55

1. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ฟังก์ชันลอการิทึม
สมบัติที่สาคัญของลอการิทึม
เมื่อ a , M , N เป็นจานวนจริงบวกที่ 1a และ k เป็นจานวนจริง
1. 1log aa 2. 01log a 3. NMMN aaa logloglog 
4. NM
N
M
aaa logloglog  5. MkM a
k
a loglog  6.
N
M
M
a
a
N
log
log
log 
7. NN
N
a
a
a loglog
1
log 1  8.
a
b
b
a
log
1
log  9. Ma Ma
log
10. M
k
M aak log
1
log 
บทนิยาม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชัน
ข้อสังเกต 1. ฐานของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ต้องเป็นจานวนจริงบวกและไม่เท่ากับ 1
2.
พิจารณา เมื่อ x เป็นจานวนจริงใด ๆ ถ้า จะได้
ซึ่งเป็นฟังก์ชันคงที่ จึงไม่ใช่ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
บทนิยาม ฟังก์ชันลอการิทึม คือ
ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ข้อสังเกต ความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ y ที่เขียนในรูป เขียนในรูปลอการิทึม
ได้ เช่น เขียนในรูปลอการิทึม ได้
เขียนในรูปลอการิทึม ได้

2. ลอการิทึมสามัญและลอการิทึมธรรมชาติ
ฟังก์ชันลอการิทึมที่สาคัญมีอยู่ 2 ชนิด คือ ลอการิทึมฐานสิบ หรือลอการิทึมสามัญ กับ
ลอการิทึมฐาน e หรือลอการิทึมธรรมชาติ
ลอการิทึมสามัญ
ลอการิทึมสามัญ คือลอการิทึมที่มีฐานเท่ากับ 10 และนิยมเขียนลอการิทึมสามัญโดยไม่ต้องมี
ฐานกากับไว้ เช่น 5log10 เขียนแทนด้วย 5log , N10log เขียนแทนด้วย Nlog , 
RN
การหาค่าลอการิทึมสามัญของจานวนจริงบวก N โดยที่ 101  N
โดยใช้ตารางลอการิทึม สิ่งที่ควรทราบจากตาราง
1. ค่าลอการิทึมที่ปรากฏในตารางเป็นค่าประมาณที่อยู่ในรูปทศนิยม 4 ตาแหน่ง
2. ตารางลอการิทึมที่กาหนดให้ จะแสดงค่าลอการิทึมสามัญของจานวน (N) ที่มีทศนิยม 2 ตาแหน่งและมี
ขอบเขตตั้งแต่ 1.00 – 9.99 เท่านั้น
3. แสดงว่าเราสามารถหาค่าลอการิทึมสามัญของจานวน (N) ที่มีทศนิยม 2 ตาแหน่ง และมีขอบเขตตั้งแต่
1.00 – 9.99 จากตารางได้ทันที เช่น 34.1log = …………………
4. ถ้าเราต้องการหาค่าลอการิทึมสามัญของจานวน (N) ที่มีทศนิยมมากกว่า 2 ตาแหน่ง และมีขอบเขตตั้งแต่
1.00 – 9.99 จะหาจากตารางโดยตรงไม่ได้ เช่น N = 1.437 จะพบว่า 1.43 < 1.437 < 1.44
การหาค่าลอการิทึมสามัญของจานวนจริงบวกใด ๆ
กาหนดให้ x เป็นจานวนจริงบวกเราสามารถหาค่า xlog ได้โดย เขียน x ให้อยู่ในรูป
n
Nx 10 เมื่อ 101  N และ n เป็นจานวนเต็ม
หลังจากที่เราเขียนจานวนจริงบวก x ให้อยู่ในรููป n
N 10 เมื่อ 101  N และ n เป็นจานวน
เต็มแล้วการหาค่า xlog สามารถทาได้โดยอาศัยคุณสมบัติของลอการิทึม ดังนี้
x = n
N 10
xlog =  n
N 10log 
= n
N 10loglog 
นั่นคือ xlog = nN log
ซึ่งเราเรียกค่าของ Nlog ว่า แมนทิสซา ( mantissa ) ของ xlog

