Dokumen tersebut membahas tentang definisi peluang secara klasik dan empiris serta sifat-sifat dasar peluang seperti nilai peluang minimal dan maksimal, hubungan antara peluang suatu peristiwa dan peluang terjadi atau tidak terjadinya peristiwa tersebut, serta hubungan peluang beberapa peristiwa yang saling asing atau tidak. Dokumen ini juga menjelaskan tentang distribusi peluang diskrit dan kontinu beserta contoh p

1. PELUANG DAN DISTRIBUSI PELUANG
• PENGANTAR PELUANG
Definisi secara klasik,
Peristiwa E dapat terjadi, sebanyak n kali diantara N peristiwa
yang saling asing dengan kesempatan yang sama maka peluang
E, adalah
P(E)
n(E)
n(S)
n
N
E
Contoh
Sebuah dadu bermuka enam di tos, maka
a. tentukan semesta pembicaraanya :
b. Bila kejadian yang terjadi E = muka dadu bermata 4, maka P(E)
?
Jawab . S = { 1, 2, 3, 4, 5 dan 6}
E= {- - - }, jadi P(E) = - - - ?

2. •
•
Pengantar Peluang
S
E
Definisi secara klasik, peristiwa E dapat terjadi sebanyak
n kali diantara N = n(S) peristiwa yang saling asing dengan
kesempatan yang sama maka peluang E, adalah :
Bahasa Himpunan : S = himp semesta
n(E) = n dan n(S) = N ,
Contoh 1. Seduah dadu dilempar,
a. tentukan semua peristiwa yang terjadi !
b. bila yang terjadi muncul angka 4, maka tentukan peluangnya !
Jawab.
a.S ={ 1,2,3,4,5,6 },
b. E={4}. C. Peluang E atau P(E) = n(E)/n(S) = 1/6
c. Bagaimanakah P( muka dadu angka genap yang muncul ) = - - - ?

3. Definisi secara empiris,
adalah limit dari frekuensi relatif dengan banyaknya pengamatan
yang bertambah besar secara tak terhingga.
• Contoh, 1.
•
Telah diketahui oleh semua orang bahwa peluang kelahiran seorang anak laki dari
seorang ibu yang melahirkan adalah 0.5. Berdasar pengalaman didapat 60 anak laki dari 100 ibu
yang melahirkan, maka peluang anak laki yang lahir 60/100( sebagai frekuensi relatif ( fr)) ; dari
1000 ibu yang melahirkan terdapat 545 anak laki lahir maka peluang anak laki lahir 545/1000 =
0,545( fr); bagaimnakah bila 100.000 ibu melahirkan, maka peluang anak laki lahir = - - -,
Bagaimnakah bila banyak ibu makin besar sekali atau bahasa matematika
n ∞
maka peluang anak laki lahir akan mendekati 0,5
• Kejadian di atas dpt ditabelkan sbb:
•
Banyaknya Ibu
100
1000
10000
---
Anak Laki
60
545
5102
---
Frekuensi Relatif
0,60
0,545
∞
---
0,50
• Jadi Limit frekuensi relatif = 0,5 untuk n makin besar

4. Sifat dasar dari peluang
Peluang terjadinya peristiwa E ditulis P(E)
E
Nilai 0
P(E)
1,
Jika P(E) = 0 maka peristiwa E mustahil terjadi dan
Jika P(E) = 1 maka peristiwa E pasti terjadi
P(bukan E) = P( ) E 1 - P(E) atau P(E) + P( ) = 1 E
=
 Jumlah semua peluang yang saling asing adalah
satu, Jika n buah peristiwa E1, E2, ....., En yang
saling asing maka
P(E1 atau E2 atau - - -atau En) = P(E1) +P(E2) + --- + P(En);
 Bagaimanakah bila dua himpunan tidak saling asing ? Lanutkan
ke berikutnya .
,

5. • Dua kejadian
S
Kejadian A dan B tidak saling asing, A
A
A
P( A

B
{ }, maka
B ) = P(A) + P(B) – P(A  B)
B
B
Kejadian A dan B saling asing atau A  = { },
B
maka P( A B ) = P(A) + P(B)
Contoh2. RSU Subandi merekrut tenaga kesehatan, seleksi dilakukan
terhadap 4 pelamar terdiri dari dokter laki-laki, dokter wanita, laki-laki bukan
dokter dan wanita bukan dokter; maka masing-masing memilki peluang sbb:
P(wanita) = 2/4 ; P(laki-laki) = 2/4 ; P(dokter) = 2/4 ; P(dokter wanita) =1/4;
P(dokter laki) ¼.
Hitung a. P( wanita atau dokter) = - - -? b. P(wanita atau laki) = - - - ?

