρώτων όρων.
Μονάδες 5
Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό
πρόταση.
i.
3
συν60 συν30 ηµ60 ηµ30
2
ο ο ο ο
+ = .
ii. Το πολυώνυµο 3 2010
( ) ( 1) 2P x x x x= + − + + έχει σταθερό όρο 3.
iii. Εάν α , β, γ είναι διαδοχικοί όροι οποιασδήποτε αριθµητικής προόδου,
τότε ισχύει β2
=αγ.
iv. ln , 0x
e xθ θ θ= ⇔ = .
v. Αν α 0 µε α ≠ 1, τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ2 0 ισχύει
1
1 2
2
log
log log
log
α
α α
α
θ
θ θ
θ
= − .
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ 2ο
∆ίνεται το πολυώνυµο 3 2
( ) µε ,P x x x x Rα β α β= + − + ∈ και το πολυώνυµο
2
( ) 1Q x x x= + − .
α) Να βρεθούν , Rα β ∈ αν η αριθµητική τιµή του ( )P x για 3x = − είναι 8− και
έχει παράγοντα το 2x + .
Μονάδες 10

2
2
β) Αν 2 2α και β= = − , να βρείτε το πηλίκο Π(x) της διαίρεσης του P(x) δια του
( )Q x και να γράψετε το P(x) µε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης.
Μονάδες 8
γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) 1P x Q x= − .
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ 3ο
Α. α) Να λύσετε την εξίσωση ηµ2 2συν 0x x− = (1).
Μονάδες 9
β) Να αποδείξετε ότι οι λύσεις της (1) στο διάστηµα [ ]0,π είναι διαδοχικοί
όροι αριθµητικής προόδου.
Μονάδες 8
Β. Να αποδείξετε ότι 43 4συν2 συν4
εφ
3 4συν2 συν4
α α
α
α α
− +
=
+ +
για όλες τις τιµές του α που
ορίζεται η ισότητα .
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ 4ο
Α. ∆ίνεται η συνάρτηση ( )
( )ln 1
ln
x
x
x
ϕ
+
= , για 1x .
i. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης
( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 ... 63 2004L ϕ ϕ ϕ ϕ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
Μονάδες 6
ii. Να λυθεί η ανίσωση ( ) ( )2
x xϕ ϕ
Μονάδες 6
B. ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ( )( )2
ln 1x x
f x e e e e= − + + .
i. Για ποιες τιµές του x, µε 0x ορίζεται η συνάρτηση f .
Μονάδες 7
ii. Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( )ln ln 1f x x= − για κάθε x e
Μονάδες 6

1
1
B' ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ A
Α.1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση ν ν-1
ν ν-1 1 0α x +α x +...+α x+α =0 , µε ακέραιους
συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ≠0 είναι ρίζα της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι ο ρ
είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α0 .
(8 Μόρια)
Α.2. Αν 0α µε 1α ≠ τότε για οποιουσδήποτε 1 2, 0θ θ να γράψετε τα
αναπτύγµατα των τύπων 1
2
logα
 θ
 
θ 
και ( )1 2logα θ θ χρησιµοποιώντας τις
ιδιότητες των λογαρίθµων.
(2 Μόρια)
Α.3. Τι γνωρίζετε για την µονοτονία της συνάρτησης ( ) x
f x =α , 0α 1≠ .
(3 Μόρια)
Α.4. Να γράψετε στο τετράδιό σας για κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις το
γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση .
α. Η συνάρτηση ( ) ( )
1453
f x 2x
2011
= ηµ έχει περίοδο :
Α:
π
T = π +
4
Β: T = π Γ: T = -2π
∆:
π
T =
2
Ε:
1453
2011
Τ =
(2 Μόρια)
β. Το άθροισµα των συντελεστών του πολυωνύµου
( ) ( )
154 2 5
P x x 3x 2x x 4x= − + − + είναι :
Α:
15
2 4+ Β: 1 Γ: 3
∆: 5 Ε. κανένα από τα προηγούµενα.
(2 Μόρια)

