ΟΛΑ ΤΑ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, ΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΔΥΟ ΤΕΛΕΥΤΑΙΩΝ ΕΤΩΝ ΣΤΟ ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ, ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 19-20

1. 1
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2019
ΦΑΚΕΛΟΣ ΜΑΘΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ
ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2. 2
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
1ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
 Πληθυσμός, ονομάζεται το σύνολο του οποίου θέλουμε να εξετάσουμε τα
στοιχεία του ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά.
 Μεταβλητές είναι τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν
πληθυσμό.Συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα Χ,Υ,Ζ , διακρίνονται σε
ποσοτικές και ποιοτικές
 Ποιοτικές Μεταβλητές
Οι μεταβλητές των οποίων οι τιμές δεν είναι αριθμοί.
 Ποσοτικές Μεταβλητές
Εκείνες οι μεταβλητές των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί και διακρίνονται
σε Διακριτές και Συνεχείς ανάλογα αν παίρνουν μεμονωμένες τιμές ή
τιμές μέσα σε κάποιο διάστημα αντίστοιχα.
 Δείγμα
Όταν μαζεύουμε πληροφορίες από ένα υποσύνολο του πληθυσμού αυτό
καλείται δείγμα.
 Αντιπροσωπευτικό Δείγμα
Εκείνο το δείγμα το οποίο επιλέγεται με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε μονάδα
του να έχει την ίδια δυνατότητα επιλογής.
Συμπλήρωση Πίνακα - Συχνότητες, Σχετικές Συχνότητες
Οι απουσίες ενός τμήματος ΓΕ.Λ Εξαπλατάνου κατά τον μήνα Σεπτέμβριο ήταν :
2,1,0,6,7,8,9,0,0,0,5,6,7,4,5,3,2,7,2,1,0,1,2,2,0
α ) κατασκευάστε πίνακα συχνοτήτων , σχ. συχνοτήτων.
ΛΥΣΗ
 Η μεταβλητή μας είναι ……………….. και συγκεκριμένα ……………………….
 Οι διαφορετικές τιμές είναι : x1 = ………. , x2 = …………. , x3 = ……………..
…………………………………………………………………………………………………………
x10 = ………..
 Hπρώτη τιμή x1 = ……….. , εμφανίζεται στο δείγμα μας 6 φορές. Αυτό
ονομάζεται συχνότητα της πρώτης τιμής x1 και συμβολίζεται με ν1.
Άρα ν1 = 6. Ομοίως βρείτε , ν2 = …………., ν3 = ……………., ν4 = ………….,
…………………………………………………………………………………..ν10 = …………….
 Παρατηρείστε ότι : ν1 + ν2 + ν3 + …………….+ ν10= ………….. , το οποίο είναι το
μέγεθος του δείγματος και συμβολίζεται με ν. Άρα : ν = ………………………………
 Σχετική Συχνότητα είναι το πλήθος των εμφανίσεων μιας τιμές στο σύνολο
του δείγματος. Συμβολίζεται με fi και ισούται με ……………………………………..

3. 3
Άρα f1 =

1
, f2 =

2
, f3 =

3
, ………………………………………………………………..
 Συγκρίνεται τις σχετικές συχνότητες fiμε το 0 και το 1 , τι ισχύει ;
…………………………………………………………………………………………………………….
 Προσθέστε όλες τις σχετικές συχνότητες , ποιος αριθμός προκύπτει ;
…………………………………………………………………………………………………………….
Άρα, 0…. fi ……… 1 , ΚΑΙ f1 + f2 + …………. = ……….
Σχηματίζεται ο πίνακας :
β ) πόσοι μαθητές είχαν :
ι ) το πολύ 4 απουσίες
ιι) τουλάχιστον 2
γ ) ποιο ποσοστό μαθητών δεν
απουσίαζε καθόλου ;
δ ) Να γίνει το ραβδόγραμμα
συχνοτήτων και το σημειόγραμμα.
ΑΣΚΗΣΗ
Συμπληρώστε καθέναν από τους παρακάτω πίνακες :
x v f i % x v f i %
2 40 1 10
4 50 3 6
6 5 34
8 100 7 50
10 25 Άθροισμα 200 100
Άθροισμα 250
xi
Τιμές
vi
Συχνότητες
fi
Σχετικές
Συχνότητες
ΣΥΝΟΛΑ

4. 4
2ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Το Σύμβολο 
Έστω ότι έχουμε 20 τιμές ενός δείγματος x1 , x2 , x3 …………….. x20.
Και έστω ότι θέλουμε να τις προσθέσουμε , δηλαδή :
x1 + x2 +x3 …………….. +x20. Το άθροισμα αυτό γράφεται πιο σύντομα με τη
χρήση του συμβόλου  ως εξής :
x1 + x2 +x3 …………….. +x20 = 
20
1i
ix
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Συμπληρώστε τα παρακάτω :

5
1i
i = ………………………….. , 
3
1i
i
f =……………………………
t1 + t2 + t3 +………t100 =………………………..
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Ορίζεται ως :
ΑΣΚΗΣΗ για γνωριμία
Ένα προϊόν πωλείται σε 10 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές, σε
Ευρώ: 8, 10, 13, 13, 15, 16, 18, 14, 14, 9.
Να υπολογίσετε τη μέση τιμή.

5. 5
ΑΣΚΗΣΗ
Ο πίνακας παρουσιάζει τους βαθμούς των μαθητών ενός τμήματος σε ένα
διαγώνισμα Φυσικής :
Βαθμός ix 8 10 13 16 17 19
i 4 2 5 8 3 2
Να υπολογίσετε ,
α ) το ποσοστό των μαθητών που πήραν το πολύ 10,
β ) το ποσοστό των μαθητών που πήραν τουλάχιστον 16,
γ ) τη μέση τιμή των βαθμών .
ΣΚΕΨΗ : Βολεύει ο προηγούμενος τύπος ; Μήπως μπορείτε να σκεφτείτε
κάποιον άλλον εσείς ;
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
Ορίζεται και ως :
Λύστε τώρα την άσκηση.

6. 6
3ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ( s2 )
Ορίζεται ως :
Ο τύπος (1) αναφέρεται σε μη ομαδοποιημένα δεδομένα ενώ ο (3) σε πίνακα με
ομαδοποιημένες τιμές.
ΑΣΚΗΣΗ για γνωριμία
Έστω οι βαθμοί 7 μαθητών στο μάθημα της Φυσικής: 7,8,9,10,11,12,13
Βρείτε :
α ) τη διάμεσο δ,
β ) τη μέση τιμή των βαθμών,
γ ) τη διακύμανση των βαθμών και την τυπική απόκλιση.
δ ) ο συντελεστής μεταβλητότητας του δείγματος.
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) Τοποθετώ τους αριθμούς σε αύξουσα σειρά.
7,8,9,10,11,12,13
Μέγεθος του δείγματος ν = 7, μεταβλητή ποσοτική - διακριτή .
Η (δ) είναι η μεσαία τιμή δηλαδή η 4η τιμή.
Άρα δ = 10.
β ) x̅ =
∑ 𝑡 𝑖
7
𝑖=1
𝜈
=
7+8+9+10+11+12+13
7
=
70
7
= 10

7. 7
γ ) s2 =
∑ (𝑡 𝑖−x̅)27
𝑖=1
𝜈
=
(7−10)2+(8−10)2+(9−10)2+(11−10)2+⋯
7
=
=
9 + 4 + 1 + 1 + 4 + 9
7
=
28
7
= 4
Άρα s = 2.
δ ) CV =
s
x̅
=
2
10
=
1
5
= 0.2 ή 20% ανομοιογενές δείγμα.
ΑΣΚΗΣΗ για εμπέδωση
Στον παρακάτω πίνακα βλέπουμε των αριθμό των αγελάδων που κατέχουν οι
οικογένειες ενός χωριού.
Αγελάδες Οικογέν.
1 13
2 12
3 5
4 4
ΣΥΝΟΛΑ
Βρείτε :
α ) τη μέση τιμή β ) τη διακύμανση
γ ) την τυπική απόκλιση
Α! Τυπική Απόκλιση , τι είναι ;

8. 8
ΘΗΚΟΓΡΑΜΜΑ

9. 9
ΕΝΟΤΗΤΑ : 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΟ ΤΟ ΦΑΚΕΛΟ
1. Το βάρος 10 μαθητών σε κιλά είναι : 52, 50, 57, 52, 61, 50, 50, 52, 57, 50
Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος
2. Οκτώ διαδοχικοί περιττοί αριθμοί έχουν μέση τιμή 16. Να βρεθούν οι
αριθμοί αυτοί καθώς και η διάμεσος τους.
3. Η μέση τιμή και η διάμεσος επτά αριθμών είναι 8. Οι πέντε από αυτούς
είναι 2,5,10,11,14.
α ) Να βρεθούν οι άλλοι δυο.
β ) Να βρεθεί το εύρος
γ ) Να βρεθούν τα Q1 , Q3 ,Q
δ ) Να γίνει το Θηκόγραμμα.
ε ) Να βρεθεί η διακύμανση
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) ν = 7 άρα αφού τοποθετηθούν σε αύξουσα σειρά η 4η τιμή είναι η διάμεσος.
Συνεπώς η 4η τιμή είναι το 8 μιας και δ = 8.
2,5, x , 8, 10,11,14
Επίσης x̅ = 8 άρα
x̅ =
∑ 𝑡𝑖
7
𝑖=1
𝜈
=
2 + 5 + x + 8 + 10 + 11 + 14
7
Άρα x̅ = 8 ⇔
2+5+x+8+10+11+14
7
= 8 ⇔
50+x = 56 ⇔ x = 6
Άρα οι αριθμοί είναι : 2,5, 6 , 8, 10,11,14
β ) R = μεγαλύτερη – μικρότερη τιμή = 14 – 2 = 12
γ ) Το δείγμα μας είναι το :
2,5, 6 , 8, 10,11,14
Αφαιρούμε τη διάμεσο και τότε γίνεται : 2,5,6⏟ , 10,11,14⏟
Απ το πρώτο μισό βρίσκω το Q1 = 5 και απ το άλλο μισό Q3 = 11

10. 10
δ ) Q1 – 1.5∙ Q = 5 – 1.5∙8 = 5 – 12 = -7 , η αμέσως μεγαλύτερη τιμή –
παρατήρηση απ το -7 είναι το, 2= Αριστερό παρακείμενο.
Q3 + 1.5∙ Q = 11 + 1.5∙8 = 11 + 12 = +23 ,
η αμέσως μικρότερη τιμή –παρατήρηση του δείγματος απ το 23 είναι το 14=
Δεξιό παρακείμενο.
ε ) s2 =
∑ (𝑡𝑖−x̅)27
𝑖=1
𝜈
=
(2−8)2+(5−8)2+(6−8)2+(10−8)2+⋯
7
=
=
36 + 9 + 4 + 4 + 9 + 36
7
=
98
7
= 14
4. Ο πίνακας παρουσιάζει των αριθμό των παιδιών που έχουν οι οικογένειες
μιας πολυκατοικίας της Θεσσαλονίκης.
Αριθμός
Παιδιών ix 0 1 2 3 4 5
Οικογένειες i 1 7 11 4 1 1
Να υπολογίσετε :α ) τη μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος
δ ) την τυπική απόκλιση ε ) τον συντ. μεταβλητότητας
5. Ένα προϊόν πωλείται σε 10 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω
τιμές, σε Ευρώ: 8, 10, 13, 13, 15, 16, 18, 14, 14, 9.
α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο.
β. Να υπολογίσετε το εύρος, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή
μεταβλητότητας.
γ. Αν οι τιμές του προϊόντος σε όλα τα καταστήματα υποστούν έκπτωση
10%, να εξετάσετε αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολής.
[ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ]
6. Στο παρακάτω δείγμα 10 παρατηρήσεων : 1 , 2 , 4 , 2 , 6 , 1 , 3 , 6 , α , 6
είναι x = 4. α ) βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α
β ) για α = 9 , ι ) βρείτε τη διάμεσο , ιι ) βρείτε τη διακύμανση
γ ) αν όλες οι παραπάνω παρατηρήσεις αυξηθούν κατά 2008 , τότε ποια θα είναι
η μέση τιμή των νέων παρατηρήσεων ;
[ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 2008 ]

