Dokumen tersebut membahas tentang relasi dan fungsi matematika. Relasi adalah hubungan antar unsur-unsur himpunan, sedangkan fungsi adalah relasi khusus dimana setiap unsur himpunan A dikaitkan dengan tepat satu unsur himpunan B. Dokumen ini menjelaskan berbagai jenis relasi seperti relasi ekivalen, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, dan transitif, serta sifat-sif

1. RELASI DAN FUNGSI
A. RELASI
 Relasi adalah suatu kalimat matematika yang memasangkan unsur-unsur dari
suatu himpunan ke suatu himpunan yang lain.
 Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota himpunan
A ke anggota himpunan B.
1. Cara Menyatakan Relasi
a. Diagram panah
b. Himpunan pasangan berurutan
c. Diagram Cartesius
Contoh:
Diketahui : A = {1,2,3} dan B = {a,b,c}
Ditanya : a) Diagram panah “faktor dari”
b) Himpunan pasangan berurutan
c) Diagram Cartesius
Jawab :
a) A “faktor dari” B
b) Himpunan pasangan berurutan
{(1,A), (1,B), (2,B), (3,B), (3,C)}
c) Diagram cartesius

2. 2. Banyaknya Relasi
Jika n(A) = k dan n(B) = l, maka:
Contoh :
n (M) = 4 dan n (N) = 3
R = 2k.l −1
R = 24.3 −1
R = 212 −1
R = 4096 −1
R = 4095
3. Relasi Invers ( R-1)
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B:
Invers dari R, dilambamgkan dengan R-1 adalah relasi dari B ke A yang
mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk
dalam R.
Notasi: 𝑅−1
= {( 𝑏, 𝑎)|( 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅}
Contoh:
P = {2,3,4} dan Q = {2,4,8,9,10} dimana (P,Q)∈R, jika P habis dibagi Q.
Maka: R = {(2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8)}
R-1 = {(2,2),(4,2),(8,2),(9,3),(15,3),(4,4),(8,4)}
4. Kombinasi Relasi
a) Irisan : R1 ∩ R2
b) Gabungan : R1 ∪ R2
c) Selisih : R1 – R2 atau R2 – R1
d) Beda Setangkup : R1 ⊕ R2
Contoh:
A = {a,b,c} dan B = {a,b,c,d}
R1 = {(a,a),(b,b),(c,c)}
R2 = {(a,a),(a,b),(a,c),(a,d)}
Maka:
a) R1 ∩ R2 = {(a,a)}
R = 2k.l −1

3. b) R1 ∪R2 = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d)}
c) R1 – R2 = {(b,b),(c,c)}
R2 – R1 = {(a,b),(a,c),(a,d)}
d) R1 ⊕ R2 = {(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d)}
5. Komposisi Relasi
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari
himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S  R,
adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh:
𝑆 o 𝑅 = {( 𝑎, 𝑐)|
𝑎 ∈ 𝐴, 𝑐 ∈ 𝐶, 𝑑𝑎𝑛 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑏𝑒𝑏𝑒𝑟𝑎𝑝𝑎 𝑏 ∈ 𝐵, ( 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛
( 𝑏, 𝑐) ∈ 𝑆
}
Contoh :
Misalkan: R = {(x,a),(x, b),(y, b),(y, c),(y, d), (z,d)}
S = {(a,1),(a,3),(b,2),(b,3),(c,5),(d,3),(d,4)}
Tentukan S o R dan R o S !
S o R = {(x,1),(x,2),(x,3),(y,2),(y,3),(y,4),(y,5),(z,3),(z,4)}
R o S = {(a,x),(b,x),(b,y),(c,y),(d,y),(d,z)}
B. SIFAT–SIFAT RELASI
Berikut merupakan sifat-sifat relasi dam himpunan sebagai berikut:
1. Refleksif (Reflexive)
“Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) ∈ R untuk setiap a ∈ A”.
 Setiap eleman di dalam A berhubungan dengan dirinya sendiri.
 Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a  A tetapi tidak terdapat (a,a)
∉ 𝑅.
2. Simetris (Setangkup)
“Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a,b) ∈ R, maka (b,a) ∈
𝑅, untuk semua a,b ∈ A”.

