1. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
1
ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและ
ลอการิทึม
ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมถูกนามาประยุกต์ใช้ในหลายๆสาขาวิชา เช่น สาขาฟิสิกส์ ใช้
ในการคานวณหาปริมาณสารกัมมันตภาพรังสี คานวณระดับความเข้มเสียง สาขาเคมี ใช้ในการคานวณระดับ
pH หรืออาจจะเป็นสาขาเศรษฐศาสตร์ ใช้ในการคานวณดอกเบี้ย จะเห็นว่าบทนี้มีความสาคัญไม่น้อยเลย
ทีเดียว แต่ก่อนที่น้องๆจะศึกษาบทนี้พี่ขอแนะนาให้น้องๆทบทวนเรื่อง ระบบจานวนจริง มาก่อน จะช่วยให้
น้องๆมีพื้นฐานและเข้าใจบทนี้ได้ดียิ่งขึ้น
ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและ
ลอการิทึม
1. ความรู้พื้นฐาน
2. สมบัติและกราฟของฟังก์ชันเอกซ์ -
โปเนนเชียล
3. สมการและอสมการของฟังก์ชันเอกซ์ -
โปเนนเชียล
4. สมบัติและกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
5. สมการและอสมการของฟังก์ชัน
ลอการิทึม

2. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
2
1. ความรู้พื้นฐาน
1.1 นิยามและสมบัติของเลขยกกาลัง
นิยาม
...n
n terms
a a a a a     เมื่อ a เป็นจานวนจริงและ n เป็นจานวนเต็มบวก
สมบัติของเลขยกกาลัง เมื่อ a,b เป็นจานวนจริงที่ไม่เท่ากับ 0 และ m,n เป็นจานวนเต็ม
1. 0
1a 
2.
1n
n
a
a


3. m n m n
a a a 
 
4.
m
m n
n
a
a
a


5.  
nm m n
a a 

6.  n n n
ab a b
7.
n n
n
a a
b b
   
 
ตัวอย่าง จงหาค่าของ
1.
1 2 2 1
2 2 2 1
4 9 3 2
9 2 4 3
n n n n
n n n n
 
 
  
  
2.
1
2
729 81
27 243
n n n
n n
 
  

3. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
3
ตัวอย่าง จงหาว่าจานวนต่อไปนี้ จานวนใดมีค่าน้อยที่สุด 65 104 52
3 ,2 ,7
ตัวอย่าง ถ้า , ,x y z เป็นจานวนจริงซึ่งไม่เท่ากับ 0 และ 2 2
3 4 6x y z
  แล้ว
1 1 1
x y z
  มี
ค่าเท่ากับเท่าไร
1.2 นิยามและสมบัติของรากที่ n
นิยาม ให้ n เป็นจานวนเต็มที่มากกว่า 1 และ ,x y เป็นจานวนจริง y เป็นรากที่ n ของ x
ก็ต่อเมื่อ n
y x หรือ n
y x
สมบัติของรากที่ n ถ้า ,x y มีรากที่ n และ m,n เป็นจานวนเต็ม
1.
m mnn
y y
2. n n nx y xy 
3.
n
n
n
x x
y y
 เมื่อ 0y 
ตัวอย่าง จงหาค่าของ
1 1 1 1
...
1 2 2 3 3 4 2011 2012
   
   
NOTE รากที่ n ของ จานวนจริงใดๆ ยกกาลัง n

4. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
4
ตัวอย่าง ถ้า 3
2 5x   และ 3
2 5y   จงหา x y
ตัวอย่าง ให้
6 3
6 3
x



และ
6 3
6 3
y



จงหาค่าของ 2 2
4x xy y 
ตัวอย่าง จงหาค่าของ
1. 12 2 35
2. 7 48
3. รากที่สองของ 6 35
NOTE รากที่สองของ

5. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
5
4. รากที่สองของ 2
4 1 2 3 5 2x x x   
ตัวอย่าง จงแก้สมการและอสมการต่อไปนี้
1.
5
9 4 2
9 4
x x
x
  

2. 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x       
3. 3 3
5 4 1 5
1 5 4 2
x x
x x
 
 
 
ข้อควรระวัง

6. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
6
4. 1 3x x  
ตัวอย่าง กาหนดให้ 2 1
y x
x y
  และ 5 5 4x y x y    จงหาค่าของ
x y

7. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
7
2. สมบัติและกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
2.1 นิยามและสมบัติของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
นิยาม   , , 0, 1x
y x y y a a a
     
สมบัติของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
1. เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ผ่านจุด (0,1) เสมอ
2. ถ้า 1a  แล้ว x
y a จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม นั่นคือ
ถ้า 0 1a  แล้ว x
y a จะเป็นฟังก์ชันลด นั่นคือ
3. เป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก ไปทั่วถึง 
นั่นคือ
โดยโดเมน คือ และเรนจ์ คือ
ตัวอย่าง จงพิจารณาว่าข้อความใดต่อไปนี้เป็นจริง
1.
2 3
5 5
2.    
4 5
1 1
3 3

3.    
7 5
sin1 sin1
4.    
2 5
tan46 tan46
PAT1 ก.ค. 53 กาหนด 48 36
2 , 3a b  และ 24
5c  ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1.
1 1 1
b c a
 
2.
1 1 1
a b c
 
3.
1 1 1
b a c
 
4.
1 1 1
a c b
 

8. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
8
2.2 กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
ในระดับนี้จะศึกษากราฟ x
y a ในสองลักษณะ คือ
1. 1a  2. 0 1a 

9. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
9
3. สมการและอสมการของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
3.1 สมการของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
ตัวอย่าง จงแก้สมการต่อไปนี้
1. 2 1 3
7 49 7x x x
 
2.   23
3 2 0
4
x x
 
3. 4 1 4 1 6 1
2 9 25 625x x x x  
  
4.  
2
2 1
3 2 3 2
x x 
  
NOTE หลักการแก้สมการของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล

10. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
10
5.      9 4 12 6 4 9 0x x x
  
ตัวอย่าง จงหาเซตคาตอบของสมการ 1
6 3 3 2 9x x x
   
ตัวอย่าง จงหาค่าของ y
x เมื่อ 2 2 3 2x y
   และ 1 1
2 3 5x y 
 
ตัวอย่าง ถ้า
 
2
1
22 4
1
x
x
A x



  
   
  
และ  
2
3
x
B x x x
 
  
 
จงหา
A B ข้อควรระวัง

11. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
11
PAT1 ต.ค. 53 ให้ แทนเซตของจานวนจริง และให้
  
 
2
3 4 12
3 11 7 1
x x
C x x x
 
     จานวนสมาชิกของเซต C เท่ากับเท่าใด
3.2 อสมการของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
ตัวอย่าง จงหาเซตคาตอบของอสมการต่อไปนี้
1. 4
3 81x

2.    5 3
0.25 0.5x x 

3.
2 2
2 5 2 5 1
9 3 4x x x x  
 
NOTE หลักการแก้อสมการของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล

12. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
12
4. 3 16 2 81 5 36x x x
    
5.    
2
2 3
1 1 , 1x x
x x x
   
ENT มี.ค. 44 เซตคาตอบของอสมการ    2
2
3 3
2 8
x
x x


 เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้
1.  1,
2.  2,100
3.  10,10
4.  ,2

13. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
13
4. สมบัติและกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
4.1 นิยามและสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม
นิยาม   , , 0l 1g ,o a
y
x y x a ay x a
     
สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม
1. เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ผ่านจุด (1,0) เสมอ
2. ถ้า 1a  แล้ว logay x จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม นั่นคือ
ถ้า 0 1a  แล้ว logay x จะเป็นฟังก์ชันลด นั่นคือ
3. เป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก 
ไปทั่วถึง นั่นคือ
โดยโดเมน คือ และเรนจ์ คือ
NOTE สมบัติทางพีชคณิตของลอการิทึม โดยที่ เป็นจานวนจริงบวก ที่
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.

14. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
14
ตัวอย่าง จงแก้สมการต่อไปนี้
1. 2log 4x 
2.  2
8 3 2log log log 2 0x x 
3.
2
2 16
9log 3x x
x 

ตัวอย่าง จงหาค่าของ
1. 2
5log 5
2. 4
loga a
3. 7log 3
7
4. 2log 5
4
5. 12 3
4
1
log 16 log log 64
9
 
6. 2
2 3 3 5
log 12 log 45
7. 3 3 3 3 3log 120 log 80 log 27 log 24 log 16   
8. log15 log12 log9 log5  
9. 3 4 5 2011log 4 log 5 log 6 ... log 2012   

15. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
15
10.        2 2 2 3 2 4 2 255log log 3 log log 4 log log 5 ... log log 256   
11. 3 93
log 6 log 15 log 400 
12. 842 2 2 2
log 64 log 16 log 4 log 1  
13.
2 3 5
1 1 1
log 30 log 30 log 30
 