6. • P(wanita) = 2/4 ; P(laki-laki) = 2/4 ; P(dokter) = 2/4 ;
laki) ¼.
P(dokter wanita) =1/4 ; P(dokter
Jawab:
a. P( wanita atau dokter) = P(wanita) + P(dokter) – P(dokter wanita)
= ----
+ ----
- - - - = - - - - ( 0,75)
b. P(wanita atau laki) = - - - ?
Peluang Bersyarat :
Suatu kejadian mempunyai hubungan bersyarat, bila suatu kejadian B terjadi setelah
kejadian lain,misal A terjadi, ditulis
P(B|A) =
P( A B)
P ( A)
atau P(A B) = P(A).P(B|A)
Namun, bila dua kejadian bebas (indipenden), maka
P(B|A) = P(B)
P(A
atau P(A|B) = P(A).
B) = P(A).P(B) dibaca peluang A dan B terjadi

7. Contoh 1.
Bekerja
Menganggur
Laki
200
40
Perempuan
40
140
Kejadian : L = laki-laki ; B = Bekerja
Tentukan P(L|B) = - - Jawab.
P(B) = - - P(L
B) = - - -
P(L|B) = - - Atau P(L|B ) = 200/240 = 5/6 atau - - - %
Bagaimnakah dengan P(B|L) ?
Tentukan P(W|M), bila W wanita, M = menganggur

8. • Contoh2.
Peluang pasien DB ditangani tepat pada waktunya P(D) adalah 0,83
dan peluang Pasien DB selesai ditangani tepat waktunya sebesar
0,92 serta peluang pasien darurat ditangani dan selesai tepat
waktunya sebesar 0,78
A. hitung peluang pasien DB selesai ditangani tepat waktunya, bila
DB ditangani tepat waktunya,
B. Hitung peluang DB ditangani tepat waktunya, bila DB selesai
ditangani tepat waktunya.
*Contoh3.
Sebuah kecamatan mempunyai 1 mobil kebakaran dan 1 mobil
ambulan. Peluang mobil kebakaran digunakan saat diperlukan
sebesar 0,86 , sedangkan peluang ambulan digunakan saat
diperlukan sebesar 0,92. Dalam hal terjadi kecelakaan akibat
kebakaran, maka a. hitunglah peluang ambulan dan mobil
kebakaran itu digunakan ? P( MK MAM) = P(MK) .P(MAM)
(0,901)

9. • Contoh 4. Misalkan kita mempunyai mangga dalam satu
keranjang memuat 80 buah, yang rusak 12 buah.
Bila 2 mangga diambil secara acak dan tanpa pengembalian,
berapa peluang:
a. Berapa peluang buah yang terambil ke duanya rusak,
b. Berapa peluang buah yang terambil satu rusak dan satu tidak,
• Contoh 5. Misalkan kita mempunyai mangga dalam satu
keranjang memuat 80 buah, yang rusak 12 buah. Bila 2
mangga diambil secara acak dan dikembalikan,
a. Berapa peluang buah yang terambil ke duanya rusak,
b. Berapa peluang buah yang terambil satu rusak dan satu tidak,

10. • DISTRIBUSI PELUANG
Suatu undian dengan dua mata uang, maka peristiwa yang akan terjadi adalah : GG,
GA, AG, AA, sehingga P(GG) = P(GA) = P(AG) = P(AA) = ¼ . Jika X menyatakan
banyak muka G, maka X = 0, 1, 2, dengan demikian P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) =
¼ atau
X
P(X)
0
1
2
¼
½
¼
jumlah
1
X yang memiliki peluang, bersifat variabel, dan
harga variabel X = 0, 1, 2, 3, ... disebut variabel acak diskrit,
sedangkan harga X yang tidak diskrit disebut variabel acak kontinue.
Pada variabel acak kontinue memiliki suatu fungsi densitas
(kepadatan) sebut f(x), bila dipenuhi :
n
p( x i )
1
f ( x ) dx
i 1
X diskrit
X kontinu
Dengan p(x) sebagai fungsi peluang dan f(x) fungsi densitas
1