11. 11
7. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τις πωλήσεις σε χιλιάδες € που
πραγματοποιήθηκαν από τους 100 πωλητές μιας εταιρείας.
Πωλήσεις
ix
Αρ. Πωλητών
v
fi %
1000 20
2000 10
3000 30
4000 15
5000 20
6000 5
ΣΥΝΟΛΑ
α) να συμπληρωθούν τα κενά του πίνακα.
β) να βρεθεί ο αριθμός των πωλητών με πωλήσεις από 2000 μέχρι και 5000 €.
γ ) να βρεθεί το ποσοστό των πωλητών με πωλήσεις αξίας τουλάχιστον 4000 €.
δ ) να βρεθεί η μέση τιμή του δείγματος.
8. Στην « Αττική οδό » εξυπηρετούνται καθημερινά 200 χιλιάδες οχήματα , τα
οποία διανύουν 5 έως 45 χιλιόμετρα. Η διανυόμενη απόσταση σε
χιλιόμετρα από τα οχήματα αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του
πίνακα :
α ) να μεταφέρετε στο τετράδιο σας το
παρακάτω πίνακα συμπληρωμένο
β ) να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα (xi , νi) και το
πολύγωνο συχνοτήτων
γ ) να βρείτε το πλήθος των οχημάτων που
διανύουν απόσταση τουλάχιστον 25
χιλιομέτρων.
[ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2004]
9. Το μέσο ύψος 9 καλαθοσφαιριστών μιας ομάδας είναι 205 εκατοστά ,
α ) για να ψηλώσει την ομάδα ο προπονητής πήρε έναν παίκτη ύψους 216
εκατοστά. Ποιο είναι τώρα το μέσο ύψος της ομάδας ;
β ) Αν ο προπονητής ήθελε να φτάσει το μέσο ύψος της ομάδας του στα
208 εκατοστά, τι ύψος θα έπρεπε να έχει ο νέος παίκτης ;
Κλάσεις
σε χλμ
νι
σε
χιλιάδες
οχήματα
fi %
5-15 60
15-25 76
25-35 44
35-45 120
Σύνολο 200

12. 12
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 1.1
ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ αx+βy = γ – ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ
Δραστηριότητα Ι
Ένας παππούς πάει τα δυο εγγονάκια του βόλτα στη πλατεία. Παραγγέλνουν
έναν καφέ ο παππούς και από ένα χυμό τα δυο εγγόνια του. Ο λογαριασμός είναι
6 €.
α ) Αν x € κοστίζει ο καφές και y € ο ένας χυμός γράψτε μια εξίσωση που
περιγράφει το παραπάνω πρόβλημα.
β ) Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα, γράψτε μερικές.
γ ) Γραφικά τι παριστάνει η εξίσωση που βρήκατε στο α) ερώτημα ; Κάντε τη
γραφική της παράσταση. Θυμηθείτε, « από 2 σημεία του επιπέδου, πόσες
ευθείες διέρχονται ;»
Δραστηριότητα ΙΙ
Δίνεται η ευθεία ε : 2x + 4y = 8. Μπορείτε να τη φέρετε στη μορφή
y = λx + κ. Θυμάστε πως ονομάζεται ο λ και τι συμβαίνει όταν :
 λ > 0 ,
 λ < 0 και
 λ = 0.
Δραστηριότητα ΙΙΙ
Δυο ευθείες του ίδιου επιπέδου μπορεί να είναι μεταξύ τους :
1 ) ………………………………
2 ) ………………………………
3 ) ……………………………….
Οι ευθείες ε1 : y = α1x +β1
ε2 : y = α2x +β2
είναι παράλληλες όταν : ………………………..
 Όταν είναι παράλληλες , θα λέμε ότι το γραμμικό σύστημα των παραπάνω
ευθειών ΑΔΥΝΑΤΟ.
 Όταν ΤΑΥΤΊΖΟΝΤΑΙ , θα λέμε ότι το γραμμικό σύστημα των παραπάνω
ευθειών ΑΟΡΙΣΤΟ ή ότι έχει ΑΠΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ.
 Όταν ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ , θα λέμε ότι το γραμμικό σύστημα των παραπάνω
ευθειών έχει ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ ή ότι είναι ΣΥΜΒΙΒΑΣΤΟ.

13. 13
Εφαρμογή :Εξετάστε γραφικά , το σύστημα : ε1 : y = x +2
ε2 : -4x+2y = 8
ΕΝΟΤΗΤΑ : 6 ΚΡΙΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ&ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
1. Πως βρίσκω ένα τυχαίο σημείο μιας δοσμένης ευθείας.
π. χ Γράψτε τρία σημεία της ευθείας ε : 2x + 3y + 6 = 0
2. Πως εξετάζω αν μια ευθεία διέρχεται από ένα δοσμένο σημείο .
π. χ Διέρχεται η ε : 2x-3y= 6 απ΄ το σημείο (0,2) ;
3. Πως βρίσκω το κοινό σημείο δυο ευθειών.
π. χ Βρείτε το σημείο τομής των ε1 : 2x-5y+3=0 , ε2 : x - 3y – 7 = 0
4. Πως κάνω τη γραφική παράσταση μιας δοσμένης ευθείας.
π. χ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των : 4x-4y = 8 και x+y = 0
5. Τι σημαίνει «μια ευθεία έχει λ=1.» , «μια ευθεία έχει λ=0.» , «μια ευθεία ΔΕΝ
έχει λ.» , «μια ευθεία έχει λ = - 1.» , «μια ευθεία έχει λ =√3.»
6. Πως βρίσκω τον συντελεστή διεύθυνσης μιας δοσμένης ευθείας ;
π. χ Ποιος ο λ των : x = 3 , y = -1 , y = 3x.
π. χ Βρείτε τον συντελεστή των 2x-5y+3=0 και x – y + 2 = 0.
ΓΕΝΙΚΑ : Ο συντελεστής διεύθυνσης της αx+βy+γ = 0 είναι ο λ = −
𝛼
𝛽
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
10. Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 27 χρόνια,
και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη.
α) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την
απάντησή σας. (Μονάδες 13)
β) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5
χρόνια. Να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες 12)
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) Έστω x η ηλικία του Μάρκου και y του Βασίλη.
Τότε απ το 1ο δεδομένο είναι x + y = 27
Απ το 2ο δεδομένο είναι x > y
Δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την ηλικία του καθενός ακριβώς.

14. 14
Γιατί , μια λύση είναι : (x, y) = (15 , 12) , μια άλλη (16,11) , μια τρίτη (20 , 7)
β ) Τότε απ το 1ο δεδομένο είναι x + y = 27
Απ το 2ο δεδομένο είναι x > y
Απ το 3ο δεδομένο είναι : x – y = 5
Προσθέτω κατά μέλη και 2x = 32 ⇔ x = 16 και y = 11
Μάρκος 16 και Βασίλης 11.
11. α) Με βάση τα δεδομένα του σχήματος, να προσδιορίσετε τις εξισώσεις
των ευθειών (ε) και (η).
β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους.

15. 15
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 1.2
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Δραστηριότητα
Να βρεθούν δυο ακέραιοι αριθμοί που έχουν άθροισμα 11 και άθροισμα
τετραγώνων 481.
ΛΥΣΗ
Έστω xο πρώτος ζητούμενος και yο δεύτερος. Τότε προκύπτουν οι ………….
……………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………..
Εισαγωγικά
Σε αυτή τη παράγραφο θα ασχοληθούμε με τα ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ.
Μη Γραμμικά ονομάζονται τα συστήματα (2χ2 - δυο εξισώσεων με δυο
αγνώστους) που αποτελούνται από μια εξίσωση ευθείας γραμμής και μιας
καμπύλης ή δυο εξισώσεις καμπυλών. Τα συστήματα αυτά λύνονται συνήθως
με τη μέθοδο της ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ.

16. 16
Γνωριμία με μερικές πασίγνωστες Καμπύλες
Α )x∙y = α . Όπως γνωρίζετε από το Γυμνάσιο , παριστάνει αντιστρόφως
ανάλογα ποσά και η μορφή της ανάλογα με το α είναι :
α > 0 α< 0
Β )y = αx2. Όπως γνωρίζετε από το Γυμνάσιο , είναι μια παραβολή και η
γραφική παράσταση της ανάλογα με το α φαίνεται παρακάτω :
α > 0 α< 0
Γ) x2 + y2 = ρ2, παριστάνει κύκλο κέντρου (0,0) και ακτίνας ρ.
Ασκήσεις : Αφού μελετηθούν τα παραδείγματα του σχολικού,
διαπραγματευτείτε τις ασκήσεις , 1 – 3 Α΄ ομάδας και 1 και 3 Β΄ ομάδας.

17. 17
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1
12. Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος x cm, πλάτος y cm,
περίμετρο ίση με 38 cm και με την ακόλουθη ιδιότητα: Αν αυξήσουμε το
μήκος του κατά 2cm και μειώσουμε το πλάτος του κατά 4cm, θα προκύψει
ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του αρχικού.
α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο
αγνώστους. (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων x, y του ορθογωνίου. (Μονάδες 15)
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) Περίμετρος αρχικού 38, άρα 2x + 2y = 38 (1)
Εμβαδόν αρχικού είναι : Ε = xy
Εμβαδόν νέου είναι Ε΄ = (x+2)(y-4)
Όμως Ε = Ε΄ ⇔ xy = (x+2)( y-4) ⇔ xy = xy - 4x + 2y – 8 ⇔
4x - 2y = -8 (2)
β ) αρκεί να λυθεί το σύστημα (1) και (2).
Προσθέτω κατά μέλη (1) και (2) και 6x = 30 ⇔ x = 5
Και αντικαθιστώ στην (1) 2∙5 + 2y = 38 ⇔ 2 y = 38 – 10 ⇔ y = 14
13. Στο δημοτικό parking μιας επαρχιακής πόλης στις 10 το πρωί, το σύνολο
των δίκυκλων και τετράτροχων οχημάτων που έχουν παρκάρει είναι 830 και
το πλήθος των τροχών τους 2.700.
α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο
αγνώστους. (Μονάδες 13)
β) Να βρείτε τον αριθμό των δίκυκλων καθώς και τον αριθμό των
τετράτροχων οχημάτων. (Μονάδες 12)

18. 18
14. α) Να λύσετε αλγεβρικά το σύστημα
β) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος που βρήκατε στο
ερώτημα α).
15. Ένα θέατρο έχει 25 σειρές καθισμάτων χωρισμένες σε δύο διαζώματα. Η
κάθε μια από τις σειρές του κάτω διαζώματος έχει 14 καθίσματα και η κάθε
μια από τις σειρές του πάνω διαζώματος έχει 16 καθίσματα, ενώ η συνολική
χωρητικότητα του θεάτρου είναι 374 καθίσματα.
α) Αν x ο αριθμός σειρών του κάτω και y o αριθμός σειρών του πάνω
διαζώματος, να εκφράσετε τα δεδομένα του προβλήματος με ένα σύστημα
δύο εξισώσεων.
β) Πόσες σειρές έχει το πάνω και πόσες το κάτω διάζωμα;
16. Να λύσετε το σύστημα:
{
𝑥 + 𝑦 = −1
𝑥2
+ 𝑦2
= 1

19. 19
Σχολικό έτος : 19-20
ΑΛΓΕΒΡΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
1ο Τεστ Α΄ ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ - Συστήματα
Α΄ ΟΜΑΔΑ
Ονοματεπώνυμο : …………………………………………………………. Βαθμός : …….. / 20
ΘΕΜΑ 1 μονάδες 6
Χαρακτηρίστε τις προτάσεις (Σ-Λ)
α ) Έστω σύστημα (Σ) γραμμικό 2x2 , αν D≠ 0 και Dx = 0 , τότε το
(Σ)είναι αδύνατο.
β ) Έστω σύστημα (Σ) γραμμικό 2x2 , αν D = 0 και Dx = 0 και
Dy =0 , τότε το (Σ) είναι πάντα αδύνατο.
γ ) Το σύστημα
𝑦 − 𝑥 = 0
3𝑥 − 3𝑦 = 4
είναι αόριστο.
ΘΕΜΑ 2 μονάδες 7
Να λυθεί το σύστημα :
𝑦 − 3𝑥2
= 0
12𝑥 − 3𝑦 = 4
ΘΕΜΑ 3 μονάδες 3+4
Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος x cm, πλάτος y cm,
περίμετρο ίση με 20cm
και με την ακόλουθη ιδιότητα: Αν αυξήσουμε το πλάτος του κατά 2cm και
μειώσουμε το
μήκος του κατά 2cm, θα προκύψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν
του αρχικού.
α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο
αγνώστους.
β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων x, y του ορθογωνίου.

