Slide mata kuliah probabilitas & statistika tentang materi peubah acak (random variable).

1. Probability & Statistics
Random Variable
Dibuat oleh: Bayu Rima Aditya

2. Peubah Acak
aturan pemetaan outcome
suatu eksperimen ke bilangan
Real (Numerik)
Berapa rata-rata
kebutuhan listrik warga
Bandung perbulannya?
Ada yang tahu?
Kalau tidak ada
yg tahu, berarti
itu peubah acak.

3. Suatu Server di suatu Data Centre memerlukan daya listrik 3000
Watt. 5 buah UPS dipasang paralel sebagai backup dan identik satu
sama lain. Masing-masing 1 kWatt.
Banyaknya Ruang Sampel: 32
X: S  Real
Sehingga dalam kasus ini X : S  {0,1,2,3,4,5}
Inilah Peubah Acak, yang kita tidak tau nilainya berapa, akan tetapi
kita tau pasti ada di antara suatu nilai dengan nilai lain.

4. PEUBAHACAK
Beragam
Berubah-Ubah
Belum Diketahui Nilainya
Memiliki Nilai Peluang
Memiliki Distribusi

5. Broadband Access Performance Test
Apabila Anda tertarik untuk mengukur keceparan download, kecepatan upload,
menentukan ISP yang dipakai, dan sebagainya, berarti Anda sedang berbicara
tentang peubah acak, karena nilainya bisa beragam dan bisa beubah-ubah dari
pengukuran ke pengukuran.

6. Peubah Acak Diskrit vs Peubah Acak Kontinu
Peubah Acak Diskrit
• Peubah acak diskrit nilainya
diperoleh dengan cara
membilang ataupun
menghitung.
• Nilainya merupakan bilangan
bulat dan asli (tidak pecahan).
Peubah Acak Kontinu
• Peubah acak kontinu nilainya
diperoleh dari atau diperoleh
dengan cara mengukur.
• Peubah acak kontinu biasanya
digunakan untuk menyatakan
ukuran sebuah waktu dan hasil
pengukuran
• Nilainya berupa interval

7. Distribusi Probabilitas
• Sering juga disebut sebaran probabilitas atau sebaran peluang.
• Menunjukkan besarnya probabilitas dari setiap hasil (outcome) yang
muncul dalam suatu percobaan acak (random).
• Sehingga besar peluang dapat dihitung melalui fungsi yang sudah
tertentu.

8. Distribusi Probabilitas Diskrit
• Distribusi probabilitas dari peubah yang cara memperolehnya dengan cara
menghitung atau membilang
• Distribusi binomial, multinomial, hipergeometrik dan distribusi poisson

9. Jumlah Server Down dalam sehari menurut jumlah hari selama 300 hari:
Jumlah Server Down dlm sehari Jumlah hari
0 54
1 117
2 72
3 42
4 12
5 3
Total 300
Jika X menyatakan jumlah server yang down dalam sehari, maka f(0) menyatakan
probabilitas 0 server yang down dalam satu hari, f(1) menyatakan probabilitas 1
server yang down dalam satu hari dan seterusnya.

10. Berdasarkan data server down per hari, nilai probabilitasnya
dapat dilihat sebagai berikut:
X f(x)
0 0.18
1 0.39
2 0.24
3 0.14
4 0.04
5 0.01
Total 1
probabilitas 0 server
down dalam sehari
adalah 54/300 = 0.18

11. Sehingga apabila kita ingin menghitung probabilitas bahwa 3 atau lebih
server down dalam sehari, maka kita hitung
f(3) + f(4) + f(5)
= 0.14 + 0.04 + 0.01 = 0.19

12. Syarat yang harus dipenuhi untuk fungsi probabilitas diskrit:
atau
Jumlah peluang total:
oxf )( 1)(0  xf
 1)(xf

13. Grafik fungsi Probabilitas

14. FUNGSI PROBABILITAS KUMULATIF
PEUBAH ACAK DISKRIT
Digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas
yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan.
Apabila kita ingin mencari probabilitas bahwa server yang down kurang
dari 3, Maka kita akan menjumlahkan semua probabilitas dari nilai2x yang
bersangkutan.