11. •
1.
Dsitribusi peluang diskrit
Tiga orang ibu melahirkan ,maka tentukan semua
peristiwa yang mungkin terjadi,
a. susunlah tabel distribusi peluang P (x), bila x sebagai
variabel banyaknya anak laki-laki yang terjadi.
b. Tunjukkan P(X) fungsi peluang
c. Hitung P(x= 2)
d. Hitung P( paling sedikit satu anak laki yang lahir)
e. Hitung P(1 ≤ x < 3)
Jawab.

12. 2. Perawat RSU Kota X berjumlah 50 orang, peluang distribuasi x
dikonstruk seperti pada tabel, x jumlah anak perkeluarga perawat
tersaji pada tabel sbb:
x
f
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
4
6
4
9
10
7
4
2
2
1
50
P(X = x)
a. Lengkapi nilai peluang, kemudian
sketsa grafik distribusi peluang ?
b. Tunjukkan
n
p ( xi )
i 0
c. Hit P(x=4 atau x = 3)
d. Hit P(X ≤ 4)
e. Hit P(X > 4)
f.Hit P( 3 ≤ x < 7)
1

13. 3. Peristiwa, dua dadu dilempar sekaligus, dan variabel x
menyatakanjumlah mata dadu, maka
a. Buatlah tabel peluang distribusinya ?
b. Tunjukkan bahwa P(x) fungsi kepadatan peluang!!
c. Tentukan P( x=2)
d. Tentukan peluang P(x ≥ 4)
e. Tentukan peluang x ≤ 10
f. Tentukan P(x ≤ 10 dan dadu pertama adalah angka 4)

14. Distribusi Peluang kontinu
Untuk menentukan peluang harga X = x antara a dan b adalah :
b
P (a X b )
f ( x ) dx
a
Contoh 1. Sebuah variabel acak kontinue x mengambil nilai antara x =
2 dan x = 4, mempunyai fungsi densitas f(x) = (x + 1)/8
a.
Sketsa grafik f,
b.
Tunjukkan f(x) fungsi kepadatan probabilitas?
c.
Hitung P(2 < X < 3 ) !
d.
Hitung P(0 < X < 3) !
Penyelesaian :
a.
Karena type variabel ini adalah kontinue maka
b.
Silahkan coba

15. • Semacam alat elektronik mempunyai daya pakai X (dalam ribuan
jam) yang mengikuti pola atau distribusi : f(x) = e-x untuk x > 0.
A. Sketsa grafik f
B. Tunjukkan apakah fungsi tersebut fungsi kepadatan peluang ?
C. Berapa prosen diperkirakan alat tersebut memilki daya pakai : c.1
paling lama 10 ribua jam
c.2 anatar 2000 sanpai 4500 jam
c.3 lebih dari 2500 jam

16. DISTRIBUSI PELUANG
Distribusi Peluang Diskrit
• Distrubusi Binomial
• Distribusi multinom.
• Distribusi Hypergeometrik
• Distribusi Poisson
Distribusi Peluang Kontinu
Distribusi Normal
Distribusi t student
Distribusi X2 (Khi Square)
Distribusi F

17. •
Distribusi Binomial
Dari suatu percobaan yang terdiri atas n peristiwa, dimana setiap peristiwa
hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal, bila peluang berhasil
dilambangkan dengan p dan (1-p) gagal. Permasalahan; peluang untuk sukses
sebanyak x dari n percobaan di tulis
p(x) = P(X = x) =
n p x (1 p)n
x dengan
x
n
x
n!
x!(n x)!
Program 5
1.Di sebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau
sebangsanya ternyata melatarbelakangi 70% peristiwa pencurian
yang terjadi. Berapa peluang bahwa tepat 2 diantara 5 kasus
pencurian berikutnya dilatarbelakangi oleh keperluan uang untuk
membeli ganja ?
2. Peluang seorang mahasiswa yang baru masuk Pend. Biologi FKIP Unej,
akan lulus tepat pada waktunya 0,60. Tentukan berapa peluang dari 10
akan lulus tepat pada waktunya ;
a. Tidak seorang pun b. 5 orang mahasiswa,
c. Paling sedikit 5 orang mahasiswa, d. tidak lebih dari 5 orang
e. tidak lebih dari seorang .

