7. 7
2. B={ 0,1,2,…}
3. C={ 0}
4. D={ }
5. E= | 4x I x{ ∈ > }
6. F= | 0 10x N x{ ∈ < < }
7. G= | 0 10x R x{ ∈ < < }
8. H={ …,-3,-2,-1,…}
9. I= 2
| 8 16 0x I x x{ ∈ + + = }
10. J={ 0,1,2,…,20}
11. K= 2
| 3x N x{ ∈ = − }
12. L= |x P x{ ∈ <10}
2. ความเทากันของเซต
เซต A เทากับเซต B เมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B และสมาชิก
ทุกตัวของเซต B เปนสมาชิกของเซต A ใชสัญลักษณ A=B
8. 8
เซต A ไมเทากับเซต B เมื่อ มีสมาชิกบางตัวของเซต A ไมเปนสมาชิกของเซต B หรือ
มีสมาชิกบางตัวของเซต B ไมเปนสมาชิกของเซตA ใชสัญลักษณ A≠B
เซต A เทียบเทาเซต B ก็ตอเมื่อ จํานวนสมาชิกของเซต A เทากับจํานวนสมาชิกของ
เซต B
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
A B x A x B x B x A
A B x A x B x B x A
⎡ ⎤= ↔ ∀ ∈ ∈ ∧∀ ∈ ∈⎣ ⎦
⎡ ⎤≠ ↔ ∃ ∈ ∉ ∨ ∃ ∈ ∉⎣ ⎦
A เทียบเทาเซต B [ ]( ) ( )n A n B↔ =
ตัวอยางเชน
1. A={ 1,2,3,4,5,6,7} , B={ 1,3,2,4,6,5,7}จะไดวา
A=B เพราะสมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกที่อยูใน B และสมาชิกทุกตัวของ B เปนสมาชิก
ใน A
2. A={ 1,2,3,4,5,6,7} , B={ 1,2,3,4,5,6,7,8} จะไดวา
A≠B เพราะวา 8 เปนสมาชิกใน B แตไมเปนสมาชิกใน A
3. A={ 1,2,3,4,5,6,7} , B={ 10,20,30,40,50,60,70} จะไดวา
A เทียบเทา B เพราะวาทั้ง A และ B มีจํานวนสมาชิกเทากันคือมีสมาชิก 7 ตัว
4. A={ 2,3,4,5}, B= |1x I x{ ∈ < < 6}ทําการแจกแจงสมาชิกของเซต B
ที่เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 แตนอยกวา 6 ไดเปน B={ 2,3,4,5}เพราะฉะนั้น A=B
5. A= { -5,3,3} , B= 2
| 2 15 0x I x x{ ∈ + − = } เซต A เขียนสมาชิก 3
ซ้ํากัน เซต A={ -5,3} และจากเซต B ทําการแกสมการหาคา x ที่เปนจํานวนเต็มและ
สอดคลองกับสมการ 2
2 15 0x x+ − = ดังนี้
2
2 15 0
( 5)( 3) 0
5,3
x x
x x
x
+ − =
+ − =
= −
เซต B={ -5,3} A B∴ =
6. A={ x|x เปนจํานวนเฉพาะที่นอยกวา 10}
B= |10 13x I x{ ∈ ≤ ≤ }
9. 9
เขียนเซต A และ B แบบแจกแจงสมาชิกไดดังนี้
A={ 2,3,5,7} , B={ 10,11,12,13} เนื่องจากทั้ง A และ B มีสมาชิกเทากันคือ 4
ตัว ∴A เทียบเทา B
ขอสังเกต : ถา A=B แลว A เทียบเทา B ดวย
ถา A เทียบเทา B แลว A ไมจําเปนตองเทากับ B
แบบฝกหัด
1. เซตตอไปนี้เทากันหรือไม
1.1 A = { -4,8}
B = 2
| 4 32 0x I x x{ ∈ − − = }
1.2 A = | 6x I x{ ∈ < <10}
B = { 6,7,8,9}
1.3 A = |x N x{ ∈ < 6}
B = |x I x{ ∈ < 6}
1.4 A = |x P x{ ∈ < 5}
B = 2
| 5 6 0x I x x{ ∈ − + = }
10. 10
1.5 A = 2
| 144x I x{ ∈ = }
B = 2
| 24 144 0x I x x{ ∈ + + = }
1.6 A = 2
| 25x I x+
{ ∈ = }
B = 2
| 10 25 0x I x x{ ∈ − + = }