4. 3. Anti Simetris (Tolak-Setangkup)
“Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika (a,b) ∈ R dan (b,a) ∈ R
maka a = b,untuk semua a,b ∈ 𝐴 semua a,b ∈ A”.
4. Transitif (Menghantar)
“Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a,b) ∈ R dan (b,c) ∈ R maka
(a,c) ∈ 𝑅, untuk semua a,b,c ∈ 𝐴”
Contoh:
Diketahui: A = {1,2,3,4}
R1 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)}
R2 = {(1,1),(2,3),(3,2)}
R3 = {(3,4)}
R4 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)}
Ditanya: Manakah dari relasi di atas yang bersifat refleksif, simetris, anti
simetris, dan transitif? Jelaskan!
Jawab:
R1 = Anti Simetris, yaitu (1,1); (2,2); (4,4) karena a=b
R2 = Simetris, karena (2,3) dan (3,2) ∈ 𝑅
Anti Simetris, yaitu (1,1) karena a=b
R3 = Transitif, yaitu (3,4) karena tidak ada (a,b) dan (b,c) ∈ 𝑅 sehingga (a,c) ∈ 𝑅
R4 = Refleksif, karena (1,1); (2,2); (3,3); (4,4) ∈ 𝑅
Anti Simetris, yaitu (1,1); (2,2); (3,3); (4,4) karena a=b
Simetris, karena (1,2);(2,1) dan (1,4);(4,1) ∈ 𝑅
C. RELASI EKIVALEN
“Relasi R pada himpunan A disebut relasi ekivalen jika memenuhi 3 sifat relasi
yaitu refleksif, simetris, dan transitif.”
Contoh:
Diketahui: A = {1,2,3}
R = A x A = {1,2,3} x {1,2,3}
R = {(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3); (3,1); (3,2); (3,3)}
Buktikan apakah relasi diatas ekivalen atau tidak?

5.  Refleksif : (1,1); (2,2); (3,3)
 Simetris : (1,2); (2,1); (1,3); (3,1); (2,3); (3,2)
 Transitif : (1,1); (1,2) = (1,2); (1,3); (3,3) = (1,3)
Karena memiliki sifat refleksif, simetris, dan transitif maka dapat disimpulkan
relasi diatas bersifat ekivalen.
D. FUNGSI
“Misalkan A dan B himpunan Relasi biner, f dari A ke B merupakan suatu fungsi
jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.
Jika f adalah fungsi dari A ke B maka: BAf : (f memetakan A ke B).”
Rumus: 𝒇 = 𝒍 𝒌
Contoh: :
𝐴 = {𝑥| − 3 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑥 ∈ 𝐴}
Jika : 𝑓 ∶ 𝑥 → ( 𝑥3)atau 𝑓( 𝑥) = 𝑥3
Maka : 𝐴 = {−3, −2,−1, 0, 1, 2}
f (-3) = (-3)3 = 27
f (-2) = (-2)3 = -8
f (-1) = (-1)3 = -1
f (0) = (0)3 = 0
f (1) = (1)3 = 1
f (2) = (2)3 = 8
E. SIFAT – SIFAT FUNGSI
Berikut merupakan sifat-sifat fungsi dalam himpunan sebagai berikut:
1. Injektif (Satu ke Satu)
Fungsi f dikatakan injektif jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki
bayangan sama. Jika a dan b adalah anggota himpunan A, maka f(a)  bf
bilamana ba  . Jika    bfaf  maka implikasinya adalah a = b.

6. 2. Surjektif (onto)
Fungsi f dikatakan surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan
dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B
merupakan jelajah dari f disebut fungsi pada himpunan B.
3. Bijektif (berkoresponden satu-ke-satu)
Fungsi f dikatakan bijektif jika ia fungsi injektif dan juga fungsi onto.

7. DAFTAR PUSTAKA
Buku Catatan PDM (Pendidikan Dasar Matematika) Semester I
Munir, Rinaldi. 2014. Matematika Diskrit. Bandung : Informatika Bandung.
Wirodikrotomo, Sartono. 2007. Matematika Jilid 1untuk kelas X. Jakarta:
Erlangga.