3. และเรียกจานวนเต็ม n ว่า แคแรกเทอริสติก ( characteristic ) ของ xlog
แอนติลอการิทึม เป็นการดาเนินการที่ตรงข้ามกับการหาค่าลอการิทึม กล่าวคือ
แทนที่จะกาหนดค่า x แล้วให้หาค่า xlog แต่กลับกาหนดค่า xlog แล้วให้หาค่า x แทน ซึ่งจานวนจริง x
ที่ได้เราเรียกว่า แอนติลอการิทึม ของ xlog เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ antilog ( xlog )
เมื่อกาหนดค่า xlog เรามีวิธีการหาค่า x ได้ดังนี้
1. เขียน xlog ให้เป็นผลบวกของแมนทิสซา และแคเรกเทอริสติกของ xlog ดังนี้ xlog = Nlog + n
2. ใช้ตารางลอการิทึมสามัญหาจานวนจริง N ที่ทาให้ N = M ดังนี้
xlog = Nlog + n
= n
N 10loglog 
xlog =  n
N 10log  เพราะฉะนั้น n
Nx 10
ลอการิทึมธรรมชาติ
ลอการิทึมธรรมชาติ หมายถึง ลอการิทึมที่มีฐานเป็น e โดยที่ e เป็นสัญลักษณ์แทน
จานวนอตรรกยะจานวนหนึ่งซึ่งมีค่าประมาณ 2.7182818 ( โดยประมาณ ) และนิยมเขียน ln x แทน xelog
การหาค่า ln x เมื่อ x เป็นจานวนจริงบวก หาได้โดยอาศัยลอการิทึมสามัญ ดังนี้
ln x = xelog
ln x =
e
x
log
log
( แต่ 4343.0718.2loglog e )
ดังนั้น ln x =
4343.0
log x
=   xlog3026.2
สมการเอกซ์โพเนนเชียล และสมการลอการิทึม
สมการเอกซ์โพเนนเชียล
สมการเอกซ์โพเนนเชียล คือ สมการที่มีตัวแปรเป็นเลขชี้กาลัง ถ้าทั้งสองข้างของสมการ
สามารถทาให้ฐานของเลขยกกาลังเท่ากันได้ก็จะแก้สมการเพื่อหาคาตอบได้ ซึ่งอาศัยสมบัติของฟังก์ชัน
เอกซ์โพเนนเชียล โดยเฉพาะสมบัติความเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ช่วยในการแก้สมการ
สมการลอการิทึม

4. สมการลอการิทึม คือ สมการที่มีลอการิทึมของตัวแปร การแก้สมการเพื่อหาคาตอบของสมการ
ลอการิทึมทาได้โดยการกาจัดลอการิทึม ซึ่งอาศัยสมบัติต่าง ๆ ของลอการิทึม โดยเฉพาะสมบัติการเป็นฟังก์ชัน
*****************************************************
การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และ ฟังก์ชันลอการิทึม
เป็นการนาความรู้เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทึมไปประยุกต์ใช้ใน
สาขาวิชาอื่น ๆ ได้แก
- การเติบโตของประชากร ณ เวลาหนึ่งในกรณีที่การเพิ่มไม่ได้เป็นไปอย่างต่อเนื่องตลอดเวลา
มีสูตรดังนี้    t
rntn  10 เมื่อ n ( t ) แทน จานวนประชากรเมื่อเวลาผ่านไป t
0n แทน จานวนประชากร ณ จุดเริ่มต้น
r แทน อัตราการเติบโตของจานวนประชากรต่อเวลา
t แทน เวลา
- การสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสี ที่มีครึ่งชีวิตเท่ากับ h ปริมาณสารที่เหลืออยู่ มีสูตรดังนี้
  rt
emtm 
 0
เมื่อ m ( t ) แทน ปริมาณของสารกัมมันตภาพรังสีที่เหลืออยู่เมื่อเวลาผ่านไป t
0m แทน ปริมาณของสารกัมมันตภาพรังสี ณ จุดเริ่มต้น
h
r
2ln

- การวัดระดับความเข้มเสียง เป็นการวัดความเข้มเสียงโดยเทียบกับความเข้มเสียงที่หูคนปกติเริ่ม
ได้ยินเป็นเกณฑ์อ้างอิง ระดับความเข้มเสียง มีสูตรดังนี้
0
log10
I
I

เมื่อ  แทน ระดับความเข้มเสียงมีหน่วยเป็นเดซิเบล
I แทน ความเข้มเสียงที่ต้องการวัด
0I แทน ความเข้มเสียงที่หูคนปกติเริ่มได้ยิน ซึ่งเท่ากับ 12
10
วัตต์/ ตร.ม.
- ระดับความเป็น กรด – ด่าง ของสารละลาย มีสูตรดังนี้
 
 HpH log
เมื่อ pH แทน ระดับความเป็น กรด – ด่าง ของสารละลาย
 
H แทน ความเข้มข้นของประจุไฮโดรเจนในสารละลาย 1 ลิตร มีหน่วยเป็นโมล