1. ฟังก์ชันลอการิทึม ( Logarithm function )
นิยาม ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก็ชัน f   x , y   R   R y  log a x ; a  0 , a  1
หรือ f   x , y   R  R x  a ; a  0 , a  1
 y
ซึ่งเป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ y ที่เขียนในรูป x = ay มีความหมายเดียวกับ y = logax
y = logax ก็ต่อเมื่อ x = ay
logax อ่านว่า ลอการิทึมเอกซ์ฐาน เอ หรือ ล็อกเอกซ์ฐาน เอ
กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
จากสมการ y = logax ; x > 0 และ a > 0 , a  1
จึงสามารถแบ่ง a ได้เป็น 2 ช่วง คือ 0 < a < 1 และ a > 1
เมื่อนามาเขียนกราฟได้ดังนี้
กรณี 0<a<1 กรณี a > 1
y y
(1,0) (1,0)
x x
0 0
ข้อสังเกตจากกราฟ
1. กราฟของฟังก์ชัน y = logax ; a > 0 และ a  1 จะผ่านจุด (1,0) เสมอ
2. ถ้า 0 < a < 1 แล้ว y = logax เป็นฟังก์ชันลด
3. ถ้า a > 1 แล้ว y = logax เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
4. ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1 - 1 จาก R+ ไปทั่วถึง (ไปบน) R
5. ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1 - 1 จะได้ว่า logax = logay ก็ต่อเมื่อ x = y
ตัวอย่างที่ 1 การเขียน log ให้อยู่ในรูปเลขยกกาลัง
(1) log216 = 4 จะได้ 24 = 16
(2) log749 = 2 จะได้ 72 = 49
(3) logax = 4 จะได้ a4 = x
(4) logeb = 2 จะได้ e2 = b

2. สมบัติของลอการิทึม (กฎของลอการิทึม)
ถ้า a,M,N เป็นจานวนจริงบวก และ a  1, p และ q เป็นจานวนจริง
1. logaMN = logaM + logaN
เช่น log 15  log ( 5  3 )
2
= 2
log 5  log 3 2 2
2. loga  M  = logaM - logaN
 
N
5 
เช่น log 2   = log 2
5  log 2
3
3
p
3. log M
a = PlogaM
เช่น log 3
7
5
= 5 log 3
7
4. logaa = 1
เช่น log 3
3 = 1
log 7
7 = 1
5. loga1 = 0
เช่น log 5
1 = 0
log 9
1 = 0
6. a log a M = M
เช่น 7
log 7 5
= 5
7. M log a N
= N
log a M
เช่น 4
log 2 8
= 8
log 2 4
p
8. log a
q M
p
= log a
M
q
เช่น log 2
2 8
4
= 4
log 2
8
2
1
9. loga  
  = log 1 N = - logaN
N a
1 
เช่น log 2   = log 1
2 =  log 2
8
8 8
log a M
10. logNM = เมื่อ N  1 (การเปลี่ยนฐานของ log)
log a N
log 5
เช่น log 3
5 = 2
log 2
3
1
11. logaM = เมื่อ M  1
log M a
เช่น log 8
2 = 1
log 2
8
log10M จะเขียนแทนด้วย log M
log 5 = 1 - log 2
log 2 = 1 – log 5