14.
1 1 1
1 log 1 log 1 logx y zyz xz xy
 
  
ตัวอย่าง จงหาค่าของ ln10 ln5
e 
NOTE ลอการิทึมฐานธรรมชาติ

16. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
16
ตัวอย่าง จงหาว่า 15
875 มีกี่หลัก เมื่อกาหนดให้ log8.75 0.9420
ตัวอย่าง จงหาว่ามีศูนย์ทั้งหมดกี่ตัวที่อยู่ระหว่างจุดทศนิยมกับตัวเลขตัวแรกหลังจุดทศนิยมที่ไม่ใช่
ศูนย์ของ 100
0.5
NOTE mantissa & characteristic ของ
ให้
จะได้
เรียก ว่า mantissa ของ และ ว่า characteristic ของ
ข้อควรรู้
ข้อควรรู้

17. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
17
PAT1 ก.ค. 52 กาหนดให้ , , 1a b c  ถ้า log 30,log 50a bd d  และ log 15abc d  แล้วค่าของ
logc d เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 75
2. 90
3. 120
4. 150
ENT มี.ค. 43
 
3
3 3 27
log
3 5 3 6

 
มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.  1
4
3
3
log 3 2
4
 
2.  1
2
3
1
log 3 2
4
 
3. 3
3 1
log 19
4 4

4. 3
1 1
log 19
4 4

PAT1 มี.ค. 53 กาหนดให้ x และ y เป็นจานวนจริงบวกและ 1y  ถ้า log 2y x a และ 2y
b
แล้ว x มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.  2
1
log
2
a
b
2.  22 log
a
b
3.  2log
2
a
b
4.  22 loga b

18. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
18
PAT1 ก.ค. 53 พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก.
3 4
2 3
2 3
ข. 2 3
3 1
log log
8 2
      
  
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก
2. ก. ถูก และ ข. ผิด
3. ก. ผิด และ ข. ถูก
4. ก. ผิด และ ข. ผิด
PAT1 ต.ค. 53 กาหนดให้ , ,a b c และ d เป็นจานวนจริงที่มากกว่า 1 ถ้า   log log 1b da c  แล้ว
ค่าของ        log 1 log 1 log 1 log 1b c d ac d a b
a b c d   
เท่ากับเท่าใด

19. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
19
4.2 กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
ในระดับนี้จะศึกษากราฟ logay x ในสองลักษณะ คือ
1. 1a  2. 0 1a 
A-NET 52 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้า  3
log 1a x  และ  3
log 1b x  แล้ว   23
log 1a b x  
ข. กราฟของ 2
y x และกราฟของ 2x
y  ตัดกันเพียง 2 จุดเท่านั้น
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก
2. ก. ถูก และ ข. ผิด
3. ก. ผิด และ ข. ถูก
4. ก. ผิด และ ข. ผิด

20. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
20
5. สมการและอสมการของฟังก์ชันลอการิทึม
5.1 สมการของฟังก์ชันลอการิทึม
ตัวอย่าง จงแก้สมการต่อไปนี้
1. 2 1
3 7x

2. 2 2
2 5x x

3. 2 3x y
 ____ (1)
1 1
2 3y x 
 _____ (2)
NOTE หลักการแก้สมการของฟังก์ชันลอการิทึม
ข้อควรระวัง

21. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
21
4.    3 3log 1 log 2 1 1x x    
5.  2
1log 4 9 1 3x x x   
6.   4 3 2 2log 2log 1 log 1 3log 0.5x    
7.
 2
9125log 5
6log 9 125
x x

8. 2 3
11
log 4 log 4 log 4
3
x x x
  
9. 4
12
2
2
log 2
log 2 log 2 0
log 2
x
x
x
x  

22. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
22
10. 2
2log log 25xx 
11.    
3 2
5 5
2
log log
log 5x
x x 
12. 2log
2x
x 
13.
log
100x
x x
x x
14.  log 1 2 log5 log6x
x x   
15.     2 2
4 44 log 2log 1x x   

23. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
23
PAT1 ก.ค. 53 ถ้า A เป็นเซตคาตอบของสมการ  2 2
3 28 3 3 0x x
   และ B เป็นเซตคาตอบของ
สมการ    log log 1 log 3x x x    แล้วผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต A B เท่ากับข้อใด
ต่อไปนี้
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
PAT1 ต.ค. 53 เซตคาตอบของสมการ 2 3
3 27log log 6x x  ตรงกับเซตคาตอบของสมการในข้อใด
ต่อไปนี้
1. 3
1 1 1 2
4 3 2
1
log log log 0
9 244 29x x

 
2.    2
2 22log 1 log 14 41 1x x x    
3.
   2 2
1 8 5 2 8 5
3 3 28
x x x x     
 
4. 3 27
4
log 3 log 3 0
3
x x  

24. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
24
PAT1 ต.ค. 53 ให้ แทนเซตของจานวนจริง และ ถ้า
   2 2
2log 7 10 3 cos 7 1 1B x x x x
 