1.7 A = 2
| 0x I x{ ∈ = }
B = | 7x I x{ ∈ = − }
1.8 A = {x|x เปนจํานวนเต็มลบที่มากกวา -3}
B = 2
| 3 2 0x I x x{ ∈ + + = }
2. เซตตอไปนี้เซตใดเทากันหรือเทียบเทากัน
2.1 A = {2,6,−1}
B = {−1,6,2}
C = {2,6,0}
2.2 A = {1,6,2}
B = {2,3,9}
C = {0,7,−1}
11. 11
2.3 A =
2
| 12 0x I x x{ ∈ − − = }
B = 2
| 25x I x{ ∈ = }
C = | ( 5)( 5) 0x I x x{ ∈ − + = }
2.4 A =
2
| 3 18 0x I x x{ ∈ + − = }
B = 2
| 6 9 0x I x x{ ∈ − + = }
C = | 0 1x I x{ ∈ ≤ ≤ }
2.5 A = | 10x P x{ ∈ < }
B = | ( 2)( 3)( 5)( 7) 0x I x x x x{ ∈ − − − − = }
C = 2
| 2x I x n{ ∈ = โดยที่ n เปนจํานวนนับ}
2.6 A = |x x{ เปนจํานวนเต็มคูระหวาง 2 ถึง 10}
B = |x x{ เปนจํานวนเต็มคี่ระหวาง 1 ถึง 9}
C = 2
| ( 10 24)( 8) 0x I x x x{ ∈ − + − = }
12. 12
3. แผนภาพเวนนและออยเลอร
เอกภพสัมพันธ คือ เซตซึ่งกําหนดขอบเขตที่จะศึกษา ในการศึกษาเรื่องเซตจะไมศึกษา
สมาชิกของเซตซึ่งอยูนอกเอกภพสัมพัทธ เราใชสัญลักษณ แทนเอกภพสัมพัทธ
ตัวอยาง
1. หาสมาชิกของ A = 2
| 2 15 0x x x{ + − = } เมื่อ คือเซตของจํานวนเต็ม
2
2 15 0
( 3)(2 5) 0
x x
x x
+ − =
+ − =
x+3 = 0 หรือ 2x-5 = 0
x = -3 x=
5
2
3A∴ = {− }
2. หาเอกภพสัมพัทธเมื่อ A = 2
| 100 0x x{ − = } มีสมาชิกคือ 10
2
100 0
( 10)( 10) 0
x
x x
− =
+ − =
x+10 = 0 หรือ x-10 = 0
x = 10 x = -10
∴ คือ เซตของจํานวนเต็มบวก
13. 13
แบบฝกหัด
1. เขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิกตามเอกภพสัมพัทธที่กําหนด
1.1 A = | 2 2x x{ − ≤ ≤ } เมื่อ เปนเซตของจํานวนเต็ม
1.2 B = | 2 2x x{ − ≤ ≤ } เมื่อ เปนเซตของจํานวนเต็มบวก
1.3 C = | 1x x x{ + ≠ } เมื่อ เปนเซตของจํานวนเต็ม
1.4 D = 2
| 10x x{ = − } เมื่อ เปนเซตของจํานวนจริง
1.5 E = 2
| 4 21 0x x x{ − − = } เมื่อ เปนเซตของจํานวนเต็ม
1.6 F = 2
| 5 6 0x x x{ − − = } เมื่อ เปนเซตของจํานวนเต็มลบ
1.7 G = 2
| 6 9 0x x x{ + + = } เมื่อ เปนเซตของจํานวนเต็มบวก
1.8 H = |1x x{ < <10} เมื่อ เปนเซตของจํานวนประกอบ
14. 14
2. หาเอกภพสัมพัทธของเซตตอไปนี้
2.1 A = | 1 1x x{ − ≤ ≤ } สมาชิก คือ -1,0,1
2.2 B = | 1 1x x{ − ≤ ≤ } สมาชิก คือ 0,1
2.3 C = |x x{ < 0} ไมมีสมาชิก
2.4 D = | 0x x{ ≥ } เปนเซตอนันต
2.5 E = 2
| 2 15 0x x x{ − − = } สมาชิก คือ -3,5
2.6 F = 2
| 2 15 0x x x{ − − = } สมาชิก คือ -3
2.7 G = 2
| 6 7 5 0x x x{ − − = } ไมมีสมาชิก
2.8 H = | 0x x{ < < 2} เปนเซตอนันต
15. 15
แผนภาพเวนนและออยเลอร คือ แผนภาพซึ่งสรางขึ้นเพื่อแสดงขอบเขตและความสัมพันธ
ของเซต ทั้งนี้นิยมสรางแผนภาพโดยใชรูปสี่เหลี่ยมผืนผาแทนเอกภพสัมพัทธและวงกลมแทนเซต
