SPL 1, 2, 3 dan 4 merupakan SPL homogen karena tidak memiliki konstanta di sisi kanan persamaannya. Oleh karena itu, SPL-SPL tersebut memiliki solusi tak hingga banyak yang dapat dituliskan dalam bentuk parameter.

2. • Persamaan linear adalah persamaan dimana
peubahnya tidak memuat eksponensial,
trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian,
pembagian dengan peubah lain atau dirinya
sendiri.
• Secara umum persamaan linear untuk n peubah
x1, x2, …, xn dapat dinyatakan dalam bentuk:
a1 x1 a2 x2 ... an xn b
dimana a1, a2, …, an dan b adalah konstanta-
konstanta real.

3. Persamaan Linear Bukan Persamaan Linear
• x + 2y = 5000 • x2 – 2y = 3
• sinx + 2 cos y = 0
• 3x + y = 10000
• 3e2x – sin (x+y) = 10
• 2x - 3y + 5z = 30
• x 1 + x2 + x3 + x 4 = 0

4. • Himpunan berhingga dari persamaan-persamaan
linear dalam peubah x1, x2, …, xn dinamakan sistem
persamaan liniear
• Sebuah sistem sembarang yang terdiri dari m
persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui
dapat dituliskan dalam bentuk:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 ... a22 x2 b2
   
am1 x1 am2 x2 ... amn xn bm

5. • Sistem persamaan linear tersebut dapat ditulis dalam
bentuk :
a11 a11  a1n x1 b1
a11 a11  a2n x2 b2
     
am1 am1  amn xn bm
• atau
AX = B
dimana: A dinamakan matriks koefisien
X dinamakan matriks peubah
B dinamakan matriks konstanta

6. • Sintem Persamaan Linear dapat dituliskan dalam
bentuk matriks yang diperbesar (augmented
matrix) sebagai berikut:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a11 a12 ... a1n b1
a21 x1 a22 x2 ... a22 x2 b2 a21 a22 ... a2 n b2
       
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm am1 am 2 ... amn bm
• Contoh x y 2z 8 1 1 2 8
x 2 y 3z 1 1 2 3 1
3x 7 y 4 z 10 3 7 4 10

7. • Solusi sebuah sitem persamaan linear (SPL) adalah
himpunan bilangan Real dimana jika disubstitusikan
pada peubah suatu SPL akan memenuhi nilai
kebenaran SPL tersebut.
• Contoh:
x – 2y = 7
2x + 3y = 7
{x = 5 , y = -1} merupakan solusi dari SPL tersebut

8. • Kemungkinan solusi dari sebuah sistem
persamaan linear (SPL) adalah:
– SPL mempunyai solusi tunggal
– SPL mempunyai solusi tak hingga banyak
– SPL tidak mempunyai solusi

9. y
y = 2x - 2
(2, 2) merupakan titik potong dua garis
y=x
tersebut
Tidak titik potong yang lain selain titik
tersebut
2
(2, 2)
x
12
Artinya : SPL 2x – y = 2
x–y=0
Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2

10. Perhatikan SPL y
x –y =0 2x – 2y = 0
2x – 2y = 0
Jika digambar dalam kartesius x–y=0
x
 Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpit
 Titik potong kedua garis banyak sekali disepanjang garis tersebut
 Artinya:
SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak

11. Perhatikan SPL y
x –y =0 y=x y=x–1
2x – 2y = 2
Jika digambar dalam kartesius
1 x
 Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah sejajar
 Tak akan pernah diperoleh titik potong kedua garis itu
 Artinya: SPL diatas TIDAK mempunyai solusi

12. • Eliminasi Gauss merupakan prosedur
sistematik yang digunakan untuk
memecahkan sistem persamaan linear.
• Prosedur ini didasarkan pada gagasan untuk
mereduksi matriks yang diperbesar
(augmented marrix) menjadi bentuk yang
sederhana

13. 1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya 1 1 2 9
dari nol, maka bilangan taknol
2 4 3 1
pertama dalam baris tersebut
adalah 1. (kita namakan ini 1 3 6 5 0
utama)
2. Jika terdapat baris yang seluruhnya 1 1 2 9
terdiri dari nol, maka kelompokkan 2 4 3 1
baris seperti ini di bawah matriks. 0 0 0 0

14. 3. Dalam sembarang dua baris yang 1 1 2 9
berurutan yang seluruhnya tidak
2 1 3 1
terdiri dari nol, maka 1 utama dalam
baris yang lebih rendah terdapat 3 6 5 0
lebih jauh ke kanan dari satu utama
dalam baris yang lebih tinggi.
4. Masing-masing kolom yang 1 4 3 7
mengandung satu utama 0 1 6 2
mempunyai nol di bawah satu 0 0 1 5
utamanya.

