อ้างอิ่ง : http://www.scimath.org/socialnetwork/groups/viewbulletin/2314-%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%81%E0%B8%AD%E0%B8%9A+(composite+function)?groupid=357

1. ฟังก์ชันประกอบ (composite function)
เราทราบแล้วว่าฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์จากสับเซตของจานวนจริงไปยังสับเซตของ
จานวนจริง หาก
ฟังก์ชันหนึ่งมีโดเมนเป็นฟังก์ชันอีกฟังก์ชันหนึ่ง หรือกล่าวได้ว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชัน
ของฟังก์ชัน จะเรียกฟังก์ชันดังกล่าวว่าฟังก์ชันประกอบซึ่งนิยามได้ดังนี้
บทนิยาม ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ Rf ∩ Dg ≠ Ø ฟังก์ชันประกอบของ f และ g เขียนแทน
ด้วย gof กาหนด
โดย (gof)(x) = g(f(x)) สาหรับทุก x ซึ่ง f(x) ∈ Dg
จากรูปที่ 1 y = f(x) และ z = g(y) จะเห็นว่าจะหา gof ได้เมื่อมี y อยู่ใน Rf และ Dg พร้อม ๆ กัน
นั่นคือ Rf
Dg ต้องไม่เท่ากับ Ø จากแผนภาพจะพบว่า
f เป็นความสัมพันธ์จาก A → B
g เป็นความสัมพันธ์จาก B → C
และ gof เป็นความสัมพันธ์จาก A → C
การหาฟังก์ชันประกอบ จากแผนภาพการแจกแจงสมาชิกของฟังก์ชันทาได้ดังตัวอย่างที่ 1

2. ตัวอย่างที่ 1 ให้ f : A → B และ g : B → C ดังแผนภาพ
จงหา gof และ fog พร้อมทั้งหาโดเมน
วิธีทา Rf ∩ Dg = B ≠ Ø ดังนั้นสามารถหา gof ซึ่งเป็นฟังก์ชันจาก A ไป C
ดังนั้น gof = {(-1,6), (2,4), (3,4)} และ Dgof = A
ไม่สามารถหา fog ได้เนื่องจาก Df ∩ Rg = Ø
ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ f = {(0,1), (1,2), (3,5)}
g = {(1,3), (2,4), (5,6)} จงหา gof และ fog
วิธีทา หา gof : เนื่องจาก Dg ∩ Rf = {1, 2, 5} จะได้ gof = {(0,3), (1,4), (3,6)}
หา fog : เนื่องจาก Df ∩ Rf = {3} จะได้ fog = {(1,5)}
สาหรับฟังก์ชันที่กาหนดให้ในรูปสมการความสัมพันธ์สามารถหาฟังก์ชันประกอบได้ดังนี้

3. ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ f(x) = 2x - 4 , g(x) = 3x + 1 จงหา fog, gof, fof และ gog
วิธีทา จาก f(x) และ g(x) จะพบว่า Df = Dg = Rg =R และ Rf = [-4,8) ดังนั้นสามารถนิยาม fog,
gof, fof และ gog ได้
f(g(x)) = 2(3x+1)2
- 4 = 2(9x2
+ 6x + 1) – 4 = 18x2
+ 12x - 2
g(f(x)) = 3(2x2
- 4) + 1 = 6x2
- 12 + 1 = 6x2
-11
f(f(x)) = 2(2x2
- 4)2
- 4 = 2(4x4
- 16x2
+ 16) – 4 = 8x4
- 32x2
+ 28
g(g(x)) = 3(3x+1) + 1 = 9x + 4
สังเกตว่า เราสามารถสร้างฟังก์ชันประกอบของฟังก์ชันเดียวกันได้เช่น fof และ gog ถ้าหาก
Df ∩ Rf ≠ Ø และ Dg ∩ Rg ≠ Ø
ตัวอย่างที่ 4 กาหนด (fog)(x) = 2x2 + 3x + 1 , g(x) = x - 1 จงหา f(x) และ f(0)
วิธีทา f(g(x)) = 2x2
+ 3x + 1
f(x-1) = 2x2
+ 3x + 1 --------- (1)
จากสมการที่ (1) ให้ z = x - 1
จะได้ x = z + 1 แทนลงในสมการ (1)
f(z) = 2(z+1)2
+ 3(z+1) + 1 เปลี่ยนตัวแปร ใหม่จาก z เป็น x
จะได้ f(x) = 2x2
+ 4x + 2 + 3x + 4
ดังนั้น f(x) = 2x2
+ 7x + 6 และ f(0) = 2(0)2
+ 7(0) + 6 = 6