επαναληψη_α_γυμνασιου

1. Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου
Επαναληπτικές ασκήσεις
Στέλιος Μιχαήλογλου

3. 3
Ασκήσεις
1. Δίνεται η παράσταση            17 1 5 32 : 4 3 4            
α) Να αποδείξετε ότι Α=18.
β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος;
γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
δ) Να βρεθεί ένας αριθμός Β ώστε οι αριθμοί Α και Β να είναι πρώτοι μεταξύ τους .
2. Δίνονται οι παραστάσεις
4 8 5 1 2
: 1 :
7 14 6 5 3
  
      
  
και 3 6434 1
8 0,5 : 1
5 5
 
     
 
.
α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α,β.
β) Να λύσετε την εξίσωση x :  
3. α) Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:
3
2
2 4 1
:
3 3 6
 
   

 
3 9 3 2 1
: 2 : 4
4 16 2 3 3
      
                       
 
20173 23 1 3 1
: 6 4 8 1
2 4 4 2
 
          
 
β) Να υπολογίσετε το    .
γ) Να βρείτε το  ,   και το  . . , ,     .
4. Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις:
5 1 1 2 1
: 6 2:
6 2 3 3 3
 
      
 
2 3 7 5 4 3          
   
182124 2 2 3
2 4 2 3 18 3 2        
α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α,Β,Γ
β) Να υπολογίσετε το γινόμενο  .
γ) Να βρείτε αριθμό Δ ο οποίος όταν διαιρείται με το Α δίνει πηλίκο 5 και υπόλοιπο 4.
δ) Να βρείτε όλους τους αριθμούς που διαιρούμενοι με το Α δίνουν υπόλοιπο ίσο με το πηλίκο.
5. Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις:
       3 3 3
4 5 4 3 2 3 2 4 7 2 2 3: 3 2 3                  
3 1 1 1 1 2
:
2 3 4 12 2 3
   
           
   
α) Να δείξετε ότι 2   και 1  
β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα
6. Το πηλίκο μίας διαίρεσης είναι π = 12 και το υπόλοιπο είναι υ = 4. Συμβολίζουμε με Δ τον Διαιρετέο και
με δ τον διαιρέτη της διαίρεσης αυτής.
α) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει ο διαιρέτης, δ.
β) Για τη μικρότερη τιμή του διαιρέτη (αυτή που βρήκατε στο πρώτο ερώτημα) να βρείτε το Διαιρετέο, Δ
και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.
γ) Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τον Δ και να βρείτε το Ε.Κ.Π(Δ, δ) και Μ.Κ.Δ(δ, π).
7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 5.
α) Να υπολογίσετε το άθροισμα του αριθμού αυτού με τον διψήφιο που προκύπτει αν αλλάξουμε τη θέση
των ψηφίων του.
Αριθμός Αντίθετος Απόλυτη τιμή Αντίστροφος
Α
Β