15. Rumus Probabilitas Kumulatif Peubah Acak Diskrit
Dimana :
menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X=x yang
merupakan jumlah seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai x sama
atau kurang dari x
 f(x)x)P(XF(X)
x)P(XF(x) 

16. Probabilitas Kumulatif dari jumlah Server Down dalam Sehari
X F(X)
0 0.18
1 0.57 (=0.18+0.39)
2 0.81 (=0.57+0.24)
3 0.95 (=0.81+0.14)
4 0.99 (=0.95+0.04)
5 1.00 (=0.99+0.01)

17. Jadi jika fungsi kumulatif disajikan dalam bentuk grafik adalah sebagai
berikut :

18. Nilai Harapan Peubah Acak Diskrit
E ( X )= x = [xi.f (xi)]
Dimana :
Xi = nilai ke i dari peubah acak X
f(xi) = probabilitas terjadinya xi

19. Contoh :
X = banyaknya pesanan pemasangan set infrastuktur pada DC selama 1
minggu. P(x) = probabilitas X = x.
X 0 1 2 3
P(x) 0,125 0,375 0,375 0,125
Hitung rata-rata banyaknya pesanan atau pesanan yang
diharapkan!

20. Varians dan Simpangan Baku
Dengan menggunakan nilai harapan ini maka varians dan simpangan
baku dari distribusi teoretis dapat dihitung, yaitu :
Var (X) = 2 = E(X2) ––(E(X))2
Var (X) = 2 = (x – ) 2. P(x)
 = Var (X)

21. Nama Distribusi Notasi dan Parameter fX(x) X 2
X
Uniform X ~ Uni(N) 1/N
x=1,2,3,…,N
(N+1)/2 (N2-1)/ 12
Bernouli X ~ Bin(1,p)
0<p<1 q=1-p
pxq1-x
x=0,1
p pq
Binomial X ~ Bin(n,p)
0<p<1 q=1-p
x=0,1,2,…,n np npq
Geometrik X ~ Geo(p)
0<p<1 q=1-p
pqx-1
x=1,2,…
1/p q/p2
Negatif Binomial X ~ NB(r,p)
0<p<1 q=1-p
r=1,2,3,…
x=r,r+1,r+2,… r/p rq/p2
Hipergeometrik X ~ Hyp(n,M,N)
n=1,2,…,N
M=0,1,2,…,N
x=0,1,2,…,n NM/N n(M/N)(1-M/N)
*((N-n)/(N-1))
Poisson X ~ Poi(λ)
λ > 0
x=0,1,2,… λ λ
Beberapa Distribusi Peluang Peubah Diskrit
xnxn
x qpC 
xrrx
r qpC 

1
1
N
n
MN
xn
M
x
C
CC 

!x
e x


22. Distribusi Probabilitas Kontinu
• Distribusi probabilitas dari peubah yang cara memperolehnya dengan cara
mengukur
• Distribusi normal, z, t, chi kuadrat dan F

23. Syarat yang harus dipenuhi untuk fungsi probabilitas kontinu:
atau
Jumlah peluang total:
oxf )( 1)(0  xf



1)( dxxf

24. Rumus Probabilitas Kumulatif Peubah Acak
Kontinu


0x
f(x)dxx)P(XF(X)
)()()()( aFbFdxxfbXaP
b
a
 

25. Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu
Dimana :
Xi = nilai ke i dari peubah acak X
f(xi) = probabilitas terjadinya xi



 )dxx.f(xE(X) i

26. Varians dan Simpangan Baku
Dengan menggunakan nilai harapan ini maka varians dan simpangan
baku dari distribusi teoretis dapat dihitung, yaitu :
Var (X) = 2 = E(X2) ––(E(X))2
Var (X) = 2 = (x – ) 2. P(x)
 = Var (X)

27. Beberapa Peluang Peubah Kontinu
Nama Distribusi Notasi dan Parameter fX(x) X 2
X
Uniform X ~ Uni(a,b)
a < b
1/(b-a)
a < x < b
(a+b)/2 (b-a)2/12
Normal X ~ Normal (,2)
2 > 0
 
Gamma X ~ Gam(,)
0 <  0 < 
0 < x
 2
Eksponensial X ~ Exp()
0 < 
0 < x
 2
Weibul X ~ Wei(,)
0 < x
(1+1/) 2[(1+2/)-
2(1+1/)]
Pareto X ~ Par(,)
0 < x
/(-1)
 > 1
(2) /
((-2)(-1)2)
 > 2
Beta X ~ Beta(a,b)
0 < a 0 < b
0 < x < 1
2
2
)(
2
1 




x
e



/1
)(
1 x
ex 



/1 x
e
 



 /1 x
ex 
  1
/1





x
1
)1(
1
)()(
)( 



 b
x
a
x
ba
ba