2
2
γ. Αν Sν συµβολίζει το άθροισµα των πρώτων ν όρων µιας γεωµετρικής
προόδου (αν) µε λόγο λ≠1 και πρώτο όρο α1 , τότε είναι :
Α: ν 1 ν
λ 1
S =α
λ 1
−
−
Β:
ν
ν 1
λ 1
S =α
λ 1
−
−
Γ:
ν
1
ν
α λ 1
S =
λ 1
−
−
∆:
ν
ν 1
1 λ
S =α
λ 1
−
−
Ε: κανένα από τα προηγούµενα
(2 Μόρια)
A.5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό
πρόταση.
α. Κάθε σταθερό µη µηδενικό πολυώνυµο είναι µηδενικού βαθµού.
(2 Μόρια)
β. Η συνάρτηση f µε τύπο ( )f x x= εϕ είναι περιοδική µε περίοδο
2
T =
π
.
(2 Μόρια)
γ. Η συνάρτηση f µε τύπο ( ) x x
f x = α β όπου α0 , β0 µε α≠1, β≠1 είναι
γνησίως αύξουσα στο R , όταν
1
α
β
.
(2 Μόρια)
ΘΕΜΑ B
∆ίνεται η συνάρτηση ( )
βx
f x =α συν
2
 
⋅  
 
(1) , όπου β0 και α R∈ . Αν γνωρίζετε ότι
η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σηµεία ( )A 0,β+5 , και
 π
 β 
24
Β ,4β
τότε:
Β.1. Να αποδείξετε ότι 4 1α και β= = − .
(7 Μόρια)
Β.2. Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f µε την
ευθεία y=4 στο διάστηµα [0,12π].
(7 Μόρια)
Β.3. Να βρείτε την µέγιστη και ελάχιστη τιµή της συνάρτησης f καθώς και την
περίοδό της.
(6 Μόρια)

3
3
Β.4. Να βρείτε την τιµή των παραστάσεων ( )
2
f 4 f
3
π
π
 Α = −   
και
( )
( )
( )
2010
f 0 1
3f 0 4
f 0 1
−
Β = +
−
(5 Μόρια)
ΘΕΜΑ Γ
∆ίνεται πολυώνυµο 4 3 2
P(x)=x +αx 7x +βx+2− , όπου α και β είναι πραγµατικοί
αριθµοί. Αν η διαίρεση του ( )P x δια x 1− δίνει υπόλοιπο 1 και η αριθµητική τιµή
του για x 2=− είναι 10, τότε:
Γ.1. Να βρείτε τις τιµές τωνα, β∈R .
(7 Μόρια)
Γ.2. Για τις τιµές 5 10α και β=− = ,
α. Να βρείτε το πηλίκο Π(x) της διαίρεσης του P(x) δια του
3 2
Q(x)=x +x 2x− και να γράψετε το P(x) µε την βοήθεια της
ταυτότητας ευκλείδειας διαίρεσης.
(6 Μόρια)
β. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( )P x =υ x ,όπου υ(x) το υπόλοιπο της
διαίρεσης του P(x) δια ( )Q x .
(7 Μόρια)
γ. Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της
πολυωνυµικής συνάρτησης Q(x) βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x.
(5 Μόρια)
ΘΕΜΑ ∆
4 x
f x ln
4 x
− 
=  
+ 
.
∆.1. Να ορίσετε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f και να αποδείξετε ότι γραφική
της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
(5 Μόρια)
∆.2. Να υπολογίσετε η τιµή της παράστασης
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A f 3 f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3= − + − + − + + + +
(6 Μόρια)
∆.3. Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( )f x f x 2ln3− − − .
(7 Μόρια)
∆.4. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( )2f x f x
e 3 4e+ = .
(7 Μόρια)

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ2ΓΑ(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 3
ΤΑΞΗ: Β΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ
Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ A
Α.1. Να δώσετε τον ορισµό της αριθµητικής προόδου.
Μονάδες 3
Α.2. Να αποδείξετε οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου αν και
µόνο αν 2β = α + γ.
Μονάδες 6
Α.3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις, γράφοντας δίπλα στο γράµµα που
αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή
Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.
α) Το 5 είναι µία πιθανή ακέραια ρίζα της εξίσωσης
3 2
2x x 6x 5 0 , όπου .− λ + − = λ∈ℤ
β) Υπάρχουν τιµές του x ∈ ℝ έτσι, ώστε να ισχύει x
e 0−
.
γ) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης δύο πολυωνύµων είναι πολυώνυµο
µηδενικού βαθµού, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια.
δ) Η εξίσωση xηµ = α , όπου 1α , έχει λύση στο ℝ.
ε) Το άθροισµα των πρώτων ν όρων γεωµετρικής προόδου ( )να µε λόγο λ=1
και πρώτο όρο α1 είναι ίσο µε 1S ( )ν
ν = α , για κάθε *
Nν∈ .
Μονάδες 5x2=10
A.4. Να µεταφέρετε στο τετράδιο σας τον παρακάτω πίνακα και να τον
συµπληρώσετε έτσι, ώστε τα στοιχεία της κάθε γραµµής να είναι ίσα:
Αριθµός Με µορφή λογαρίθµου Με µορφή δύναµης
8 7log (.............) (.................)
3
…….. 4
3log (3 ) 82log (.......)
8
……… log(.............) ln2012
e