ใดๆ สามารถสรางแผนภาพแสดงความสัมพันธของเซต ดังนี้
1. เซต A และเซต B ไมมีสมาชิกรวมกัน สรางแผนภาพโดยวงกลมซึ่งแทนเซต A และ
เซต B ไมมีพื้นที่ทับซอนกัน เชน
A = 3,2{ } , B = ,7{−1 } เซตทั้งสองไมมีสมาชิกรวมกัน
2. เซต A และเซต B มีสมาชิกรวมกันบางสวน สรางแผนภาพโดยวงกลมซึ่งแทนเซต A
และเซต B มีพื้นที่บางสวนทับซอนกัน เชน
A = , 1,4{0 − } , B = ,6,9{4 } เซตทั้งสองมีสมาชิกรวมกัน คือ 4
3,2 -1,7A B
0,-1 6,94A B
16. 16
3. เซต A มีสมาชิกทุกตัวอยูในเซต B สรางแผนภาพโดยวงกลมซึ่งแทนเซต A มีขนาดเล็ก
อยูภายในวงกลมซึ่งแทนเซต B มีขนาดใหญ เชน
A = ,1{7 } , B = ,7,1,6, 2{0 − }
4. เซต A เทากับเซต B สรางแผนภาพโดยวงกลมซึ่งแทนเซต A และเซต B มีขนาด
เทากันและซอนทับกัน เชน
A = ,1,8{−2 } B = ,1,8{−2 }
หมายเหตุ : สําหรับสมาชิกของเอกภพสัมพัทธซึ่งไมเปนสมาชิกของเซตใดๆ ใหเขียนสมาชิกนั้น
ในรูปสี่เหลี่ยมซึ่งไมอยูในวงกลม เชน
A
B
7,1
0
6
-2
-2
1 8
A B
A B7 9 1 -5
-4 0 6
17. 17
A = ,9,1{7 } B = 1, 5{ − } สวน ,0,6{−4 }เปนสมาชิกของเอกภพ
สัมพัทธแตไมเปนสมาชิกของเซต A และเซต B
แบบฝกหัด
1. สรางแผนภาพแทนขอมูลตอไปนี้
1.1 =
{−9,−2,−1,0,5,6,7}
A = {−2,6,7}
B = {−9,7}
1.2 = {−7,−3,−2,−1,0,2,4,6}
A = {−3,2,6}
B = {−7,4}
1.3 = {−9,−3,0,1,4,7}
A = {−9,0,7}
B = {0,7,−9}
18. 18
1.4 = {−9,4,1}
A = {−9,4}
B = {4,−9,1}
1.5 = {−7,−1,2,4,6}
A = {−7,2,4}
B = {4}
1.6 = {−4,−2,0,1,9}
A = {−4,−2,1,9}
B = {−2,0,1,9}
1.7 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {1,2,4,5}
B = {1,2,3,8}
C = {1,3,4,7}
19. 19
1.8 = {−5,−4,2,3,7}
A = {2,7}
B = {−5,2,3}
C = {−4,2,3}
1.9 = {−9,−4,−3,0,1,2,6,7,9}
A = {0,1,9}
B = {−3,0,6}
C = {2,7}
1.10 = {−6,−4,−1,2,4,5,6}
A = {2}
B = {−4,2,6}
C = {−6,−4,2,4,6}
20. 20
1.11 = {−9,−1,1,2,4,5,7}
A = {1}
B = {−9,2,4}
C = {1,2,7}
1.12 = {−7,−6,−4,2,4,5,9}
A = {2,5}
B = {−6,2,4,5}
C = {−7,2,9}
2. เขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิกและสรางแผนภาพ
2.1 = | 4 6x I x{ ∈ − ≤ ≤ }
A = 2
| 5 6 0x x x{ − − = }
B = |x x{ = 4}
21. 21
2.2 = | 3 6x I x{ ∈ − < < }
A = 2
| 25x x{ = }
B = 2
| 8 15 0x x x{ − + = }
2.3 = | 3 5x I x{ ∈ − ≤ ≤ }
A = 2
| 6 0x x x{ + − = }
B = 2
| 7 10 0x x x{ − + = }
2.4 = | 2 5x I x{ ∈ − ≤ ≤ }
A = 2
| 25x x{ = }
B = 2
| ( 4)( 5) 0x x x{ − − = }
22. 22
2.5 = | 0 6x I x{ ∈ < < }
A = 3 2
| 4 4 16 0x x x x{ − − + = }
B = 3 2
| 11 40 48 0x x x x{ − + − = }
C = 3 2
| 4 4 0x x x x{ − − + = }
2.6 =
| 0 6x I x{ ∈ < < }
