Terdapat tiga lingkaran yang berpotongan di dua titik. Berkas lingkaran adalah himpunan semua lingkaran yang melalui titik-titik potong tersebut, yang ditentukan oleh persamaan L1+λL2=0 dimana λ adalah konstanta. Kuasa suatu titik terhadap lingkaran menunjukkan letak titik tersebut relatif terhadap lingkaran.

2. KUASA
LINGKARAN
GARIS KUASA
TITIK KUASA
BERKAS
LINGKARAN

3. Misalkan ada titik T (x1,y1) diluar lingkaran, dan ada lingkaran L
yang berpusat di titik P dan jari-jari r seperti gambar berikut :
Kuasa titik T (x1 , y1) terhadap lingkaran L didefinisikan sebagai
nilai
TP²−r²

4.  Menentukan nilai kuasa suatu titik yang dilambangkan K :
Misalkan ada persamaan lingkaran L : x ² + y ² + Ax + By + C = 0
dengan pusat P (−A/2,−B/2) dan kuadrat jari-jarinya
r ² = ¼ A² + ¼ B²−C²
Maka kuasa lingkaran (K) titik T(x1,y1) terhadap lingkaran L,
dinyatakan dengan :
K = TP² − r² = (x1 + 1/2A)² + (y1 + 1/2B)² − r²
atau
K=x1² + y1² + Ax1 + By1+ C.
Perhatikan bahwa kuasa titik T(x1,y1) terhadap lingkaran
L = x² + y² + Ax + By + C = 0 dapat diperoleh dengan cara
menggantikan x dan y pada persamaan lingkaran itu dengan x1 dan y1.

5. Kegunaan nilai kuasa suatu titik pada lingkaran Setelah
diperoleh kuasa suatu titik terhadap lingkaran, maka nilai kuasanya
bisa digunakan untuk menentukan letak titik tersebut terhadap
lingkaran, yaitu :
i). Jika K > 0, maka titik ada di luar lingkaran
ii). Jika K = 0, maka titik terletak pada lingkaran
iii). Jika K < 0, maka titik terletak di dalam lingkaran

6. Contoh :
Tentukan kuasa titik T(1,2) terhadap lingkaran-lingkaran :
a). x²+y²+2x−4y+6=0
b). (x−2)²+(y+1)²=4
Penyelesaian :
 Substitusi titik T(1,2) ke persamaan lingkaran
K = 1² + 2² + 2 . 1 − 4 . 2 + 6 = 5
 Nol kan ruas kanan persamaan lingkaran
K = (x−2)² + (y+1)² = 4 → (x−2) ²+ (y+1)² − 4 = 0
K = (1−2)² + (2+1)² − 4 = 6
Karena nilai kuasa titik terhadap kedua lingkaran di atas positif (K>0),
maka titik T(1,2) terletak di luar kedua lingkaran.

7.  Misalkan ada dua buah lingkaran, dan terdapat titik yang memiliki
kuasa yang sama terhadap kedua lingkaran tersebut. Himpunan
semua titik kuasa (memiliki kuasa yang sama terhadap dua
lingkaran) akan membentuk suatu garis yang dinamakan sebagai
garis kuasa. Garis kuasa tegak lurus dengan garis yang
menghubungkan dua pusat lingkaran.

8. Cara menentukan garis kuasa :
Misalkan ada dua lingkaran yaitu L¹= x² + y² + A¹x + B¹y + C ¹= 0 dan
L 1= x² + y² + A²x + B²y + C ² = 0
Garis kuasanya adalah :
L1 − L2 = 0 atau (A¹−A²)x + (B¹−B²)y + (C¹−C²) = 0

9. Titik Kuasa adalah titik yang terletak pada garis kuasa dan
mempunyai kuasa yang sama terhadap kedua lingkaran.
Substitusi sebarang nilai salah satu variabelnya (misalkan pilih salah
satu nilai x1) ke persamaan garis kuasa, akan diperoleh nilai y1. Titik
(x1,y1) ini lah disebut sebagai salah satu titik kuasa kedua lingkaran.

10. Contoh :
Diketahui dua persamaan lingkaran : L1= x²+y²+2x−2y−6=0 dan L2=
x²+y²−12x−4y+36=0
a. Tentukan persamaan garis kuasanya
b. Tentukan titik kuasanya pada sumbu X dan kuasanya pada kedua
lingkaran
c. Tentukan titik kuasanya pada sumbu Y dan kuasanya pada kedua
lingkaran

11. Penyelesaian :
a. Menentukan garis kuasa :
L1 – L 2= 0
x2 + y2 + 2x – 2y - 6 = 0
x2 + y2 – 12x – 4y + 36 = 0
14x + 2y – 42 = 0
14x + 2y = 42 (2)
7x + y = 21
Jadi, garis kuasanya adalah 7x + y = 21

12. b. Titik kuasa pada sumbu X, artinya kita mencari titik pada garis
kuasa yang memotong sumbu X, caranya adalah substitusi y=0 ke
garis kuasa, diperoleh :
y = 0 → 7x + y = 21 → 7x + 0 = 21 → x = 3
Artinya titik kuasa pada sumbu x adalah titik (3,0)
 Kuasa titik (3,0) terhadap lingkaran :
substitusi titik (3,0) ke salah satu lingkaran
L1 : x2 + y2 + 2x – 2y – 6 = 0 → K = 3^2 + 0^2 + 2 . 3 – 2 . 0 – 6 =
9
Jadi, kuasa titik (3,0) adalah 9