ΘΕΜΑ Β
∆ίνεται η πολυωνυµική συνάρτηση 3 2
f(x) 2x 3x 1= − + .
Β.1. Να λύσετε την εξίσωση f(x) 0= .
Μονάδες 6
Β.2. Να λύσετε τις τριγωνοµετρικές εξισώσεις xηµ = α , xσυν = β όπου α η διπλή
ρίζα της παραπάνω εξίσωσης και β η άλλη ρίζα της ίδιας εξίσωσης.
Μονάδες 6
Β.3. Να βρείτε τις τιµές του x ∈ℝ έτσι, ώστε η γραφική παράσταση της f, να µην
είναι πάνω από τον άξονα των x΄x.
Μονάδες 8
Β.4. Να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης 2
f( x) :(x 1)− + .
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
∆ίνονται οι συναρτήσεις 2
f(x) x x= α +β + γ και 2
g(x) x= ηµ + α +β+ γ , όπου α, β, γ
θετικοί πραγµατικοί αριθµοί και ln , ln , lnα β γ διαδοχικοί όροι αριθµητικής
προόδου.
Γ.1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h(x) ln(f(x))= , έχει πεδίο ορισµού το ℝ .
Μονάδες 5
Γ.2. Έστω γεωµετρική πρόοδος (αν ) µε 1 lneα = α = , ln
2 e β
α = και log
3 10 γ
α = και
5 256α =
α) Να βρείτε τους αριθµούς α, β και γ .
Μονάδες 6
β) Για α=1, β=4 και γ=16 να λύσετε την εξίσωση f( x) g(x)συν = , στο
διάστηµα (0,4 ]π .
Μονάδες 8
Γ.3. Έστω αριθµητική πρόοδος ( )νβ µε θετική διαφορά ω και µε β1, β2 τις λύσεις
της εξίσωσης f( x) g(x)συν = , στο διάστηµα (0,4 ]π .Αν το άθροισµα των
πρώτων ν όρων της αριθµητικής προόδου ( )νβ είναι ίσο µε 2550π , να βρείτε
τον αριθµό ν .
Μονάδες 6

ΘΕΜΑ ∆
∆ίνονται οι συναρτήσεις
ln x
g(x)
ln 2
= και x
1
f(x)
ln(2 3)
=
−
.
∆.1. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της g και να συγκρίνετε τους αριθµούς g(3), 2.
Μονάδες 6
∆.2. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f.
Μονάδες 6
∆.3. Αν 4κ να λύσετε την ανίσωση 2
1
f(log )
2
κ .
Μονάδες 6
∆.4. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης 3 2
( x 7x 6) :(x 1)− − + + είναι το πολυώνυµο
2 3 20 210
(x) (f ( ) 1) x g( ) g( ) g( ) .... g( )
ln 2
υ = β − ⋅ + α + α + α + + α −
να δείξετε ότι ln2
3 eβ⋅
α + = , όπου α ανήκει στο πεδίο ορισµού της g και β
ανήκει στο πεδίο ορισµού της f.
Μονάδες 7
Σας ευχόµαστε επιτυχία

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ
Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013
∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α.1. Να αποδείξετε ότι αν α 0 µε α ≠ 1 τότε για κάθε θ1,θ2 0 ισχύει
( )α 1 2 α 1 α 2log θ θ = log θ + log θ⋅
Μονάδες 9
Α.2. α) Πότε µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α λέγεται άρτια;
Μονάδες 3
β) Πότε µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α λέγεται περιοδική;
Μονάδες 3
Α.3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας
το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή,
ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.
α) Ο βαθµός του γινοµένου δύο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το
άθροισµα των βαθµών των πολυωνύµων αυτών.
Μονάδες 2
β) Αν α 0 µε α ≠ 1 και θ 0 τότε x
αα = θ x = log θ⇔
Μονάδες 2
γ) Η συνάρτηση f(x) = εφx έχει πεδίο ορισµού της το σύνολο
{ }x | ηµx 0ϭ = ≠ℝ
Μονάδες 2
δ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f µε ( )f(x) = φ x +c όπου c 0,
προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ
κατά c µονάδες προς τα δεξιά.
Μονάδες 2
ε) Η συνάρτηση x
f(x) = α µε 0 α 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ.
Μονάδες 2

