หน่วยที่ 2 ตรรกศาสตร์

1. หน่วยที่ 2
เรื่อง ตรรกศาสตร์

2. ความหมายของศัพท์ตรรกศาสตร์
คำว่ำ “ตรรกศำสตร์” ได้มำจำกศัพท์ภำษำสันสฤตสองศัพท์ คือ
ตรฺรก และศำสตฺร ตรรก หมำยถึง กำรตรึกตรอง ควำมคิด ควำมนึกคิด และ
คำว่ำ ศำสตฺร หมำยถึง วิชำ ตำรำ รวมกันเข้ำเป็น “ตรรกศำสตร์” หมำยถึง
วิชำว่ำด้วยควำมนึกคิดอย่ำงเป็นระบบ ปรำชญ์ทั่วไปจึงมีควำมเห็นร่วมกัน
ว่ำ ตรรกศำสตร์ คือ วิชำว่ำด้วย กำรใช้กฎเกณฑ์

3. การใช้เหตุผล
วิชาตรรกศาสตร์นั้นมีนักปราชญ์ทางตรรกศาสตร์ได้นิยามความหมายไว้
มากมาย นักปราชญ์เหล่านั้น คือ
1.พจนานุกรมศัพท์ปรัชญาอังกฤษ – ไทย ฉบับราชบัณฑิตยสถาน นิยามความหมาย
ว่า “ตรรกศาสตร์ คือ ปรัชญาสาขาที่ว่าด้วยการวิเคราะห์และตัดสินความ
สมเหตุสมผลในการอ้างเหตุผล”
2.กีรติ บุญเจือ นิยามความหมายว่า “ตรรกวิทยา คือ วิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์การใช้
เหตุผล”
3.”Wilfrid Hodges” นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ การศึกษาระบบ
ข้อเท็จจริงให้ตรงกับความเชื่อ”
ประพจน์ (Proposition)

4. ประพจน์ คือ ประโยคที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่ำงเดียวเท่ำนั้น
ประโยคเหล่ำนี้อำจจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่ำหรือประโยคปฏิเสธก็ได้
ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์
จังหวัดชลบุรีอยู่ทำงภำคตะวันออกของไทย ( จริง )
5 × 2 = 2 + 5 ( เท็จ )
ตัวอย่างต่อไปนี้ไม่เป็นประพจน์
โธ่คุณ ( อุทำน )
กรุณำปิดประตูด้วยครับ ( ขอร้อง )
ท่ำนเรียนวิชำตรรกวิทยำเพื่ออะไร ( คำถำม )

5. ประโยคเปิ ด (Open sentence)
บทนิยาม ประโยคเปิดคือ ประโยคบอกเล่า ซึ่งประกอบด้วยตัวแปร
หนึ่งหรือมากกว่าโดยไม่เป็นประพจน์ แต่จะเป็นประพจน์ได้เมื่อแทนตัวแปร
ด้วยสมาชิกเอกภพสัมพัทธ์ตามที่กาหนดให้ นั่นคือเมื่อแทนตัวแปรแล้วจะ
สามารถบอกค่าความจริง
ประโยคเปิด เช่น
1.เขาเป็นนักบาสเกตบอลทีมชาติไทย
2. x + 5 =15

6. ประโยคที่ไม่ใช่ประโยคเปิ ด เช่น
1.10 เป็นคาตอบของสมการ X-1=7
2. โลกหมุนรอบตัวเอง
3.จงหาค่า X จากสมการ 2x+1=8

7. ตัวเชื่อม (connective)
1. ตัวเชื่อมประพจน์ ” และ ” ( conjunetion ) ใช้สัญลักษณ์แทน Ùและเขียนแทนด้วย
P Ù Q แต่ละประพจน์มีค่าความจริง
(truth value) ได้ 2 อย่างเท่านั้น คือ จริง (True) หรือ เท็จ (False) ถ้าทั้ง P และ Q
เป็นจริงจะได้ว่า PÙQ เป็นจริง กรณีอื่นๆ P Ù Q เป็นเท็จ เราให้นิยามค่าความจริง P
Ù Q

8. 2. ตัวเชื่อมประพจน์ ” หรือ ” ( Disjunction ) ใช้สัญลักษณ์แทน V และเขียนแทนด้วย
P V Q และเมื่อ P V Q
จะเป็นเท็จ ในกรณีที่ทั้ง P และ Q เป็นเท็จเท่านั้น กรณีอื่น P V Q เป็นจริง เรา