4. 4
β) Αν το ένα ψηφίο του διψήφιου είναι κατά 1 μεγαλύτερο από το άλλο ψηφίο του, να βρείτε τον διψήφιο
αριθμό.
8. Τρία αδέλφια πήραν από τον πατέρα τους 200 ευρώ. Σκέφτηκαν να αφήσουν στον κουμπαρά τους 80
ευρώ και τα υπόλοιπα να τα μοιραστούν με τον παρακάτω τρόπο: ο μεγάλος αδελφός πήρε το
1
2
των
χρημάτων, ο μεσαίος το
1
3
των χρημάτων και ο μικρότερος το
1
4
των χρημάτων.
α) Πόσα χρήματα πήρε ο κάθε αδερφός;
β) Ποιο ποσοστό των αρχικών χρημάτων πήρε ο καθένας τους;
9. Αν τα
4
5
των μαθητών ενός σχολείου είναι 200 να βρείτε πόσους μαθητές έχει το σχολείο.
10.Στις εκπτώσεις αγοράσαμε ένα κινητό τηλέφωνο με έκπτωση 15% και πληρώσαμε 170€.
α) Πόσο θα πληρώναμε για να το αγοράσουμε πριν τις εκπτώσεις;
β) Αν μετά τις εκπτώσεις το κατάστημα αυξήσει τη τιμή πώλησης του τηλεφώνου κατά 15% η νέα τιμή
πώλησης θα είναι ίδια με αυτή πριν τις εκπτώσεις;
11.Μία κληρονομιά μοιράστηκε σε δύο κόρες, στους 3 γιους και σε 6 άλλους συγγενείς ως εξής:
Η κάθε κόρη πήρε το
1
8
και ο κάθε γιος το
1
7
της κληρονομιάς. Η υπόλοιπη κληρονομιά μοιράστηκε εξίσου
στους 6 άλλους συγγενείς.
α) Να βρείτε το μέρος της κληρονομιάς που πήρε ο καθένας από τους 6 συγγενείς.
β) Αν ο καθένας από τους συγγενείς πήρε 3.750 €, να βρείτε πόσα ευρώ ήταν όλη η κληρονομιά και πόσα
χρήματα πήρε ο κάθε γιος και κάθε κόρη.
12.Ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί στο 3, για να προκύψει ο αντίστροφος του
4
15
;
13.Για ένα τραπέζι και 4 καρέκλες πληρώσαμε 840€. Το τραπέζι κοστίζει όσο 3 καρέκλες. Πόσο θα
πληρώσουμε αν αγοράσουμε ακόμη άλλες δύο καρέκλες;
14.Η πλευρά ενός τετραγώνου αυξήθηκε κατά 30%. Κατά ποιο ποσοστό αυξήθηκε η περίμετρος και το
εμβαδόν του;
15.Πόσο θα αυξηθεί η περίμετρος ενός ισοπλεύρου τριγώνου αν κάθε πλευρά του αυξηθεί κατά 30%;
16.Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 2
6cm .
α) Να βρείτε το εμβαδόν ενός άλλου ορθογωνίου που η μία διάστασή του είναι τετραπλάσια της μιας
διάστασης του πρώτου ορθογωνίου.
β) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου αν γνωρίζετε ότι είναι ακέραιοι αριθμοί.
17.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ˆ 90  και η ΓΔ είναι
διχοτόμος της γωνίας Γ. Επιπλέον ΕΖ//ΒΔ και ˆ 20  .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Γ και Β του τριγώνου ΑΒΓ.
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ,  .
γ) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, ,   .
18.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2,  είναι παράλληλες και η ευθεία 3 είναι
διχοτόμος της γωνίας ˆ . Έστω ότι ˆ ˆ 40     και ˆ 60  .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ,  .
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, ,   .

5. 5
19.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση
τη ΒΓ και οι ευθείες 1 2,  είναι παράλληλες.
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ και ˆ του τριγώνου ΑΒΓ.
β) Να υπολογίσετε τη γωνία ˆ και να δείξετε ότι η ΒΕ είναι
διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ.
γ) Να δείξετε ότι ˆ 60  .
20.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2,  είναι παράλληλες, οι
ευθείες 3 4,  είναι κάθετες, ˆ 60  και ˆ 150 .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ,  και να δείξετε ότι το τρίγωνο
ΑΕΔ είναι ισοσκελές.
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ ˆˆ ˆ, , ,    .
γ) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΕΒΓ;
21.Να βρείτε δύο παραπληρωματικές γωνίες αν γνωρίζετε ότι η μία είναι διπλάσια της άλλης.
22.Μια γωνία είναι 20 μικρότερη της συμπληρωματικής της. Να βρείτε τη γωνία.
23.Αν μία γωνία από εκείνες που σχηματίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες είναι τριπλάσια της άλλης να
υπολογιστούν και οι τέσσερις γωνίες.
24.Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια από τη Β και η γωνία Γ είναι μισή της Β. Να
υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου.
25.Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο μια γωνία της βάσης του είναι 50. Να βρείτε τις υπόλοιπες γωνίες του.