18. Penyelesaian:
1. Diketahui p = 70 % = 0,70
P(X=2) = b(2; 5; 0,70) =
q = 1 – p = 0,30
4
?.....
2
Jadi peluang yang ditanya adalah ...
σ
npq
Parameter distribusi binomial adalah dan ,
dimana = np dan
Dsitribusi Multinomial
Jika percobaan dilakukan sebanyak “n” kali,
peristiwa E1, x2 peristiwa E2, ... xk peristiwa Ek
diantara n, ditentukan oleh
n!
p
x ! x 2 !.... k !
x
x1
x
p 2 2 ...p k
xk

19. Program 6
Bila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah
mata dadu 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada
kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya 3 kali
Penyelesaian :
Misal :
E1 : jumlah mata dadu 7 atau 11= {(2,5),(3,4),(4,3),- - -,(5,6)}
E2 : bilangan yang sama pada kedua dadu ={(1,1)---, (6,6)}
E3 : kemungkinan lainnya selain dua diatas
Maka n(E1) = - - Dalam setiap percobaan, peluang masing-masing kejadian adalah p1 =
2/9,
p2 = 1/6 dan p3 = 11/18, dengan menggunakan distribusi multinom
dan x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3 maka peluang yang ditanyakan :
P(2,1,3)
6! 2
2!1!3! 9
2
1
1
6
11
3
18
0,1127

20. • Distribusi Hypergeometrik
Dua sifat percobaan hipergeometrik adalah :
 Suatu sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N
 k dari N benda diklasifikasikan sebagai berhasil dan N – k benda
diklasifikasikan sebagai gagal
Fungsi peluang dari distribusi ini adalah
untuk x = 0, 1, 2, ..., n
k
p( x)
N
k
x
n
N
x
n
Program 7
Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge, berapa
peluang diperoleh 3 kartu hati ?
Solusi :
Dengan distribusi hipergeometrik untuk n = 5, N = 52, k = 13 dan x =
3, silahkan anda coba berapa peluang memperoleh 3 kartu hati

21. Distribusi Poisson
Ciri:
1. Percobaan terjadi pada daerah tertentu atau selang waktu tertentu,
tidak dalam pada selang waktu dan daerah yang terpisah..
2. Peluangnya sebanding dengan panjang selang atau daerah
tersebut, dan tidak bergantung pada diluar selang waktu atau
daerah tsb
3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan terjadi dalam waktu
yang singkat dan daerah yang kecil dapat diabaikan.
Distribusi yang terjadi dalam daerah tertentu dan selang waktu
tertentu,
P(X=x) = P(x, ) =
e .
x!
x
= Rata-rata dan e = bilangan tetap = 2,7183

22. Program 8
1. Seorang administrator rumah sakit, setelah mempelajari
kejadian darurat di tahun-tahun lampau, menyimpulkan bahwa
kejadian darurat menyebar menurut distribusi Poisson. Catatan
rumah sakit tersebut menunjukkan kejadian darurat terjadi ratarata 3 kali perhari selama periode tersebut. Jika administrator
tersebut benar menurut distribusi Poisson, maka tentukan
probabilitas tepat ada 2 kejadian darurat akan terjadi pada hari
yang diberikan
2. Berdasar hasil diagnosis Cancer Rahim di RSU A diketahui rerata
yang terjadi pada setiap tahunnyasebesar 13 kasus. Bila sebaran
berdistribusi Poisson, maka hitung peluang hasil diagnisis baru
akan :
a. Tepat terjadi 10 kasus Cancer rahim (CR),
b. Tidak lebih dari 12 kasus CR,
c. Paling sedikit 7 kasus CR,
d. Kurang dari 8 kasus CR,
e. Diantara 7 dan 15 kasus CR