A = 3 2
| 8 17 10 0x x x x{ − + − = }
B = | 3x x{ = }
C = 2
| 4 3 0x x x{ − + = }
23. 23
4. สับเซต
สับเซต คือเซตซึ่งสมาชิกทุกตัวของเซตนั้นเปนสมาชิกของเซตอีกเซตหนึ่ง หรืออาจกลาววา
เซต A เปนสับเซตของเซต B ก็ตอเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B ใช
สัญลักษณ A ⊂ B แทน เซต A เปนสับเซตของเซต B
ในกรณีตรงขามกัน เซต A ไมเปนสับเซตของเซต B ก็ตอเมื่อ สมาชิกบางตัวของเซต A ไม
เปนสมาชิกของเซต B ใชสัญลักษณ A ⊄ B แทน เซต A ไมเปนสับเซตของเซต B
[ ] [ ]
[ ] [ ]
A B x A x B
A B x A x B
⎡ ⎤⊂ ↔ ∀ ∈ ∈⎣ ⎦
⎡ ⎤⊄ ↔ ∃ ∈ ∉⎣ ⎦
สมบัติของสับเซต :
1. เซตวางเปนสับเซตของทุกเซต
2. เซตทุกเซตเปนสับเซตของตัวมันเอง
3. เซตทุกเซตเปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ
4. ถา A ⊂ B และ B ⊂ A แลว A = B
5. ถา A = B แลว A ⊂ B และ B ⊂ A
6. A เปนสับเซตแทของ B เมื่อ A ⊂ B แต B ⊄ A
7. A เปนสับเซตไมแทของ B เมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A หรือ A = B
8. ถา A มีสมาชิก n ตัว แลว A มี 2n
สับเซต
9. ถา A มีสมาชิก n ตัว แลว A มีสับเซตแท 2 1n
− สับเซต
10. ถา A ⊂ B และ B ⊂ C แลว A ⊂ C
11. เซตวางมีสับเซตเพียง 1 สับเซตคือ เซตวาง
25. 25
2. จงพิสูจนวาเซต A เปนสับเซตของเซต B เมื่อ เปนเซตของจํานวนเต็ม และ
A = 2
| 12 36 0x x x{ − + = }
B = | 5 8x x{ ≤ ≤ }
3. จงพิสูจนวาเซต A เปนสับเซตไมแทของเซต B เมื่อ
A = | 9x x{ = }
B = 2
| 81 0x x{ − = }
5. เพาเวอรเซต
เพาเวอรเซต คือ เซตของสับเซตทั้งหมดของเซตใดๆ เพาเวอรเซตของเซต A ใชสัญลักษณ
P(A)
P(A) = |x x A{ ⊂ }
26. 26
ตัวอยาง เชน
1. ถา A = {0,3,−7} จงหา P(A)
n(A) = 3 จะได n(P(A)) =
3
2
P(A) = {{0},{3},{−7},{0,3},{0,−7},{3,−7},{0,3,−7},∅}
2. ถา A = {−5,{4},{−5,4}} จงหา P(A)
n(A) = 3 จะได n(P(A)) =
3
2
P(A) =
{{−5},{{4}},{{−5,4}},{−5,{4}},{−5,{−5,4}},{{4},{−5,4}},
{−5,{4},{−5,4}},∅}
สมบัติของเพาเวอรเซต :
1. P(A) ≠ ∅ เมื่อ A เปนเซตใดๆ
2. A ∈P(A) เมื่อ A เปนเซตใดๆ
3. ( )P A∅∈ เมื่อ A เปนเซตใดๆ
4. ถา A มีสมาชิก n ตัว แลว P(A) มีสมาชิก 2n
ตัว
5. A ⊂ B ก็ตอเมื่อ P(A) ⊂ P(B)
6. ถา A เปนเซตอนันต แลว P(A) เปนเซตอนันตดวย
แบบฝกหัด
1. หาเพาเวอรเซตของเซตตอไปนี้
1.1 A = {9}
1.2 B = {−6,3}
27. 27
1.3 C = {9,0,−2}
1.4 D = {−7,−1,1,7}
1.5 E = ∅
1.6 F = {3,{7}}
1.7 G = {{0},{4,−1}}
1.8 H = {2,{1,4},{4}}
28. 28
6. การกระทํา(Operation) ของเซต
การกระทําทางเซต คือ การสรางเซตใหมจากเซตที่กําหนด การกระทําทางเซตมี 4 ชนิด คือ
ยูเนียน อินเตอรเซกชัน ผลตางและคอมพลีเมนต
6.1 ยูเนียน