6. www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου
6
Επαναληπτικές ασκήσεις Α΄ Γυμνασίου
1. Δίνεται η παράσταση            17 1 5 32 : 4 3 4            
α) Να αποδείξετε ότι Α=18.
β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος;
γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
δ) Να βρεθεί ένας αριθμός Β ώστε οι αριθμοί Α και Β να είναι πρώτοι μεταξύ τους .
Λύση
α)            17 1 5 32 : 4 3 4            
       17 5 8 12 17 5 8 12 30 12 18                
β) Ο αριθμός 18 είναι σύνθετος γιατί εκτός από το 1 και το 18, τον διαιρούν και οι αριθμοί 2, 3, 6, 9.
γ) 2
18 2 3   
δ) Ο αριθμός Β για να είναι πρώτος με τον Α δεν πρέπει να διαιρείται με κανέναν από τους διαιρέτες του Α και τα
πολλαπλάσιά τους. Ένας τέτοιος αριθμός είναι το 5 ( υπάρχουν πολλές επιλογές π.χ. 7, 11, 13, 17...), άρα Β= 5.
2. Δίνονται οι παραστάσεις
4 8 5 1 2
: 1 :
7 14 6 5 3
  
      
  
και 3 6434 1
8 0,5 : 1
5 5
 
     
 
.
α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α,β.
β) Να λύσετε την εξίσωση x :  
Λύση
α)
5
4 8 5 1 1 2 4
: :
7 14 6 1 5 3
  
       
      
1
7
2
14

8
2
5 5 1 3 2 5
6 5 5 2 2
  
       
  
1
3
6
2
4

5
1
3 2 3
1 1 1 2
2 3 2
 
       
 
 
3 643 3 34 1 4
8 0,5 : 1 2 0,5
5 5 5
 
        
 
5
    
3 3
1 2 0,5 4 1 1 3 1 3 4
1
 
          
 
β) x :  
x
4
2

x 4 2 
x 8
3. α) Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:
3
2
2 4 1
:
3 63
 
   

 
3 9 3 2 1
: 2 : 4
4 16 2 3 3
      
                       
 
2017
3 23 1 3 1
: 6 4 8 1
2 4 4 2
 
          
 
β) Να υπολογίσετε το    .
γ) Να βρείτε το  ,   και το  . . , ,      .
Λύση
18
9
3
1
2
3
3

7. www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου
7
α)
23
2
2 4 1 8 3 1 8 3 1 8
:
3 3 6 9 4 6 9 4 6
       
                    
      
3
1
9
3
4
2
1
1 2 1 4 1 3 1
6 3 6 6 6 6 2
      
 
3 9 3 2 1
: 2 : 4
4 16 2 3 3
      
                       
 
3
3 16 3 2 2 1
: 4
4 9 2 3 1 3
 
                             
 
3
 
1
16
4
1
4 9
 3
3 2 6 1
: 4
2 3 3 3
      
                    
 
4 3 4 3 4
4
3 2 3 1
     
             
     
2
3
3 2
1
4 3

3
4 2 4
1
  

4 2
 
2 2
20173 23 1 3 1 3 1 3 1
: 3 4 8 1 : 3 64
2 4 4 2 2 4 4 2
 
                         
 
64 
2017
1
   
20176 1 3 2 7 1
: 3 1 : 3 1
4 4 4 4 4 4
 
               
 
7 1 7
: 3
4 4 4
     
4
 3 7 3 4
1
     
β)
1
2
    2  4 4   
γ)    . . , . . 2,6 2 3 6         
Οι διαιρέτες του  είναι: 1, 2, 3, 6
Οι διαιρέτες του  είναι: 1, 2, 4 και οι διαιρέτες του Δ είναι: 1, 2, 3, 4, 6, 12, άρα
   . . , , . . 2,4,6 2          
4. Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις:
5 1 1 2 1
: 6 2:
6 2 3 3 3
 
      
 
2 3 7 5 4 3              
182124 2 2 3
2 4 2 3 18 3 2        
α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α,Β,Γ
β) Να υπολογίσετε το γινόμενο  .
γ) Να βρείτε αριθμό Δ ο οποίος όταν διαιρείται με το Α δίνει πηλίκο 5 και υπόλοιπο 4.
δ) Να βρείτε όλους τους αριθμούς που διαιρούμενοι με το Α δίνουν υπόλοιπο ίσο με το πηλίκο.
Λύση
α)
3 2
5 1 1 2
:
6 2 3 3
 
    
  
 
6
2 1 5 3 2 3 5 1 5
2: : 4 2 : 4 6
3 6 6 6 1 6 6 6
 
          
 
6
 4 6 5 4 6 7
1
     
2 3 7 5 4 3 2 3 2 7 2                  3 2  7 10 
   
182124 2 2 3
2 4 2 3 18 3 2 16           16   
1821
2 9 18 9 8    
1821
2 9 18 1 2 9 18 1 18 18 0           
4 6
2 3
1 3
1 1
2
2
3

