Probabilitas Diskrit

1. Tri Rahajoeningroem, MT
Jurusan Teknik Elektro
UNIKOM
BEBERAPA DISTRIBUSI
PROBABILITAS DISKRET
1

2. Pengantar:
Penyajian distribusi probabilitas dalam bentuk grafis, tabel atau
melalui rumusan tidak masalah, yang ingin dilukiskan adalah perilaku
(kelakuan) perubah acak tersebut. Sering kita menjumpai,
pengamatan yang dihasilkan melalui percobaan statistik yang berbeda
mempunyai bentuk kelakuan umum yang sama.
Oleh karena itu perubah acak diskret yang berkenaan dengan
percobaan tersebut dapat dilukiskan dengan distribusi probabilitas
yang sama, dan dapat dinyatakan dengan rumus yang sama.
Dalam banyak praktek yang sering kita jumpai, hanya
memerlukan beberapa distribusi probailitas yang penting untuk
menyatakan banyak perubah acak diskret.
2

3. 3
Daftar Isi Materi:
• Distribusi Seragam Diskret
• Distribusi Binomial dan Multinomial
• Distribusi Hipergeometrik
• Distribusi Poisson

4. 5.1. Distribusi Seragam Diskret
Distribusi probabilitas yang paling sederhana adalah yang
semua perubah acaknya mempunyai probabilitas yang sama.
Distribusi ini disebut distribusi probabilitas seragam diskret.
Definisi (5.1)
Jika perubah acak X mendapat nilai dengan
probabilitas yang sama , maka distribusi probabilitas diskret diberikan
oleh:
Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang menunjukan bahwa
distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter x
Tabel 5.1. Distribusi proabilitas X
1 2 k
x ,x ,.....,x
1 2
1
k
f(x;k) ; untuk x x ,x ,.....,x
k
 
x 1 2 3 4 5 6
F(x;k)=f(x) 1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
4

5. Contoh (5.1)
Sebuah dadu seimbang dilemparkan satu kali, maka tiap unsur
dalam ruang sampel S={1, 2,3 4, 5, 6}. Muncul dengan probabilitas 1/6.
Jadi jika X menyatakan mata dadu yang muncul, maka X terdistribusi
peluang seragam (uniform) yakni f(x;6)=1/6, untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Teorema (5.1)
Nilai rata-rata (mean) dan variansi distribusi seragam diskret
f(x;k) adalah
Mean(X),
Varian(X); atau
Bukti sbb:
1
1
k
i
k
i
x

 

2 2
1
1
k
i
k
i
(x )

 

  2 2 2
E(X )
 
 
5

6. Menurut definisi,
dan
1 1
1 1 1
k k k
i i i
k k
i i i
E(X) x f(x;k) x ( ) x
  
   
  

2 2 2 2 1
1 1
2
1
1
k k
i i k
i i
k
i
k
i
E(X ) (x ) f(x;k) (x ) ( )
(x )
 

     
 
 

   

Contoh (5.2)
Cari mean dan variansi dari contoh (5.1)
Jawab: 1 2 3 4 5 6
3 5
6
.
    
 

2 2 2 2 2 2
2
35
12
1 3 5 2 3 5 3 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 5
6
( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )
          



6

7. 5.2. Distribusi Binomial dan Multinomial
Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap
usaha, memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-
kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan percobaan
bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari
percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses
Bernoulli. Jadi proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut:
1. Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang
2. Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan
menjadi 2-kategori, sukses atau gagal
3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari
satu usaha ke usaha berikutnya.
4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.
7

8. Contoh (5.3)
Tiga barang diambil secara acak dari hasil produksi pabrik,
diperiksa, dan yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat.
Misalkan yang cacat disebut cacat. Maka banyaknya kesuksesan
mer upakan perubah acak X dengan nilai nol sampai 3.
Tabel 5.2.
C=cacat ; T=tidak cacat (baik)
Karena barang diambil secara acak, dan
misalkan dianggap menghasilkan 25%
barang cacat, maka
Probabilitas untuk hasil kemunkinan yang lain dilakukan dengan
jalan ang sama.
Hasil X
TTT
TCT
TTC
CTT
TCC
CTC
CCT
CCC
0
1
1
1
2
2
2
3
3 3 9
1
4 4 4 64
P(TCT) P(T)P(C)P(T) ( )( )( )
  