ยูเนียน คือ การกระทําทางเซตซึ่งทําใหเกิดเซตใหมซึ่งมีสมาชิกเปนสมาชิกทั้งหมดของเซตซึ่ง
นํามายูเนียนกัน ใชสัญลักษณ A∪ B แทนเซต A ยูเนียนกับเซต B
A∪ B = |x x A{ ∈ หรือ x B∈ }
สามารถเขียนแผนภาพแทนการยูเนียนของเซต A และเซต B ไดดังนี้
กรณีที่ 1 –เซต A และเซต B มีสมาชิกรวมกันบางสวน A∪ B หมายถึงพื้นที่ที่แรเงาดังนี้
กรณีที่ 2 – เซต A เปนสับเซตของเซต B A∪ B หมายถึงพื้นที่ที่แรเงาดังนี้
A B
A
B
29. 29
กรณีที่ 3 – เซต B เปนสับเซตของเซต A A∪ B หมายถึงพื้นที่ที่แรเงาดังนี้
กรณีที่ 4 – เซต A เทากับเซต B A∪ B หมายถึงพื้นที่ที่แรเงาดังนี้
กรณีที่ 5- เซต A ไมมีสมาชิกรวมกับเซต B A∪ B หมายถึงพื้นที่ที่แรเงาดังนี้
ตัวอยาง เชน
1. A = {2,6,9,10} , B = {1,5,6,8,9} , C = {3,5,7}
จงหา A∪ B , A∪ C และ B∪ C
A∪ B = {1,2,5,6,8,9,10}
A∪ C = {2,3,5,6,7,9,10}
B∪ C = {1,3,5,6,7,8,9}
B
A
BA
BA
30. 30
2. = |x x{ เปนจํานวนเต็มบวกที่นอยกวา 10}, A = {1,2,6,9}
B = {2,8,9} จงสรางแผนภาพของ A∪ B
A∪ B = {1,2,6,8,9}
สมบัติของยูเนียน :
1. A∪ B = B∪ A
2. (A∪ B)∪ C = A∪ (B∪ C)
3. A∪ A = A
4. A∪∅ = A
5. A∪ =
6. ถา A∪ B=∅ แลว A = ∅ และ B = ∅
7. ถา A ⊂ B แลว A∪ B = B
8. A ⊂ A∪ B และ B ⊂ A∪ B
แบบฝกหัด
1. ให A = {0,2,5,6}, B = {1,2,6,8}, C = {2,4,6}จงเขียนเซตตอไปนี้
แบบแจกแจงสมาชิก
1.1 A∪ B
1.2 B∪ A
BA
31. 31
1.3 A∪ C
1.4 B∪ C
1.5 A∪ A
1.6 C∪ C
1.7 (A∪ B)∪ C
1.8 A∪ (B∪ C)
2. หา A∪ B จากเซต A และเซต B ตอไปนี้
2.1 A = {2,3,6,10}
B = {2,6,8,12}
A∪ B =
2.2 A = {4,5,9}
B = {1,6,10}
A∪ B =
2.3 A = {2,3,6,10,12}
B = {3,6,12}
A∪ B =
32. 32
2.4 A = {−4,0,2}
B = {−4,−3,0,1,2}
A∪ B =
2.5 A = {}
B = {−2,0,9,13}
A∪ B =
2.6 A = {−5,4,8,9}
B = {−5,4,8,9}
A∪ B =
2.7 A = {}
B = {}
A∪ B =
2.8 A = {−8,−1,0,4,5,...}
B = {−8,0,4,...}
A∪ B =
3. สรางแผนภาพของ A∪ B จากเซตที่กําหนด
3.1 = {0,1,2,3,4,5,6,7}
A = {1,2,3,7}
B = {4,6,7}
33. 33
3.2 = {−6,−2,0,1,3,5,6,7}
A = {1,3,6}
B = {−2,0,7}
3.3 = {3,4,6,7,9}
A = {3,4,6}
B = {3,4,6}
3.4 = {−6,−2,0,1,3,5,7}
A = {−2,0,1,3}
B = {−6,1,5,7}
3.5 = {−6,−3,−1,2,4,9}
A = {2,9}
B = {−1,2,4,9}
34. 34
3.6 = {−4,2,5,8,9}
A = {−4,2,5,8,9}
B = {8}
6.2 อินเตอรเซกชัน
อินเตอรเซกชัน คือ การกระทําทางเซตซึ่งทําใหเกิดเซตใหมซึ่งมีสมาชิกรวมกันของเซตซึ่ง
นํามาอินแตอรเซกชันกัน ใชสัญลักษณ A∩ B แทนเซต A อินเตอรเซกชัน B
A∩ B = |x x A{ ∈ และ x B∈ }
สามารถเขียนแผนภาพแทน A∩ B ไดดังนี้
กรณีที่ 1 –เซต A และเซต B มีสมาชิกรวมกันบางสวน A∩ B หมายถึงพื้นที่ที่แรเงาดังนี้
A B
35. 35