15. 5. Masing-masing kolom yang 1 0 0 1
mengandung satu utama mempunyai 0 1 0 2
nol di atas satu utamanya
0 0 1 3
• Sembarang matriks yang memiliki sifat 1, 2, 3, dan 4
dikatakan berada dalam bentuk eselon baris
(Eliminasi Gauss).
• Jika matriks tersebut juga memiliki sifat 5 maka
dikatakan berada dalam bentuk eselon baris
tereduksi. (Eliminasi Gaus – Jordan)

16. • Pecahkanlah sistem persamaan linear
berikut dengan menggunakan eliminasi
Gaus-Jordan
x y 2z 8
x 2y 3z 1
3 x 7y 4 z 10

17. 1 1 2 8 1 1 2 8 1 1 2 8
b1 b2
1 2 3 1 0 1 5 9 b2 0 1 5 9
3b1 b3
3 7 4 10 0 10 2 14 0 10 2 14
1 0 7 17 1 0 7 17 1 0 0 3
b2 b1 1 7b3 b1
0 1 5 9 b3 0 1 5 9 0 1 0 1
3b2 b3 52 5b3 b2
0 0 52 104 0 0 1 2 0 0 1 2
Jadi solusi dari SPL x y 2z 8 x=3
x 2 y 3z 1 y=1
3x 7 y 4 z 10 z=2

18. Tetentukan solusi dari SPL berikut dengan Eliminasi Gauss-Jordan
1. -2x - 3y - 4z = 2 2. 4x + 6y - 3z = 1
x + 3y =1 -3x - 7y + 2z = 3
2x + 5y + z = -1 x + 2y - z = 1
3. 3x - 5y + 2z = 2 4. -3x + 4y - 13z = 1
-2x + 3y + 4z = 3 -x + 2y - 3z = 1
x - 2y + z = 1 2x - y + 11 z = 1

19. Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :
a11 a11  a1n x1 b1
a11 a11  a2n x2 b2
     
a n1 a n1  a nn xn bn
Jika determinan A tidak sama dengan nol
maka solusi dapat ditentukan satu persatu (peubah
ke-i, xi)

20. • Hitung determinan A (|A|)
• Tentukan Ai  matriks A dimana kolom ke-i
diganti oleh Matriks B.
Contoh : b a
1  a
12
a1n
b  a 11 1 1n
b2 a21  a2n a b2  a2n
11
A A2
1
       
bn an2  ann an1 bn  ann
• Hitung |Ai|
• Solusi SPL untuk peubah xi adalah
det( A )
i
xi
det( A)

21. • Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut
dengan menggunakan aturan cramer
x y 2z 8
x 2y 3z 1
3x 7y 4z 10
• Solusi: Bentuk SPL menjadi AX = B
1 1 2 x 8
1 2 3 y 1
3 7 4 z 10

22. 1 1 2 x 8
A 1 2 3 X y B 1
3 7 4 z 10
• det (A) = |A|(ekspansi kofaktor baris ke-1)
2 3 1 3 1 2
A 1 1 2
7 4 3 4 3 7
1( 8 21) 1( 4 9) 2(7 6)
13 13 26 52

23. 8 1 2 2 3 1 3 1 2
A1 8 1 2
A1 1 2 3 7 4 10 4 10 7
10 7 4 8( 8 21) 1(4 30) 2( 7 20)
8(13) 26 26 156
1 8 2 1 3 1 3 1 1
A2 1 8 2
A2 1 1 3 10 4 3 4 3 10
3 10 4 1(4 30) 8( 4 9) 2( 10 3)
26) 104 26 52
1 1 8 2 1 1 1 1 2
A3 1 1 8
A3 1 2 1 7 10 3 10 3 7
3 7 10 1( 20 7) 1( 10 3) 8(7 6)
13 13 104 104

24. det( A ) 156
1 Solusi dari SPL
x 3
det( A) 52
x y 2z 8 x = 3
det( A2 ) 52
y 1 x 2 y 3z 1 y = 1
det( A) 52
det( A3 ) 104 3x 7 y 4 z 10 z = 2
z 2
det( A) 52

25. Bentuk umum:
a11 x1 a12 x2  a1n xn 0
a21 x1 a22 x2  a2 n xn 0
   
am1 x1 am2 x2  amn xn 0
• SPL homogen merupakan SPL yang konsisten,
 selalu mempunyai solusi.
• Solusi SPL homogen dikatakan tunggal jika solusi itu adalah
• Jika tidak demikian,
SPL homogen mempunyai solusi tak hingga banyak.
(biasanya ditulis dalam bentuk parameter)

26. Tetentukan solusi dari SPL berikut dengan aturan cramer!
1. -2x - 3y - 4z = 2 2. 4x + 6y - 3z = 1
x + 3y =1 -3x - 7y + 2z = 3
2x + 5y + z = -1 x + 2y - z = 1
3. 3x - 5y + 2z = 2 4. -3x + 4y - 13z = 1
-2x + 3y + 4z = 3 -x + 2y - 3z = 1
x - 2y + z = 1 2x - y + 11 z = 1