20. 20
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 2.1
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ – ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Εισαγωγικά
Πεδίο ορισμού συνάρτησης (συμβολισμός D ή Α ) ονομάζεται …………………………
…………………………………………………………………………………………………………………..
Όταν δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης , πως βρίσκουμε το Α ;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Cf
O
y
x
(α)
Α
Άσκηση
Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων.
f ( x ) = 62 x g (x) =
65
1
2
 xx
h (x) =
1
1
2
2


x
x
Μονοτονία Συνάρτησης
Μονότονες καλούνται οι συναρτήσεις που είναι αύξουσες ή φθίνουσες. Εμείς θα
ασχοληθούμε με τις γνησίως αύξουσες και γνησίως φθίνουσες συναρτήσεις σε
ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού τους.
Σχήμα 2
Σχήμα 1

21. 21
Πότε μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα του πεδίου
ορισμού της ; Μπορείτε να διατυπώσετε έναν ορισμό ;
………………………………………………………………………………………………………………………..
Ομοίως για μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση.
………………………………………………………………………………………………………………………..
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Εξετάστε την συνάρτηση f(x) = x + x3 , ως προς τη μονοτονία.
ΛΥΣΗ
Πεδίο ορισμού είναι το R.
Έστω τυχαία x1 , x2Rκαι x1<x2 x13<x23 (1)
Επίσης αρχικά θεωρήσαμε x1<x2 (2)
Προσθέτω (1) και (2) και προκύπτει x1 + x13<x2 + x2 3 f(x1) <f(x2 ).
Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.
Ασκήσεις: 1 Α΄ σελίδα 38
Ακρότατα Συνάρτησης
Θεωρώ την συνάρτηση με γραφική παράσταση που φαίνεται παραπάνω.
Έστω Α = [0, 6.3] , παρατηρώ ότι για κάθε xπου ανήκει στο Α η συνάρτηση
παίρνει μέγιστη τιμή την ……………………….
Ομοίως για κάθε xπου ανήκει στο Α η συνάρτηση παίρνει ελάχιστη τιμή την……..
Άρα , για κάθε xA ισχύει f(x) ≤ f(xo) , το f(xo) καλείται μέγιστη τιμή της f(x).
Oμοίως , ……………………………………………………………………………………………………….
Ασκήσεις: 2 Α΄ σελίδα 38

22. 22
Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις
Πρώτο μέλημα μας είναι ο υπολογισμός του Α.
Για να εξετάσω αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή
περιττή θα πρέπει το Α της να είναι της μορφής
[-x , x ]ή το R ή (-x , x),
ή (-∞, - x )(-x, x)(x , +∞) .
Άρτια, ονομάζεται η συνάρτηση που ορίζεται σε
ένα σύνολο ή διάστημα της παραπάνω μορφής
και για αντίθετες τετμημένες έχει την ίδια τεταγμένη.
Δηλαδή, ισχύει f(-x) = f(x). Οι άρτιες είναι συμμετρικές ως προς τον ……………………….
Περιττή, ονομάζεται η συνάρτηση που ορίζεται σε ένα σύνολο ή διάστημα της
παραπάνω μορφής και για αντίθετες τετμημένες έχει αντίθετες τεταγμένες.
Δηλαδή,…………………………………………………………………………………………………………………..
Οι περιττές είναι συμμετρικές ως προς…………………………………………………………………….
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Είναι η παρακάτω συνάρτηση άρτια, περιττή ή τίποτα απ τα δυο ;
f (x) = 3x2 + 5x4
ΛΥΣΗ
Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R.
f (-x) = 3(-x)2 + 5(-x)4 = 3x2 + 5x4 = f (x). Άρα η συνάρτηση είναι ΑΡΤΙΑ.
Ασκήσεις: 4 – 8 Α΄ σελίδα 38 – 39
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ

23. 23
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 2.2
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΖΟΝΤΙΕΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ
Δραστηριότητα
Σχεδιάστε , στο ίδιο σύστημα αξόνων , τις συναρτήσεις : x2 , x2 +2 , (x-2)2
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
Κατακόρυφη μετατόπιση :

24. 24
Η συνάρτηση που διέρχεται από το (0,0) είναι η : f(x) = x2.
H x2 +2 είναι ……………… προς τα πάνω ……………….. μονάδες.
Ο τύπος της είναι : ……………………………….
Σχεδιάστε στο ίδιο σχήμα τη συνάρτηση που είναι μετατόπιση της f(x) = x2
προς τα κάτω 2 μονάδες. Ποιος είναι ο τύπος της : …………………………..
Οριζόντια μετατόπιση
Η συνάρτηση που διέρχεται από το (0,0) είναι η : f(x) = x2.
H(x-2)2 είναι ……………………………. προς τα δεξιά ……………….. μονάδες.
Ο τύπος της είναι : ……………………………….
Σχεδιάστε στο ίδιο σχήμα τη συνάρτηση που είναι μετατόπιση της f(x) = x2
προς τα αριστερά 2 μονάδες. Ποιος είναι ο τύπος της : ………………………….
Ασκήσεις :1-6Α΄ ομάδας ΚΑΙ 2 , 3, 5, 6 , 7 , 9 σελίδας 47
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..

25. 25
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2
17. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x2 – 12x + 19.
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f γράφεται στη μορφή: f(x)= 2(x – 3)2 + 1.
β) Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = 2x2. Να
σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε πώς
αυτή προκύπτει μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της g.
18. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = x2 − 5 , x∊ℝ.
α) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x = 0 .
β) Είναι η f άρτια συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
γ) Με ποια μετατόπιση της g(x) = x2 προκύπτει η Cf ;
19. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται f (x) = x3 − 3x , x∈ (−2,2)
α) Είναι η f άρτια ή περιττή;
β) Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση της, να βρείτε τη μέγιστη και
την ελάχιστη τιμή της.
γ) Να βρείτε τις θέσεις των ακροτάτων της.

26. 26
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 3.1
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ – ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ
Στο διπλανό σχήμα είναι ,
Kάθετες πλευρές οι …………, ………
Υποτείνουσα είναι η : …………………
Ορισμοί :
ημΑ = …………… , συνΑ = …………….
εφΑ = ……………. .
Tριγωνομετρικοί αριθμοί 00 , 300 , 450 , 600 , 900
Απ τη Β΄ Γυμνασίου γνωρίζω ότι :
00 300 450 600 900
Ημίτονο
(ημ)
0
2
2
2
3
1
Συνημίτονο
(συν)
Εφαπτομένη
(εφ)
0
3
3
1 3 Δεν Ορίζεται
Συνεφαπτομένη
(σφ)
Ασκήσεις
Να λυθούν οι 1 και 2 Α ομάδας σελίδα 58.
Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιας ω , όπου 00 ω  3600
Έστω οξεία γωνία ω και Α(x, y) τυχαίο
σημείο του Καρτεσιανού Οxy .
Σύμφωνα με το διπλανό σχήμα
συμπληρώστε τα παρακάτω :
ρ2 = ……..+………. ή
ρ= …………………..
ημω = ……… , συνω = ………,
εφω =………..σφω = ……
Γενικεύοντας τα παραπάνω , ορίζουμε με το ίδιο τρόπο τους τριγωνομετρικούς
αριθμούς οποιαδήποτε γωνίας ω (00  ω 3600)
2
1

27. 27
Τριγωνομετρικός Κύκλος : ονομάζουμε τον κύκλο με ακτίνα ίση με 1 και
κέντρο το (0,0).
Άρα οι προηγούμενοι τύποι γίνονται :
ημω = ………. συνω = ………
Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο
άξονας xx΄ είναι ο άξονας των ………
και ο άξονας yy΄ είναι ο άξονας των…
 Αν η ω ήταν στο 2ο τεταρτημόριο , τότε ημω……0 και συνω ……0
 Αν η ω είναι στο 4ο τεταρτημόριο, τότε ημω……0 και συνω…..0
Γενικά : Σε ποιο ή ποια τεταρτημόρια είναι το συνω θετικός αριθμός; ………….
Επίσης το ημω μπορεί να πάρει τιμές μέσα στο διάστημα : ……≤ ημω ≤ ……..
Και τέλος για το συνω ισχύει : …….. ≤ συνω ≤ ………
Ο άξονας της εφαπτομένης : Στο παρακάτω τριγωνομετρικό κύκλο έχουμε
φέρει την ευθεία x = 1. Έστω μια γωνία ω,
στο 1ο τεταρτημόριο.
Προεκτείναμε την πλευρά της μέχρι να
ακουμπήσει την x=1 και ονομάσαμε το
σημείο H. Όπως φαίνεται στο διπλανό
σχήμα.
Αν A(1,0) τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟAH
είναι :
εφω = ………………. = ………………

28. 28
Δηλαδή , ΑΗ = ………………. , και το Η σημείο της x = 1.
Μπορούμε να πούμε ότι το Η έχει συντεταγμένες H(…, y) και επειδή εφω = ……
Άρα η ευθεία x = 1 ονομάζεται ……………………
 Έστω μια γωνία φ στο 2ο τεταρτημόριο, τότε : ……. ≤ φ ≤ ……… και
εφφ…..…..0.
 Έστω γωνία θ στο 3ο τεταρτημόριο , τότε : …….≤ θ ≤……… και εφθ…..….. 0
Γενικά : Σε ποιο ή ποια τεταρτημόρια είναι το εφω θετικός αριθμός ;………….
Ενδεικτική Δραστηριότητα στον Τριγωνομετρικό Κύκλο
Δίνεται γωνία ω , 0  ω < 3600 που ικανοποιεί τις σχέσεις :
ημω = -
2
1
καισυνω> 0.
α ) Να σχεδιάσετε τη γωνία πάνω σε
τριγωνομετρικό κύκλο , να εξηγήσετε γιατί
είναι μοναδική και να βρείτε το μέτρο της.
β ) Να βρείτε όλες τις γωνίες φ ,
0  φ < 3600 που ικανοποιούν τη σχέση
ημφ = -
2
1
και να τις σχεδιάσετε πάνω
στον τριγωνομετρικό κύκλο.
Το ακτίνιο (rad)
Το 1 rad ονομάζεται η γωνία που είναι επίκεντρη σε τόξο, ίσο σε μήκος, με την
ακτίνα του κύκλου.
Άρα 1 rad αντιστοιχεί σε μήκος τόξου ρ , ο κύκλος πόσα rad είναι ;
………………………………………………………………………………………
Συνεπώς :
 Η γωνία π rad αντιστοιχεί σε ………… μοίρες.
 Η γωνία
2

rad αντιστοιχεί σε ……… μοίρες.
ΓΕΝΙΚΑ με μέθοδο των τριών μπορούμε να δείξουμε ότι :
: 0
180




Όπου α : τα rad , μ : οι μοίρες , π = 3,14.