13. c. Titik kuasa pada sumbu Y, artinya kita mencari titik pada garis kuasa yang
memotong sumbu Y, caranya adalah substitusi x=0 ke garis kuasa,
diperoleh :
x=0 → 7x + y = 21 → 7.0 + y = 21 → y = 21
Jadi, titik kuasa pada sumbu Y adalah titik (0,21)
 Kuasa titik (0,21) terhadap lingkaran :
Substitusi titik (0,21) ke salah satu lingkaran saja (karena kuasanya sama),
L1: x²+y²+2x−2y−6=0
K=0²+21²+2.0−2.21−6=393
Jadi, kuasa titik (0,21) adalah 393
Berikut gambar lingkaran dan garis kuasanya :

14.  Garis Kuasa
Misalkan ada tiga lingkaran: L1,L2, dan L3. Garis kuasa yang
terbentuk ada tiga yaitu
g1:L1−L2=0; g2:L1−L3=0; g3:L2−L3=0
 Titik Kuasa
Sementara titik kuasa tiga lingkaran hanya ada satu titik
kuasa saja, yaitu perpotongan ketiga garis kuasa yang terbentuk.
Untuk menentukan titik kuasanya, cukup ambil dua garis kuasa
saja kemudian cari perpotongan kedua garis tersebut dengan
cara eliminasi dan substitusi.

15.  Contoh :
Tentukan garis kuasa dan titik kuasa dari ketiga lingkran berikut
dan kuasa titik tersebut terhadap ketiga lingkaran.
L1:x²+y²+x+y−14=0
L2:x²+y²=1
L3:x2+y²+3x−2y−26=0
Penyelesaian :
*Menentukan garis kuasanya :
garis kuasa pertama : L1−L2=0→x+y=1
garis kuasa kedua : L1−L3=0→−2x+3y=−12
garis kuasa ketiga : L2−L3=0→−3x+2y=−13

16.  Penyelesaian :
*)Menentukan garis kuasanya :
garis kuasa pertama : L1−L2=0→x+y=1
garis kuasa kedua : L1−L3=0→−2x+3y=−12
garis kuasa ketiga : L2−L3=0→−3x+2y=−13
*)Menentukan titik kuasa dengan eliminasi garis kuasa I dan II
x+y=1 kali 2 2x+2y=2
-2x+3y=-12 kali 1 -2x+3y=-12 +
5y=-10
y=-2

17. y=-2 ke Pers(i) :
x+y=1
x+(−2)=1
x=3
Jadi, titik kuasa ketiga lingkaran adalah (3,-2)
*)Kuasa titik (3,-2) terhadap lingkaran, di sini kita gunakan lingkran
pertama
L1: x²+y²+x+y−14=0
K=3²+(−2)²+3+(−2)−14=0
Kuasa titik (3,-2) terhadap ketiga lingkaran adalah 0.
Karena nilai kuasanya nol (K=0), maka titik (3,-2) ada pada ketiga lingkaran

18. Berkas lingkaran adalah lingkaran-lingkaran yang dibuat melalui
perpotongan dua lingkaran. Misalkan lingkaran L1 dan L2 berpotongan dititik P
dan Q, maka persamaan berkas lingkaran yang melalui titik P dan Q adalah :
L1+λL2=0 atau L1+λk=0 atau L2+λk=0
Keterangan:
K adalah garis kuasa lingkaran L1 dan L2
λ adalah konstanta tertentu
Jika λ=-1, maka persamaan berkas menjadi L1-L2=0 yang merupakan
persamaan garis kuasa.
Ilustrasi gambar berkas lingkaran dari lingkaran L1 dan L2.
Karena λ merupakan suatu konstanta yang tak hingga banyaknya, maka
persamaan lingkaran yang terbentuk juga banyak tergantung nilai λ.
Untuk lebih jelas, perhatikan gambar berkas lingkaran berikut ini.

20. 1. Pada gambar di bawah ini lingkaran berwarna merah L 1 ≡ x 2 + y
2 = 16 , Lingkaran berwarna hijau L 2 ≡ x 2 + y 2 - 14 x - 4 y + 28
= 0 , dan lingkaran yang berwarna biru semuanya berpotongan di
titik A dan B .
A. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A dan B
B. Tentukan persamaan dari semua lingkaran yang berwarna biru
C.Salah satu lingkaran biru L 3 melalui titik asal, tentukan
persamaannya

22. A. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A dan B
Titik A dan B adalah titik potong kedua lingkaran merah L1 dan
lingkaran hijau L2
Persamaan garis melalui kedua titik potong lingkaran adalah garis
potong.
Langkah pertama kita cari garis potong dari
{L1≡x2+y2−16=0L2≡x2+y2−14x−4y+28=0
L1−L2=0 → (x2+y2−16)−(x2+y2−14x−4y+28)=0
−16+14x+4y−28=0
7x+2y−22=0 garis potong h

23. B. Tentukan persamaan dari semua lingkaran yang berwarna biru
Persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran adalah
berkas lingkaran dari kedua lingkaran itu.
Persamaan berkas lingkarannya adalah :
L1+λh=0 → (x2+y2-16)+λ(7x+2y-22)=0
x2+y2+7λx+2λy-22λ-16=0

24. C. Salah satu lingkaran biru L3 melalui titik asal, tentukan
persamaannya
Lingkaran biru L3 adalah salah satu berkas lingkaran, jadi
persamaannya :
x2+y2+7λx+2λy−22λ−16=0
Untuk mencari nilai λ kita substitusikan titik asal (0,0) ke berkas
lingkaran :
(0,0) → x2+y2+7λx+2λy−22λ−16=0
02+02+7λ(0)+2λ(0)−22λ−16=0
−22λ=16
λ=−8/11
Jadi persamaan lingkarannya adalah :
x2+y2+7(−8/11)x+2(−8/11)y−22(−8/11)−16=0
11x2+11y2−56x−16y=0