Cal 3

1. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 33
พื้นฐานความรู เรื่อง อนุพันธ
1 . ถา = ( ) แลว
เรียก หรือ หรือ ( ) วา อนุพันธของ ( )
และเราเขียน ′′
แทน
2
2
หรือ
2
2
( )
และเราเขียน ′′′
แทน
3
3
หรือ
3
3
( )
สูตร Differrential
1) ( ) = 0
2) ( ) = ( )
3) = 1
4) ( + − ) = + −
5) ( . ) = +
6) =
−
7) ( ) = ( ) ( )
8) . =
9)
( ∘ )( )
= ( ∘ ) ( ) = ( ) ′( )
พื้นฐานความรู เรื่อง ปริพันธ
2. ถา ( ) = ( ) แลว
เรียก ( )วา ปฏิยานุพันธของ ( )
เรียก วา ปริพันธ เรียก ( ) วา ปริพัทธ
และจะไดวา ′
( ) = ( )
สูตร Integration
1) 0 = , เปน คาคงที่
2) = , เปน คาคงที่
3) = + , เปน คาคงที่
4) ( + − ) = + −
5) =
+ 1
+
6) ( ) = ( )
7) ( ) = ( ) = ( ) − ( )
8) ( ) = ( ) − ( )
9) ( ) = 0
10) ( ) = − ( )
11) ( ) = ( ) + ( ) , ∈ [ , ]
12) = ( )
โดยที่ คือพื้นที่ใตเสนโคงถึงแกน
ใชชวงตั้งแต = ถึง =
พื้นที่เหนือแกน มีคา + หรือ มีคาเปน +
และพื้นที่ใตแกน มีเครื่องหมาย − หรือ มีคาเปน −

2. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 34
42 จงหาคาของ (20 − 12 + 10 + 3)
วิธีทํา (20 4
− 12 2
+ 10 + 3)
= 20 − 12 + 10 + 3
= 20 − 12 + 10 + 3
= 20
4 + 1
− 12
2 + 1
+ 10
1 + 1
+ 3
+
= 20
5
− 12
3
+ 10
2
+ 3 +
= 4 − 4 + 5 + 3 + .
43 จงหาคาของ (3 + 8 − 1) (5 + 3)
วิธีทํา (3 + 8 − 1) (5 + 3)
= (3 + 8 − 1)5
= 5 (3 + 8 − 1)
= 5 3 + 8 −
= 5
3
2 + 1
+
8
1 + 1
− +
= 5( + 4 − ) + .
44 จงหาคาของ (10 − 1) (7 − 3)
วิธีทํา (10 − 1)4
(7 − 3)
= 7 (10 − 1) ( )
= ∫(10 − 1) (10 − 1)
=
7
10
(10 − 1)
4 + 1
+
=
7
50
(10 − 1) + .
42. จงหาคาของ (12 − 24 + 8 − 5)
43. จงหาคาของ (8 − 9 + 6 − 5) (4 − 3)
44. จงหาคาของ (8 − 3) (5 + 2)

3. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 35
45 ถา ( ) = 12 − 6 + 4 − 5
และ (1) = 3 จงหา ( )
วิธีทํา จาก ′
( ) = 12 3
− 6 2
+ 4 − 5
∴ ′
( ) = (12 3
− 6 2
+ 4 − 5)
∴ ( ) =
12 4
4
−
6 3
3
+
4 2
2
− 5 +
∴ ( ) = 3 4
− 2 3
+ 2 2
− 5 +
∴ (1) = 3(1)4
− 2(1)3
+ 2(1)2
− 5(1) +
∴ 3 = 3 − 2 + 2 − 5 + ∴ = 5
∴ ( ) = 3 4
− 2 3
+ 2 2
− 5 + 5 .
46 ถา ( ) = 6 + 8 ,
(2) = 30, (1) = 10 จงหา (2)
วิธีทํา จาก ′′
( ) = 6 + 8
∴ ( ) = (6 + 8 )
∴ ( ) = 3 + 8 +
∴ (2) = 3(2) + 8(2) +
∴ 30 = 12 + 16 + ∴ = 2
∴ ( ) = 3 + 8 + 2
∴ ( ) = (3 + 8 + 2)
∴ ( ) = + 4 + 2 +
∴ (1) = (1) + 4(1) + 2(1) +
∴ 10 = 1 + 4 + 2 ) + ∴ = 3
∴ ( ) = + 4 + 2 + 3
∴ (2) = (2) + 4(2) + 2(2) + 3
∴ (2) = 8 + 16 + 4 + 3 = 31 .
45. ถา ( ) = 8 − 9 + 6 − 3
และ (−1) = 12 จงหา ( )
46. ถา ( ) = 12 − 6 − 2 ,
(1) = 5, (2) = 6 จงหา (−1)

4. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 36
47 วัตถุกอนหนึ่งเคลื่อนที่ในแนวเสนตรง ดวยความเรง
12 − 54 เมตรตอ(นาที)2
ขณะนาทีที่ 4 วัตถุจะอยูหางจาก
จุดเริ่มวัด 131 เมตร และกําลังวิ่งเขาหาจุดเริ่มวัดดวยความเร็ว
12 เมตร/นาที
จงหาความเร็วเฉลี่ยในชวงตั้งแต นาทีที่ 8 ถึง นาทีที่ 10
วิธีทํา จากโจทย = 12 − 54
∴ = (12 − 54)
∴ = 6 − 54 +
จากโจทย = 4 , = −12
∴ −12 = 6(4) − 54(4) +
∴ −12 = 96 − 216 + ∴ = 108
∴ = 6 − 54 + 108
∴ = (6 − 54 + 108)
∴ = 2 − 27 + 108 +
จากโจทย = 4 , = 131
∴ 131 = 2(4) − 27(4) + 108(4) +
∴ 131 = 128 − 432 + 432 + ∴ = 3
∴ = 2 − 27 + 108 + 3
∴ = 10 ,
= 2(10) − 27(10) + 108(10) + 3 = 383
∴ = 8 ,
= 2(8) − 27(8) + 108(8) + 3 = 163
∴
∆
∆
=
−
10 − 8
=
383 − 163
2
= 110 .
47. วัตถุกอนหนึ่งเคลื่อนที่ในแนวเสนตรงดวยความเรง
12 − 24 เมตรตอ(นาที) และ
ขณะนาทีที่ 1 วัตถุจะอยูหางจากจุดเริ่มวัดเปนระยะ 61 เมตร
และวิ่งดวยความเร็ว 24 เมตร/นาที
จงหาวา ภายใน 7 นาทีแรกวัตถุจะเคลื่อนที่ไดทางทั้งหมดเทาไร

5. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 37
48 จงหาคาของ (8 − 4 + 3)
วิธีทํา (8 3
− 4 + 3)
2
−1
=
8
3 + 1
−
4
1 + 1
+ 3 +
2
−1
= (2 − 2 + 3 + )
2
−1
= [2(2) − 2(2) + 3(2) + ]
− [2(−1) − 2(−1) + 3(−1) + ]
= [32 − 8 + 6 + ] − [2 − 2 − 3 + ] = 33 .
49 จงหา | − − 6|
วิธีทํา จากนิยาม | | =
, ≥ 0
− , < 0
∴ | − − 6|
=
+( − − 6), ( − − 6) ≥ 0
−( − − 6), ( − − 6) < 0
∴ | − − 6|
=
+( − − 6), ( − 3)( + 2) ≥ 0
−( − − 6), ( − 3)( + 2) < 0
∴ | − − 6|
=
+( − − 6), ≤ −2 ∨ ≥ 3
−( − − 6), −2 < < 3
∴ | − − 6|
= −( − − 6) + ( − − 6)
= −
3
−
2
− 6
3
0
+
3
−
2
− 6
4
3
= −
27
3
−
9
2
− 18 − 0 +
64
3
−
16
2
− 24 −
27
3
−
9
2
− 18
= −
27
3
−
9
2
− 18 − 0 +
64
3
−
16
2
− 24 −
27
3
−
9
2
− 18
=
49
3
.
48. จงหาคาของ (12 − 6 + 1)
49. จงหา | + 2 − 3|

6. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 38
50 กําหนดให ( ) =
1 − 6 , < 1
4 + 3, ≥ 1
จงหาคาของ ( )
2
0
วิธีทํา ( )
2
0
= (1 − 6 2
)
1
0
+ (4 + 3)
2
1
= ( − 2 )
1
0
+ (2 + 3 )
2
1
= [(1 − 2) − (0)] + [(8 + 6) − (2 + 3)]
= [−1] + [14 − 5] = 8 .
51 ให ( ) =
( )
+ 1
จงหาคาของ ( )
ให (1) = (1) = 1 และ (0) = (0) = −2
วิธีทํา
จาก ( ) = ( )
1
0
= (1) − (0)
จาก ( ) =
( )
4
+ 1
∴ ( ) =
( + 1) ( ) − ( )(4 )
( + 1)
∴ (1) =
(1 + 1) (1) − (1)(4(1) )
(1 + 1)
=
2(1) − (1)(4)
4
= −
1
2
∴ (0) =
(0 + 1) (0) − (0)(0)
(0 + 1)
=
1(−2) − 0
1
= −2
∴ ( ) = ( )
1
0
= (1) − (0)
= −
1
2
+ 2 =
3
2
.
50. กําหนดให ( ) =
1 + 2 − 3 , < 2
6 − 1 , ≥ 2
จงหาคาของ ( )
3
0
51. ให ( ) =
( )
− 2
จงหาคาของ ( )
ให (1) = −2, (1) = −1 , (0) = 1, (0) = 2

7. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 39
52 ถา ∘ ( ) = + 5 + 1
และ ( ) = 4 − 3 จงหาคาของ ( )
1
0
วิธีทํา
จาก นิยาม
ถา ( ) = ( ) แลว ( ) = ( )
จาก ∘ ( ) = 2
+ 5 + 1
∴ ∘ ( ) = ( + 5 + 1)
= 2 + 5
∴ ( ) = 2 + 5
∴ 4 ( ) − 3 = 2 + 5
จาก ( ) = 4 − 3
∴ ( ) =
1
2
+ 2
∴ ( ) =
1
2
+ 2
=
4
+ 2
1
0
∴ =
1
4
+ 2(1) − 0 =
9
4
.
52. ถา ∘ ( ) = 2 − + − 2
และ ( ) = 2 − 5 จงหาคาของ ( )
2
1