กรณีที่ 2 – เซต A เปนสับเซตของเซต B A∩ B หมายถึงพื้นที่ที่แรเงาดังนี้
กรณีที่ 3 – เซต B เปนสับเซตของเซต A A∩ B หมายถึงพื้นที่ที่แรเงาดังนี้
กรณีที่ 4 – เซต A เทากับเซต B A∩ B หมายถึงพื้นที่ที่แรเงาดังนี้
กรณีที่ 5- เซต A ไมมีสมาชิกรวมกับเซต B A∩ B หมายถึงเซตวาง
A
B
B
A
BA
BA
36. 36
ตัวอยาง เชน
1. A = {0,2,6,9} , B = {3,6,9,10}, C = {3,10,12} จงหา A∩ B ,
A∩ C และ B∩ C
A∩ B = {6,9}
A∩ C = {}
B∩ C = {3,10}
2. = |x I x{ ∈ มากกวาหรือเทากับ -4 แตนอยกวา 5}
A = | 4x x{ = } , B = 2
| 3 4 0x x x{ − − = }
จงสรางแผนภาพ A∩ B
สมบัติของอินเตอรเซกชัน :
1. A∩ B = B∩ A
2. (A∩ B)∩ C = A∩ (B∩ C)
3. A∩∅ = ∅
4. A∩ = A
5. A∩ A = A
6. ถา A ⊂ B แลว A∩ B = A
7. A∪ (B∩ C) = (A∪ B)∩ (A∪ C)
8. A∩ (B∪ C) = (A∩ B)∪ (A∩ C)
37. 37
แบบฝกหัด
1. ให A = {2,3,7,9} , B = {3,5,7,9}, C = {2,5,9,10}
จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1.1 A∩ B
1.2 B∩ A
1.3 B∩ C
1.4 A∩ C
1.5 A∩ A
1.6 C∩ C
1.7 (A∩ B)∩ C
1.8 A∩ (B∩ C)
2. หา A∩ B จากเซต A และเซต B ตอไปนี้
2.1 A = {2,3,5,8,10}
B = {3,7,8,11}
A∩ B =
38. 38
2.2 A = {0,2,6}
B = {0,2,6,9}
A∩ B =
2.3 A = {−4,0,1,6}
B = {−4,0,6}
A∩ B =
2.4 A = {0,2,5,7}
B = {7,0,2,5}
A∩ B =
2.5 A = {2,8,10,11}
B = ∅
A∩ B =
2.6 A = {−2,0,1,6}
B = {−3,−1,4,5}
A∩ B =
2.7 A = ∅
B = {}
A∩ B =
2.8 A = {3,5,7,9,...}
B = {2,3,7,8}
A∩ B =
39. 39
3. กําหนดให A = {3,6,8,9} , B = {1,3,5,8} , C = {2,3,9,10} จงหา
3.1 A∪ B
3.2 A∩ B
3.3 B∪ C
3.4 C∩ A
3.5 (A∪ B)∪ C
3.6 A∪ (B∩ C)
3.7 C∪ (A∩ B)
3.8 (B∪ C)∩ A
4. แรเงาแผนภาพตามที่กําหนด
4.1 (A∩ B)∩ C
A
B C
40. 40
4.2 A∩ (B∩ C)
4.3 A∪ (B∩ C)
4.4 A∩ (B∪ C)
4.5 B∩ (A∪ C)
A
B C
A
B C
A
B C
A
B C
41. 41
4.6 (B∪ C)∪ A
4.7 (A∩ B)∪ ( B∩ C)
4.8 (A∪ B)∩ ( B∪ C)
A
B C
A
B C
A
B C
42. 42
5. หาคาของ A∩ B จากเซตที่กําหนด
5.1 A =
3
| 7 6 0x x x{ − + = } , B =
3 2
| 21 45 0x x x x{ + − − = }
5.2 A =
2
| 25 0x x{ − = } , B =
2
| 6 9 0x x x{ + + = }
5.3 A =
4 2
| 10 9 0x x x{ − + = } , B =
2
| 4 3 0x x x{ − + = }
5.4 A = | 2x x n{ = เมื่อ n เปนจํานวนนับ} ,
B =
3 2
| 12 44 48 0x x x x{ − + − = }
43. 43
6.3 คอมพลีเมนต
คอมพลีเมนต คือการกระทําทางเซตซึ่งทําใหเกิดเซตใหม ซึ่งมีสมาชิกเปนสมาชิกของ แต
ไมเปนสมาชิกของเซตที่นํามาคอมพลีเมนต ใชสัญลักษณ A′ แทนคอมพลีเมนตของเซต A
A′ = |x x{ ∈ และ x A∉ }
สามารถเขียนแผนภาพแทนคอมพลีเมนตของเซต A ดังนี้
ตัวอยาง เชน
1. {2,3,6,7,9} , A = {3,7} , B = {2,3,6,9} จงหา
A′ และ B′
A′ = {2,6,9}