ΘΕΜΑ B
Έστω το πολυώνυµο ( ) ( )3 2
P(x) = 2x + α +β x + 2α+5β x +3 µε α,β∈ℝ .
Β.1. Να βρείτε τις τιµές των α,β∈ℝ έτσι ώστε το x+1 να είναι παράγοντας του P(x)
και το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x): (x – 2) να ισούται µε –9
Μονάδες 8
Β.2. Για α = –7 και β = 2:
α) Nα λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
Μονάδες 5
β) Να κάνετε τη διαίρεση ( )2
P(x): x 1− και να γράψετε την ταυτότητα της
διαίρεσης.
Μονάδες 6
γ) Αν υ(x) το υπόλοιπο της προηγούµενης διαίρεσης να λύσετε την ανίσωση
υ(x)
0
P(x)
≥
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ
∆ίνεται το σύστηµα
( )
( )
θ
ηµ π+θ x +συν( θ)y =1
π
ηµ θ x ηµ θ π y =1
2


∈  
 
 
−
− − −
ℝ͕ .
Γ.1. Να δείξετε ότι το σύστηµα έχει µοναδική λύση την
( ) ( )x,y = συνθ ηµθ,ηµθ+συνθ− , θ∈ℝ .
Μονάδες 12
Γ.2. ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ( )α
xf = 10 3 συνx 4, α− − ∈ℝ .
α) Να βρείτε την τιµή του α για την οποία η συνάρτηση έχει µέγιστη τιµή το 3
Μονάδες 6
β) Για α = 1, να βρείτε τις τιµές του θ∈ℝ για τις οποίες ( )θxy = f όπου (x, y)
είναι η µοναδική λύση του συστήµατος.
Μονάδες 7

ΘΕΜΑ ∆
( )
( )
2
x 2
x 2
ln e e 3
f x =
ln e e 2
 
 − −
− −
∆.1. Να συγκρίνετε τους αριθµούς ( )2
ln 2e , ( )3 2
ln e + e , 2 και να βρείτε το πεδίο
ορισµού της συνάρτησης.
Μονάδες 7
∆.2. Να λύσετε την ανίσωση
2
y 3
6
y 2
−
≥
−
Μονάδες 5
∆.3. Έστω ( )3 2
0x = ln e + e :
α) Να αποδείξετε ότι ( )0f x = 6
Μονάδες 5
β) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )0f x f x≥ για κάθε ( )( )2
x ln 2e , +∈ ∞ . (µονάδες 5)
Είναι το ( )0f x ελάχιστο της συνάρτησης; (µονάδες 3)
Μονάδες 8

ΜΑΘΗΜΑ: ΆΛΓΕΒΡΑ/ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ
Ηµεροµηνία: M. Τετάρτη 16 Απριλίου 2014
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ A
Α.1. Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης σ’ ένα διάστηµα ∆
του πεδίου ορισµού της.
Μονάδες 4
Α.2. Να αποδείξετε την τριγωνοµετρική ταυτότητα 2 2
1ηµ ω + συν ω = , για κάθε
ω∈ℝ .
Μονάδες 7
Α.3. Να δώσετε τον ορισµό του λογαρίθµου µε βάση α, ενός θετικού αριθµού θ
όπου 0α και 1α ≠ .
Μονάδες 4
αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστή, αν η πρόταση είναι σωστή, ή
α) Ένα γραµµικό σύστηµα 2 2× αν έχει περισσότερες από µία διαφορετικές
λύσεις, τότε θα έχει άπειρες.
β) Αν f (x) f (0)≥ για κάθε x ∈ ℝ,τότε η f παρουσιάζει κατ’ ανάγκη (ολικό)
ελάχιστο στο 0.
γ) Για κάθε γωνία θ που ορίζονται η εφθ και η σφθ, ισχύει 0σϕθ⋅εϕθ ≠ .
δ) Το µηδενικό πολυώνυµο, έχει βαθµό ίσο µε µηδέν.
ε) Για κάθε x 0 ισχύει nx
e x=ℓ
.

ΘΕΜΑ Β
Έστω 3 2 2
P(x) x 2 x x 2= + α − α + πολυώνυµο, α∈ℝ . Αν το πολυώνυµο P(x) διαιρεθεί
µε το x 1− , δίνει υπόλοιπο 3 1α + .
Β.1. Να βρείτε τις τιµές του αριθµού α .
Μονάδες 7
Β.2. Για 1α = και πολυώνυµο 2
Q(x) x x 1= + + :
α) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο (x)π και το υπόλοιπο (x)υ της Ευκλείδειας
διαίρεσης του P(x) µε το Q(x) είναι x 1+ και 3x 1− + αντίστοιχα.
Μονάδες 4
β) Να λύσετε την ανίσωση
P(x) x 2
1
Q(x)
+ −
≥ .
Μονάδες 8
γ) Να λύσετε την εξίσωση (x) Q(x)π = .
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ
3
f (x) x
2
π 
= αηµ +β 
 
όπου α∈ℝ και 0 1≤ β ≤ , της οποίας η
γραφική παράσταση διέρχεται από τα σηµεία (0, 2)Α − , B( , 1)π − .
Γ.1. Να βρείτε τις τιµές των α και β.
Μονάδες 8
Αν
x
f (x) 2
3
 
= − συν 
 
Γ.2. α) Να βρείτε τη µέγιστη, την ελάχιστη τιµή της f και την περίοδό της.
Μονάδες 4
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστηµα [0,6 ]π και να
µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία στο ίδιο διάστηµα.
Μονάδες 4

Γ.3. ∆ίνεται το γραµµικό σύστηµα:
f (0)x f (2014 )y 4
( )
f ( )x f (2 )y 0
λ + π = λ
Σ 
λ −π + λ π =
Να βρείτε τις τιµές της παραµέτρου (λ )λ ∈ℝ ώστε το παραπάνω σύστηµα να
έχει άπειρες λύσεις καθώς και τη µορφή των απείρων λύσεων.
Μονάδες 9
ΘΕΜΑ ∆
x
x
4 2
f(x) n
4 2 1
 −
=  
⋅ − 
ℓ .
∆.1. Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισµού της f είναι το διάστηµα A ( 2,2)= − .
Μονάδες 6
∆.2. Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.
Μονάδες 5
∆.3. Να βρείτε (αν υπάρχει) την τετµηµένη του σηµείου τοµής της γραφικής
παράστασης της f µε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
h(x) x n 2 n 3= −ℓ ℓ .
Μονάδες 6
∆.4. Να λύσετε την ανίσωση 2 2 2 2
n (e ) f (x) 4 f ( x) n x nx 3− ⋅ ⋅ − + − −ℓ ℓ ℓ .
Μονάδες 8
Σας ευχόµαστε επιτυχία.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015
Α΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.ΑΜλ2ΓΑ(ε)
Ηµεροµηνία: ∆ευτέρα 5 Ιανουαρίου 2015
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ A
Α1. ∆είξτε ότι 1εϕω σϕω⋅ = .
(15 µονάδες)
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό
σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η
πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν ή πρόταση είναι λανθασµένη.
α. Αν σ’ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 είναι D = 0, τότε το σύστηµα έχει
κατ’ ανάγκη άπειρες λύσεις.
β. Η συνάρτηση ( )f x xσυν= είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα
3
,
2
π
π
 
  
.
γ. Η περιττή συνάρτηση έχει γραφική παράσταση συµµετρική ως προς την
αρχή των αξόνων Ο(0, 0).
δ. Ισχύει 2 2
2συν α ηµ α συν α= − .
ε. Η συνάρτηση f (x), µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α, παρουσιάζει
ελάχιστο (ολικό) στο 0 ,x ∈ Α αν 0( ) ( )f x f x≥ για κάθε x∈Α.
(5⋅ 2 µονάδες)
ΘΕΜΑ Β
∆ίνεται η συνάρτηση 2
( ) 2 12 19f x x x= − + .
Β1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f γράφεται στη µορφή: 2
( ) 2( 3) 1f x x= − + .
(Μονάδες 9)
Β2. Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2
( ) 2 .g x x= Στο ίδιο
σύστηµα αξόνων, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να
εξηγήσετε πως αυτή προκύπτει µετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση
της g.