23. Penyelesaian :
1. Ambil = 3 dan X sebagai variabel random
yang menunjukkan jumlah kejadian darurat
setiap hari. Jika X mengikuti distribusi Poisson,
maka :
P( X
2)
f (x)
e 3 32
2!
0,050 9
2 1
0,225
2. = 13
a. P(10, 13) = - - Hubungan antara distribusi binomial dan Poisson
Jika dalam hal distribusi binom, N cukup besar dengan
peluang p maka = Np

24. 1. Dsitribusi Normal
1. Fungsi kepadatan probabilitas X = x
adalah
1
2
f(x) =
1
e
2
x
2
Dimana
- ∞ < x < ∞ , parameter rerata =µ , simpangan baku =
, e = 2,71---
Sifat-sifat:
Grafik.
1.
f(x) > 0
2. µ=Me=Mo
Y=(fx)
3. Semitri terhadap x = µ
4.
50 %
50 %
x
x = µ=Mo =Me
Luas daerah dibawah kurva =1
1
2
1
e
x
2
2
dx
1

25. 2. Peluang harga X untuk a ≤ x ≤ b ditulis :
b
P(a
X
b)
a
a
1
2
1
e
x
2
b
(Luas daerah yang yang diarsier)
Bagimanakah P( x > a) = - - - ?
a. Tunjukkan rumus integralnya,
b. Tujukkan daerah dibawah kurvanya
2
dx

26. 3. Distribusi normal Standart
Distribusi normal dari variabel acak x  f(x)
Var Acak Distr.Normal
(X)
Var Acak Distr.Normal
(Z)
Transformasi
Dg
f(x)  f(z) =
1
2
z
e
x μ
σ
1 2
z
2
dan - ∞< z < ∞
disebut distribusi normal standart atau distribusi normal
baku atau normal satuan, dimana µ = 0 dan = 1.
1
2
e
1 2
z
2
dz
1
z
µ=0
Bag Peluang z ?

27. • P(a ≤ z ≤ b) = - - -?
z2 b
z1 a
1
2
e
1 2
z
2
dz
Dimana Z berdistribusi normal standart
Bagaimanakah cara berhitung Nilai peluangnya, gunakan daftar . Anda
tidak perlu menggunakan rumus integral.
Contoh:
1. Diberikan z distribusi standart, maka hitung :
a. P( 0 ≤ z ≤ 2) b. P( z ≤ 2)
e. P( Z ≥ 2,71)
c. P (z > 2) d. P (-2 < z < 2 )
f. P( z < -0,55)
g. P(z = 0,74)
h. P( 0,84 <z<2,45)
( tunjukkan secara geometris daerah peluang tersebutr di atas )
2. Carilah nilai z1 atau z2, bila diberikan z berdistribusi normal standart
a. P(z > z1) = 0.0384 b. P(z ≤ z1) = 0,0055 c. P(z1 ≤ z ≤ 2,98) = 0,1117
d. P(-2,67 ≤ z ≤ z1) = 0,9718
e. P(-z1 < z< z1) = 0,8132

28. Penggunaan
1.Terapi pisik mempercayai bahwa skor tes ketangkasan didekati
oleh distribusi normal dengan rata-rata 10 dan standart
deviasi 2,5. Bila diambil secara acak dari hasil tes individu
tersebut, maka hitung peluang bahwa seseorang mempunyai
skor lebih dari 15 ?
2. Diketahui populasi berat pasien didekati oleh distribusi normal
dengan rata-rata 140 pound dan standart deviasinya 25 poun.
Tentukan peluang berat pasien, bila
a. Berada diantara 100 dan 170 pound,
b. Lebih dari 165 pound
Jawab no.1
µ=10
z=0
x=15
z=?
Transformasi
Dg
z
x μ
σ
Jadi P(X> 15) = --- = P(Z > z1) = - - - gunakan daftar