B′ = {7}
2. {−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4} , A = {−2,0,1,3} ,
B = {−4,−1,2,4}, C = {−2,−1,3,4} จงหา
A′ , B′ , C′ , A C′∪ และ ( )B C ′∩
A
44. 44
A′= {−4,−3,−1,2,4}
B′= {−3,−2,0,1,3}
C′ = {−4,−3,0,1,2}
A C′∪ = {−4,−3,−2,−1,2,3,4}
B C∩ = {−1,4}
( )B C ′∩ = {−4,−3,−2,0,1,2,3}
3. = | 0x I x{ ∈ < <10}
A =
3 2
| 13 55 75 0x x x x{ − + − = } ,
B = 3 2
| 8 19 12 0x x x x{ − + − = }
จงหาคาของ ′ ′Α ∩ Β
แจกแจงสมาชิกของเซต , A และ B
= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
เซต A 3 2
13 55 75 0x x x− + − =
2
( 10 25)( 3) 0x x x− + − =
2
( 5) ( 3) 0x x− − =
3,5x =
∴Α ={3,5}
เซต B 3 2
8 19 12 0x x x− + − =
2
( 4 3)( 4) 0x x x− + − =
( 1)( 3)( 4) 0x x x− − − =
1,3,4x =
∴Β ={1,3,4}
′Α = {1,2,4,6,7,8,9}
B′= {2,5,6,7,8,9}
′ ′Α ∩ Β = {2,6,7,8,9}
สมบัติของคอมพลีเมนต :
1. ′ ′(Α ) = Α
2. ' = ∅
3. ′∅ =
45. 45
4. A A′∪ =
5. A A′∩ = ∅
6. ( )A B A B′ ′ ′∩ = ∪
7. ( )A B A B′ ′ ′∪ = ∩
แบบฝกหัด
1. ให = {−3,−2,0,1,4,5} , A = {−2,0,4} , B = {−3,0,1,5},
C = {−2,0,1}
จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1.1 ′Α
1.2 B′
1.3 C′
1.4 ′ ′(Α )
1.5 '
1.6 ′∅
2. ให = {−6,−4,−1,0,3,4,5} , A = {−6,−1,0,5} ,
B = {−4,−1,3,4} , C = {−6,0,3,5} จงหา
2.1 ′Α
2.2 Α ∪Β
2.3 CΑ ∩
47. 47
3.2 = | 5x x n{ = เมื่อ n เปนจํานวนนับ}
A = 2
| 25 150 0x x x{ − + = }
หา ′Α
3.3 = | 4 4x I x{ ∈ − ≤ ≤ }
A = | 2x x{ = }
B = 2
| 9x x{ = }
หา ( )A B ′∪
48. 48
3.4 = | 2 5x I x{ ∈ − ≤ ≤ }
A = 3 2
| 2 3 0x x x x{ − − = }
B = 3 2
| 6 32 0x x x{ − + = }
หา A B′ ′∩
6.4 ผลตางระหวางเซต
ผลตางระหวางเซต คือการกระทําทางเซตซึ่งทําใหเกิดเซตใหมซึ่งมีสมาชิกเปนสมาชิกของ
เซตตัวตั้ง แตไมเปนสมาชิกของเซตตัวลบ ใชสัญลักษณ A-B แทนผลตางของเซต A และเซต
B
A −B = |x x A{ ∈ และ x B∉ }
สามารถเขียนแผนภาพแทนผลตางระหวางเซต A และเซต B ไดดังนี้
49. 49
กรณีที่ 1 –เซต A และเซต B มีสมาชิกรวมกันบางสวน A −B หมายถึงพื้นที่ที่แรเงาดังนี้
กรณีที่ 2 – เซต A เปนสับเซตของเซต B A −B คือเซตวาง ไมมีสมาชิก
กรณีที่ 3 – เซต B เปนสับเซตของเซต A A −B หมายถึงพื้นที่ที่แรเงาดังนี้
กรณีที่ 4 – เซต A เทากับเซต B A −B คือเซตวาง ไมมีสมาชิก
A B
A
B
B
A
BA
50. 50
กรณีที่ 5- เซต A ไมมีสมาชิกรวมกับเซต B A −B หมายถึงพื้นที่ที่แรเงาดังนี้
ตัวอยาง เชน
1. A = {3,5,8,10} , B = {1,2,5,8} , C = {1,3,5,8,10} จงหา
A −B , B −A , A −C และ B −C
A −B = {3,10}
B −A = {1,2}
A −C = {}
B −C = {2}