8

9. tabel 5.3 Distribusi probabilitas X
Percobaan Binomial
Banyaknya X yang sukses dalam n-usaha Bernoulli disebut “perubah
acak binomial”, dan distribusi dari perubah acak ini disebut “distribusi
Binomial”. Jika p menyatakan probabilitas kesuksesan dalam suatu
usaha, maka distribusi perubah acak X ini dinyatakan dengan b(x;n,p).
Karena nilainya bergantung pada banyaknya usaha (n)
Misalnya: X= banyaknya barang yang cacat.
Selanjutnya menentukan rumus yang memberikan proailitas x sukses
dalam n-usaha suatu pecobaan binomial b(x;n,p)
9
1
4 64
2 2 2 3
P(X ) f( ) b( ; , )
   
x 0 1 2 3
f(x) 27
64
9
64
27
64
1
64
9

10. Probabilitas x kesuksesan dan n-x kegagalan dalam urutan tertentu.
Tiap kesuksesan dengan probabilitas p dan tiap kegagalan dengan
probabilitas q=1-p . Banyaknya cara untuk memisahkan n-hasil
menjadi dua kelompok, sehingga x hasil ada pada kelompok
pertama dan sisanya n-x pada kelompok kedua, jumlah ini
dinyatakan sebagai Karena pembagian tersebut saling terpisah
(bebas) maka probabilitasnya adalah
n
x
 
 
 
x n x
n
p q
x

 
 
 
Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan kesuksesan dengan
probabilitas p dan kegagalan dengan probabilitas q=1-p, maka
distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu banyaknya
kesuksesan dalam n-usaha bebas adalah
0 1 2
x n x
n
b(x;n,p) p q ;x , , ,....,n
x

 
 
 
 
10

11. Suatu cara penyajian yang lain dari tabel 5.2 : n=3 dan 1
4
p 
3
1
4
3
3 0 1 2 3
x x
b(x; , ) p q ;x , , ,
x

 
 
 
 
Contoh (5.4)
Suatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu
dengan probabilitas 0.75. Hitung probabilitas bahwa tepat 2 dari 4
suku cadang yang diuji tidak akan rusak.
Jawab:
Misal tiap pengujian saling bebas
11
2
2
2
3 3 3 27
1 4
4 4 4 2 2 128
4
4
2 4
2
!
! !
b( ; , ) ( ) ( )
 
  
 
 
Catatan:
0
1
n
x
b(x;n,p)




12. 12
Contoh (5.5)
Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah
operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini,
berapa peluang:
a). sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh
b). ada 3 sampai 8 orang yg sembuh
c). tepat 5 orang yg sembuh
Jawab:
Mis: X = menyatakan banyaknya orang yg sembuh
Diket : p = 0.4 n = 15
a).
Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338
 
9
0
10 1 10 1 0 1 9
1 15 0 4
1 0 9662
0 0338
x
P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X )
b(x; ; . ) lihat tabel
.
.

          
  
 



13. 13
b)
Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh = 0.8779
8 2
0 0
3 8 8 2
15 0 4 15 0 4
0 9050 0 0271
0 8779
x x
P( X ) P(X ) P(X )
b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel
. .
.
 
     
  
 

 
c)
Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859
5 4
0 0
5 5 15 0 4 5 4
15 0 4 15 0 4
x x
P(X ) b( ; ; . ) P(X ) P(X )
b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel
0.4032 - 0.2173
0.1859
 
     
  


 

14. 14
Tabel 5.4 Cara menggunakan tabel binomial
n r p
0.01 . . . . . . . 0.4 . . . . . . . . .
15 1
2 0.0271
:
:
:
8 0.9050
9 0.9662
:
:
15
9
0
15 0 4 0 9662
x
b(x; ; . ) .

