Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
INDUKSI
MATEMATIKA
Pengertian
• Induksi matematika adalah sebuah metode
pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan
bulat.
• Induksi matemat...
• Induksi Matematika digunakan
untuk mengecek hasil proses yang
terjadi secara berulang sesuai
dengan pola tertentu
• Indu...
TAHAPAN INDUKSI MATEMATIKA
• Basis Step (Langkah Basis) : Tunjukkan bahwa S(1)
benar. Menunjukkan bahwa pernyataan itu ber...
PRINSIP INDUKSI SEDERHANA
• Misalnya terdapat suatu deret tak berhingga
seperti berikut :
P(1),P(2),P(3),……
• Jika P(1) da...
Prinsip Induksi yang Dirampatkan.
• Jika ingin membuktikan bahwa pernyataan
p(n) benar untuk semua bilangan bulat  n0 ,
p...
Prinsip Induksi Kuat
• Versi induksi yang lebih kuat diperlukan
untuk membuktikan pernyataan mengenai
bilangan bulat. Vers...
• Versi induksi yang lebih kuat, mirip dengan
induksi sederhana, kecuali bahwa pada
angkah 2 kita mengambil hipotesis indu...
PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA
CONTOH
1

CONTOH
2

CONTOH
3

CONTOH
4

CONTOH
5

CONTOH
6

CONTOH
7

CONTOH
8
CONTOH 1
• Buktikan 1 komputer + 3 komputer + 5
komputer + . . .+ (2n-1 komputer) = n2
komputer, untuk setiap n merupakan
...
CONTOH 2
• Buktikan bahwa :
• N 3 + 2n adalah kelipatan 3
• untuk setiap n bilangan bulat positif
CONTOH 3
• Diberikan P(n) ≡ 52n - 1 . Tunjukkan P(n)
habis dibagi 8, untuk semua n ∈ N.
CONTOH 4
• Buktikan: 2n ≤ 2k, untuk k ∈ N.
CONTOH 5
CONTOH 6
CONTOH 7
CONTOH 8
Jawaban 1
• Penyelesaian:
• Sn : 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n-1)= n2
Harus dibuktikan benar untuk n = 1
• S1 : 1 = 12 .............
Jawaban 2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :
1 = 13 + 2(1)  1 = 3 , kelipatan 3
Induksi : ...
Jawaban 3
•
•
•
•
•
•
•

Tulis:
N : himpunan bilangan asli (Natural).
Diberikan P(n) ≡ 52n - 1.
Ditunjukkan P(1) benar.
Je...
• Ditunjukkan: Jika P(k) habis dibagi 8 maka P(k + 1) habis di bagi 8. ...
(#)
• Dipunyai P(k) benar.
• Jelas P(k) ≡ 52k -...
Jawaban 4
• Bukti:
Dibuktikan: P(1) benar. Jelas P(1) ≡ 2.1 ≤ 21 ≡ 2 ≤ 2.
Jadi P(1) benar. ... (1*)
Dibuktikan: Jika P(k) ...
Jawaban 5
Jawaban 6
Jawaban 7
Jawaban 8
KAMSAHAMNIDA...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Tugas (induksi matematika)

3,464 views

Published on

  • Be the first to comment

Tugas (induksi matematika)