Α΄ ΦΑΣΗ
(Μονάδες 8)
Β3. Από τη γραφική παράσταση της f να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας, το είδος του
ακροτάτου, καθώς και την τιµή του.
(Μονάδες 8)
ΘΕΜΑ Γ
1
( )
1
x
f x
x x
συν
συν ηµ
= −
+
.
Γ1. ∆είξτε ότι ( )f x xεϕ= για κάθε , κ
2
x
π
κπ≠ + ∈ℤ .
(Μονάδες 8)
Γ2. Υπολογίστε την τιµή της παράστασης
4 35
12 2009
3 4
f f
π π   
Α = −   
   
.
(Μονάδες 9)
Γ3. Λύστε την εξίσωση ( )
4
f x x
π
εϕ
 
= − − 
 
(Μονάδες 8)

Α΄ ΦΑΣΗ
ΘΕΜΑ ∆
∆ίνεται το σύστηµα:
( 1) 8 4
, λ
( 3) 2
x y
x y
λ
λ λ
+ + = 
∈ 
+ + = 
ℝ .
∆1. α) Να υπολογίσετε τις ορίζουσες D, Dx, Dy.
(Μονάδες 6)
β) Για ποιες τιµές του λ ∈ ℝ το σύστηµα έχει µοναδική λύση ( )0 0,x y ;
Υπολογίστε την µοναδική λύση ( )0 0,x y συναρτήσει του λ.
(Μονάδες 4)
∆2. Να βρείτε την τιµή του λ για την οποία η µοναδική λύση ( )0 0,x y επαληθεύει την
εξίσωση 0 0 2x y+ = . Βρείτε τότε την λύση ( )0 0,x y .
(Μονάδες 9)
∆3. ∆ίνεται η συνάρτηση 0
0
2
( )
6
g t t x
y
π
λ ηµ
 −
= ⋅ ⋅ + 
 
, όπου, λ, x0, y0 οι αριθµοί που
βρήκατε στο ερώτηµα ∆2. Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης, καθώς και την
ελάχιστη και τη µέγιστη τιµή της.
(Μονάδες 6)

B΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.ΒΜλ2Γ(ε)
Ηµεροµηνία: Κυριακή 10 Μαΐου 2015
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ A
Α.1. Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυµο P(x) έχει παράγοντα τον x – ρ αν και µόνο
αν το ρ είναι ρίζα του P(x), δηλαδή αν και µόνο αν P(ρ) = 0.
Μονάδες 7
Α.2. Να γράψετε δύο τύπους του συν2α.
Μονάδες 4
Α.3. Να γράψετε το πεδίο ορισµού και το σύνολο τιµών για κάθε µία από τις
συναρτήσεις f(x) = αx
και g(x) = xlogα µε 10 ≠α .
Μονάδες 4
αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστή, αν η πρόταση είναι σωστή, ή
α) εφ(α + β) =
εφβ⋅εφα+
εφβ+εφα
1
β) Στο πολυώνυµο 01
1
1 x...x)x(P α+α++α+αα= −ν
−ν
ν
ν , µε ακέραιους
συντελεστές, κάθε διαιρέτης του σταθερού όρου α0, είναι ρίζα του P(x).
γ) Αν 10 ≠α τότε ισχύει: 2121 loglog)(log θ⋅θ=θ+θ ααα µε θ1, θ2 0.
δ) Αν α 1 τότε η x
)x(f α= είναι γνησίως αύξουσα στο R.
ε) Αν D = 0, τότε το γραµµικό σύστηµα 2x2,



γ′=β′+α
γ=β+α
y΄x
yx
είναι πάντα
αδύνατο.
Μονάδες 5x2 = 10

B΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.ΒΜλ2Γ(ε)
ΘΕΜΑ Β
∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = 2συν2x – 1, ℜ∈x .
Β.1. Να βρεθεί η µέγιστη τιµή, η ελάχιστη τιµή και η περίοδος της συνάρτησης f(x).
Μονάδες 8
Β.2. Να βρείτε τα σηµεία τοµής της Cf µε τον άξονα x΄x στο [0, 2π].
Μονάδες 9
Β.3. Να βρεθεί η τιµή της παράστασης