29. 29
Ενδεικτική Δραστηριότητα στα Ακτίνια
Δίνεται ο κύκλος του σχήματος με κέντρο Κ
και ακτίνα 10 εκ. Επίσης δίνεται τόξο ΑΒ
μήκους 25 εκ. και αντίστοιχη επίκεντρη ω.
α ) Να βρείτε το μέτρο της ω σε ακτίνια.
β ) Να δικαιολογήσετε ότι το συνω είναι
αρνητικό.
Ένα Πρόβλημα του σχολικού με περισσότερα ερωτήματα
Η παραπάνω άσκηση είναι η 3 Β΄ ομάδας της σελίδας 59.
Να λυθεί , απαντώντας στα παρακάτω ερωτήματα.
α ) Να βρεθεί το μήκος της ΑΓ.
β ) Να υπολογιστεί η γωνία Δ του τριγώνου ΑΔΓ
γ ) Να υπολογιστεί η γωνία Δ του τριγώνου ΑΒΔ.
δ ) Να υπολογιστούν οι πλευρές ΒΔ , ΑΔ , ΔΓ.
ε ) Να υπολογιστεί η περίμετρος του τριγώνου ΑΔΓ.
στ ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του ΑΒΓ.
ζ ) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΓ.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 3 , 4 , 5 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου.

30. 30
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 3.3
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ
Εισαγωγικά : Έστω ω τυχαία γωνία του 1ουτεταρτημορίου, τότε :
1 ) ……… ≤ ω ≤ …………2 ) η γωνία ( –ω) είναι η ………………………. της ω.
3 ) η γωνία (π – ω) είναι η …………….……… της ω.
4 ) η γωνία (π + ω) διαφέρει με την ω κατά …………..…… μοίρες ή ………… rad.
5 ) η γωνία (
𝜋
2
– ω ) είναι η …………………….. της ω.
Γωνίες Αντίθετες ω , (-ω)
Δίνονται τα σημεία Γ(x,y) , Γ ΄(x,-y) που ανήκουν στον παρακάτω
τριγωνομετρικό κύκλο.
Απαντήστε στα παρακάτω σύμφωνα με το σχήμα :α )το συνω=… . , επίσης
συν(-ω)=………..
Άρα συνω=………..
Οπότε οι δύο γωνίες έχουν
το ίδιο …………………………….
β )ημω =……….
το ημ(-ω) =………….
Άρα οι αντίθετες γωνίες
……………………………………….
γ )εφω = …………………….
εφ(-ω)=…………. Άρα οι
αντίθετες γωνίες ………………………….…………………
δ ) Για την συνεφαπτομένη συμπληρώστε μόνοι σας.
………………………………………………………………………………………………………………………
Γωνίες που διαφέρουν κατά π rad
Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και τους άξονες της
εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης καθώς και τα σημεία Γ(x,y) , Γ ΄(-x,-y).
Απαντήστε στα παρακάτω :

31. 31
α ) ημ(π +ω) =……….
β ) συν(π +ω) = ………
γ ) εφ(π +ω) = ………..
δ ) σφ(π +ω) = …………
Ποιοι τριγωνομετρικοί αριθμοί
παραμένουν ίδιοι ;
………………………………….
Άρα γωνίες που διαφέρουν κατά π έχουν …………………………………..
Γωνίες με άθροισμα π
Πάρτε τα σημεία Γ(x,y) , Γ ΄(-x, y) του τριγωνομετρικού κύκλου. Δημιουργήστε
τις γωνίες σύμφωνα με τα προηγούμενα.
 Είναι η μια παραπληρωματική της άλλης ;
 Τι συμπεράσματα βγάζετε , ποιος τριγωνομετρικός αριθμός παραμένει
ίδιος ; Ποιοι αλλάζουν ;
 Αν ΑΒΓ τρίγωνο να αιτιολογήσετε γιατί ισχύει
ι )ημ(Α+Β) = ημ(Γ) ιι ) συν(Α+Β)+συνΓ = 0
Συμπληρωματικές Γωνίες
Στο διπλανό σχήμα η Γ γράφεται
συναρτήσει του ω ως : …..………
ημω=……… συν(900-ω)=………
εφω=……. σφ(900-ω)=…………
Άρα οι συμπληρωματικές γωνίες
έχουν …………………………..
 Τι λέτε για το ημ(900+ω) = ………….. και το συν(900+ω) = …………….
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Αν ημ320= x , x∈ (0,1), να βρείτε ως συνάρτηση του x τους ακόλουθους
αριθμούς :
ι ) συν580 ιι ) ημ580 ιιι ) εφ580 ιν ) ημ2120 ν ) εφ3020
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου : 1,2,3,4 σελίδα 70 Α΄ ομάδας. Καλές Γιορτές.

32. 32
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 3.4
ΕΝΟΤΗΤΑ :Oι Συναρτήσεις : ρ∙ημ(ω∙x) , ρ∙συν(ω∙x)
Μετά τη μελέτη της συνάρτησης f(x) = ημx, στο σημερινό μάθημα θα δούμε την
Η συνάρτηση g(x) = ρ∙ημx , όπου x:rad και ρ R .
Έχει την ίδια περίοδο με την f(x) , δηλαδή Τ = ……….. αλλάζει η μέγιστη και η
ελάχιστη τιμή της. Μέγιστη τιμή : ……….. , ελάχιστη τιμή : ………….
Υπόδειξη : Θυμήσου τις κατακόρυφες μετατοπίσεις
Η συνάρτηση h(x) = ημ(ω∙x) , x:rad
Έχει το ίδια μέγιστη και ελάχιστη τιμή με την f(x) , δηλαδή μέγιστη τιμή : ……….. ,
ελάχιστη τιμή : …………. . Η περίοδος της h(x) είναι Τ =

2
γιατί για κάθε x
πραγματικό είναι : h(x+

2
)=ημ[ω∙(x+

2
)]=ημ(ωx+2π)=ημ(ωx)=h(x)

33. 33
Τετμημένες σημείων τομής της συνάρτησης με τον xx΄
f(x)
0 2

π
2
3
2∙π
g(x) 0
3

3
2
Η συνάρτηση z(x) = ρ∙ημ(ω∙x) , x:rad

34. 34
Μελέτη της συνάρτησης σ(x) = συνx , x:rad
Αφού πρώτα συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα , κάντε τη γραφική
παράσταση της σ(x).
Γωνία σε rad
0 2

π
2
3
2∙π
σ(x) = συνx
Η συνάρτηση t(x) = ρ∙συν(ω∙x) , x:rad
Ισχύουν ακριβώς τα ίδια με την z(x) = ρ∙ημ(ω∙x).

35. 35
………….. ………………………………………………………………………
………….. ………………………………………………………………………
………….. ………………………………………………………………………
ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Αφού γίνει η μελέτη της συνάρτησης εφx , από σας , να
επεξεργαστείτε τις εξής ασκήσεις : 7,8 Α΄ ομάδας και 2 Β΄ ομάδας σελίδες 82,83.

36. 36
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ – ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ 3.3 , 3.4
ΠΗΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ : Γ. ΜΠΑΡΑΚΛΑΝΙΟΣ , 500 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β΄
20. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις :
ι ) ημ(900+ω) = συνω ιι ) συν(180ο+ω) = συνω
ιιι ) συν(-ω) = - συνω ιν) ημ2250 =
2
2
ν ) εφ690ο = -
3
3
νι ) εφ 3
6
11


21. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = ημx,
x[-π,4π] και την ευθεία y =
2
1
. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις :
ι ) Στο [-π,4π] η εξίσωση ημx = 0 έχει έξι λύσεις.
ιι ) Στο [-π,4π] η συνάρτηση f(x) παίρνει έξι φορές την τιμή
2
1
.
ιιι ) Στο [-π,4π] οι λύσεις της ανίσωσης ημx ≥ 0 είναι : [0,π][2π,3π].
ιν ) Υπάρχει x[-π,4π] ώστε ημx =
8
9
ν ) Η συνάρτηση f(x) είναι περιττή στο [-π,4π].
νι ) Η συνάρτηση f(x) παίρνει δυο φορές τη μέγιστη τιμή της στο [-π,4π].
22. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = συνx,
x[-π, 2π] και χαρακτηρίστε τις προτάσεις :
ι ) συν(2π) < συν(-π)
ιι ) συνx ≥ 0 για κάθε x[-
2

,
2

] [
2
3
,2π]
ιιι ) Αν x[-π,2π] η συνάρτηση f(x) παίρνει τρεις φορές την τιμή 0.
ιν ) Υπάρχει x[π,2π] ώστε συνx< 0.
ν ) συν(π+
3

) = συν(
3
2
)
23. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ρ·συν(ω·x) , ρ < 0 και ωR. Η f(x) έχει
περίοδο π και ισχύει : f(
2

) = 2.
α ) Υπολογίστε τα ρ , ω.
β ) Για ω = 2 και ρ = -2 ,
ι ) να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f(x) στο [-π , 2π].
ιι ) Να βρείτε τα σημεία τομής της f(x) με την y = -2.

37. 37
24. Δίνεται η συνάρτηση g(x) = ρ·συν(ω·x) , όπου ρ ,ω θετικοί πραγματικοί
αριθμοί. Αν ισχύουν :
 Η ελάχιστη τιμή της g(x) είναι το -3.
 Η συνάρτηση g(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,2π] και γνησίως
αύξουσα στο [2π,4π] και στη συνέχεια έχει όμοια συμπεριφορά.
α ) Να βρεθεί το ρ , το ω και η περίοδος της g(x).
β ) Να σχεδιαστεί η g(x) στο διάστημα [0, 2Τ]
γ ) Θεωρώ την f(x) = g(x) + κ , κR, η οποία έχει ελάχιστη τιμή το 2. Να
υπολογίσετε το κ και την μέγιστη τιμή της f(x).
25. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 1 + 2ημ(4·x). Να χαρακτηρίσετε τις
παρακάτω προτάσεις :
ι ) Η περίοδος της είναι Τ =
2

.
ιι )f(
8

) = -1 ιιι ) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [
4

,
2

].
26. Δίνεται η συνάρτηση :
g(x) =











],(x,x
],(x,
],[x,x






2
2
3
2
3
0
0
α ) Να σχεδιαστεί η γραφική της παράσταση.
β )Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων στα οποία η ευθεία με
εξίσωση y =
2
1
τέμνει τη γραφική παράσταση της g(x).
27. Ελατήριο έχει αναρτηθεί απ το ταβάνι και έχει ένα σωματίδιο στο ένα
άκρο. Τη χρονική στιγμή t = 0 εκτρέπεται απ τη θέση ισορροπίας και
ακολουθεί ταλάντωση της οποίας το ύψος απ το έδαφος δίνεται απ τη
συνάρτηση :
g(t) = 2 +
2
1
ημ(
3

t) , t ≥ 0
i )Κάντε τη γραφική παράσταση της g(t) σε χρόνο μιας περιόδου.
ii )Ποια η μικρότερη απόσταση του σωματιδίου απ το έδαφος ;
iii )Βρείτε την ελάχιστη τιμή του χρόνου στη οποία το σωματίδιο απέχει τη
μεγαλύτερη απόσταση απ το έδαφος.