8. www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου
8
β) 7 10 0 0    
γ) Από τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι 7 5 4 39    
δ) Τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης Ε:7 είναι 0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6.
Αν υ=0, τότε και π=0 που είναι αδύνατο.
Αν υ=1, τότε και π=1, οπότε 7 1 1 8    
Αν υ=2, τότε π=2, οπότε 7 2 2 16    
Αν υ=3, τότε π = 3 και 7 3 3 24    
Αν υ = 4 τότε π = 4 και 7 4 4 32    
Αν υ = 5 τότε π = 5 και 7 5 5 40    
Αν υ = 6 τότε π = 6 και 7 6 6 48    
5. Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις:
       3 3 3
4 5 4 3 2 3 2 4 7 2 2 3: 3 2 3                  
3 1 1 1 1 2
:
2 3 4 12 2 3
   
              
α) Να δείξετε ότι 2   και 1  
β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα
Λύση
α)        3 3 3
4 5 4 3 2 3 2 4 7 2 2 3: 3 2 3                  
       4 1 3 2 6 4 7 8 2 3: 27 8 3               
   4 1 3 2 2 1 2 3: 27 24             
   5 3 4 1 2 3:3 5 3 3 2 1 5 9 2 1 5 9 2 7 9 2                          
   
4 3 3 2
3 23 1 1 1 1 2 3 4 3 1 3 4
: 2 3 3 2 18 : 8 3 9 2 18
2 3 4 12 2 3 2 12 12 12 6 6
   
                                              
   
3 7 1 1
: 24 18
2 12 12 6
   
           
   
18  3 6
:
2
  
1
12
2
1
6
 
  
 
 
1
24
3
4
2

2
 4 3 4 1
1
    
β)
6. Το πηλίκο μίας διαίρεσης είναι π = 12 και το υπόλοιπο είναι υ = 4. Συμβολίζουμε με Δ τον Διαιρετέο και με
δ τον διαιρέτη της διαίρεσης αυτής.
α) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει ο διαιρέτης, δ.
β) Για τη μικρότερη τιμή του διαιρέτη (αυτή που βρήκατε στο πρώτο ερώτημα) να βρείτε το Διαιρετέο, Δ
και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.
γ) Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τον Δ και να βρείτε το Ε.Κ.Π(Δ, δ) και Μ.Κ.Δ(δ, π).
Λύση
Αριθμός Αντίθετος Απόλυτη τιμή Αντίστροφος
Α
Β
Αριθμός Αντίθετος Απόλυτη τιμή Αντίστροφος
Α 2 2
-
1
2
Β 1 1 -1

9. www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου
9
α) Γνωρίζουμε ότι το υπόλοιπο μιας διαίρεσης είναι μικρότερο από τον διαιρέτη, οπότε επειδή το υπόλοιπο της
διαίρεσης είναι το 4 η μικρότερη τιμή του διαιρέτη είναι το 5.
β) 12 5 4 60 4 64          
γ) Είναι 6
64 2 2 2 2 2 2 2      
   . . , . . 64,5 64 5=320          
   . . , . . 12,5 1         
7. Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 5.
α) Να υπολογίσετε το άθροισμα του αριθμού αυτού με τον διψήφιο που προκύπτει αν αλλάξουμε τη θέση των
ψηφίων του.
β) Αν το ένα ψηφίο του διψήφιου είναι κατά 1 μεγαλύτερο από το άλλο ψηφίο του, να βρείτε τον διψήφιο
αριθμό.
Λύση
Έστω αβ ο διψήφιος αριθμός. Τότε το β είναι το ψηφίο των μονάδων και το α των δεκάδων.
Επειδή το άθροισμα των ψηφίων του είναι ίσο με 5, έχουμε ότι: 5  
α) Αν αλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του προκύπτει ο αριθμός βα.
Είναι 10 1 10       και 10 1 10        
Είναι 10 10 11 11            
Επειδή 5   είναι  11 11 5    , άρα 11 11 55   
β) Αν ο α είναι κατά 1 μεγαλύτερο του β, δηλαδή 1    , τότε:
1 5    ή 2 5 1 4    άρα
4
2
2
   και 2 1 3    , οπότε ο αριθμός είναι ο 32.
Αν ο β είναι κατά 1 μεγαλύτερο του α, δηλαδή 1    , τότε:
1 5     ή 2 5 1 4    άρα
4
2
2
   και 2 1 3    , οπότε ο αριθμός είναι ο 23.
8. Τρία αδέλφια πήραν από τον πατέρα τους 200 ευρώ. Σκέφτηκαν να αφήσουν στον κουμπαρά τους 80 ευρώ
και τα υπόλοιπα να τα μοιραστούν με τον παρακάτω τρόπο: ο μεγάλος αδελφός πήρε το
1
2
των χρημάτων,
ο μεσαίος το
1
3
των χρημάτων και ο μικρότερος το
1
4
των χρημάτων.
α) Πόσα χρήματα πήρε ο κάθε αδερφός;
β) Ποιο ποσοστό των αρχικών χρημάτων πήρε ο καθένας τους;
Λύση
α) Τα χρήματα που θα μοιράσουν τα 3 αδέλφια είναι 200 – 80 = 120€.
Ο μεγάλος αδελφός πήρε
1
2
1
120
60
60 €, ο μεσαίος πήρε
1
3
1
120
40
40 € και
ο μικρός αδελφός πήρε
1
4
1
120
30
30 €.
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2