3. ตัวอย่างที่ 2 การใช้สมบัติลอการิทึม
1. จงหาค่า log N เมื่อกาหนด a และ N ให้ดังนี้
a
(1) N = 125 , a = 5
แนวคิด พยายามทา N ให้มีฐาน = a แล้วใช้สมบัติของลอการิทึม
log 125 =
5
log 5 5
3
= 3 log 5 (สมบัติข้อที่ 3)
5
= 3 1  (สมบัติข้อที่ 4)
= 3
(2) N = 1
, a=2
64
แนวคิด log 2
1
= log 2
64  1
64
= log 2
2 6 1
= log 2
2
6
=  6 log 2
2
=  6 1 
=  6
การแก้สมการลอการิทึม
(1) สมการลอการิทึม คือ สมการที่มี log ปะปนอยู่ด้วย
(2) การแก้สมการลอการิทึม คือ การหาค่าตัวแปรที่ปะปนอยู่ในสมการลอการิทึม
(3) หลักการทั่ว ๆ ไปของการแก้สมการลอการิทึม ก็คือ
ต้องทาลาย log ให้ได้ เพื่อให้ได้ค่าของตัวแปร
รูปแบบทั่ว ๆ ไปและหลักการแก้สมการลอการิทึม
แบบที่ 1 ถ้าสมการอยู่ในรูป loga N = x
ให้เปลี่ยนเป็น ax = N (เปลี่ยน log เป็นเลขยกกาลังที่ละเทอม)
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ log2 [log2 (x3+8)] = 2
แนวคิด log2 [log2 (x3+8)] = 2
3
log2 (x +8) = 22 = 4
(x3+8) = 24 = 16
x3 = 16 - 8
x = 3 8 =2
ค่าตัวแปรที่ได้ต้องตรวจคาตอบทุกครั้ง โดยค่าที่ได้จะเป็นคาตอบ
ก็ต่อเมื่อแทนค่าของตัวแปรในสมการทุกพจน์ต้องเป็นจริงตามนิยาม

4. แบบที่ 2 ถ้าสมการอยู่ในรูป loga N = loga M
ให้ปลด log ทิ้งจะได้สมการใหม่เป็น N = M
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคาตอบของสมการ log (4x2 - 16) - log(x2 - 4) = log x2
2
 4 x  16 
แนวคิด log  2  = log x2
 x 4 
2
4 x  16
2
= x
2
(ปลด log )
x 4
2
4(x  4 )
2
= x
2
(ดึงตัวร่วมของแต่ละเทอม)
(x  4 )
4 = x
2
x = 2, -2
ตรวจคาตอบ
(1) ถ้า x = 2 จะทาให้ log(x2 - 4) = log(4-4) = log 0 ซึ่งไม่นิยาม
(2) ถ้า x= -2 จะทาให้ log(x2 - 4) = log(4-4) = log 0 ซึ่งไม่นิยาม เช่นกัน
ดังนั้น เซตคาตอบ = { }
แบบที่ 3 สมการเอกซ์โพเนนเชียลที่ไม่สามารถทาฐานให้เท่ากันได้ ให้ใส่ log ทั้งสองข้าง
เพื่อหาค่า แล้วใช้สมบัติของ log หาค่าตัวแปร
3
ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ x log x = 3
10000
3
log x
3
แนวคิด x = 10 4
take log ทั้งสองข้างจะได้
4
3
log x . log x = log 10 3
4
3 (log x)2 = log 10
3
4
( log x)2 = ; log 10 = 1
9
4
log x = 
9
2 2
log x = ,
3 3
2 2

x = 10 3 ,10 3
ตรวจคาตอบด้วย

5. แบบที่ 4 ถ้าฐานต่างกันใช้กฎการเปลี่ยนฐานของลอการิทึม
ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ log x2 = log2x 25
แนวคิด log x2 = log2x 25
2 2
log x log 5
=
log 10 log 2 x
log x log 5
=
log 10 log 2 x
log x log 2x = log 5 log 10
log x [ log 2 + log x ] = 1 - log 2 ; log 5 = 1-log2
log x log 2 + (log x )2 = 1 - log 2
2
[(log x) - 1 + log x . log 2 + log 2] = 0
(log x-1) (log x+1) + log 2 ( log x+1) = 0
(log x+1) ( log x-1+log 2) = 0
ดังนั้น log x = -1 lg x = 1 - log 2 = log 5
x = 10-1 x= 5
1
 x= ,5
10
ตรวจคาตอบด้วย
ลอการิทึมสามัญ ( Common Logarithm)
ลอการิทึมสามัญ คือ ลอการิทึมที่มีฐานเป็น 10 ซึ่งไม่นิยมเขียนฐานกากับ
เช่น log102 จะเขียนเป็น log 2
log10 750 จะเขียนเป็น log 750
. .
. .
. .
log N แทน log10 N
การหาค่าลอการิทึมสามัญ
ให้ N เป็นจานวนที่ต้องการ ดังนั้น log N หาโดยเขียน
N ให้อยู่ในรูป N0 x 10n เมื่อ 1  N 0  10 , n เป็นจานวนเต็ม
ดังนั้น