 

Untuk n=15, p=0.4 ;
2
0
15 0 4 0 0271
x
b(x; ; . ) .



8
0
15 0 4 0 9050
x
b(x; ; . ) .




15. 15
Cara lain mencari nilai distribusi Binomial:
Gunakan software R , langkahnya sbb:
> pbinom(9,15,0.4)
[1] 0.9661667
> pbinom(8,15,0.4)
[1] 0.9049526
> pbinom(2,15,0.4)
[1] 0.027114
> pbinom(5,15,0.4)
[1] 0.4032156
> pbinom(4,15,0.4)
[1] 0.2172777
Teorema(5.2)
Distribusi Binomial b(x;n,p) mempunyai rata-rata dan variansi
sbb:
dan
np
 
2 npq
 

16. 16
Contoh (5.6)
Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.5) kemudikan
gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang 2
 

Jawab:
Dari contoh 5.6 diketahui n=15 dan p=0.4
Diperoleh:
dan
Menggunakan teorema Chebyshev adalah
Jadi, selang yang ditanakan adalah dari 2.206 sampai 9.794
15 0 4 6
( )( . )
  
1 897
.
 
2 15 0 4 0 6 3 6
( )( . )( . ) .
  
2
 

2 9 794 2 2 206
. dan .
   
   

17. 17
Percobaan Multinomial
Percobaan binomial akan menjadi percobaan multinomial jika
tiap usaha dapat memberikan lebih dari 2 hasil yang mungkin. Misalnya
hasil produksi pabrik dapat dikelompokan menjadi barang baik, cacat,
dan masih bisa diperbaiki.
Bila suatu usaha dapat menghasilkan k macam hasil
Dengan probabilitasnya maka distribusi perubah acak
yang menyatakan banyaknya kejadian
Dalam n-usaha bebas adalah
Dengan dan
1 2 k
E ,E ,....,E
1 2 k
p ,p ,....,p
1 2 k
X ,X ,....,X 1 2 k
E ,E ,....,E
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
k
k
x x x
k; k
k
n
f(x ,x ,...,x p ,p ,...,p ,n) p p ...p
x ,x ,...,x
 
  
 
1
k
i
i
x n


 1
1
k
i
i
p




18. 18
Contoh(5.7)
Dua buah dadu dilantunkan 6 kali, berapa probabilitas akan
mendapatkan jumlah 7 atau 11 muncul dua kali, sepasang bilangan
yang sama satu kali, dan kominasi lainnya 3 kali?
Jawab:
Misal: E1= muncul jumlah 7 atau 11 p(E1)=2/9
E2= muncul pasangan bilangan yang sama p(E2)=1/6
E3= muncul selain E1 maupun E2 p(E3)=11/18
Nilai initidak berubah dari ke6-usaha. Menggunakan distribusi
multinomial dengan x1=2, x2=1 dan x3=3 diperoleh:



     
2 1 3
2 1 11 2 1 11
9 6 18 9 6 18
3
6 4 1 11
2 1 3 81 6 3
18
6
2 1 3 6
2 1 3
0 1127
!
! ! !
f( , , ; , , , )
, ,
.
 
  
 
 

19. 19
5.3. Distribusi Hipergeometrik
Perbedaan distribusi binomial dengan distribusi multinomial
terletak pada cara pengambilan sampelnya. Penggunaan distribusi ini
hampir sama dengan distribusi binomial. Misalnya distribusi binomial
diterapkan pada sampling dari sejumlah barang (sekotak kartu,
sejumlah hasil produksi) sampling harus dikerjakan dengan
pengembalian setiap barang setelah diamati. Sebaliknya distribusi
hipergeometrik tidak memerlukan kebebasan dan didasarkan pada
sampling tanpa pengembalian.
Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat:
1. Sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian dari N
benda.
2. Sebanyak k-benda dapat diberi nama sukses dan sisanya N-k
diberi nama gagal.