29. Program 3
778 800
834 800
z
0,55 dan z
0,85
40 listrik memproduksi bohlam
40
Sebuah perusahaan alat
yang umurnya menyebar normal dengan rata-rata 800
jam dan simpangan baku 40 jam. Hitung peluang sebuah
bohlam hasil produksinya akan mencapai umur 778 dan
834 jam.
1
Penyelesaian :
Diketahui = - - - dan
2
= - - - sehingga :
P(778<X<834) = P(- - -< Z <- - -) berdasarkan tabel untuk
distribusi normal maka luas daerah yang perlu adalah - -+---=---

30. Hubungan binomial dengan distribusi normal,
mean = np dan varians = np(1-p), jika X variabel acak diskrit
binomial maka dalam transformasi z harus dilakukan pengurangan
atau penjumlahan 0,5 pada variabel x, dimana
z
x np
npq
Program 10
Sebuah ujian terdiri atas 200 pilihan berganda, masingmasing dengan 4 kemungkinan jawaban tetapi hanya 1
yang benar, seseorang yang menjawab secara acak 80
diantara 200 soal yang sama sekali tidak diketahuinya.
Berapa peluang :
1. Mendapatkan dari 25 sampai 30 jawaban yang benar
2. Mendapatkan lebih dari 30 jawaban yang benar
3. Mendapatkan kurang dari 18 jawaban yang benar

31. Solusi :
Untuk menyelesaikan masalah ini, dapat memanfaatkan
hubungan distribusi binomial dengan distribusi normal
karena dalam hal ini terdapat sampel yang berukuran
besar dan berdistribusi binomial.
(silahkan coba)

32. f(t)
K
t2
1
n 1
1 n
2
Distribusi Student (t)
Selain distribusi normal, distribusi t juga bertype
kontinue dan memiliki fungsi densitas
t
Untuk harga n yang besar distribusi t mendekati
distribusi normal.
Bentuk grafiknya sama dengan grafik distribusi
normal yang simetrik terhadap t = 0

33. Dimana -~ < t < ~ dan k suatu bilangan tetap.
n – 1 adalah derajat kebebasan (dk) yaitu kemungkinan banyak
pilihan dari sejumlah obyek yang diberikan.
Bila xdan s masing-masing adalah rata-rata dan simpangan baku
suatu sampel acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi
normal dengan dan , maka :
x μ
t
s
n
Grafik distribusi t
P(T < tp) = p
∂ = 1 – p = 1 - P(T < tp)
p
∂
tp

35. Distribusi Chi Kuadrat
Fungsi densitas : F(u) = K.u1/2 v – 1 e-1/2 U
dengan :u = 2 , u >0
= dk = derajat kebebasan = n – 1
K = bilangan tetap dan e = 2,7183
Bentuk grafiknya adalah model positif atau miring ke kanan, jika
derajat kebebasan makin besar maka kelandaian (keruncingan)
makin berkurang
p
2
p

36. Soal
1.
Hit X20,99
untuk dk 19
= X2- - Berdasar gambar yang diarsier sbb:
a. Bila luas daerah yang diarsier
disebelah kiri 0,25 artinya p = - - -,
maka X2 0,25; 15 = - - b. Bila luas daerah yang diarsir di
sebelah kanan = 0,025 , artinya p
= - - -,maka X2- - - = - - Xp2
Xp2

37. Distribusi F
Fungsi densitas :
f (F )
F
K
1
1
Y1 2
2
Y1F
Y1
1
Y1 Y2
2
F> 0, K bilangan tetap yang tergantung pada nilai Y1 dan Y2 dimana Y1
adalah dk untuk pembilang dan Y2 adalah dk untuk penyebut
Grafik distribusi F
p
Fp

38. Nilai-nilai F dengan peluang 0.99 atau 0.95 maka dapat
menggunakan :
F(1
p)
(Y1 , Y2 )
1
Fp (Y2 ,Y1 )
Contoh :
Dengan dk pembilang = 9 dan dk penyebut = 20, carilah nilai F
sehingga luas :
1.
Dari F ke kanan 0.01
2.
Dari F ke kanan 0.05
3.
Dari F ke kiri 0.99
Penyelesaian :
1.
Dari F ke kanan 0.01 berarti p = …… sehingga F…(9,20) = ………
(dari tabel)
2.
Silahkan coba
3.
Dari F ke kiri 0.99 berarti
F(1-0.99)(9,20) = ….. (dari tabel)