10. www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου
10
β) Ο μεγάλος αδελφός πήρε 60 από τα 200€, δηλαδή το
60 30
30%
100 100
  των χρημάτων.
Ο μεσαίος αδελφός πήρε 40 από τα 200€, δηλαδή το
40 20
20%
200 100
  των χρημάτων και
Ο μικρός αδελφός πήρε 30 από τα 200€, δηλαδή το
30 15
15%
200 100
  των χρημάτων.
9. Αν τα
4
5
των μαθητών ενός σχολείου είναι 200 να βρείτε πόσους μαθητές έχει το σχολείο.
Λύση
α΄ τρόπος (αναγωγή στη μονάδα)
Επειδή τα
4
5
των μαθητών είναι 200, το
1
5
των μαθητών θα είναι 200: 4 50 , οπότε τα
5
5
, δηλαδή όλοι οι μαθητές
θα είναι 50 5 250 
β΄ τρόπος (εξίσωση)
Έστω x οι μαθητές του σχολείου, τότε:
4
x 200
5
 
4x
200
5

4x 200 5 
4x 1000
1000
x 250
4
 
10.Στις εκπτώσεις αγοράσαμε ένα κινητό τηλέφωνο με έκπτωση 15% και πληρώσαμε 170€.
α) Πόσο θα πληρώναμε για να το αγοράσουμε πριν τις εκπτώσεις;
β) Αν μετά τις εκπτώσεις το κατάστημα αυξήσει τη τιμή πώλησης του τηλεφώνου κατά 15% η νέα τιμή
πώλησης θα είναι ίδια με αυτή πριν τις εκπτώσεις;
Λύση
α) Έστω x η αρχική τιμή του τηλεφώνου.
Η έκπτωση είναι
15
x 0,15 x
100
   και η τιμή στις εκπτώσεις είναι  x 0,15x 1 0,15 x 0,85x   
Άρα 0,85x 170 ή
85
x 170
100
 ή 85x 170 100  άρα
170
x 
2
100
85

1
200 .
Δηλαδή η αρχική τιμή του τηλεφώνου είναι 200€.
β) Αν τώρα αυξηθεί η τιμή που είχε στις εκπτώσεις κατά 15%, η αύξηση θα είναι
15
170 25,5
100
  € και
η νέα τιμή του τηλεφώνου θα είναι 170 25,5 195,5  €, δηλαδή η νέα τιμή πώλησης του τηλεφώνου δεν θα
θα είναι ίδια με αυτή πριν τις εκπτώσεις.
11.Μία κληρονομιά μοιράστηκε σε δύο κόρες, στους 3 γιους και σε 6 άλλους συγγενείς ως εξής:
Η κάθε κόρη πήρε το
1
8
και ο κάθε γιος το
1
7
της κληρονομιάς. Η υπόλοιπη κληρονομιά μοιράστηκε εξίσου
στους 6 άλλους συγγενείς.
α) Να βρείτε το μέρος της κληρονομιάς που πήρε ο καθένας από τους 6 συγγενείς.
β) Αν ο καθένας από τους συγγενείς πήρε 3.750 €, να βρείτε πόσα ευρώ ήταν όλη η κληρονομιά και πόσα
χρήματα πήρε ο κάθε γιος και κάθε κόρη.
Λύση