20. 20
Distribusi Hipergeometrik
Distribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yang
menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak dengan
ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k
gagal dinyatakan sebagai:
0 1 2
k N k
x n x
N
n
h(x;N,n,k) ; x , , ,......,n

  
  

  
 
 
 
 
Contoh (5.8)
Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5
fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyknya kimiawan yang
duduk dalam panitia.
Jawab:

21. 21
Misalkan: X= menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia.
X={0,1,2,3}
Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus
;
;
Tabel 5.6 Distribusi hipergeometrik
  
 
3 5
0 5 1
56
8
5
0 0 8 5 3
x h( ; , , )
   
  
 
3 5
1 4 15
56
8
5
1 1 8 5 3
x h( ; , , )
   
  
 
3 5
2 3 30
56
8
5
2 2 8 5 3
x h( ; , , )
   
  
 
3 5
3 2 10
56
8
5
3 3 8 5 3
x h( ; , , )
   
x 0 1 2 3
h(x;8,5,3) 1
56
15
56
30
56
10
56
  
 
3 5
5
8
5
8 5 3 0 1 2 3
x x
h(x; , , ) ; x , , ,

 

22. 22
Teorema(5.3)
Distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) mempunyai rata-rata dan
variansi sbb:
dan
nk
N
 
2
1
1
N n k k
N n n
(n)( )( )
 

 
Contoh (5.9)
Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.8) kemudikan
gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang 2
 

Jawab:
Dari contoh 5.8 diketahui n=15 dan p=0.4
Diperoleh dan
Menggunakan teorema Chebyshev adalah
Jadi, selang yang ditanakan adalah dari -0,741 sampai 1,491
5 3 3
40 8
0 375
( )( )
,
        
2 40 5 3 3
39 40 40
5 1 0 3113
( ) ,
 
  
2
 

2 1 491 2 0 741
, dan ,
   
    

23. 23
23
Contoh (5.10)
Suatu pabrik ban mempunyai data bahwa dari pengiriman sebanyak
5000 ban ke sebuah toko tertentu terdapat 1000 cacat. Jika ada
seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari toko tersebut, berapa
probabilitasnya memuat tepat 3 yang cacat.
Jawab:
Karena n=10 cukup kecil dibandingkan N=5000, maka probabilitasnya
dihampiri dengan binomial dengan p= 10/5000= 0,2 adalah probailitas
mendapat satu ban. Jadi probabilitas mendapat tepat 3 ban cacat:
3 2
0 0
3 5000 10 1000 3 10 0 2
10 0 2 10 0 2
0 8791 0 6778
0 2013
x x
h( ; , , ) b( ; , . )
b(x; , . ) b(x; , . )
, ,
,
 

 
 

 

24. 24
Jika dihitung dengan software R
> phyper(3,5000,10,1000) # tidak bisa menghitung
[1] 0
Dihitung dengan pendekatan distribusi binomial
> pbinom(3,10,0.2)
[1] 0.8791261
> pbinom(2,10,0.2)
[1] 0.6777995
Jadi probabilitas mendapat tepat 3 ban cacat adalah
3 5000 10 1000 3 10 0 2
0 8791261 0 6777995
0 2013266
h( ; , , ) b( ; , . )
, ,
,

 


25. 25
5.4. Distribusi Poisson
Percobaan yang menghasilkan prubah acak X ynag menyatakan
banyaknya hasil selama dalam selang waktu/daerah tertentu disebut
“distribusi poisson”.
Proses poisson memiliki sifat-sifat berikut:
1. Banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu daerah (selang)
waktu tertentu independen dengan daerah lainya.
2. Probabilitas sukses dalam daerah/selang yang kecil tidak
tergantung banyaknya sukses yang terjadi diluar selang.
3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam daerah yang
sempit diabaikan.
Jika X perubah acak poisson maka distribusi poisson ini dinyatakan
dengan , dimana adalah rata-rata hasil
p(x, t)
 t