 π
−





 π
+




 π
⋅




 π
=Κ
4
f1
6
f
12
5
f
12
f
.
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Γ
∆ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο: f(x) = x3
+ αx2
+ βx + γ, για την οποία ισχύουν:
• Το υπόλοιπο της διαίρεσης της f(x) δια x + 2 είναι 24.
• Η fC διέρχεται από το σηµείο Α(0, 8).
• Η ( )f x έχει παράγοντα το x – 1.
Γ.1. Nα δείξετε ότι: α = 1, β = –10 και γ = 8.
Μονάδες 9
Γ.2. α) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0.
Μονάδες 4
β) Να βρεθούν τα διαστήµατα στα οποία η Cf είναι κάτω από τον άξονα x΄x.
Μονάδες 4
Γ.3. Να λύσετε την ανίσωση:
18)x(f)x(f
2
)x(f
4x
−−+
≤
+
.
Μονάδες 8

B΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.ΒΜλ2Γ(ε)
ΘΕΜΑ ∆
∆ίνονται οι συναρτήσεις:
f(x) =
x
x
2
1
2 





− , µε x ℜ∈ και 





++





+
−+





+
−+=
2
x
1ln
2x
1
1ln
1x
1
1ln
x
3
ln)x(h ,
µε x 0.
∆.1. ∆ίνεται η συνάρτηση g(x) = ( )( ).xlnfln
α) Να υπολογίσετε το f(lnx).
Μονάδες 3
β) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g(x) = ( )( ).xlnfln
Μονάδες 4
∆.2. Να δείξετε ότι h(x) =
2
3
ln .
Μονάδες 5
∆.3. Να λύσετε την εξίσωση g(x) = h(x) µε x 1.
Μονάδες 7
∆.4. Να βρείτε τις τιµές του x ℜ∈ , ώστε να υπάρχει θ ℜ∈ και να
ισχύει:
)1(f6
xln)2(f2xln)1(f 2
⋅−⋅
=ηµθ .
Μονάδες 6

Λύσεις Άλγεβρας Β΄ Λυκείου
Ενδεικτικές λύσεις στην Άλγεβρα Β’
Λυκείου για τα έτη 2002-2015 και
των δύο φάσεων χωρίς λογότυπα. Οι
λύσεις, είναι από την ίδια την
Ο.Ε.Φ.Ε.
https://liveyourmaths.wordpress.com/

ùù þüÿù+üúùú
üÿ

,üù ,ü
ÿù
,üù
P(x)=2x3
.[2
[4[

Q(2)=15, F(1)=6}
^. `
^. . `

P(x)=Q(x)⇔2x3
+x2
+x+2=2x2
+3x+1
⇔2x3
-x2
-2x+1=0⇔2x(x2
-1)+x2
-1=0
⇔ (x2
-1)(2x+1)=0 ⇔ x=1, x=-1, x=1/2
P(x) F(x) ⇔ 2x3
+x2
+x+2x3
+7x2
-10x+8
⇔x3
-6x2
+11x-60⇔x1 2x3

3
[2
[[ ⇔ [ =1, [ =-1, [ =1/2 !.
ý

Œ
Œ[

Œ
Œ[

Œ
Œ[

Œ
Œ[ ∈+=+==+=
,üù
[.)xelog(1f(x) −−+=
i) üŒ0/Hx
!2 Œ0/ !1 *2I0.2 RI .
ii) +.[ Œ! *Œ20. ORJ+.[ :
2
e1
log
+
=
iii) 0/)220 .!$ #0/./ $
2
1
log2log)1log([.)xelog(1f(x)
e
xxe
+
−−+=−−+=

xexe 




 +
−−+=
2
1
log2log)1log(








−
+
+
=





 +
+
= 12
xe)(1
1
log
2
1
2
1
log x
xe
xe
xe
iv) ü..210!
[

[H
ORJ
≥⇔≤
+
⇔≤−+⇔
≤+⇔≤
+
+
+
⇔
≤−+⇔≤−+
−
−
−−








−
+
+
.2

ù. 0.Œ 1)22.2 #1. Œ #Œ0!$02.
122 12!.2)20. #..

ÿ ∈ 0.ù!2!) / 0.1
.. .1

!⇔!
ñ!.2 )! .0Œ0!.1202!..Œ) 2-
.!202 #!.2 $..
ii) ò$ #0ù!2!) / 0/.3 !ï ⋅70%
..ï1 ü..ï82=3,35+81⋅0,35=32

Algebra lyceum b_2002_2015

More Related Content

What's hot

Similar to Algebra lyceum b_2002_2015

More from Christos Loizos

Recently uploaded

Algebra lyceum b_2002_2015