11. www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου
11
α) Οι 2 κόρες πήραν τα
1 2 1
2
8 8 4
   της κληρονομιάς και οι 3 γιοί τα
1 3
3
7 7
  της κληρονομιάς.
Άρα οι γιοί και οι κόρες μαζί πήραν τα
7 4
1 3 7 12 19
4 7 28 28 28
    της κληρονομιάς, οπότε για τους 6 συγγενείς
έμειναν τα
28 19 9
28 28 28
  της κληρονομιάς.
Ο καθένας από τους 6 συγγενείς πήρε τα
9 9 6 9
:6 :
28 28 1
 
3
1
28 6
 2
3
56
 της κληρονομιάς.
β) Αν x € η κληρονομιά τότε:
3
x 3750
56
 
3x
3750
56

3x 56 3750 
56 3750
x


1250
3
1
56 1250 70.000   €
12.Ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί στο 3, για να προκύψει ο αντίστροφος του
4
15
;
Λύση
Έστω x ο ζητούμενος αριθμός, τότε:
15
3 x
4
  άρα
4
15 3 15 12 3
x
4 1 4 4 4
    
13.Για ένα τραπέζι και 4 καρέκλες πληρώσαμε 840€. Το τραπέζι κοστίζει όσο 3 καρέκλες. Πόσο θα
πληρώσουμε αν αγοράσουμε ακόμη άλλες δύο καρέκλες;
Λύση
Έστω x το κόστος μιας καρέκλας, τότε το τραπέζι κοστίζει 3⋅x .
Για τραπέζι και 4 καρέκλες πληρώσαμε 840€, δηλαδή 3x + 4x = 840 ή 7x = 840 ή x = 840 : 7=120
Άρα η μία καρέκλα στοιχίζει 120€.
Αν αγοράσουμε ακόμη 2 καρέκλες θα πληρώσουμε 840 + 2 ⋅120 =1080€.
14.Η πλευρά ενός τετραγώνου αυξήθηκε κατά 30%. Κατά ποιο ποσοστό αυξήθηκε η περίμετρος και το
εμβαδόν του;
Λύση
Αν η πλευρά του τετραγώνου είναι α τότε με αύξηση κατά 30% γίνεται
30
0,3 1,3
100
        
Η περίμετρος του τετραγώνου είναι 4 1,3 5,2   
Η αύξηση είναι: 5,2 4 (5,2 4) 1,2        και το ποσοστό της αύξησης είναι
1,2 30
0,3 30%
4 100

  

Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι     2
1,3 1,3 1,69     και αυξάνεται κατά 2
0,69 ή κατά 69% του αρχικού που
είναι 2
 .

12. www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου
12
15.Πόσο θα αυξηθεί η περίμετρος ενός ισοπλεύρου τριγώνου αν κάθε πλευρά του αυξηθεί κατά 30%;
Λύση
Έστω ότι η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου είναι α, τότε η περίμετρος του είναι 3α.
Αν η κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου αυξηθεί κατά 20% τότε θα γίνει
 
20
0,2 1 0,2 1,2
100
           
Τότε η περίμετρος του θα είναι 3 1,2 3,6   .
Η αύξηση είναι  3,6 3 3,6 3 0,6        και το ποσοστό αύξησης είναι
0,6 20
0,2 20%
3 100

  