26. 26
Distribusi perubah acak Poisson X yang menyatakan banyaknya
kesuksesan yang terjadi dalam suatu selang waktu/daerah tertentu t,
dinatakan:
dimana: e=2,71828 dan menyatakan rata-rata banyaknya sukses
yang terjadi per satuan waktu.
Misalkan , untuk beberapa nilai tertentu dari 0,1 sampai 18
diberikan pada tabel Poisson. Atau dengan bantuan software R
0 1 2
t x
e ( t)
x!
p(x, t) ;x , , ,.....
 


 
t

t
 

Contoh (5.11)
Rata-rata banyaknya Tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu
pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menampung
paling banyak 15 Tanker perhari. Berapa probabilitas pada suatu hari
tertentu Tanker terpaksa pergi karena pelabuhan penuh dan tidak mampu
melayani.

27. 27
Jawab:
Misalkan: X = banyaknya Tanker minyak yg tiba tiap hari
X = {1, 2, 3, . . . . . , 15}
Maka
Jadi peluang pd suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi = 0.0487
15
0
15 1 15 1 10
1 0 9513 0 0487
x
P(X ) P(X ) p(x; ) tabel
. .

      
  

• Cara lain, jika tidak menggunakan tabel, gunakan program R,
langkahnya sbb:
> ppois(15,10)
[1] 0.9512596
Artinya:
15
0
10
x
p(x; ) 0.9512596




28. 28
Teorema(5.4)
Distribusi poisson mempunyai rata-rata dan variansi
sbb dan
t
 

Contoh (5.12)
Rata-rata banyaknya partikel radio atif yang meleati suatu penghiung
selama 1 milidtik dalam suatu percobaan di laoratoium adalah 4. berapa
probabilitas 6 partikel melewati penhtung it dalam 1 milidetik tertentu.
Kemudikan gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang
Jawab:
dari tabel poisson dengan diperoleh
dari diperoleh
Jadi, selang yang ditanakan adalah dari 0 sampai 8
2
 

6 4
x ; t
 
  
2 8 2 0
dan
   
   
p(x, t)

2 t
 

6 5
4 6
4
6
0 0
6 4 4 4 0 8893 0 7851 0 1042
e ( )
!
x x
p( ; ) p(x; ) p(x; ) , , ,

 
     
 
2
4 4
t dan
  
  

29. 29
r
0. 1 . . . . . . . 4.0 . . . . . . . . .
0
1
:
:
:
5 0,7851
6 0,8893
:
:
16
6
0
4 0 8893
x
p(x; ) .

 

Untuk n=15, p=0.4, menggunakan tabel diperoleh:
5
0
4 0 7851
x
p(x; ) .



Tabel 5.7. Cara menggunakan tabel Poisson

Meggunakan R:
> ppois(6,4)
[1] 0.889326
> ppois(5,4)
[1] 0.7851304

30. 30
30
Teorema(5.5)
Misalkan X perubah acak binomial dengan distribusi probabilitas
b(x,n,p). Jika n , p dan tetap sama maka
Contoh (5.12)
Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas,
terjadi gelembung(cacat) yang kadang menyebabkan sulit dipasarkan.
Jika diketahui rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai
satu atau lebih gelembung. Berapa probailiasnya bahwa dalam sampel
acak sebesar 8000 barang akan erisi kurang dari 7 yang bergelembung?
Jawab:
n=8000, p=0.001 dihampiri dengan distribusi poisson dengan
diperoleh menggunakan tabel:
np
 
  0

b(x,n,p) p(x, )


8000 0 001 8
( )( , )
  

31. 31
Jika tidak menggunakan tabel, cara lain, gunakan R, langkahnya
> pbinom(6,8000,0.001)
[1] 0.3132521
> ppois(6,8)
[1] 0.3133743
Diperoleh:
Dan
6 6
0 0
7 8000 0 001 8 0 3134
x x
P(X ) b(x; , . ) p(x; ) ,
 
   
 
6
0
8000 0 001
x
b(x; , . ) 0.3132521



6
0
8
x
p(x; ) 0.3133743


