Mathimatika_prosomoiwsh_madoulides_2016

1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ A
Α.1. Έστω μια συνάρτηση f, Μονάδες 9
Α.2. i. Πότε μία συνάρτηση λέγεται 1 1− ;
ii. Πότε η ευθεία 0y y= λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας
συνάρτησης στο +∞ ;
Μονάδες 3+3
Α.3. Να απαντήσετε με σωστό ή λάθος.
i. Αν η ( )f : α,α− →  είναι 1 1− τότε δεν είναι άρτια.
Μονάδες 2
ii. Αν ( )f x 0> κοντά στο 0x τότε ισχύει ( )
0x x
lim f x 0
→
> .
Μονάδες 2
iii. Αν ( )f x 0≠ , για κάθε x σε ένα διάστημα Δ τότε η f έχει σταθερό πρόσημο στο Δ.
Μονάδες 2
iv. Αν στο ( )α,β η ( )f x′ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ( ) ( )0 0α,x x ,β∪ και η f είναι συνεχής
στο 0x , τότε το ( )0f x δεν είναι τοπικό ακρότατο της f.
Μονάδες 2
v. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει ( )f x 0′ = , για κάθε *
x ∈ , τότε η f είναι σταθερή στο *
 .
Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Β
Έστω συνάρτηση f : →  η οποία είναι γνησίως μονότονη, συνεχής και τέτοια ώστε
( )
x 3
f x 4
lim 5
x 3→
−
=
−
και
( )
x 1
f x 2
lim 2
x 1→
−
=
−
. Να αποδείξετε ότι
Β.1. Η f είναι γνησίως αύξουσα
Μονάδες 5
Β.2. ( )f x 0> , [ ]x 1,3∀ ∈
Μονάδες 5
Β.3.
( ) ( )
x 3
f x 2f x 2
lim 1
x 3→
− −
=
−
Μονάδες 5
Β.4. Υπάρχει ακριβώς ένας αριθμός ( )0x 1,3∈ τέτοιος ώστε ( )
( ) ( )
0
f 2 f e
f x
2
+
=
Μονάδες 5
Β.5. Υπάρχει ( )ξ 1,3∈ τέτοιος ώστε ( ) ( ) ( ) ( )2
2f ξ f 2 f e f e= +
Μονάδες 5
____________________________________________________________________________________________________
Σελίδα 1/2

2. ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ ]1,e με ( )f 1 2= , ( )f e e 1= + και σύνολο τιμών
το [ ]1,4− . Να αποδείξετε ότι:
Γ.1. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο τιμές ( )1 2x ,x 1,e∈ με 1 2x x≠ , τέτοια ώστε ( ) ( )1 2f x f x 0′ ′= = .
Μονάδες 5
Γ.2. Υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )ξ 1,e∈ τέτοιο ώστε ( )f ξ 0′′ =
Μονάδες 5
Γ.3. Υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )0x 1,e∈ τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( )4
0 0 0 0f x f x 4f x x′ − =  .
Μονάδες 5
Γ.4. Η ευθεία y x e 2=− + + τέμνει την fC σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη να ανήκει στο
διάστημα ( )1,e .
Μονάδες 5
Γ.5. Υπάρχουν ( )1 2ξ ,ξ 1,e∈ με 1 2ξ ξ≠ τέτοια ώστε ( ) ( )1 2f ξ f ξ 1′ ′⋅ =
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Δ
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →  η οποία για κάθε x ∈ ικανοποιεί τη σχέση
( ) ( )
2 2
3 3x x
f x f x e e− −
+ = + .
Δ.1. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση για τη συνάρτηση ( ) 3
g x x x= + .
Μονάδες 5
Δ.2. Να δείξετε ότι ( )
2
x
f x e−
= , x ∈ .
Μονάδες 3
Δ.3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ( )
( )
( )
1
φ x ef x
f x
= − , x ∈ ως προς την μονοτονία και τα
ακρότατα.
Μονάδες 3
Δ.4. Να αποδείξετε ότι
( )
( )
1 0
0 1
1
dx e f x dx e 1
f x
+ < −∫ ∫ .
Μονάδες 2
Δ.5. Έστω ( )F x μια παράγουσα της f στο  , με ( )F 1 0= να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
( )
1
0
F x dx∫ .
Μονάδες 3
Δ.6. Έστω ( )
( )
1
h x
f x
= στο [ ]0,1 .
i. Να δείξετε ότι η h αντιστρέφεται και να βρείτε την 1
h−
Μονάδες 3
ii. Αν 1Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη hC , τους άξονες x΄x , y΄y και την
ευθεία x 1= και 2Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη 1
h
C − , τον άξονα x΄x και τις
κατακόρυφες ευθείες στα άκρα του διαστήματος που ορίζεται η 1
h−
, να δείξετε ότι 2 1Ε Ε e+ =.
Μονάδες 6
____________________________________________________________________________________________________
Σελίδα 2/2