  1. 1. INDUKSI MATEMATIKA
  2. 2. Pengertian • Induksi matematika adalah sebuah metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat. • Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataanpernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli. • Induksi matematika merupakan suatu teknik untuk membuktikan suatu pernyataan matematika apakah benar atau salah.
  3. 3. • Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu • Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements  n  A S(n) dengan A  N dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli. • S(n) adalah fungsi propositional
  4. 4. TAHAPAN INDUKSI MATEMATIKA • Basis Step (Langkah Basis) : Tunjukkan bahwa S(1) benar. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1. • Inductive Step (Langkah Induksi): Sumsikan S(k) benar akan dibuktikan S(k)  S(k+1) benar . Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n = k, maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n =k+1. • Conclusion(Kesimpulan): S(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integer positif
  5. 5. PRINSIP INDUKSI SEDERHANA • Misalnya terdapat suatu deret tak berhingga seperti berikut : P(1),P(2),P(3),…… • Jika P(1) dapat dibuktikan benar, dan untuk setiap k є ℕ, P(k)→P(k+1) benar (dengan mengasumsikan P(k), akan dibuktikan bahwa P(k+1)). • Maka P(n) benar untuk setiap n є ℕ. • P(1) benar, dan untuk semua bilangan bulat positif n  1, jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar.
  6. 6. Prinsip Induksi yang Dirampatkan. • Jika ingin membuktikan bahwa pernyataan p(n) benar untuk semua bilangan bulat  n0 , prinsip induksi sederhana dapat dirampatkan untuk menunjukkannya, dengan cara sebagai berikut : 1. p (n0) benar, dan 2. Untuk semua bilangan bulat n  n0, jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar.
  7. 7. Prinsip Induksi Kuat • Versi induksi yang lebih kuat diperlukan untuk membuktikan pernyataan mengenai bilangan bulat. Versi induksi yang lebih kuat adalah sebagai berikut : • 1. p (n0) benar, dan • 2. Untuk semua bilangan bulat n  n0, jika p(n0), p(n0+1),….p(n) benar maka p(n+1) juga benar.
  8. 8. • Versi induksi yang lebih kuat, mirip dengan induksi sederhana, kecuali bahwa pada angkah 2 kita mengambil hipotesis induksi yang lebih kuat bahwa semua pernyataan p(1), p(2), …., p(n) adalah benar daripada hipotesis yang menyatakan bahwa p(n) benar pada induksi sederhana • Prinsip induksi kuat memungkinkan kita mencapai kesimpulan yang sama meskipun emberlakukan andaian yang lebih banyak.
  9. 9. PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA CONTOH 1 CONTOH 2 CONTOH 3 CONTOH 4 CONTOH 5 CONTOH 6 CONTOH 7 CONTOH 8
  10. 10. CONTOH 1 • Buktikan 1 komputer + 3 komputer + 5 komputer + . . .+ (2n-1 komputer) = n2 komputer, untuk setiap n merupakan komputer yang rusak.
  11. 11. CONTOH 2 • Buktikan bahwa : • N 3 + 2n adalah kelipatan 3 • untuk setiap n bilangan bulat positif
  12. 12. CONTOH 3 • Diberikan P(n) ≡ 52n - 1 . Tunjukkan P(n) habis dibagi 8, untuk semua n ∈ N.
  13. 13. CONTOH 4 • Buktikan: 2n ≤ 2k, untuk k ∈ N.
  14. 14. CONTOH 5
  15. 15. CONTOH 6
  16. 16. CONTOH 7
  17. 17. CONTOH 8
  18. 18. Jawaban 1 • Penyelesaian: • Sn : 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n-1)= n2 Harus dibuktikan benar untuk n = 1 • S1 : 1 = 12 .............( ternyata benar untuk n = 1) • Andaikan berlaku untuk n=k, harus dibuktikan berlaku untuk n= k+1. • Anggap n =k berlaku, berarti Sk: 1 + 3 + 5 + . . + (2k – 1) = k2 • Untuk n= k+1, berlaku : • 1+3+5+...+2k-1+(2(k+1) – 1 = k2 + 2(k+1) -1 → k2+ 2k+2 – 1 • k2+ 2k+1= (k+1)2, ternyata benar untuk n=k+1 • Sehingga Sn berlaku untuk setiap n merupakan komputer yang rusak.
  19. 19. Jawaban 2 • • • • • • • • • • • • • • Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh : 1 = 13 + 2(1)  1 = 3 , kelipatan 3 Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan k 3 + 2k = 3x adib. Untuk n = k + 1 berlaku (k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3 (k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2 (k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3) (k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1) Induksi 3x + 3 (k 2 + k + 1) 3 (x + k 2 + k + 1) Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 Untuk setiap bilangan bulat positif n
  20. 20. Jawaban 3 • • • • • • • Tulis: N : himpunan bilangan asli (Natural). Diberikan P(n) ≡ 52n - 1. Ditunjukkan P(1) benar. Jelas P(1) ≡ 52.1 - 1 = 52 - 1 = 25 - 1 = 24 Jelas 24 habis dibagi 8. Jadi P(1) benar. ... (1*)
  21. 21. • Ditunjukkan: Jika P(k) habis dibagi 8 maka P(k + 1) habis di bagi 8. ... (#) • Dipunyai P(k) benar. • Jelas P(k) ≡ 52k - 1 = 8m, untuk suatu m ∈ N. ... (2*) • Jelas P(k + 1) ≡ 52(k+1) - 1 • = 52k+2 - 1 • = 52k . 25 - 1 • = [(52k - 1).25] + 24 [langkah ini merupakan kunci dari pembuktian] • = [8m.25] + 8.3 [langkah ini sah karena berdasarkan (2*), 52k - 1 = 8m] = 8 . (25m + 3) = 8p, untuk suatu p = 25m + 3, m, p ∈ N. • Diperoleh P(k + 1) = 8p, untuk suatu p ∈ N. • Jadi P(k + 1) habis dibagi 8. ... (3*) • Dari (1*) dan (3*) disimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua n ∈ N. • Jadi P(N) benar.
  22. 22. Jawaban 4 • Bukti: Dibuktikan: P(1) benar. Jelas P(1) ≡ 2.1 ≤ 21 ≡ 2 ≤ 2. Jadi P(1) benar. ... (1*) Dibuktikan: Jika P(k) benar maka P(k+1) benar. Dipunyai P(k) benar. Jelas P(k) ≡ 2k ≤ 2k. Jelas: 2k ≤ 2k ≡ 2k + 2 ≤ 2k + 2 ≡ 2k + 2 ≤ 2k . 2 ≡ 2(k+1) ≤ 2(k+1). Jadi P(k+1) benar. ... (2*) Dari (1*) dan (2*) dapat disimpulkan bahwa P(n) berlaku untuk semua n ∈ N. Jadi P(N) benar.
  23. 23. Jawaban 5
  24. 24. Jawaban 6
  25. 25. Jawaban 7
  26. 26. Jawaban 8
  27. 27. KAMSAHAMNIDA...

×