38. 38
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ στις ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
(ΔΕΝ ΔΙΝΕΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ)
Ορισμός : Μια συνάρτηση f : ΑR , με Α υποσύνολο του R , ονομάζεται περιοδική
αν και μόνον αν υπάρχει Τ του R* τέτοιο ώστε, για κάθε x στο Α να ισχύει :
(x+Τ) , (x – Τ) ανήκουν επίσης στο Α καιf(x+Τ) = f(x).
Ο Αριθμός Τ καλείται μια περίοδος της f(x).
Η ελάχιστη θετική περίοδος (αν υπάρχει) καλείται βασική περίοδος της f(x) και
συμβολίζεται με Το.
Σημαντικές Παρατηρήσεις
 Αν Τ1 , Τ2 περίοδοι της f(x) τότε και ο αριθμός νΤ1 +κΤ2 είναι περίοδος
της f(x) , όπου ν ,κ τυχαίοι ακέραιοι και νΤ1+κ Τ2≠ 0.
 Το σύμβολο του απολύτου ελαττώνει την περίοδο της συνάρτησης κατά
δυο φορές , π.χ η |𝜂𝜇x| έχει περίοδο π.
 Μια περιοδική συνάρτηση δεν μπορεί να είναι γνησίως μονότονη σε όλο
το πεδίο ορισμού της.
 Αν ο τύπος μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης απλουστεύεται με τη
χρήση τριγωνομετρικών σχέσεων, τότε εύκολα μπορούμε να βρούμε την
περίοδο της συνάρτησης.
Π. χ f(x) = εφ2x = …………………….. =
2
1+𝜎𝜐𝜈2x
− 1 , περίοδος της f(x) είναι
π.
 Αν Τ είναι η περίοδος μιας συνάρτησης f(x), τότε Τ είναι μια περίοδος της
f2(x). Π.χ εφx και εφ2x.
 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο R και όχι φραγμένη δεν είναι
περιοδική. Π.χ x2∙συνx
 Αν η f(x) : ΑR είναι περιοδική με περίοδο Τ και παραγωγίσιμη στο Α ,
τότε και η παράγωγος της f ΄(x) είναι περιοδική με την ίδια περίοδο.
 Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση δεν είναι περιοδική.
 Αν η εξίσωση f(x) = α έχει το πολύ ν ρίζες, τότε η f(x) δεν είναι περιοδική.
 Αν f(x) και g(x) περιοδικές με περιόδους Τ1>0 και Τ2 >0 , αντίστοιχα και
οι Τ1 , Τ2 είναι σύμμετροι (
𝛵1
𝛵2
=
𝜈1
𝜈2
∈ 𝑄 ) με (ν1 ,ν2) = 1, τότε η συνάρτηση
f(x) + g(x) είναι περιοδική με περίοδο,
Τ = Ε.Κ.Π[Τ1,Τ2] = Ε.Κ.Π[ν1,ν2]∙Το , με Το θετικό.
Π. χ g(x) = συν(3πx) +ημ(2πx) έχει περίοδο 2.
ΠΗΓΗ ΕΝΟΤΗΤΑΣ : Ευκλείδης Β΄ , τ.111 , Ιανουάριος-Φεβρουάριος-Μάρτιος
2019, Το βήμα του Ευκλείδη , Άρθρο Διονύση Γιάνναρου – Πύργος.

39. 39
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Ονομάζονται οι εξισώσεις της μορφής :ημx=α , συνx=α , εφx=α
όπου α∈R και x γωνία σε rad.
Γεωμετρική Ερμηνεία
Θεωρούμε την εξίσωση : ημx =
2
1
(1).Ξέρουμε ότι : ημ(…..)=
2
1
, επίσης
ημ(…….) =
2
1
.
Πόσες λύσεις λέτε να έχει η (1) ; …………………………………………..
Κάνουμε τη γραφική παράσταση της ημx και της ευθείας y =
2
1
.
Όπως βλέπουμε στο παρακάτω γράφημα , οι συναρτήσεις αυτές τέμνονται
σε………..……. σημεία.
Το σημείο Ζ έχει συντεταγμένες(……… , 0) , το Η(……. , 0) , το Θ(……. , 0).
Οι λύσεις της εξίσωσης (1) είναι οι ……………..... των σημείων…., …. ,…… .
Συνεπώς μερικές λύσεις της (1) είναι :
x =
6
.......
, x = π -
6
.......
, x = 2π +
6
.......
, x= 2π + π -
6
.......
ΓΕΝΙΚΑ : Οι λύσεις της (1) είναι : …………………………………………………
Παράδειγμα 1ο Να λυθούν οι εξισώσεις : α ) ημx =
2
3
, β ) ημx = 2
………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………..
Παράδειγμα 2ο Να λυθεί η εξίσωση : ημx = -
2
1
ΥΠΟΔΕΙΞΗ: Θυμηθείτε ημ(-ω) = -ημω
…………………………………………………………………………………………..

40. 40
Η Εξίσωση : συνx=α (2)
Σκεφτόμενοι με τον ίδιο τρόπο , η (2) έχει …………. λύσεις , αρκεί βέβαια να είναι :
……. ≤ α ≤ ……… . Θυμηθείτε ότι : συν(-ω) = ………… , δηλαδή οι αντίθετες γωνίες
έχουν το ίδιο …………….
ΓΕΝΙΚΑ : Οι λύσεις της (2) είναι : …………………………………………………
Παράδειγμα 3ο Να λυθούν οι εξισώσεις : α ) συνx =
2
3
,
β ) συνx = 2 , γ ) συνx = -
2
1
.ΥΠΟΔΕΙΞΗ για το γ) Θυμηθείτε συν(π-ω) = - συνω
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
Η Εξίσωση : εφx=α (3)
Μελετήστε το παρακάτω σχήμα . Δώστε ένα γενικό τύπο λύσεων της (3).
Θυμηθείτε ότι η περίοδος της συνάρτησης εφx είναι : ……………..
ΓΕΝΙΚΑ : Οι λύσεις της (3) είναι : …………………………………………………
Ασκήσεις για το σπίτι : 1-5 , 8 , 10 σελίδα 88 και 13 σελίδα 89.

41. 41
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 4.1
Ενδεικτική Δραστηριότητα Ι
Με τη βοήθεια λογισμικού , να παρατηρήσετε και να σχολιάσετε τις ιδιότητες ,
τα σημεία τομής με τους άξονες , των τμημάτων που βρίσκονται πάνω ή κάτω
απ τον άξονα xx΄ των παρακάτω συναρτήσεων :
t(x) = x3 , h(x) = - x3 , f(x) = x3 – 3x g(x) = x4-2x2
Ενδεικτική Δραστηριότητα ΙΙ
Από ένα χαρτόνι διαστάσεων 20x30 εκατοστών , κόβουμε τετράγωνα πλευράς x
όπως στο διπλανό σχήμα.
α ) Να βρείτε μια συνάρτηση που να εκφράζει τον όγκο
του κουτιού. Τι τιμές μπορεί να πάρει το x ;
β ) Ο Γιάννης ισχυρίζεται ότι όσο αυξάνεται το x ,
μειώνεται ο όγκος.
Να φτιάξετε ένα πίνακα τιμών για να διαπιστώσετε αν ο
Γιάννης έχει δίκιο.
γ )Να βρείτε (με προσέγγιση) πόσο πρέπει να είναι το x ώστε το κουτί να έχει το
μέγιστο όγκο.

42. 42
Ενδεικτική Δραστηριότητα
Προτείνεται να γίνουν κατά προτεραιότητα οι ασκήσεις 1 και 2, 5 και 6 της Α΄
Ομάδας και 2, 3 και 5 της Β΄ Ομάδας σελίδες 131-132.

43. 43
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4.2Διαίρεση Πολυωνύμων – Η Διαίρεση Ρ(x) : (x-ρ)
Η ταυτότητα της διαίρεσης πολυωνύμων : Έστω ότι δίνονται τα
πολυώνυμα : Δ(x) , δ(x) με δ(x) ≠ 0 , τότε υπάρχουν δυο μοναδικάπολυώνυμα
π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει :
Δ(x) = δ(x)∙π(x) + υ(x) όπου ,
το υ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο του δ(x).
Το Δ(x) λέγεται : ……………….. , το δ(x) :……………… , το π(x) : …………….
και το υ(x) : ……………..
 Αν υ(x) = 0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η ταυτότητα γράφεται :
Δ(x) = δ(x)∙π(x)
τότε το δ(x) λέγεται παράγοντας του Δ(x) ή διαιρέτης του Δ(x).
 Έστω Δ(x) = Ρ(x) και δ(x) = x-ρ , τότε το υ(x) έχει βαθμό ……….
δηλαδή είναι ……………….…… , η ταυτότητα τότε γράφεται :
Ρ(x) = (x-ρ)∙π(x) + υ (1)
Θεώρημα: Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) : (x–ρ) είναι ίσο με Ρ(ρ).
Θεώρημα: Ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x–ρ αν και μόνο
αν Ρ(ρ) = 0.
ΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΙΝΑΙ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΙΣ ΣΕΛΙΔΕΣ134-135(έγιναν στην τάξη στις 7/2/20)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να γίνουν οι διαιρέσεις.
α ) (x3+x-5) : (x2 +1) β ) (x3+3x2+x-1) : (x2 +x - 1)
2. Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης : (x3-3x+2 ) : (x-5)
3. Θεωρούμε το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 – x2-9x+9, να εξετάσετε αν τα διώνυμα
x-1 και x +3 είναι παράγοντες του Ρ(x) .
4. Εξετάστε αν τα πολυώνυμα, Ρ(x) = x3 +3x2 +5x – 9 και
Q(x)= x2018+ x2017-3 x+2 , έχουν παράγοντα το πολυώνυμο x -1.
5. Να προσδιορίσετε τον κ R ώστε το Ρ(x) = x3 +(κ-1)x2-7x+6κ , να έχει
παράγοντα το x – 1.
6. Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα Ρ(x) = x4 +x2 +5 , Q(x) = -x8-x6 -10 , ΔΕΝ
έχουν παράγοντα της μορφής x – ρ.

44. 44
7. Προσδιορίστε τον κ R ώστε το Ρ(x) = x4 –κx3+(3k+7)x2 –κx +3 όταν
διαιρείται με το x+1 και αφήνει υπόλοιπο 3.
8. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) , ώστε Ρ(x) +Ρ(2x-1) = x-1 , x∈R.
α ) Να δείξετε ότι το x-1 είναι παράγοντας του Ρ(x).
β ) Να βρείτε τους παράγοντες του Q(x) = x2 +Ρ(-1) +Ρ(0).
9. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) ώστε
 Αν διαιρεθεί με το x+1 δίνει πηλίκο Q1(x) και υπόλοιπο 1,
 Αν διαιρεθεί με το x-3 δίνει πηλίκο Q2(x) και υπόλοιπο 1.
α ) Να δείξετε ότι Ρ(-1) = Ρ(3)
β ) Να αποδείξετε ότι : Q1(3)+Q2(-1)=0
Σχήμα Horner: Μια διαδικασία με την οποία υπολογίσουμε το πηλίκο και
το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο x – ρ ,
χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση.
Η διαδικασία περιγράφεται στη ΣΕΛΙΔΑ 137 του σχολικού.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : Βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης :
(x5-3x3+2x2-x +1 ) : (x+1) , εδώ το ρ = ………
ΠΡΟΣΟΧΗ ! Συμπληρώστε με 0 τους συντελεστές των δυνάμεων του
x που δεν υπάρχουν.
Ας εργασθούμε τώρα με το σχήμα Horner για να βρούμε το πηλίκο και το
υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) = x5-3x3+2x2-x +1 με x+1 όπου ρ = -1
1 0 - 3 2 -1 1 ρ=-1
-1 1
1 -1 υ=….
Το πηλίκο είναι π(x) = ………………… και υ = ……………..
10. Υπολογίστε με το σχήμα Horner, το πηλίκο και το υπόλοιπο της
διαίρεσης, x3 : (x+2)
11. Θεωρούμε το Ρ(x) τρίτου βαθμού που το διαιρούμε με το x+1 με το
σχήμα Horner. Όταν ολοκληρωθεί η διαδικασία η τελευταία γραμμή είναι :
-1 0 3 0 , με τη σειρά που δίνονται.
α ) Βρείτε το πηλίκο β ) Βρείτε το υπόλοιπο
γ ) Βρείτε τον αριθμό Ρ(-1) δ ) Βρείτε το πολυώνυμο Ρ(x).
Προτείνεται να γίνουν κατά προτεραιότητα οι ασκήσεις 1 i), iv), 2, 3 και 10 της Α΄
Ομάδας. Να μη γίνουν οι ασκήσεις 1, 2 και 5 της Β΄ Ομάδας.
Ασκήσεις για το σπίτι : 4 , 10, σελίδα 139. Καλή Μελέτη.