         
 
แล้วผลบวกของสมาชิกใน
เซต B เท่ากับเท่าใด
PAT1 มี.ค. 54 ให้ แทนเซตของจานวนจริง และ ถ้า   2 1 2
3 34 15 5 0x x x
A x 
    
และ
1
5 5
1
log 5 125 log 6 1
2
x
B x
x
   
       
   
แล้วจานวนสมาชิกของเซต A B เท่ากับ
เท่าใด
A-NET 50 กาหนดให้   3 3
6log 2 log log
x
A z z x y x y
y
 
       
 
ผลบวก
ทั้งหมดของสมาชิกในเซต A มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 3
2. 4
3. 5
4. 6

25. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
25
ENT ต.ค. 41 เซตคาตอบของสมการ    
22
2 0.1log 4 log 0.01x x   เป็นสับเซตของเซตในข้อใด
ต่อไปนี้
1.  2,2 
2.  1,3 
3.  4,2
4.  3,3
5.2 อสมการของฟังก์ชันลอการิทึม
ตัวอย่าง จงแก้อสมการต่อไปนี้
1.  2
1 1
2 2
log 2 log 3x x 
NOTE หลักการแก้อสมการของฟังก์ชันลอการิทึม
ข้อควรระวัง

26. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
26
2.
   2
2 2log 2 log 4 1
1 1
3 3
x x 
      
   
3.    2
1 1
2 2
2log 3 4 log 8 2x x x     
4. 1
3
0 log 2 3x 
5.  2
1log 5 2x x x  

27. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
27
PAT1 มี.ค. 54 ถ้า A แทนเซตคาตอบของ  
1 32
13
3
2 log 1 log 4 0x x    แล้วเซต A เป็นสับ
เซตของช่วงใดต่อไปนี้
1. (0,3)
2. (1,4)
3. (2,5)
4. (2,9)
A-NET 49 จานวนเต็มที่สอดคล้องกับอสมการ   1 2 3log log 1 1x    มีจานวนเท่ากับข้อใด
ต่อไปนี้
1. 6
2. 7
3. 8
4. มากกว่า 8
A-NET 51 ถ้า  A x a x b   เป็นเซตคาตอบของอสมการ
  2
2 4
1 1
log 2 1 log
2 2
x x     
 
แล้ว a b มีค่าเท่าใด
ENT ต.ค. 44 ให้ช่วงเปิด  ,a b เป็นเซตคาตอบของอสมการ    log 3 4 log 1 1x x    แล้ว
a b มีค่าเท่ากับเท่าใด

28. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
28
ENT มี.ค. 48 ให้ S เป็นเซตคาตอบของอสมการ    2
log log log 9 log 1x x   ถ้า a และ b เป็น
สมาชิกของ S ที่มีค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดตามลาดับ แล้ว ab มีค่าเท่ากับข้อใด
1.
7
2
10
2.
9
2
10
3.
11
2
10
4.
13
2
10
ENT มี.ค. 46 เซตคาตอบของอสมการ    2
4 2 log 1 0x
x   เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้
1.
1
2,
2
  
 
2.
1
,2
2
  
 
3.
1
,20
2
 
 
 
4.  0,10

29. คณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม www.clipvidva.com
29
เอกสารอ้างอิง
จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. คัมภีร์ คณิตศาสตร์ Entrance ม.4-5-6 สอบตรง สอบโควต้า Admission
PAT1, กรุงเทพมหานคร: พ.ศ. พัฒนา, พิมพ์ครั้งที่ 1, 2552.
ณัฐ อุดมพาณิชย์. เส้นทางสู่ วิศวะฯจุฬา พิชิต PAT1 คณิตศาสตร์, กรุงเทพมหานคร: สถาบันสอนวิชา
คณิตศาสตร์ NUTTY PROFESSIONAL, พิมพ์ครั้งที่ 2, 2552.
ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. 1001 TESTS IN MATHS 2, กรุงเทพมหานคร: บริษัท สานักพิมพ์แม็ค จากัด, พิมพ์
ครั้งที่ 1, 2550.
ฝ่ายวิชาการ บริษัท สกายบุ๊กส์ จากัด. รวมสูตรเลขคณิต ช่วงชั้นที่ 3-4, ปทุมธานี: สกายบุ๊กส์, พิมพ์ครั้งที่ 1,
2548.
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้
เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5, กรุงเทพมหานคร: โรงพิมพ์ครุสภาลาดพร้าว,
พิมพ์ครั้งที่ 6, 2551.
อรรณพ สุขธารง. คณิตศาสตร์ Entrance เล่ม 2. ม.ป.ป.