.
16.Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 2
6cm .
α) Να βρείτε το εμβαδόν ενός άλλου ορθογωνίου που η μία διάστασή του είναι τετραπλάσια της μιας
διάστασης του πρώτου ορθογωνίου.
β) Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου αν γνωρίζετε ότι είναι ακέραιοι αριθμοί.
Λύση
Έστω α,β οι διαστάσεις του ορθογωνίου, τότε 6 
α) Αν το μήκος του καινούργιου ορθογωνίου είναι τετραπλάσιο, τότε θα είναι 4α και το
εμβαδόν του θα είναι 2
4 4 6 24cm    .
Αν το πλάτος του καινούργιου ορθογωνίου είναι τετραπλάσιο, τότε θα είναι 4β και το
εμβαδόν του θα είναι   2
4 4 4 6 24cm       .
β) Επειδή οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι ακέραιοι αριθμοί, αναζητούμε δύο ακέραιους που το γινόμενό
τους είναι 6.
Αν α = 1cm, τότε 1 6  άρα 6cm 
Αν α = 2cm, τότε 2 6  άρα 3cm 
Αν α = 3cm, τότε 3 6  άρα 2cm 
Αν α = 4cm, τότε 4 6  άρα
6
cm
4
  απορρίπτεται γιατί δεν είναι ακέραιος αριθμός.
Αν α = 5cm, τότε 5 6  άρα
6
cm
5
  απορρίπτεται γιατί δεν είναι ακέραιος αριθμός.
Αν α = 6cm, τότε 6 6  άρα 1cm  .
Αν ο α είναι μεγαλύτερος του 6 είναι φανερό ότι ο β θα είναι μικρότερος του 1 που δεν γίνεται αφού είναι
ακέραιος αριθμός.
Είναι φανερό επίσης ότι αν επιλέγαμε τιμές για το β και υπολογίζαμε το α θα προέκυπταν τα ίδια ζευγάρια
αριθμών.
17.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ˆ 90  και η ΓΔ είναι
διχοτόμος της γωνίας Γ. Επιπλέον ΕΖ//ΒΔ και ˆ 20  .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Γ και Β του τριγώνου ΑΒΓ.
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ,  .
γ) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, ,   .
Λύση

13. www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου
13
α) Επειδή η ευθεία ΓΔ είναι διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ και ˆ 20  , είναι
ˆ 2 20 40     
Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆ ˆ ˆ 180     
ˆ90 40 180   
ˆ 130 180  
ˆ 180 130 50   
β) Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆˆ ˆ 180      ή ˆ20 90 180    ή ˆ 110 180   , άρα
ˆ 180 110 70   
Είναι ˆˆ 180   άρα ˆ 180 70 110   
γ) Οι γωνίες ˆ ˆ,  είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΓΔ, ΕΖ που τέμνονται από την ΑΒ, οπότε
ˆ ˆ 70   
Οι γωνίες ˆ ˆ,  είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΓΔ, ΕΖ που τέμνονται από την ΓΒ,
οπότε ˆ ˆ 20    .
Τέλος οι γωνίες ˆ ˆ,  είναι κατακορυφήν, οπότε ˆ ˆ 20    .
18.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2,  είναι παράλληλες και η
ευθεία 3 είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ . Έστω ότι
ˆ ˆ 40     και ˆ 60  .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ,  .
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ˆ, ,   .
Λύση
α) Είναι ˆ 40    ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων 1 2,  που τέμνονται από την 3 .
Επειδή η 3 είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ , είναι ˆˆ 40   
β) Είναι ˆ ˆ 60    ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2,  που τέμνονται από την 4 .
Είναι ˆˆˆ ˆ 80       ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων 1 2,  που τέμνονται από την 5 .
Είναι ˆ ˆ ˆ 180      ή ˆ 80 60 180    άρα ˆ 180 140 40   
19.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τη
ΒΓ και οι ευθείες 1 2,  είναι παράλληλες.
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ και ˆ του τριγώνου ΑΒΓ.
β) Να υπολογίσετε τη γωνία ˆ και να δείξετε ότι η ΒΕ είναι
διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ.
γ) Να δείξετε ότι ˆ 60  .

14. www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου
14
Λύση
α) Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, οι γωνίες ˆ και ˆ
βρίσκονται στη βάση του οπότε είναι ίσες.
Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ˆ ˆ ˆ 180      ή ˆ ˆ20 180     ή ˆ2 180 20 160    άρα
ˆ 160 : 2 80   , οπότε και ˆ 80  .
β) Είναι ˆˆ 40    ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2,  που τέμνονται από την ΔΒ.
Επειδή
ˆ
ˆ 40
2