6. log N = log (N0 x 10n)
= log N0 + log 10n ( จากสมบัติ logaMN = logaM+logaN)
= log N0 + n log 10
= log N0 + n (เพราะ log 10 = 1)
log N = log N0 + n
ค่าของ log N มี 2 ส่วน
1. ส่วนที่เป็น log N0 เรียกว่า แมนทิสซา ( Mantissa) ซึ่งค่าแมนทิสซาเป็นเลขทศนิยม ซึ่งมีค่า
มากกว่าหรือเท่ากับ 0 แต่น้อยกว่า 1 หาได้จากตารางของ log
2. ส่วนที่เป็น n เรียกว่า แคแรกเทอริสติก ( Characteristic) ซึ่งเป็นจานวนเต็ม
ตัวอย่างที่ 1 จงหาแคแรกเทอริสติก
(1) log 4875
(2) log 4.875
(3) log 0.4875
(4) log 0.0004875
แนวคิด
(1) log 4875 = log (4.875 x 103)
= log 4.875 + log 103
= log 4.875 + 3 log 10
= log 4.875 + 3
 แคแรกเทอริสติก = 3
(2) log 4.875 = log(4.875 x 101)
= log 4.875 + 1
 แคแรกเทอริสติก = 1
(3) log 0.4875 = log(4.875 x 10-1)
= log 4.875+(-1)
 แคแรกเทอริสติก = -1
(4) log 0.0004875 = log(4.875 x 10-4)
= log 4.875+(-4)
 แคแรกเทอริสติก = -4
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า log 2.48 จากตาราง
ขั้นที่ 1 เลข 2.4 (สองตัวแรก) ดูในช่อง n
ขั้นที่ 2 ในแถวของ 2.4 ลากนิ้วมือไปให้ตรงกับช่องของ 8 บนหัวตาราง

7. ค่านั้นคือ ค่าของ log 2.48
N 0 1 2 … 8 9
.
.
2.4 .3945
 log 2.48 = 0.3945
ตัวอย่าง จงหาค่าแมนทิสซาของ log 1980
แนวคิด log 1980 = log (1.980 x 103)
= log 1.980 + log 103
= log 1.980 + 3
 แมนทิสซาของ log 1980 = log 1.980
= 0.2967 (ดูตาราง log )
แอนติลอการิทึม ( Antilogarithm)
นิยาม (1) ถ้า log N = a เรียก N ว่าเป็นแอนติลอการิทึมของ log N
(2) ถ้า log N = a แล้วจะได้ N = antilog a
ตัวอย่างที่ 1 กาหนด log 3.51 = 0.5453 จงหาค่าของ
(1) log 3510 (2) log 0.0351
แนวคิด (1) log 3510 = log (3.51 x 103)
= log 3.51 + log 103
= log 3.51 + 3 log 10
= 0.5453 + 3
 log 3510 = 3.5453
(2) log 0.0351 = log (3.5 x 10-2)
= log 3.51 + log 10-2
= log 3.51 + (-2) log 10
= 0.5453 + (-2)
= -1.4547
ตัวอย่างที่ 2 กาหนด log 0.03151 = -1.5015 จงหาค่า log 315.10
แนวคิด พยายามหาแมนทิสซาของ log 0.03151
log 0.03151 = -1.5015
= -1 0.5015

8. = (-1 -1) + (1-0.5015)
= -2 + 0.4985
ดังนั้น log 3.151 = 0.4985
หาค่า log 315.10 = log (3.151 x 102)
= log 3.15 + log 102
= log 3.15 + 2 log 10
= 0.4985 + 2
= 2.4985
ตัวอย่างที่ 3 กาหนด log 5.70 = 0.7559 และ log N = -3.2441
จงหาค่าของ N
แนวคิด log N = -3.2441
= -3 -0.2441
= (-3 -1)+(1-0.2441)
= -4 + 0.7559
= log 10-4 + log 5.70
= log(5.70 x 10-4)
ดังนั้น N = (5.70 x 10-4)
= 0.00057