45. 45
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 4.3 – 4.4
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
Πολυωνυμικές Εξισώσεις : Κάθε εξίσωση της μορφής ,
ανxν + αν-1xν-1+…….α1x+α0 = 0 (1) , ονομάζεται
πολυωνυμική. Κάθε πολυωνυμική εξίσωση ορίζεται για κάθε x R .
Πως λύνεται ; Ακολουθούμε τα βήματα :
Θεωρώ το πολυώνυμο : Ρ(x) = ανxν + αν-1xν-1+…….α1x+α0
 ΒΗΜΑ 1Ο : Βρίσκω τους διαιρέτες του αο .
 ΒΗΜΑ 2Ο : Δοκιμάζω στο Ρ(x) και βρίσκω μια ακέραια ρίζα του, έστω ρ.
 ΒΗΜΑ 3Ο : Κάνω Horner για τη ρίζα ρ , εφόσον είναι ρίζα , το x-ρ είναι
παράγοντας του Ρ(x) , άρα ,
 Ρ(x) = 0(x-ρ)·π(x) = 0 x-ρ = 0 ή π(x) = 0
 Αν ο βαθμός του π(x)  3 , ξανακάνω την ίδια διαδικασία για το
π(x).
 Αν ο βαθμός του π(x) ≤ 2 , τότε γνωρίζω πως λύνεται απ το
Γυμνάσιο – Α΄ Λυκείου(δευτεροβάθμια !) .
Παράδειγμα 1ο : Να λυθεί η εξίσωση : x3+x2 – 2 = 0.
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
Παράδειγμα 2ο: Να λυθεί η εξίσωση : x3 – 10x -12 = 0 .
…………………………………………………………………………………………..
Πολυωνυμικές Ανισώσεις : Καλείται κάθε ανίσωσης της μορφής ,
ανxν + αν-1xν-1+…….α1x+α0 ≤ ή  0 (2) .
Για να λυθεί , πρώτα λύνω την εξίσωση : ανxν + αν-1xν-1+…….α1x+α0 = 0 ,
όπως προηγουμένως και η (2) έρχεται στη μορφή :
Α(x)·Β(x)·.......Φ(x) ≤ ή  0 , και μετά κάνω πίνακα προσήμου.
Παράδειγμα 3ο Να λυθεί η ανίσωση : x3+x2 – 2  0.
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
Παράδειγμα 4ο : Να λυθεί η ανίσωση : 3x3-3x2-5x-2 ≤ 0 .
Για το Σπίτι
Προτείνεται να γίνουν κατά προτεραιότητα: Οι ασκήσεις 1, 4, 5, 6 και 8 της Α΄ Ομάδας και
προβλήματα της Β΄ Ομάδας, τα οποία οδηγούν στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων.

46. 46
Εξισώσεις-Ανισώσεις που ανάγονται σε Πολυωνυμικές
Ορισμοί
 Σύνολο Ορισμού Εξίσωσης (συμβολισμός D) , είναι το σύνολο όλων των x
για τις οποίες ορίζεται η εξίσωση.
 Σύνολο Λύσεων Εξίσωσης (συμβολισμός L) , είναι το σύνολο όλων των
λύσεων της εξίσωσης.
Παράδειγμα 5ο : Βρείτε το D των εξισώσεων: 13  xx και
5
6

x
x .
Σημαντικές Παρατηρήσεις
 Αν D =   η εξίσωση δεν ορίζεται.
π.χ η εξίσωση :
x
x


5
1
5 , ΔΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ.
 Αν D ≠  και L =   η εξίσωση είναι αδύνατη.
 Αν D ≠  και D = L  η εξίσωση είναι ταυτότητα.
 Αν το L έχει άπειρα στοιχεία  η εξίσωση είναι αόριστη.
π.χ xx  , έχει λύσεις όλους τους μη αρνητικούς ή L=(-∞,0]
Η εξίσωση )()( xgxf  , Είναι : D = { x R : f(x)  0 } , λύνεται
υψώνοντας και τα δύο μέλη στο τετράγωνο. Προσοχή ! Αν υψώσουμε τα μέλη
μιας εξίσωσης στο τετράγωνο, τότε η εξίσωση που προκύπτει μπορεί να έχει και
άλλες ρίζες εκτός από τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης. Είναι λοιπόν απαραίτητο
σε τέτοιες περιπτώσεις να κάνουμε επαλήθευση των ριζών που βρίσκουμε και
να απορρίπτουμε όσες από αυτές δεν επαληθεύουν την αρχική εξίσωση.
Δραστηριότητα: α ) Λύστε την εξίσωση 13  xx (E1)
β) Να λυθεί η εξίσωση : x+3 = (x+1)2(E2)
γ ) Να εξηγήσετε γιατί οι (E1) , (E2)ΔΕΝ έχουν τις ίδιες λύσεις αν και η (E2)
προκύπτει απ την (E1) ;
δ ) Να τις λύσετε γραφικά .
Η ανίσωση 0
)(
)(

xB
xA
, είναι : D = {………………………………..} , λύνω την
ανίσωση : Α(x)·Β(x)  0 με τη χρήση πίνακα προσήμου.
Παράδειγμα 6ο Λύστε την ανίσωση : 0
9
1
2
2



x
x
Ασκήσεις για το σπίτι : 3 Α΄ ιι),ιιι),ν),νι) και 4 Α΄ σελίδα 153.
Προτείνεται να μη γίνουν οι ασκήσεις 3 και 4 της Β΄ Ομάδας.

47. 47
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4
ΠΗΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ : Γ. ΜΠΑΡΑΚΛΑΝΙΟΣ , 500 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β΄
28. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = 3x3-10x2 +9x -2 .
α ) Να κάνετε τη διαίρεση Ρ(x) : (3x2-4x+1) και να γράψετε την ταυτότητα
της Ευκλείδειας διαίρεσης.
β ) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης : Ρ(x) = 0.
29. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +(κ-6)x2 -7x +κ.
α ) Να βρείτε για ποια τιμή του πραγματικού κ , το 2 είναι ρίζα του Ρ(x).
β ) Αν κ=6 , να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) = 0.
30. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 +αx2-5x+β , α, β ∈R.
α ) Αν το Ρ(x) έχει ρίζα το 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) : (x-2) είναι
ίσο με -4 , να βρεθούν τα α ,β ∈R.
β ) Αν α= -2 και β = 6 , να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) = 0.
31. Το πολυώνυμο Ρ(x) = (λ2-1)x4 -2(λ-1)x3+2λx2 +λ+1 είναι 3ου βαθμού.
α ) Να δείξετε ότι λ = -1
β ) Να βρείτε το Ρ(x).
γ ) Να βρεθούν οι ρίζες του Ρ(x).
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) 3ου βαθμού άρα : {
𝜆2
− 1 = 0
2(𝜆 − 1) ≠ 0
⇔ {
𝜆 = ±1
𝜆 ≠ 1
⇔ 𝜆 = −1
β ) P(x) = -2(-1-1)x3 + 2(-1)x2-1+1 = +4x3 – 2x2
γ ) P(x) = 0 ⇔ 4x3 – 2x2 = 0 ⇔ 2x2(2x – 1) = 0 ⇔ x = 0 ή x =
1
2
32. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (λ2 - 4)·x4 + x3 - 5x2 +6x + 4λ+6 , λ∈R.
α ) Αν το Ρ(x) έχει παράγοντα το x – 1 , να βρεθεί ο βαθμός του Ρ(x).
Μονάδες 9
β ) Αν λ = - 2 :
i ) να λυθεί η εξίσωση : Ρ(x) = 0 Μονάδες 8
ii ) να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της
πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) βρίσκεται κάτω απ΄ τον άξονα x΄x.
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ 2014

48. 48
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
Α. P(1) = 0 ⇔ (λ2-4)+1-5+6+4λ+6 = 0 ⇔ λ2+ 4λ +4 = 0 ⇔
(λ+2)2 = 0 ⇔ λ+2 =0 ⇔ λ = -2. Άρα P(x) = x3-5x2 +6x - 2
Β. ι ) P(x) = 0 ⇔ x3-5x2 +6x – 2 = 0
Χόρνερ για ρ = 1
Άρα x3-5x2 +6x – 2 = 0 ⇔ (x-1)( x2-4x + 2) = 0 ⇔
x= 1 ή x2 - 4x+2 = 0
x=1 ή (Δ = 16 – 8 = 8 >0) x2,3 =
4±2√2
2
= 2 ± √2
Β. ιι) Αρκεί να λυθεί η ανίσωση : P(x) < 0 ⇔ (x-1)( x2-4x + 2) < 0
2-√2 1 2+√2
x-1 - - + +
x2-4x+2 + - - +
(x-1)( x2-4x + 2) - + - +
x∈ (-∞, 2-√2 ) ∪ (1 , 2+√2 )
24. Έστω το πολυώνυμο Ρ(x) = x4 -2x3+2x2-2x+1.
α ) Να δείξετε ότι έχει μία μόνο ρίζα.
β ) Να αποδείξετε ότι η ανίσωση Ρ(x) ≥ 0 αληθεύει για κάθε x∈R.
γ ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση : Ρ(x) = -1
δ ) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) =
√𝑃(𝑥)+√1−x
𝑃(𝑥)+1
25. α )Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες της εξίσωσης :
(x3-3x2+4x-2)∙(2x3-3x-1) = 0
β ) Να γραφτεί ως γινόμενο το πολυώνυμο Ρ(x) = x3+x2 -2x
και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση : Ρ(x) = (x-1)∙(x+2)
1 -5 6 -2 1
1 -4 2
1 -4 2 0

49. 49
26. Να λυθούν οι εξισώσεις : α ) √5 + 2√x = √x + 1
β ) √x + 2 = 3x − 4
γ ) √x2 − 1 + √x − 1 = 0
ΑΛΓΕΒΡΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΕΣΤ Β’ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ
Ονοματεπώνυμο μαθητή : ……………………ΒΑΘΜΟΣ :……/ 20
ΘΕΜΑ 1
μονάδες :7+5
Δίνεται το πολυώνυμο , Ρ(x) = x3+2x2+2x+1.
i ) Να λυθεί η εξίσωση : Ρ(x) = 0
ii ) Να λυθεί η ανίσωση : Ρ(x) ≥ 0
ΘΕΜΑ 2 μονάδες : 8
Χωρίς να λύσετε την εξίσωση , να υπολογίσετε το πεδίο ορισμού της
D.
1
3
3
5 2


 x
x
x

50. 50
ΑΛΓΕΒΡΑ B΄ ΛΥΚΕΙΟΥ – Διαγώνισμα Β’ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ
Ονοματεπώνυμο μαθητή : ………………………………………..
ΒΑΘΜΟΣ :……/ 100
ΘΕΜΑ 1Ο μονάδες 25/100 Α:10 Β : 15
Α. Αποδείξτε την Πρόταση, «Αν το x – ρ είναι παράγοντας του Ρ(x),
τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ(x).»
Β.Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις (Σ-Λ).
ι ) Έστω Ρ(x ) πολυώνυμο με σταθερό όρο αο.
Αν το ρ είναι διαιρέτης του αο , τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ(x).
ιι ) Το Τ(x) = 5 είναι μηδενικό πολυώνυμο.
ιιι ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης Q(x): (x+2) , είναι το Q(2).
ιν ) Αν Κ(x) = x4 - 5x , τότε το πηλίκο της διαίρεσης
Κ(x): (x-1) είναι τρίτου βαθμού.
ν ) Η παράσταση x-2 + x-3 , είναι πολυώνυμο βαθμού -2.
ΘΕΜΑ 2Ο μονάδες 25/100 (ι:10 , ιι: 15)
Δίνονται τα πολυώνυμα : Ρ(x) = x2 - 3x και Q(x)= x3 + 2x - 4
ι ) Υπολογίστε το πολυώνυμο Ρ(x)∙ Q(x)
ιι ) Βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης Q(x): Ρ(x)
ΘΕΜΑ 3Ο μονάδες 25/100 (ι:4 , ιι: 10 ιιι :11)
Δίνεται το πολυώνυμο , Ρ(x) = x3+x2-4x-4.
ι ) Αν το Ρ(x) έχει ακέραιες ρίζες, ποιες μπορεί να είναι αυτές;
Αιτιολογήστε.
ιι ) Να λυθεί η εξίσωση : Ρ(x) = 0

51. 51
ιιι ) Να λυθεί η ανίσωση : (x-2)∙( x2+3 x+2) ≤ 0
ΘΕΜΑ 4Ο μονάδες 25/100 (ι:10 , ιι: 4 ιιι :11)
Δίνεται η εξίσωση : xx 21 
ι ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της εξίσωσης.
ιι ) Ο αριθμός 0 μπορεί να είναι λύση της παραπάνω ;
Αιτιολογήστε.
ιιι ) Να λυθεί η εξίσωση xx 21 
Ο Εισηγητής