   η ΒΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Β.
γ) Στο τρίγωνο ΒΕΓ είναι ˆ ˆˆ 180      ή ˆ40 80 180    ή ˆ120 180   άρα
ˆ 180 120 60    .
Οι γωνίες ˆ και ˆ είναι κατακορυφήν, οπότε ˆ ˆ 60   
20.Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 2,  είναι παράλληλες, οι
ευθείες 3 4,  είναι κάθετες, ˆ 60  και ˆ 150   .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆˆ ,  και να δείξετε ότι το τρίγωνο
ΑΕΔ είναι ισοσκελές.
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες ˆ ˆˆ ˆ, , ,    .
γ) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΕΒΓ;
Λύση
α) Είναι ˆ ˆ90 180     ή ˆ 150 180   άρα ˆ 180 150 30   
Είναι ˆ 150 180   άρα ˆ 180 150 30    .
Επειδή ˆˆ   το τρίγωνο ΑΕΔ έχει δύο γωνίες του ίσες και είναι ισοσκελές.
β) Στο τρίγωνο ΑΒΔ είναι ˆˆˆ 180     ή ˆˆ ˆ90 180      ή ˆ 90 30 30 180     ή
ˆ 150 180   άρα ˆ 180 150 30    .
Είναι ˆ ˆ 30    ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2,  που τέμνονται από την 5 .
Είναι ˆ ˆ 30    ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων 1 2,  που τέμνονται από την 4 .
Στο τρίγωνο ΕΒΓ είναι ˆ ˆˆ 180      ή ˆ30 30 180    ή ˆ60 180   άρα ˆ 180 60 120    .
γ) Επειδή ˆ ˆ   το τρίγωνο ΕΒΓ έχει δύο γωνίες ίσες και είναι ισοσκελές.
21.Να βρείτε δύο παραπληρωματικές γωνίες αν γνωρίζετε ότι η μία είναι διπλάσια της άλλης.
Λύση
Έστω ˆ η μία γωνία, τότε η άλλη θα είναι η ˆ2 . Επειδή είναι παραπληρωματικές ισχύει ότι
ˆ ˆ2 180   ή ˆ3 180  άρα ˆ 180 :3 60   και ˆ2 2 60 120   .

15. www.askisopolis.gr Επανάληψη Α΄ Γυμνασίου
15
22.Μια γωνία είναι 20 μικρότερη της συμπληρωματικής της. Να βρείτε τη γωνία.
Λύση
Έστω ˆ η γωνία και ˆ η συμπληρωματική. Είναι ˆ ˆ 90  .
Επειδή η γωνία είναι 20 μικρότερη από την συμπληρωματικής της έχουμε ότι ˆ ˆ 20  .
Άρα ˆ ˆ20 90   ή ˆ2 90 20 110    άρα ˆ 110 :2 55   και 55 20 35  
23.Αν μία γωνία από εκείνες που σχηματίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες είναι τριπλάσια της άλλης να
υπολογιστούν και οι τέσσερις γωνίες.
Λύση
Έστω ˆ η μία γωνία τότε η άλλη θα είναι ˆ3.
Όμως ˆ ˆ3 180   ή ˆ4 180  άρα ˆ 180 :4 45   , άρα οι οξείες γωνίες που
σχηματίζονται είναι 45 αφού είναι κατακορυφήν και αντίστοιχα οι αμβλείες γωνίες
είναι 180 45 135  .
24.Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια από τη Β και η γωνία Γ είναι μισή της Β. Να υπολογιστούν
οι γωνίες του τριγώνου.
Λύση
Επειδή η γωνία Α είναι τριπλάσια της Β, έχουμε ότι ˆ ˆ3   .
Επειδή η γωνία Γ είναι μισή της Β, έχουμε ότι
ˆ
ˆ
2

  .
Είναι ˆ ˆ ˆ 180     
ˆ
ˆ ˆ3 180
2

    
2
ˆ ˆ4
180
1 2
 
 
ˆ ˆ8
180
2 2
 
 
ˆ9
180
2


ˆ9 2 180  
ˆ9 360 
ˆ 360 :9 40   , οπότε ˆ 3 40 120    και
40ˆ 20
2
  
25.Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο μια γωνία της βάσης του είναι 50. Να βρείτε τις υπόλοιπες γωνίες του.
Λύση
Επειδή οι γωνίες που βρίσκονται στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες και η άλλη γωνία της βάσης θα είναι
50. Αν ˆ είναι η τρίτη γωνία του τριγώνου, τότε:
ˆ 50 50 180  
ˆ 100 180 
ˆ 180 100 80   