2. =
| 3 3x I x{ ∈ − ≤ ≤ }
A =
4 2
| 9 0x x x{ − = } , B = 2
| 6 0x x x{ + − = }
จงสรางแผนภาพ A −B
สมบัติของผลตาง :
1. A −B = ∅ ก็ตอเมื่อ A⊂ B หรือ A = B
2. ถา A⊂ B แลว A −B = ∅
3. ถา A = B แลว A −B = ∅
BA
51. 51
4. A B A B′− = ∩
5. A A−∅ =
6. A∅ − = ∅
7. ( ) ( ) ( )A B C A B A C− ∩ = − ∪ −
8. ( ) ( ) ( )A B C A B A C− ∪ = − ∩ −
9. ( ) ( ) ( )A B C A C B C∩ − = − ∩ −
10. ( ) ( ) ( )A B C A C B C∪ − = − ∪ −
11. A A′− =
แบบฝกหัด
1. ให A = {0,1,3,4,6,8} , B = {1,5,7,8} ,
C = {−1,0,3,6}
จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1.1 A B−
1.2 B A−
1.3 A C−
1.4 C B−
1.5 A A−
1.6 B B−
1.7 ( )A B C− −
52. 52
1.8 ( )B A C− −
2. หา A B− จากเซต A และเซต B ตอไปนี้
2.1 A = {0,1,3,4,6,9,10}
B = {0,2,3,5,8,9,10}
A-B =
2.2 A = {2,3,5,7}
B = {0,1,2,3,4,5,7}
A-B =
2.3 A = {−2,−1,0,1,2,3,5}
B = {−2,0,1,3}
A-B =
2.4 A = {−3,−4,0,1}
B = {0,−4,1,−3}
A-B =
2.5 A = {−1,0,3,6,8}
B = {−2,1,2,4,7}
A-B =
53. 53
2.6 A = {2,4,6,8,...}
B = {2,4}
A-B =
3. กําหนดให A = {2,3,4,6,8} , B = {1,3,5,6,9} ,
C = {3,4,5,7,10} จงหา
3.1 A B−
3.2 A B∩
3.3 B A∪
3.4 C A−
3.5 ( )A B C− ∪
3.6 ( )C A C∩ −
3.7 ( ) ( )A B A C− ∪ −
3.8 ( ) ( )A B B C∩ − ∪
55. 55
4.4 ( )A B A′− ∪
4.5 ( ) ( )A B A C′∩ − ∩
4.6 ( ) ( )A B B C′∩ ∩ ∪
A
B C
A
B C
A
B C
56. 56
4.7 ( )A B C− ∪
4.8 ( )A B C∩ −
4.9 ( )B A C− −
A
B C
A
B C
A
B C
57. 57
4.10 ( )B A C− ∪
4.11 ( ) ( )B A A C∩ − ∩
4.12 ( ) ( )A B C A− ∪ −
A
B C
A
B C
A
B C
58. 58
5. หาคาของ A −B จากเซตที่กําหนด
5.1 A = 2
| 2 3 0x x x{ − − = }
, B = 2
| 12 0x x x{ + − = }
5.2 A = 2
| 25 0x x{ − = } , B = 2
| 2 8 0x x x{ + − = }
5.3 A = 4 2
| 74 1,225 0x x x{ − + = },
B = 2
| 10 25 0x x x{ + + = }
5.4 A = | 5x x n{ = เมื่อ n เปนจํานวนนับ} ,
B = 3 2
| 25 175 375 0x x x x{ − + − = }
59. 59
7. โจทยปญหาเกี่ยวกับเซต
การแกโจทยปญหาในเรื่องจํานวนสมาชิกของเซตจํากัดสามารถทําไดโดยการประยุกตใช
แผนภาพเวนน – ออยเลอร และสูตรการหาจํานวนสมาชิกของเซตจํากัดดังนี้
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
n A B n A n B n A B
n A B C n A n B n C n A B n B C n A C
n A B C
∪ = + − ∩
∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ +
∩ ∩
ตัวอยางโจทยปญหา เชน
ตัวอยางที่ 1 จากการสํารวจผูซื้อจํานวน 10 คน พบวามีผูซื้อเสื้อ 8 คน ซื้อกางเกง 7 คน มีผูซื้อ
เสื้อและกางเกงกี่คน เมื่อผูซื้อทุกคนตองซื้อเสื้อหรือกางเกงอยางนอย 1 ชนิด