9. ตัวอย่าง 5 + 1 = 6 V 2 น้อยกว่า 3 (จริง)
5 + 1 = 6 V 2 มากกว่า 3 (จริง)
5 + 1 = 1V 2 น้อยกว่า 3 (จริง)
5 + 1 = 1V 2 มากกว่า 3 (เท็จ)

10. 3. ตัวเชื่อมประพจน์ “ ถ้า….แล้ว” Conditional) ใช้สัญลักษณ์แทน * และเขียนแทน
ด้วย P*Q
นิยามค่าความจริงของ P*Q โดยแสดงตารางค่าความจริง
ตัวอย่าง 1 < 2 * 2 < 3 (จริง)
1 < 2 * 3 < 2 (เท็จ)
2 < 1 * 2 < 3 (จริง)
2 < 1 * 3 < 2 (จริง)

11. 4. ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” (Biconditional) ใช้สัญลักษณ์แทน « และเขียนแทน
ด้วย P«Q
นั้นคือ P«Q จะเป็นจริงก็ต่อเมือ ทั้ง P และ Q เป็นจริงพร้อมกันหรือทั้ง P และ Q เป็น
เท็จพร้อมกันตารางแสดงค่าความจริงของ P«Q
ตัวอย่าง 1 < 2 « 2 < 3 (จริง)
1 < 2 « 3 < 2 (เท็จ)
2 < 1 « 2 < 3 (จริง)
2 < 1 « 3 < 2 (เท็จ)

12. 5. นิเสธ (Negation) ใช้สัญลักษณ์แทน ~ เขียนแทนนิเสธของ P ด้วย ~P ถ้า P เป็น
ประพจน์นิเสธของประพจน์ P คือประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงข้ามกัน P
ตัวอย่าง ถ้า p แทนประโยคว่า "วันนี้เป็นวัน เสาร์" นิเสธของ p หรือ ~p คือประโยค
ที่ว่า "วันนี้ไม่เป็นวันเสาร์“
สัจนิรันดร์ (Tautology) และความขัดแย้ง (Contradiction)
1. สัจนิรันดร์ (Tautology) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอโดยไม่
ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ที่มีรูปแบบเป็นสัจนิรันดร์ เรียกว่า
ประพจน์สัจนิรันดร์ (Tautology statement)ตัวอย่างที่ 1 P® PvQเป็นสัจนิรันดร์ เรา
สามารถพิสูจน์ได้หลายวิธี

13. 2. ความขัดแย้ง (Contradiction) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ
โดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ย่อยประพจน์ที่มีรูปแบบ
เป็นความขัดแย้ง เรียกว่า ประพจน์ความขัดแย้ง (Contradicithon statement)
ตัวอย่าง P ^ ~P เป็น ความขัดแย้ง ตารางแสดงค่าความจริง
P ^ ~P มีค่าเป็นเท็จ สาหรับทุกๆ ค่าความจริงของ P
ดังนั้น P ^ ~P จึงเป็นความขัดแย้ง (Contradicithon )

14. ทฤษฎีตรรกสมมูล (Logical Equivalences)
ความรู้ประพจน์ตรรกะสมมูล (Logical equivalent- statement)
มีประโยชน์มากสาหรับการหาข้อโต้แย้งและข้อสรุปในทางคณิตศาสตร์ ซึ่ง
ในทางปฏิบัติแล้ว การสรุปเหตุผลในแต่ละรูปจะยุ่งยากมากหากไม่อาศัย
ทฤษฎี ตรรกะสมมูลในการกล่าวอ้าง ดังนั้นจึงสรุปทฤษฎีตรรกะสมมูลไว้
สาหรับใช้อ้างอิงต่อไป

15. การให้เหตุผล (Reasoning)
โดยทั่วไปกระบวนการให้เหตุผลมี 2 ลักษณะคือ
1.การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการให้เหตุ โดยนาข้อความที่กาหนดให้ ซึ่ง
ต้องยอมรับว่าเป็นจริง ทั้งหมด เรียกว่า เหตุ และข้อความจริงใหม่ที่ได้
เรียกว่า ผลสรุป ซึ่งถ้า พบว่าเหตุที่กาหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้
แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล แต่ถ้าพบว่าเหตุที่กาหนดนั้น
บังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล