Dokumen ini membahas tiga metode numerik untuk menghitung turunan dari fungsi: forward difference, backward difference, dan central difference. Metode forward dan backward menggunakan titik hampiran di depan dan belakang titik awal, sementara central difference menggunakan kedua titik tersebut untuk meningkatkan akurasi. Setiap metode dijelaskan dengan rumus dan contoh pemrograman dalam MATLAB.

1. FORWARD DIFFERENCE, BACKWARD DIFFERENCE,
DAN CENTRAL DIFFERENCE
DIMAS AJI WARDHANA (151524007)
FAHMI FATURRAHMAN NH (151524008)
FAKHRANA PRADNYA PARAMITA (151524009)
FERDHIKA YUDIRA DIPUTRA (151524010)
FREENANDO R (151524011)

2. FORWARD DIFFERENCE (BEDA MAJU)
 Dengan cara pertama, mula-mula diambil titik hampiran pertama, misal x0. Dengan selang sebesar h,
diambil titik kedua yang berada di depan titik pertama, misal x1. Sehingga x1 = x0 + h. Dari kedua titik
tersebut, dapat dicari f ‘ (x) dengan rumus yang analogi dengan rumus persamaan garis. Bila
menggunakan MATLAB, atau software sejenis, dapat digunakan fungsi sebagai berikut:
function rsmj = selmaju(f,x,h)
rsmj =
(𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ

3. FORWARD DIFFERENCE (BEDA MAJU)
 Beda hingga maju pertama dari y pada i atau x didefinisikan :
∆𝑦𝑖 = 𝑦𝑖+1 − 𝑦1 atau ∆𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑥 + ℎ − 𝑦 𝑥
 Beda maju kedua dari i atau x didefinikan juga :
∆2 𝑦1 = 𝑦1+2 − 2𝑦𝑖+1 + 𝑦𝑖 atau ∆2 𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑥 + 2ℎ − 2𝑦 𝑥 + ℎ + 𝑦(𝑥)

4. FORWARD DIFFERENCE (BEDA MAJU)
Sehingga penyelesaian bisa dituliskan :

5. BACKWARD DIFFERENCE (BEDA MUNDUR)
 Metode ini merupakan kebalikan dari metode sebelumnya. Pada metode ini, titik hampiran kedua yang
diambil adalah titik di belakang hampiran pertama. Jika mula-mula diambil titik x0, maka titik kedua
adalah x0 – h. Sehingga rumus untuk mencari turunan dari f(x) adalah sebagai berikut:
function rsmd = selmund(f,x,h)
rsmd =
(𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥−ℎ)
ℎ

6. BACKWARD DIFFERENCE (BEDA MUNDUR)
 Beda hingga mundur pertama dari y pada i atau x didefinisikan juga :
𝛻𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1 atau 𝛻 𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑥 − 𝑦(𝑥 − ℎ)
 Beda mundur kedua pada i atau x didefinisikan :
𝛻2 𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 − 2𝑦𝑖−1 + 𝑦𝑖 − 2 atau 𝛻2 𝑦 𝑥 = 𝑦 𝑥 − 2𝑦 𝑥 − ℎ + 𝑦(𝑥 − 2ℎ)

7. BACKWARD DIFFERENCE (BEDA MAJU)
Sehingga penyelesaian bisa dituliskan :

8. CENTRAL DIFFERENCE (BEDA PUSAT)
 Metode ini merupakan gabungan dari kedua metode sebelumnya. Dengan metode selisih tengah, titik
hampiran yang diambil adalah titik sebelum x0 dan sesudah x0. Sehingga jarak antar kedua titik menjadi
h + h = 2h.
 Dengan semakin besar selang di antar dua titi, yaitu h, maka turunan dari suatu fungsi dapat dihampiri
dengan lebih baik. Dilihat dari besarnya galat, metode yang terakhir ini memiliki galat yang paling kecil.
Untuk fungsi di dalam MATLABnya adalah sebagai berikut:
function rsp = selpus(f,x,h)
rsp =
(𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥−ℎ )
2×ℎ

9. CENTRAL DIFFERENCE (BEDA PUSAT)
 Beda hingga terpusat pertama dari y pada i atau x didefinisikan juga:
 Turunan beda terpusat selanjutnya adalah :

10. CONTOH SOAL

11. CONTOH SOAL

12. CONTOH SOAL

13. CONTOH SOAL

14. KESIMPULAN
Persamaan differensial merupakan model matematis yang paling sering muncul dalam bidang keteknikan
maupun saintifik. Dalam menyelesaikan bentuk differensial sederhana dengan menggunakan penyelesaian
numerik dapat menggunakan tiga metode yaitu :
 Cara Forward adalah
(𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
 Cara Backward adalah
(𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥−ℎ)
ℎ
 Cara Central adalah
(𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥−ℎ )
2×ℎ
Dalam perhitungan differensiasi numerik dibutuhkan ketelitian dalam membuat bahasa pemrogramannya
dengan menggunakan microsoft excel.