52. 52
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 5.1
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΚΘΕΤΙΚΗ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΝΑ ΠΡΟΣ ΕΝΑ «1-1» – Αμφιμονότιμη
Μια συνάρτηση f (x) με πεδίο ορισμού το Α καλείται ένα προς ένα
όταν για οποιαδήποτε x1 , x2∈A ισχύει :
 Για κάθε x1, x2με x1≠x2 τότε f (x1)  f (x2) (ΟΡΙΣΜΟΣ)
ή ισοδύναμα
 αν f (x1) = f (x2) , τότε x1 = x2(ΘΕΩΡΗΜΑ)
Ένα παράδειγμα
συνάρτησης 1-1, είναι η
𝟏
𝒙
Και δω ένα παράδειγμα
συνάρτησης που ΔΕΝ
είναι 1-1
Είναι η g(x) = x2
Παράδειγμα :
Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1.
f(x) = 3x – 2 , g(x) = x2 + 1

53. 53
Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Η συνάρτηση : f(x) = αx, α 1 καλείται εκθετική. Η μορφή της αλλάζει
ανάλογα με την τιμή που παίρνει η παράμετρος α.
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :
 α > 1, τότε:
 Πεδίο ορισμού : ………
 Σύνολο τιμών : ………
 Γνησίως……………………….. της.
 Τέμνει τον yy΄ στο σημείο
…………….
 Είναι ‘1-1’ συνάρτηση, άρα
𝜶 𝒙 𝟏 = 𝜶 𝒙 𝟐 ⇔ 𝒙 𝟏 = 𝒙 𝟐
 0<α<1, τότε :
 Πεδίο ορισμού : 
 Σύνολο Τιμών : (0,+  )
 Γνησίως ……………. στο πεδίο
ορισμού της.
 Τέμνει τον yy΄ στο ……….
 Είναι συνάρτηση ‘1-1’, δηλαδή
𝜶 𝒙 𝟏 = 𝜶 𝒙 𝟐 ⇔ 𝒙 𝟏 = 𝒙 𝟐
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – Μέθοδοι
Περίπτωση Ι : α )(xf
Αν το β γράφεται σαν δύναμη του α, τότε επειδή η
εκθετική είναι 1-1 συνάρτηση ισχύει :
α )(xf

 )()(
xfaa xf
Παράδειγμα 1ο : Να λυθεί η εκθετική εξίσωση : (
2
1
)x = 4
…………………………………………………………………………………………..
Παράδειγμα 2ο : Να λυθεί η εκθετική εξίσωση : 32x = 161-x
…………………………………………………………………………………………..
Περίπτωση ΙΙ : α )()( xgxf
 , τότε εφαρμόζω την ίδια μεθοδολογία όπως στην
Περίπτωση Ι.

54. 54
Περίπτωση ΙΙΙ : κ ∙α 0)()(2)(3
 
 xfxfxf
aa
Θέτω α )(xf
ω και μετατρέπω την εκθετική εξίσωση σε πολυωνυμική την
οποία λύνω με τους τρόπους που έμαθα στο Κεφάλαιο 4 ( σχήμα Χόρνερ ).
Παράδειγμα : Να λυθεί : 2∙4x -5∙2x +2 = 0
…………………………………………………………………………………………..
Περίπτωση ΙV: Εκθετικές εξισώσεις με μορφή :








022
)()(
xxxx
xfxf
xx
aa
a
a



, λύνονται με την αντικατάσταση :
( 

xa
) ή ( 

)(
) xfa
και ανάγονται σε πολυωνυμικές εξισώσεις.
Παράδειγμα : Να λυθεί : 21∙3x + 5x+3 = 3x+4 + 5x+2( Υπόδειξη : Διαίρεσε με το 3χ)
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ – Μέθοδος
Καταλήγουμε στη μορφή και θυμόμαστε τη μονοτονία της εκθετικής
συνάρτησης, άρα :






1),()(
10),()()()(
axgxf
axgxf
aa xgxf




Παράδειγμα 1ο : Να λυθεί η ανίσωση : 72x-4 > 7x+1
…………………………………………………………………………………………..
Παράδειγμα 2ο : Να λυθεί η ανίσωση : (
5
3
)2x-4> (
5
3
)x+1
…………………………………………………………………………………………..
Ασκήσεις για το σπίτι : 2 , 3 , 4 , 5 Α΄ σελίδα 170.
Προτείνεται να δοθεί έμφαση στα προβλήματα της Β΄ Ομάδας, με προτεραιότητα στις 6, 7
και 8.

55. 55
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΛΛΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 5.1
Παράδειγμα :
Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1.
f(x) = 3x – 2 , g(x) = x2 + 1
ΛΥΣΗ
Για την f(x) ,
Έστω x1, x2∈ R , με f(x1) = f(x2)⇒ 3x1 – 2 = 3x2 – 2 ⇒ 3x1 = 3x2⇒x1 = x2
Άρα η f(x) είναι 1-1. Αναγνωρίστε ότι είναι μια ευθεία με κλίση ή
συντελεστή διεύθυνσης 3, σχηματίζει δηλαδή οξεία γωνία με τον xx΄.
Για την g(x) , θα δείξω ότι δεν είναι 1-1, πώς ;
Αρκεί να βρώ δυο x που αντιστοιχούν στο ίδιο y.
Για x1 = 1 , είναι g(1) = 11+1 = 2
Για x2 = -1 είναι g(-1) = (-1)2 + 1 = 1+1 = 2
Δηλαδή, υπάρχουν x1≠ x2⇒g(x1) = g(x2) , διαφορετικά x
αντιστοιχούν στο ίδιο y άρα όχι 1-1.
Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Η συνάρτηση : f (x) = αx, α 1 καλείται εκθετική. Η μορφή της
αλλάζει ανάλογα με την τιμή που παίρνει η παράμετρος α.
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :
 α > 1, τότε:
 Πεδίο ορισμού : R
 Σύνολο τιμών : (0,+∞)
 Γνησίως ΑΥΞΟΥΣΑ ΣΤΟ R.
 Τέμνει τον yy΄ στο σημείο
(0,1)
 Είναι ‘1-1’ συνάρτηση, άρα
𝜶 𝒙 𝟏 = 𝜶 𝒙 𝟐 ⇔ 𝒙 𝟏 = 𝒙 𝟐
 0<α<1, τότε :
 Πεδίο ορισμού : R
 Σύνολο Τιμών : (0,+∞)
 Γνησίως ΦΘΙΝΟΥΣΑ στο πεδίο
ορισμού της δηλαδή στο R.
 Τέμνει τον yy΄ στο (0,1)
 Είναι συνάρτηση ‘1-1’, δηλαδή
𝛂 𝐱 𝟏 = 𝛂 𝐱 𝟐 ⇔ 𝐱 𝟏 = 𝐱 𝟐

56. 56
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – Μέθοδοι 𝜶 𝒇(𝒙)
= 𝜷
Περίπτωση Ι : α )(xf
Αν το β γράφεται σαν δύναμη του α, τότε επειδή η
εκθετική είναι 1-1 συνάρτηση ισχύει :
α )(xf

 )()(
xfaa xf
ΠΡΙΝ ΕΙΠΑΜΕ : 𝜶 𝒙 𝟏 = 𝜶 𝒙 𝟐 ⇔ 𝒙 𝟏 = 𝒙 𝟐
Παράδειγμα 1ο : Να λυθεί η εκθετική εξίσωση : (
2
1
)x = 4
ΛΥΣΗ
(
1
2
)x = 2−x, εκθετική με 0<α =
1
2
< 1 άρα 1-1.
Είναι λοιπόν , 2-x = 22⇔ -x = 2 ⇔x = -2.
Παράδειγμα 2ο : Να λυθεί η εκθετική εξίσωση : 32x = 161-x
ΛΥΣΗ
Είναι : 32x = (25
)x
=25x
Επίσης : 161-x = (24
)1−x
=24-4x
Άρα 32x = 161-x⇔ 25x = 24-4x⇔ 5x = 4-4x⇔ 9x = 4 ⇔x = ..
Περίπτωση ΙΙΙ : κ ∙α 0)()(2)(3
 
 xfxfxf
aa
Θέτω α )(xf
ω και μετατρέπω την εκθετική εξίσωση σε πολυωνυμική την
οποία λύνω με τους τρόπους που έμαθα στο Κεφάλαιο 4 (π.χ με σχήμα Χόρνερ ).
Παράδειγμα : Να λυθεί η εξίσωση, 2∙4x -5∙2x +2 = 0
ΛΥΣΗ
Η Εξίσωση γράφεται : 2∙22x - 5∙2x + 2 = 0 , θέτω 2x = y
Τότε η εξίσωση γράφεται : 2∙y2 -5y +2 = 0
Δ = 25 – 16 = 9 , y1 = 4 , y2 = 1

57. 57
Για y1 = 4 , έχω : 2x = 4 ⇔x = 2
Για y2 = 1 , έχω : 2x = 1 ⇔x = 0
Άρα x = 0 ή x = 2.
Περίπτωση ΙV: Εκθετικές εξισώσεις με μορφή :








022
)()(
xxxx
xfxf
xx
aa
a
a



, λύνονται με την αντικατάσταση :
( 

xa
) ή ( 

)(
) xfa
και ανάγονται σε πολυωνυμικές εξισώσεις.
Παράδειγμα : Να λυθεί : 21∙3x + 5x+3 = 3x+4 + 5x+2( Υπόδειξη : Διαίρεσε με το 3χ)
ΛΥΣΗ
Διαιρώ όλους με 3x (θα μπορούσαμε να διαιρέσουμε και με το 5x),
η εξίσωση γίνεται :
21 + 125
5x
3x
=34 + 25
5x
3x
(1)
Θέτω
𝟓 𝐱
𝟑 𝐱 = 𝐲
Άρα 21 + 125y = 81 + 25y⇔ 100y = 60 ⇔y =
3
5
Επιστρέφω στην αρχική μου μεταβλητή :
5x
3x =
3
5
⇔ (
5
3
)x
= (
5
3
)−1
⇔x = -1.
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ – Μέθοδος
Καταλήγουμε στη μορφή και θυμόμαστε τη μονοτονία της εκθετικής
συνάρτησης, άρα :






1),()(
10),()()()(
axgxf
axgxf
aa xgxf




Παράδειγμα 1ο : Να λυθεί η ανίσωση : 72x-4 > 7x+1
ΛΥΣΗ
72x-4 > 7x+1⇔ 2x – 4 >x + 1⇔x> 5, γιατί η 7x είναι γνησίως αύξουσα .

58. 58
Παράδειγμα 2ο : Να λυθεί η ανίσωση : (
5
3
)2x-4> (
5
3
)x+1
ΛΥΣΗ
(
5
3
)2x-4> (
5
3
)x+1⇔ 2x – 4 <x + 1 ⇔x< 5 , γιατί η (
3
5
)x
Είναι γνησίως φθίνουσα.
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 5.2-5.3
ΔΕΚΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ
Θέλουμε να λύσουμε την εκθετική εξίσωση : 10x = 3 (1). Με όσα ξέρουμε μέχρι
στιγμής , δεν μπορούμε ! Γιατί ; …………………………………………..
Όμως γνωρίζουμε ότι η (1) έχει μοναδική λύση μιας και η συνάρτηση 10x είναι
…………. Τη μοναδική λύση της (1) την συμβολίζουμε log3 και την ονομάζουμε
δεκαδικό λογάριθμο του 3 ή λογάριθμο του 3 με βάση 10.
Γενικά ισχύει :10x = θ , θ > 0  x = logθ
Ισοδύναμα :Ο log3 είναι ο εκθέτης που πρέπει να υψώσουμε το 10 για να βρούμε 3.
Παραδείγματα :log100 = 2 , γιατί 102 = 100log1000=……… , γιατί 103 = ……….
log0.01 = ………… , γιατί ……………………………
Γενικά ισχύουν : 10logθ = θ , log1 = 0 , log10 = 1

59. 59
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ
Για θ1 , θ 2 , θ > 0 , ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες λογαρίθμων :
α ) log ( θ1 ∙ θ 2 ) = log θ1 + log θ 2 β) log k
 =κ∙ logθ
γ ) log (
2
1


) = logθ1 - logθ 2
Παράδειγμα : Να αποδείξετε ότι : 3log2+ log5- log4 = 1
…………………………………………………………………………………………..
Η ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ 10
Η συνάρτηση : f(x) = logx, καλείται λογαριθμική.
 Πεδίο ορισμού :…………………
 Σύνολο Τιμών : …………..
 Γνησίως ………………σε όλο το
πεδίο ορισμού της.
 Τέμνει τον x x ΄ στο ………….
 Είναι συνάρτηση…………….
ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Για να λύσουμε μια λογαριθμική εξίσωση προσπαθούμε με την βοήθεια των
ιδιοτήτων να τη φέρουμε στη μορφή :
log(f(x)) = log(g(x)) οπότε f(x) =g(x) , γιατί είναι 1-1.
Δηλαδή την μετατρέπουμε σε μια από τις γνωστές εξισώσεις αλγεβρικής
μορφής.
ΠΡΟΣΟΧΗ !! στους περιορισμούς. Πρέπει όλες οι παραστάσεις των λογαρίθμων να
είναι θετικές. Δηλαδή πρέπει να συναληθεύουν οι περιορισμοί.
Παράδειγμα : Να λυθεί η εξίσωση : log (3∙ x -1) = log(4 x -1)
Οι περιορισμοί είναι :

















3
1
4
1
3
1
014
013
x
x
x
x
x
, η λύση είναι :
…………………………………………………………………………………………..
Παράδειγμα : Άσκηση 5 ι) και ιι) σελίδα 185

60. 60
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (συνέχεια απ΄ το προηγούμενο φύλλο)
Περίπτωση ΙV :αf(x) = β και το β δεν γράφεται σαν δύναμη του α, τότε :
α )(xf
 aaaa
)x(f
a log)x(flogalog)x(flogalog 
Παράδειγμα : Να λυθεί η εκθετική εξίσωση : 5χ = 21-χ
ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
Σκοπός μας είναι να τις φέρουμε στη μορφή:
log(f(x)) > log(g(x)) ή log(f(x))< log(g(x))
Γνωρίζοντας ότι η συνάρτηση logx είναι γνησίως αύξουσα οπότε έχουμε :
log(f(x))>log(g(x)) f(x) > g(x)
ΠΡΟΣΟΧΗ !! Δεν ξεχνάμε τους περιορισμούς
Παράδειγμα :Να λυθεί η ανίσωση : log(x+1) – log(x-1) >log2
Ασκήσεις για το σπίτι
Προτείνεται να γίνουν κατά προτεραιότητα οι ασκήσεις της Α΄ Ομάδας με έμφαση στα
προβλήματα και οι ασκήσεις. Προτείνεται να μη γίνουν οι ασκήσεις 6, 7 και8 της Β΄
Ομάδας, σελίδα 179-180.
Προτείνεται να γίνουν κατά προτεραιότητα οι ασκήσεις: 2, 5, 6, 7 και 8 της Α΄ Ομάδας και
1i) , iii), 3, 5, 7 και 8 της Β΄ Ομάδας σελίδα 184-185.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΛΛΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 5.2-5.3
Γενικά ισχύει :10x = θ , θ > 0  x = logθ
Ισοδύναμα :Ο log3 είναι ο εκθέτης που πρέπει να υψώσουμε το 10 για να βρούμε 3.
Παραδείγματα :log100 = 2 , γιατί 102 = 100log1000= 3, γιατί 103 =
1000log0.01 = - 2 , γιατί 10-2 = 0.01
Γενικά ισχύουν : 10logθ = θ , log1 = 0 γιατί 100 = 1,
log10 = 1 , γιατί 101 = 10
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ
Για θ1 , θ 2 , θ > 0 , ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες λογαρίθμων :

61. 61
α ) log ( θ1 ∙ θ 2 ) = log θ1 + log θ 2 β) log k
 =κ∙ logθ
γ ) log (
2
1


) = logθ1 - logθ 2
Παράδειγμα : Να αποδείξετε ότι : 3log2+ log5- log4 = 1
ΛΥΣΗ
Ξεκινώ απ το 1ο μέλος καταλήγω στο 2ο . (μέθοδοι απόδειξης)
3log2+ log5- log4 =log23 +log(
5
4
) = log(8∙
5
4
) = log10 = 1.
Η ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ 10
Η συνάρτηση : f (x) = logx καλείται λογαριθμική.
 Πεδίο ορισμού : (0, + ∞)
 Σύνολο Τιμών : R
 Γνησίως ΑΥΞΟΥΣΑ σε όλο το
πεδίο ορισμού της.
 Τέμνει τον x x ΄ στο (1,0)
 Είναι συνάρτηση 1-1.
ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Για να λύσουμε μια λογαριθμική εξίσωση προσπαθούμε με την βοήθεια των
ιδιοτήτων να τη φέρουμε στη μορφή :
log(f(x)) = log(g(x)) οπότε f(x) = g(x) , γιατί είναι 1-1.
Δηλαδή την μετατρέπουμε σε μια από τις γνωστές εξισώσεις αλγεβρικής
μορφής.
ΠΡΟΣΟΧΗ !! στους περιορισμούς. Πρέπει όλες οι παραστάσεις των λογαρίθμων να
είναι θετικές. Δηλαδή πρέπει να συναληθεύουν οι περιορισμοί.
Παράδειγμα : Να λυθεί η εξίσωση : log (3∙x-1) = log(4∙x-1)
Οι περιορισμοί είναι :

















3
1
4
1
3
1
014
013
x
x
x
x
x
, η λύση είναι :
log(3x-1) = log(4x-1) ⇔ 3x-1 = 4x – 1 ⇔ 0 = x Απορρίπτεται γιατί ,

62. 62
δεν ανήκει στο (
1
3
, +∞) , συνεπώς η εξίσωση είναι αδύνατη.
Παράδειγμα : Άσκηση 5 ι) και ιι) σελίδα 185
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (συνέχεια απ΄ το προηγούμενο φύλλο)
Περίπτωση ΙV :αf(x) = β και το β δεν γράφεται σαν δύναμη του α, τότε :
α )(xf
 aaaa
)x(f
a log)x(flogalog)x(flogalog 
Παράδειγμα : Να λυθεί η εκθετική εξίσωση : 5x = 21-x
ΛΥΣΗ
Όλοι θετικοί άρα λογαριθμίζω και τα δυο μέλη
5x = 21-x⇔
log5x= log21-x⇔
xlog5= (1-x) log2 ⇔
x(log5+log2) = log2 ⇔
xlog10 = log2 ⇔x = log2
ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
Σκοπός μας είναι να τις φέρουμε στη μορφή:
log(f (x))>log(g(x)) ή log f (x) <log(g(x))
Γνωρίζοντας ότι η συνάρτηση logx ,είναι γνησίως αύξουσα οπότε
έχουμε :
logf (x) >log(g(x)) f (x)> g(x)
ΠΡΟΣΟΧΗ !! Δεν ξεχνάμε τους περιορισμούςή πεδίο ορισμού ανίσωσης D.
Παράδειγμα :Να λυθεί η ανίσωση : log(x+1) – log(x-1) >log2
ΕΝΔΕΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ

63. 63
Πρέπει και αρκεί : x+1 > 0 και x- 1 > 0 ⇔x> 1
Πεδίο ορισμού ανίσωσης: (1,+ ∞)
Για κάθε x> 1 , έχω : log(x+1)-log(x-1) >log2 ⇔
log
x+1
x−1
>log2 ⇔
x+1
x−1
> 2 ⇔
x+1−2x+2
x−1
> 0 ⇔
3−2x
x−1
> 0 ⇔x∈ (𝟏,
𝟑
𝟐
)
1
3
2
+∞
3-2x + + -
x-1 - + +
(3-2x)(x-1) - + -

64. 64
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5
27. Να λυθούν οι εξισώσεις. [ ΝΑ ΜΕΛΕΤΗΘΟΥΝ ΠΡΩΤΑ ΟΙ 2,3 ΣΕΛ170 -5,6 ΣΕΛ185]
i ) 8x – 4x+1 – 2x + 4 = 0 ii ) 2∙4x + 3∙9x = 5∙6x
iii ) 23x ∙5x = 1600 iv) 5x+1 + 5x + 5x-1 = 155
v ) 32√x
= 81 vi) log(2∙x)+log(x+3)=log(12x-4)
vii ) log(x3 +169) = 3∙log(x+1)
viii ) log(x2-6) = 1 ix ) 2∙logx=log(x+3)+log(x-2)
x ) ln2x – 3lnx = 0 xi ) ln3x – 2ln2x – lnx +2 = 0
xii ) 102𝑙𝑜𝑔𝑥−2
= x xiii ) 2𝑙𝑛𝑥
+ 22−𝑙𝑛𝑥
= 5
xiv) ln(συνx) = 0 , x∈ (−
𝜋
2
,
𝜋
2
)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ, Μ.ΣΤΕΡΓΙΟΥ-Χ.ΝΑΚΗΣ-Φ.ΜΑΡΓΑΡΩΝΗΣ
28. Να λυθούν οι ανισώσεις. [ OMOIA ME 4 ΚΑΙ 8 ΣΧΟΛΙΚΟΥ, ΣΕΛΙΔΕΣ 170 ΚΑΙ 185 ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ ]
i ) 2x+1 - 3∙2x-1 ≤ 2 ii ) e2x + ex – 2 > 0
iii ) log(x2-5x+6) ≥ 0 iv ) ln2x – (e+1)lnx + e ≤ 0
v ) lnx ≥ ln3x vi ) ln(ln(x+4)) > 0
vii ) ln4x – 5ln3x + 5ln2x + 5lnx ≤ 6
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ, Μ.ΣΤΕΡΓΙΟΥ-Χ.ΝΑΚΗΣ-Φ.ΜΑΡΓΑΡΩΝΗΣ
29. Να λυθούν τα συστήματα. [ OMOIA ME 7 ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΣΕΛΙΔΑΣ 185 ]
i ) {
x2
+ y2
= 425
log(xy) = 2
ii ) {
logx + logy = 4
xlogy
= 1000
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ, Μ.ΣΤΕΡΓΙΟΥ-Χ.ΝΑΚΗΣ-Φ.ΜΑΡΓΑΡΩΝΗΣ

65. 65
30. Δίνεται η συνάρτηση : f(x) =
)xln(
)xln(
5
113


.
i ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
ii ) Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 2.
iii ) Αν x> 6 , να λυθεί η ανίσωση f(x) > 1.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ τ.99
ΛΥΣΗ
ι ) x – 5 > 0 και 3x-11> 0 και ln(x-5) ≠ 0
x> 5 και x>
11
3
και x – 5 ≠ 1
x> 5 και x ≠ 6
Άρα x∈ ( 𝟓, 𝟔) ∪ (𝟔,+ ∞)
ιι )f(x) = 2 , x∈ (5,6) ∪ (6,+ ∞) ⇔ln(3x-11) = 2 ln(x-5)
⇔ 3x -11 = (x-5)2⇔ 3x -11 = x2 - 10x+25 ⇔x2 - 13x + 36 = 0
Δ= 169-144 = 25
x1 = 9 (Δεκτή ) ή x2 = 4 (απορρίπτεται)
ιιι ) Για κάθε x> 6 έχω :
x – 5 > 6 – 5 ⇔x – 5 > 1 άρα ln(x-5) > 0 , η φορά δεν θα αλλάξει !!
f(x)> 1 ⇔ ln(3x-11) > ln(x-5) ⇔ 3x-11 > x-5 ⇔ 2x > 6 ⇔ x > 3
Άρα για κάθε x> 6 είναι f(x) > 1.
31. Δίνεται η συνάρτηση : f(x) = ln(x2-8x+17)
α ) να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x).
β ) να αποδειχθεί ότι f(2) = f(1) – ln2.
γ ) να λυθεί η ανίσωση f(x) ≥ f(2).
ΛΥΣΗ
α ) Πρέπει και αρκεί x2 - 8x + 17 > 0 , Δ = 64 – 68 = -4 < 0
Άρα πεδίο ορισμού το R.