Matrix

1. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 1
1) ความหมายของเมตริกซและสมาชิกของเมตริกซ
ถาให =
−1
2
1
3
4
−2
5
6
7
1
0
8 ×
แลวจะไดวา เปนเมตริกซ มีมิติ เทากับ 3 × 4
หมายถึง มีขนาด 3 แถว 4 หลัก
ถา ∈ แลว
หมายถึง สมาชิกของ ที่อยูในตําแหนง แถวที่ 2 หลักที่3
ดังนั้น = 6 , = 1 , = 0 ,
= −2, = 8
ถาให = ×
โดยที่ = 1,2,3 = 1,2,3,4
แลวเราสามารถเขียนไดวา
=
×
1 ถา =
5 −3 1
2
1 −2 4
−2 2 −1 ×
และ ∈
ให 22 + 23 = 21 − 12
และ 2 22 + 23 = 11 + 42 − 43
จงหาคาของ + 2
วิธีทํา จาก 22 + 23 = 21 − 12
= 2 − (−3) = 5
และ 2 + = + −
= 5 + 2 − (−1) = 8
(2 + ) − ( + ) = 8 − 5 = 3
∴ = 3 และจะได = 5 − 3 = 2
∴ = = 3, = = 2
∴ + 2 = 3 + 2(2) = 7 .
2 กําหนดให = ×
โดยที่ =
2 + , <
+ , =
3 − , >
จงหา
วิธีทํา ให =
11
21
31
12
22
32
13
23
33 3×3
= 2(1) + 2 = 4 , = 2(1) + 3 = 5
= 2(2) + 3 = 7 , = 1 + 1 = 2
= 2 + 2 = 4 , = 3 + 3 = 6
= 3(2) − 1 = 5 , = 3(3) − 1 = 8
= 3(3) − 2 = 7
ดังนั้น =
2
5
8
4
4
7
5
7
6 ×
.
แบบทดสอบความเขาใจ
1.1 ถา =
8 −2 3
1 5 6
0 −4 9
−7 2 −2 ×
และ ∈
แลวจงหาคาของ 12 + 21 − 43 + 32
1.2 ถา =
4 −2 3
3 2
+ 5
1 − 1 ×
และ ∈
ให 32 = 11 − 21 , 42 = 33 + 12
แลวจงหา
1.3 กําหนดให = ×
โดยที่ =
3 + 2 , >
+ 2 , =
2
− , <
จงหา
1.4 กําหนดให = ×
โดยที่ = 2
− 2 , <
+ , =
3 − 2
, >
จงหา

2. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 2
2) การกระทํากับเมตริกซในลักษณะตางๆ
2.1)การทรานสโพส( ) ของ สัญญลักษณคือ
ถาให =
−1
2
1
3
4
−2
5
6
7
1
0
8 ×
แลวจะไดวา =
−1 2 1
3 4 −2
5 6 7
1 0 8 4×3
.
∗ ถา ∈ แล ∈ แลวจะไดวา = =
2.1 ให =
1 −2 −3
−2 5 4
−3 4 6 ×
จงหา
วิธีทํา
แลวจะไดวา =
1 −2 −3
−2 5 4
−3 4 6 4×3
.
∗∗∗ ถา = แลวจะเรียก วา
2.2 ให = ×
โดยที่ =
+ , <
+ 2 , =
− , >
จงหา
วิธีทํา =
11
21
31
12
22
32
13
23
33
= 1 + 2(1) = 3 , = 1 + 2 = 3
= 1 + 3 = 4 , = 2 − 1 = 1
= 2 + 2(2) = 6 , = 2 + 3 = 5
= 3 − 1 = 2 , = 3 − 2 = 1
= 3 + 2(3) = 9
ดังนั้น =
3
1
2
3
6
1
4
5
9
∴ =
3
3
4
1
6
5
2
1
9 3×3
.
2.1 ให =
3 4 −6
2 1 −3
9 5 0 ×
จงหา
2.2 ให = ×
โดยที่ =
+ , <
+ 2 , =
− , >
จงหา

3. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 3
2.2) การเทากันของเมทริกซ
ถา = ×
, = ×
แลว = ก็ตอเมื่อ =
3.1 ถา = จงหาคา เมื่อกําหนดให
=
+ 2 − +
− − +
+ + − ×
และ =
5 4 3
2 −4 0
9 4 3 3×3
จงหา
วิธีทํา = แลว + = 5, 2 − = 4
∴ ( + ) + (2 − ) = 5 + 4,
∴ 3 = 9 , ∴ = 3, = 2,
+ = 3 ∴ + 2 = 3 ∴ = 1
− = 2 ∴ − 1 = 2 ∴ = 3
− = −4 ∴ − 3 = −4 ∴ = −1
+ = 0 ∴ −1 + = 0 ∴ = 1
+ = 9 ∴ 1 + = 9 ∴ = 2
+ = 4 ∴ 2 + = 4 ∴ = 2
− = 3 ∴ − 2 = 3 ∴ = 5
∴ =
3 2 1
3 −1 1
2 2 5
.
3.2 ให = ×
โดยที่ =
3 + , <
+ 2 , =
2 − , >
=
+ 2 +
− +
, = , จงหา
วิธีทํา =
11 12
21 22
=
3 5
3 6
= ∴
+ 2 +
− +
=
3 5
3 6
∴ + = 3, 2 + = 5
∴ (2 + ) − ( + ) = 5 − 3,
∴ = 2 , = 1
− = 3 ∴ − 1 = 3 ∴ = 4
+ = 6 ∴ + 2 = 6 ∴ = 4
∴ =
2 1
4 4
=
2 4
1 4
.
3.1 ถา = จงหาคา เมื่อกําหนดให
=
2 + − 2 +
3 − 5 − + 2
+ 2 + − 3 ×
และ =
4 −1 8
3 3 −3
−8 −1 4 3×3
จงหา
3.2 ให = ×
โดยที่ =
5 − , <
+ 2 , =
3 + , >
=
− +
+ 2 − 2
, = , จงหา

4. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 4
2.3) การบวกลบของเมตริกซ
ถา = ×
, = ×
และ = ± = ×
± ×
ดังนั้น = ± ×
∴ = ±
การบวกลบของเมตริกซ จะตองมีมิติเทากัน
4.1 จงหา + , − เมื่อกําหนดให
=
1 3 5
−2 2 4 ×
, =
−2 2 1
−1 −3 3 ×
วิธีทํา
+ =
1 + (−2) 3 + 2 5 + 1
−2 + (−1) 2 + (−3) 4 + 3 ×
=
−1 5 6
−3 −1 7 ×
.
− =
1 − (−2) 3 − 2 5 − 1
−2 − (−1) 2 − (−3) 4 − 3 ×
=
3 1 4
−1 5 1 ×
.
2.4) การคูณเมตริกซดวยจํานวนจริง
ถา = ×
, = ×
แลว 1) =
×
2) ( ± ) = ± ×
4.2 ให =
1 2
3 −1 ×
, =
−2 1
−1 2 ×
จงหา 2 +
วิธีทํา
2 + = 2
1 2
3 −1
+
−2 1
−1 2
=
2 4
6 −2
+
−2 −1
1 2
=
0 3
7 0
.
4.1 จงหา + , − เมื่อกําหนดให
=
1 0 −1
2 −1 3
−1 2 1 ×
, =
3 1 −3
1 0 1
−2 1 2 ×
4.2 จงหา 2 − 3 เมื่อกําหนดให
− =
−1 −1 2
−1 1 −1
0 −1 1 ×
+ =
3 1 0
5 1 1
0 4 −3 ×

5. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 5
4.3 กําหนดให
=
3 2
−1 0
=
1 −3
−2 2
=
2 −3
−2 3
จงหาเมตริกซ จากสมการตอไปนี้
+ 2 = 3 +
วิธีทํา
+ 2
3 2
−1 0
= 3
1 −3
−2 2
+
2 −3
−2 3
+
6 4
−2 0
=
3 −9
−6 6
+
2 −3
−2 3
+
6 −2
4 0
=
5 −12
−8 9
=
5 −12
−8 9
−
6 −2
4 0
=
−1 −10
−12 9
=
11 −12
−10 9
.
5 ให = ×
โดยที่ = 3 − 2
= ×
โดยที่ = 2 +
ถา ∈ (2 − 3 ) จงหา 23 − 31
วิธีทํา ถา ∈ (2 − 3 )
∴ = 2 − 3
= (2 − 3 )
= 2(6) − 3(7) = 12 − 21
= −9
= (2 − 3 )
= 2(25) − 3(7) = 50 − 21
= 29
ดังนั้น − = (−9)— 29 = −38 .
4.3 กําหนดให
=
1 2
−2 0
, =
−1 −3
1 2
, =
0 −2
−1 3
จงหาเมตริกซ จากสมการตอไปนี้
+ 3 = 2 −
5.1 ให = ×
โดยที่ = 2 +
= ×
โดยที่ = 2 −
ถา ∈ (3 − 2 ) จงหา 13 − 32
5.2 ให = ×
โดยที่ = 3 − 2
= ×
โดยที่ = 2 +
ถา ∈ (2 − ) จงหา 23 − 31

6. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 6
2.5) การคูณเมตริกซดวยเมตริกซ
นิยาม × . × = ×
นิยาม ∈ แลวจะหาคาไดดังนี้
= = + + ⋯ +
6 ให =
1
3
2
2
0
−1
0
1
3
, =
2
0
1
3
1
0
1
2
−1
จงหา
วิธีทํา ให ∈ แลวจะหาคาไดดังนี้
= + +
= (1)(2) + (2)(0) + (0)(1) = 2
= + +
= (3)(2) + (0)(0) + (1)(1) = 7
= + +
= (2)(2) + (−1)(0) + (3)(1) = 7
= + +
= (1)(3) + (2)(1) + (0)(0) = 5
= + +
= (3)(3) + (0)(1) + (1)(0) = 9
= + +
= (2)(3) + (−1)(1) + (3)(0) = 5
= + +
= (1)(1) + (2)(2) + (0)(−1) = 5
= + +
= (3)(1) + (0)(2) + (1)(−1) = 2
= + +
= (2)(1) + (−1)(2) + (3)(−1) = −3
ดังนั้นจะได =
2
7
7
5
9
5
5
2
−3 ×
.
6.1 กําหนดให =
2
0
1
1
3
−1
0
1
2 ×
=
1
0
1
3
−1
0
−1
2
−3 ×
ถา ∈ และ ∈ แลวจงหาคาของ 21 + 23
วิธีทํา
= + +
= (0)(1) + (3)(0) + (1)(1) = 1
= + +
= + +
= (0)(1) + (−1)(−1) + (2)(2) = 5
ดังนั้น + = 1 + 5 = 6 .
6. ให =
1
0
−1
1
2
1
2
−1
2 ×
, =
−1
1
1
2
1
0
1
2
3 ×
จงหา
6.1 กําหนดให =
1
0
−1
−1
2
1
0
1
2 ×
=
−1
1
1
2
−1
0
−1
2
3 ×
ถา ∈ และ ∈ แลวจงหาคาของ 21 + 23
6.2 ให = ×
โดยที่ =
3 − 2 , <
2 + , =
2 + , >
= ×
โดยที่ =
2 + , <
+ , =
2 − , >
ถา ∈ และ ∈ แลวจงหาคาของ 12 + 32

7. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 7
7.กําหนดให =
2 5 1
−2 0 −1
−3 4 2 ×
=
3 4 5
−4 2 3
1 −3 −2 ×
1) ถา ∈ จงหา
2) ถา ∈ จงหา
3) ถา ∈ จงหา
4) ถา ∈ จงหา
5) ถา ∈ ( − ) จงหา
6) ถา ∈ ( + ) จงหา
วิธีทํา
1) ถา ∈ จงหา
= แถวที่ 3 ของ คูณกับหลักที่ 2 ของ
= (−3)(4) + (4)(2) + (2)(−3) = −10
2) ถา ∈ จงหา
= แถวที่ 1 ของ คูณกับหลักที่ 3 ของ
= (3)(1) + (4)(−1) + (5)(2) = 9
3) ถา ∈ จงหา
= หลักที่ 1 ของ คูณกับหลักที่ 3 ของ
= (2)(5) + (−2)(3) + (−3)(−2) = 10
4) ถา ∈ จงหา
= แถวที่ 2 ของ คูณกับแถวที่ 1 ของ
= (−4)(2) + (2)(5) + (3)(1) = 5
5) ถา ∈ ( − ) จงหา
= แถวที่ 3 ของ ( − ) คูณกับหลักที่ 1 ของ
= (−3 − 1)(2) + (4 + 3)(−2) + (2 + 2)(−3)
= −8 − 14 − 12 = −34
6) ถา ∈ ( + ) จงหา
= แถวที่ 2 ของ ( + ) คูณกับแถวที่ 3 ของ
= (−6)(1) + (2)(−3) + (2)(−2) = −16
7.กําหนดให =
1 2 −1
−1 0 1
3 2 −2 ×
=
2 3 −2
−1 2 1
1 −3 −1 ×
1) ถา ∈ จงหา 2) ถา ∈ จงหา
3) ถา ∈ จงหา 4) ถา ∈ จงหา
5) ถา ∈ ( − ) จงหา
6) ถา ∈ ( + ) จงหา

8. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 8
สมบัติที่สําคัญ
โดยกําหนดให , , เปนเมตริกซขนาด × แลวจะไดวา
1) + = +
2) + [0] =
แลว [0] เปนเอกลักษณของการบวกของเมทริกซ
3) ( ) = 4) ( ± ) = ±
5) 2 (3 ± ) = 6 ± 2
6) 2( ± 3 ) = 2 ± 6
7) ( ) = ( )
8) (2 ) = 2
9) = = แลว เปนเอกลักษณของการคูณของเมทริกซ
10) = แลว = ก็ตอเมื่อ | | ≠ 0
11) = 0 แลวไมจําเปนที่ = [0]
12) = 0 แลวไมจําเปนที่ = [0] หรือ = [0]
8 จงหาเมตริกซ จากสมการตอไปนี้
+
1 4
2 1
=
0 1
1 2
1 3
2 2
วิธีทํา +
1 2
4 1
=
2 2
5 7
=
2 2
5 7
−
1 2
4 1
=
1 0
1 6
=
1 1
0 6
.
9 จงหาเมตริกซ จากสมการตอไปนี้
−
1 3
2 1
0 1
1 2
= 2
2 1
3 0
1 1
1 0
วิธีทํา −
1 2
3 1
0 1
1 2
= 2
3 2
3 3
−
2 5
1 5
=
6 4
6 6
=
6 4
6 6
+
2 5
1 5
=
8 9
7 11
=
8 7
9 11
.
8. จงหาเมตริกซ จากสมการตอไปนี้
+
1 2
−2 −1
=
0 1
−1 2
−1 2
3 1
9. จงหาเมตริกซ จากสมการตอไปนี้
−
1 −1
2 0
0 1
−1 2
= 2
1 1
2 0
2 1
−1 0
9.1 จงหาเมตริกซ จากสมการตอไปนี้
−
1 1
1 −2
2 −1
1 0
=
−1 1
−2 0
−
2 −1
1 2
−1 1
2 0
=
1 −1
3 0

9. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 9
10 กําหนดให , , , เปนเมทริกซขนาด มิติ ×
จงกระจายเมทริกซตอไปนี้
1) ( − 2 − )
2) ( − )
3) ( + )( − )
4) (3 − 2 )
5) (3 − 5 )
วิธีทํา
1) ( − 2 − ) = − 2 −
2) ( − ) = −
3) ( + )( − ) = − + −
4) (3 − 2 ) = (3 − 2 )(3 − 2 )
= 9 − 6 − 6 + 4
5) (3 − 5 ) = (3 − 5 )
= 3 − 5 ) .
10. กําหนดให , , , เปนเมทริกซขนาด มิติ ×
จงกระจายเมทริกซตอไปนี้
1) ( − 3 + )
2) ( − )
3) ( − )( + )
4) (3 − 2 ) ( )
5) ( − 2 )

10. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 10
2.6 ดีเทอรมิแนนต ( )
ให เปนเมทริกซจตุรัสขนาด × มีสมาชิกเปนจํานวนจริง
ดีเทอรมิแนนตของ เขียนแทนดวยสัญญลักษณ ( ) , | |
1) วิธีหา ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซขนาดมิติ 2 × 2
นิยาม = ∴ | | = = −
11 ถา =
3 5
2 4
จงหา ( )
วิธีทํา ( ) = | | =
3 5
2 4
∴ | | = (3)(4) − (5)(2) = 2 .
2) วิธีหา ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซขนาดมิติ 3 3
12 ถา =
1 2 3
4 3 2
2 1 1
จงหา ( )
วิธีทํา ( ) = | | =
1 2 3
4 3 2
2 1 1
∴ | | =
1 2 3
4 3 2
2 1 1
1 2
4 3
2 1
∴ | | = (3 + 8 + 12) − (18 + 2 + 8) = −5
11. ถา =
3 1
2 4
, =
1 −2
2 3
จงหา 1) | | 2) | | 3) | | + | | 4) | + |
5) | | ∙ | | 6) | | 7) | |
12. ถา =
1 2 0
0 1 −2
1 −1 1
จงหา 1) ( ) 2) ( ) 3) | |

11. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 11
4) การหาดีเทอรมิแนนตของเมทริกซ × กรณี > 2
คาที่เกี่ยวของคือ และ ของ
4.1 คาของ ตําแหนง ของ เขียนแทนดวย ( )
( ) = ดีเทอรมิแนนตของ ที่ตัดแถวที่ หลักที่ ออก
4.2 คาของโคแฟคเตอร ของ ที่ตําแหนง เขียนแทนดวย ( )
( ) = (−1) ( )
13 ถา =
2 1 3
3 2 2
2 1 1
จงหา +
∴ + = (−1) + (0) = −1 .
5) การหาโคแฟคเตอร( )ของ
( ) = (−1) ( )
14 ถา =
2 1 3
3 2 2
2 1 1
จงหา +
∴ + = (−1) + (−1) = −2 .
13. ถา =
5 1 2
1 −2 2
−2 0 1
จงหา ( ) + ( )
14. ถา =
−2 1 2
2 −1 0
1 1 −1
จงหา ( ) + ( ) − ( )

12. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 12
15 ให =
2
3 1 1
5
และ ( ) = 4 , ( ) = 1
จงหาคาของ ( ) − ( )
วิธีทํา
( ) = 4 ∴
2
3 1
= 4
∴ − 6 = 4 ∴ = 10
( ) = 1 ∴ (−1)
3 1
= 1
∴ − 3 = 1
∴ 10 − 3 = 1 ∴ = 3
∴ =
10 3 2
3 1 1
3 10 5
∴ ( ) − ( ) = (−1) 10 3
3 10
−
3 1
3 10
∴ ( ) − ( ) = −(100 − 9) − (30 − 3) = −118
.
15.1 ให =
1 3 1 1
2 1 0 1
1
0 1
1 2
0
และ ( ) = −2 , ( ) = −2
จงหาคาของ ( )
วิธีทํา
( ) = −2 ∴
3 1 1
1 0 1
1 2
= −2
∴ 3(0 − 1) − 1(2 − ) + 1(1 − 0) = −2
∴ −3 − 2 + + 1 = −2 ∴ = 2
( ) = −2 ∴ −
3 1 1
1 2
1 0
= −2
∴
3 1 1
2 1 2
1 0
= 2
∴ 3( − 0) − 1(2 − 2) + 1(0 − 1) = 2
∴ 3 − 2 + 2 − 1 = 2 ∴ = 1
∴ ( ) = −
1 3 1
1 2 2
0 1 1
∴ ( ) = −[1(2 − 2) − 3(1 − 0) + 1(1 − 0)]
= −[0 − 3 + 1]
= 2 .
15. ให =
1
2 1
4 1 −1
และ ( ) = 5 , ( ) = 3 , ( ) = 5
1) จงหาคาของ ( ) − ( ) 2) จงหา | |
15.1 ให =
2 2 1 0
2 1 0 2
0
2
1
3 1
0
และ ( ) = 6 , ( ) = 2
จงหาคาของ ( )

13. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 13
4.3 การหา ของ แบบใชโคแฟคเตอร
นิยาม ให แทน ( )
| | = = , = 1,2,3,. . ,
| | = ผลบวกของการคูณระหวางสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่งหรือ
หลักใดหลักหนึ่งกับโคแฟกเตอรในตําแหนงเดียวกันแบบ 1:1
| × | = + + (แถวที่1)
| × | = + + (แถวที่2)
| × | = + + (แถวที่3)
| × | = + + (หลักที่1)
| × | = + + หลักที่2
| × | = + + (หลักที่3)
16 จงหา ( ) เมื่อ =
1 −3 2
2 0 1
2 1 3
วิธีทํา
= (−1)
0 1
1 3
= (1)(0 − 1) = −1
= (−1)
2 1
2 3
= (−1)(6 − 2) = −4
= (−1)
2 0
2 1
= (1)(2 − 0) = 2
= (−1)
−3 2
1 3
= (−1)(−9 − 2) = 11
= (−1)
1 2
2 3
= (1)(3 − 4) = −1
= (−1)
1 −3
2 1
= (−1)(1 + 6) = −7
= (−1)
−3 2
0 1
= (1)(−3 − 0) = −3
= (−1)
1 2
2 1
= (−1)(1 − 4) = 3
= (−1)
1 −3
2 0
= (1)(0 + 6) = 6
| × | = + + (แถวที่1)
= (1)(−1) + (−3)(−4) + (2 )(2 ) = 15
| × | = + + (แถวที่2)
= (2)(11) + (0)(−1) + (1 )( −7) = 15
| × | = + + (แถวที่3)
= (2)(−3) + (1)(3) + (3 )(6 ) = 15
| × | = + + (หลักที่1)
= (1)(−1) + (2)(11) + ( 2)( −3) = 15
| × | = + + หลักที่2
= (−3)(−4) + (0)(−1) + (1)(3 ) = 15
| × | = + + (หลักที่3)
= (2)(2) + (1)(−7) + (3 )(6 ) = 15
16 . จงหา ( ) เมื่อ =
1 −1 2
1 0 −1
2 1 3
แบบใช แบบแถว
16 .1 จงหา ( ) เมื่อ =
1 −1 2
1 1 −1
2 −2 3
แบบใช แบบหลัก

14. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 14
สมบัติของ และ
กําหนดให , , , เปนเมทริกซ มิติ ×
1) | | = | || |
2) | | = | |
3) | | = | |
4) | | =
1
| |
โดยที่ | | ≠ 0
5) | × | = | × | , ∈
6) ถา เปน − จะไดวา
6.1) | | ≠ 0
6.2) เปน − ดวย
7) | ± | ≠ | | ± | |
8)
2 3 4
1 2 3
3 4 5
=
2 3 4
1 2 3
3 4 5
=
2 3 4
1 2 3
3 4 5
9)
ℎ
=
ℎ
∗∗∗∗ | × | = | × |
10)
2 3 4
1 2 3
3 4 5
= −
1 2 3
2 3 4
3 4 5
=
1 3 2
2 4 3
3 5 4
11)
0 0 0
1 2 3
3 4 5
=
1 0 3
2 0 4
3 0 5
= 0
12)
1 2 3
1 2 3
3 4 5
=
1 1 3
2 2 4
3 3 5
= 0
13)
0 0
1 0
3 4
=
0 0
6 0
8 7
=
0 0
0 0
0 0
=
17 ให =
4 5
2 3
, =
3 3
4 5
จงหาคาของ
1) ( ) 2) ( + ) 3)
1
6
วิธีทํา
| | =
4 5
2 3
= 12 − 10 = 2
| | =
3 3
4 5
= 15 − 12 = 3
+ =
4 5
2 3
+
3 3
4 5
=
7 8
6 8
1) ( ) = ( ) ( ) = (2)(3) = 6
2) | + | =
7 8
6 8
= 56 − 48 = 8
3)
1
6
=
1
6
| || | =
1
6
| | | |
=
1
6
(3) (2) = 12 .
17 . ให =
5 2
2 1
, =
3 2
2 2
จงหาคาของ
1) ( ) 2) ( + ) 3)
1
2
17.1 ให =
0 1 0
1 −1 −2
2 0 1
, =
0 0 2
1 2 1
3 1 2
จงหาคาของ
1) ( ) 2) ( − ) 3)
1
5

15. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 15
18 ให =
ℎ
และ = 2
3 3 3
2 2 2
ℎ
และ ( ) = 3 จงหา ( )
วิธีทํา = 2
3 3 3
2 2 2
ℎ
=
6 6 6
4 4 4
2 2 2ℎ
| | =
6 6 6
4 4 4
2 2 2ℎ
= (6)(4)(2)
ℎ
∴ | | = 48
ℎ
= −48
ℎ
∴ | | = (−1)(−1)48
ℎ
= 48(3) = 144 .
19 ให =
1 −2
3 −4
และ (2 ) = 96
จงหา ( × )
วิธีทํา | | =
1 −2
3 −4
= −4 − (−6) = 2
|2 | = 96 ∴ 2 | | | | = 96
∴ 2 2 | | = 96 ∴ | | =
3
8
∴ | | = ±
8
3
.
20 ให 5 4
3 2
+
3 0
−2 4
=
4 3
1 3
จงหาคาของ (3 )
วิธีทํา
5 4
3 2
+
3 0
−2 4
=
4 3
1 3
5 4
3 2
=
4 3
1 3
−
3 0
−2 4
5 4
3 2
=
1 3
3 −1
∴
5 4
3 2
| | =
1 3
3 −1
∴ (10 − 12)| | = (−1 − 9)
∴ −2| | = −10 ∴ | | = 5
∴ |3 | = 3 | | = 3 | | = 3 . 5 = 225 .
21 กําหนดให ( × ) = −0.5 จงหา (2 × )
วิธีทํา (2 3×3
5
) = |2 3×3
5
| = 23
| 3×3|5
= 2 (−
1
2
) = −
1
4
.
18. ให =
ℎ
และ = 3
3
2 6 2
3 ℎ
และ ( ) = 2 จงหา ( )
19. ให =
1 −2
−1 2
และ
1
2
= 432
จงหา ( × )
20. ให 2 1
3 2
+
1 −2
2 −3
=
6 3
9 5
จงหาคาของ (2 )
21. ให ( × ) = −
1
4
จงหา (2 × )

16. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 16
22 ให =
+ + +
+ + +
+ + +
= และ | | = | |
จงหา คา
วิธีทํา จาก | | = | |
∴
+ + +
+ + +
+ + +
=
2( + + ) + +
2( + + ) + +
2( + + ) + +
=
2
( + + ) + +
( + + ) + +
( + + ) + +
=
2
+ +
+ +
+ +
=
2
+
+
+
=
2 = ∴ = 2 .
23 ให 3 =
1 2 2
2 1 −2
2
และ =
ถา =
1 −1 2
2
2 1 1
จงหาคาของ |2 |
วิธีทํา จาก =
1
3
1 2 2
2 1 −2
2
= ,
∴
1
3
1 2 2
2 1 −2
2
1
3
1 2 2
2 1 −2
2
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
∴
1
9
1 2 2
2 1 −2
2
1 2
2 1 2
2 −2
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
∴
1 0 + 4 + 2
0 1 2 + 2 − 2
+ 4 + 2 2 + 2 − 2 + 4 +
=
9 0 0
0 9 0
0 0 9
∴ + 4 + 2 = 0 , 2 + 2 − 2 = 0
3 + 6 = 0, ∴ = −2 , = −1
∴ |2 | = 2
1 −1 2
−2 2 −1
2 1 1
= 8(−9) = −72 .
22. ให =
2 + 2 + +
6 + 6 3 + 3 3 + 3
2 + 2 + +
= และ | | = | |
จงหา คา
23. ให =
0 2
−
−
และ =
จงหาคาของ | |

17. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 17
เมทริกซผูกพัน ( )
( ) = ให แทน ( )
24 จงหา ( ) เมื่อ =
1 −3 2
2 0 1
2 1 3
วิธีทํา ( ) = =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
= (−1)
0 1
1 3
= (1)(0 − 1) = −1
= (−1)
2 1
2 3
= (−1)(6 − 2) = −4
= (−1)
2 0
2 1
= (1)(2 − 0) = 2
= (−1)
−3 2
1 3
= (−1)(−9 − 2) = 11
= (−1)
1 2
2 3
= (1)(3 − 4) = −1
= (−1)
1 −3
2 1
= (−1)(1 + 6) = −7
= (−1)
−3 2
0 1
= (1)(−3 − 0) = −3
= (−1)
1 2
2 1
= (−1)(1 − 4) = 3
= (−1)
1 −3
2 0
= (1)(0 − 6) = −6
( ) =
−1 −4 2
11 −1 −7
−3 3 −6
=
−1 11 −3
−4 −1 3
2 −7 −6
.
การคูณของเมทริกซ
นิยาม ถา = แลว
−1
=
1
−
−
−
นิยาม −1
=
1
| |
( ) =
1
| |
โดยที่ | | ≠ 0
สมบัติของ ( )
1) ( ) = = | |
2) ( ) = | | = | |
3) ( ) = ( )
4) ( ) = ( )
5) ( ) = ( ) = | |
6) ( ) = ( )
7) ( ) = ( ) ( )
8) | ( )| = | |
9) ( ) = | |
10) ( ) = | |( )
24 . จงหา ( ) เมื่อ =
−5 −3
2 4
24 .1 จงหา ( ) เมื่อ =
1 −1 1
2 0 −2
−1 2 1
24 .2 เมื่อ =
1 −1 1
2 0 −2
−1 2 1
จงหา | ( )|
24 .3 เมื่อ =
1 −1 1
2 0 −2
−1 2 1
จงหา | ( )|
24 .4 เมื่อ =
1 −1 1
2 0 −2
−1 2 1
จงหา | ( )|

18. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 18
25 จงหา เมื่อ =
1 −2 1
−1 0 1
2 1 −1
วิธีทํา จาก −1
=
1
| |
( ) =
1
| |
=
1
| |
= +(−1) = −1, = −(−1) = 1, = +(−1)
= −(1) = −1, = +(−3) = −3, = −(5)
= +(−2), = −(2), = +(−2)
| | = + + แถวที่1
= (1)(−1) + (−2)(1) + (1)(−1) = −4
=
1
| |
=
1
−4
−1 1 −1
−1 −3 −5
−2 −2 −2
=
1
4
1 −1 1
1 3 5
2 2 2
=
1
4
−
1 1 2
1 3 2
1 5 2
.
26 ให =
5 8
1 2
จงหา
วิธีทํา −1
=
1
10 − 8
2 −8
−1 5
=
1
2
2 −8
−1 5
=
1 −4
−0.5 2.5
.
27 จงหา จากสมการ
2 1
0 4
+
4 1
−2 1
=
1 1
2 3
+
1 0
3 2
1 1
0 2
วิธีทํา
2 1
0 4
−
1 1
2 3
=
1 0
3 2
1 1
0 2
−
4 1
−2 1
1 0
−2 1
=
1 1
3 7
−
4 1
−2 1
=
−3 0
5 6
1 0
−2 1
=
−3 0
5 6
∴
1 0
−2 1
=
−3 0
5 6
∴
1 0
−2 1
=
−3 0
5 6
∴
−3 0
5 6
1 0
−2 1
=
−3 0
5 6
−3 0
5 6
∴
1
−18
6 0
−5 −3
1 0
−2 1
=
∴ =
1
−18
6 0
1 −3
.
25. จงหา เมื่อ =
2 −1 1
−1 0 2
1 1 1
26. ให =
10 8
3 2
จงหา
27 จงหา จากสมการ
1 0
2 1
+ 3
3 −1
3 −1
=
1 1
1 2
+
2 1
1 2
3 1
−1 1

19. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 19
Ex28 จงพิสูจนวา
1) ( ) = = | |
2) ( ) = | |
3) ( ) = ( )
4) ( ) = ( )
5) ( ) = ( )
6) ( ) = ( ) , ∈
วิธีทํา
1) ( ) = = | |
พิสูจน จาก =
1
| |
( ) =
1
| |
∴ ( ) = = | |
2) ( ) = | |
พิสูจน จาก =
1
| |
( ) =
1
| |
∴ ( ) = | |
∴ ( ) = | |A = | |I
3) ( ) = ( )
พิสูจน จาก ( ) = | |
∴ ( ) = | | ( )
= | | ( )
= (| | ) = ( )
4) ( ) = ( )
พิสูจน จาก ( ) = | |
∴ ( ) = | | ( )
= (| | ) = ( )
5) ( ) = ( ) = | |
พิสูจน จาก ( ) = | |
∴ ( ) = | | ( ) = | |
= (| | ) = ( )
6) ( ) = ( )
พิสูจน จาก ( ) = | |
∴ ( ) = | | ( )
= | | ( )
= | | = ( )
28 . จงพิสูจนวา
7) ( ) = ( ) ( )
8) | ( )| = | |
9) ( ) = | |
10) ( ) = | |( )
7) ( ) = ( ) ( )
8) | ( )| = | |
9) ( ) = | |
10) ( ) = | |( )

20. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 20
Ex29 ให =
1 2 2
−1 −3 3
2 4 1
จงหาคาของ det( ( ))
วิธีทํา จาก สูตร | ( )| = | |
∴ | | =
1 2 2
−1 −3 3
2 4 1
= 1(−3 − 12) − 2(−1 − 6) + 2(−4 + 6)
= −15 + 14 + 4 = 3
| ( )| = | | = 3 = 9 .
Ex30 ให =
1 3
1 3 3
2 4 4
และ = ( × )
ถา | × | = 4 จงหาคา
วิธีทํา จาก = ( ) ∴ | | = | ( )|
∴
1 3
1 3 3
2 4 4
= | |
∴ 1(12 − 12) − (4 − 6) + 3(4 − 6) = (4)
2 − 6 = 16 ∴ = 11 .
Ex31 ให A เปนเมทริกซ4 × 4 และ | | = −2
จงหาคาของ det( (4 ))
วิธีทํา จาก | ( )| = | |
∴ | (4 )| = |4 |
∴ = (4 | | ) = 4 (−2) = 2 = 2 .
Ex32 ให A เปนเมทริกซ5 × 5 และ | | = −2
จงหาคาของ det (2 )
วิธีทํา จาก ( ) = | |( )
∴ (2 ) = |2 |( )
∴ = (2 | | ) = 2 (−2) = 2 = 2 .
29. ให =
4 −1
3 2 2
1 4 −1
จงหาคาของ det( ( ))
30. ให =
4 −1
3 2 2
1 4 −1
และและ = ( × )
ถา | × | = −5 จงหาคา
31. ให A เปนเมทริกซ3 × 3 และ | | = −4
จงหาคาของ det( (2 ))
32. ให A เปนเมทริกซ4 × 4 และ | | = −4
จงหาคาของ det (2 )

21. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 21
การแกสมการ โดยใช ’
ℎ
=
∆ = | | =
ℎ
, ∆ = | | =
ℎ
∆ = | | = , ∆ = | | =
ℎ
=
∆
∆
, =
∆
∆
, =
∆
∆
33 จงแกสมการหาคา , , โดยใช ’
จากสมการตอไปนี้
3 − 2 − 2 = 1 … … (1)
2 − + 4 = 9 … … (2)
+ 3 + 3 = 4 … … (3)
วิธีทํา จัดสมการใหม ปรับตําแหนงใหถูกตองดังนี้
3 − 2 − 2 = 1 … … (1)
4 − + 2 = 9 … … (2)
+ 3 + 3 = 4 … … (3)
จะไดวา
3 −2 −2
4 −1 2
1 3 3
=
1
9
4
| | =
3 −2 −2
4 −1 2
1 3 3
∴ | | = [−9 − 4 − 24] − [2 + 18 − 24]
∴ | | = [−37] − [−4] = −33
| | =
1 −2 −2
9 −1 2
4 3 3
∴ | | = [−3 − 16 − 54] − [8 + 6 − 54]
∴ | | = [−73] − [−40] = −33
| | =
3 1 −2
4 9 2
1 4 3
∴ | | = [81 + 2 − 32] − [−18 + 24 + 12]
∴ | | = [51] − [18] = 33
| | =
3 −2 1
4 −1 9
1 3 4
∴ | | = [−12 − 18 + 12] − [−1 + 81 − 32]
∴ | | = [−18] − [48] = −66
∴ =
| |
| |
=
−33
−33
= 1
∴ =
| |
| |
=
33
−33
= −1
∴ =
| |
| |
=
−66
−33
= 2 .
33. จงแกสมการหาคา , , โดยใช ’
จากสมการตอไปนี้
3 + 2 + = 5 … … (1)
2 − − = 4 … … (2)
2 + 4 + = 9 … … (3)

22. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 22
นิยาม กําหนดระบบสมการเชิงเสนที่มี สมการ ตัวแปรดังนี้
+ + + … … . + =
+ + + … … . + =
+ + + … … . + =
… … . . + … … . + … … … + … … . + … . … = ⋯
+ + + … … . + =
เมทริกซแตงเติม( )ของระบบสมการนี้คือ
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
⋯ ⋮
⋯ ⋮
… …
… ⋮
… …
…
… ⋮
⋮
…
⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
นิยาม ให เปน × เมทริกซ เรียกการดําเนินการตอไปนี้วา
เปนการดําเนินการตามแถว( )กับเมทริกซ
1. การสลับที่แถวที่ และ ของ เขียนแทนดวย
2.คูณสมาชิกในแถวที่ ดวยคา ซึ่ง ≠ 0
เขียนแทนดวย
3.เปลี่ยนแถวที่ ของ โดยนําคา มาคูณสมาชิก
ในแถวที่ ( ≠ )แลวนําไปบวกสมาชิกแตละตัวในแถวที่
เขียนแทนดวย +
นิยาม ถาเมทริกซ ที่ไดจาก โดยการดําเนินการตามแถว
แลวจะกลาวไดวา สมมูลแบบแถว( )กับ
เขียนแทนดวย ~
34 จงแกระบบสมการ
3 + − = 4 , 3 − 2 = −1 ,2 + 3 − 2 = 6
วิธีทํา
3 1 −1
0 −2 3
2 3 −2
4
−1
6
~
1 −2 1
0 −2 3
−7 0 1
−2
−1
−6
−
− 3
~
1 0 −2
0 1 −1.5
0 −7 4
−1
0.5
−10
−
−0.5
0.5( − 7 )
~
1 0 −2
0 1 −1.5
0 0 −6.5
−1
0.5
−6.5
( − 7 )
~
1 0 −2
0 1 −1.5
0 0 1
−1
0.5
1 −
2
13
( − 7 )
~
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
0
1
+ 2
+ 1.5
= 1, = 2, = 1 .
34.1 จงแกระบบสมการ โดยการดําเนินการตามแถว
2 + 2 + = 7 , 3 − = 8 , − + 4 = 14
34.2 จงแกระบบสมการ โดยการดําเนินการตามแถว
3 − − 2 = 9 , 3 + 2 = 7 ,2 + 3 = −1

23. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 23
35 จงหา ดวยวิธีการ การดําเนินการตามแถว
เมือกําหนดให =
2 1 3
0 1 2
1 0 1
วิธีการทํา จัดใหอยูในรูปแบบ
[ | ]แลวดําเนินการตามแถวทํา ใหเปน [ | ]
~
2 1 3
0 1 2
1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
~
−1 1 0
0 1 2
1 0 1
1 0 −3
0 1 0
0 0 1
− 3
~
−1 1 0
0 1 2
0 1 1
1 0 −3
0 1 0
1 0 −2 +
~
1 0 1
0 1 2
0 1 1
0 0 1
0 1 0
1 0 −2
−
~
1 0 1
0 1 2
0 0 1
0 0 1
0 1 0
−1 1 2 −
~
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 −1 −1
2 −1 −4
−1 1 2
−
− 2
∴ =
1 −1 −1
2 −1 −4
−1 1 2
.
35.1 จงหา ดวยวิธีการ การดําเนินการตามแถว
เมือกําหนดให =
2 2 −1
3 0 1
1 −1 1
35.2 จงหา ดวยวิธีการ การดําเนินการตามแถว
เมือกําหนดให =
1 −1 0
−1 4 −1
−2 −2 1

24. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 24
ขอสอบ ส. ว. 2 − ป 2559
1.กําหนดให = ×
โดยที่ =
+ , <
× , =
− , >
และ = ถา =
−1 1
4 3
แลว − ตรงกับขอใด
1.
−2 0
−1 1
2.
2 0
−1 −1
3.
2 0
−1 1
4.
−2 0
1 −1
2.กําหนดให 








6143
11127
A , 







164
1085
B
ถา 






fed
cba
BA
แลวคาของ fedcba 3 ตรงกับขอใด
1. –7
2. 3
3. 8
4. 10
3.กําหนดให =
3 −2
1 2
, =
1 −1
2 −1
ถา = แลว 2
ตรงกับขอใด
1. 4
−1 1
5 −1
2.
1 1
25 9
3. 2
−2 2
10 2
4. − 4
1 −1
5 −1
4.กําหนดให 






yx
yx
A
2
และ 






dc
ba
A2
โดยที่
2
9
4 2
 xyydcba แลว  2
yx 
มีคาตรงกับขอใด
1.
9
16
2.
4
9
3.
9
4
4.
16
9
5.กําหนดให BA , เปนเมทริกซขนาด 33
ถา IAB 4 เมื่อI เปนเมทริกซเอกลักษณ
และ ABadj
2
1
)(  แลว )det(A มีคาตรงกับขอใด
1. 4
2. 8
3. 16
4. 32
6.กําหนดให 
Ik และ














111
11
312
kA
ถา 32)2det( 2
A และ







 

3
2
21
k
k
kk
B
แลว )det(
2
1 5
B มีคาตรงกับขอใด
1. 32
2. 48
3. –16
4. – 22

25. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 25
7.กําหนดให 






dc
ba
A ถา xA )det( โดยที่ 
Rx
และ
003
62
6
1
)3det(
3
2 3 ba
cd
ab
bxax
dc
A 
แลว )det(A มีคาตรงกับขอใด
1.
6
1
2.
3
1
3.
2
1
4. 1
8.ให












513
212
421
A แลว )(Aadj ตรงกับขอใด
1.













571
10716
0147
2.












5100
7714
1167
3.













5100
71714
1167
4.












571
10716
0147
9.ถา













150
413
021
A และ   22 ijbB
โดยที่






jiAC
jiAM
b
ij
ij
ij
,)(
,)(
แลว ))(det( Badj มีคาตรงกับขอใด
1. –22
2. –18
3. –15
4. –12
10. ถา 




 

















55
35
1
1
3
201
021
z
y
x
และ 








zxxz
zyyx
At
แลว 1
A ตรงกับขอใด
1.










01
2
2
1
2.












0
2
1
4
1
2
1
3.












0
4
1
2
1
2
1
4.











0
4
1
2
1
4
1
11.ถา 








43
32
A และ 








12
23t
B
แลว )det(3))(4det( 1
 BAB t
มีคาตรงกับขอใด
1. 19
2. 20
3. 21
4. 22

26. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 26
ขอสอบ ส. ว. 2 − ป 2558
1. ถาเมทริกซ =
3 −2
−3 4
และ = + − แลวคาของ คือขอใด
1. – 2
2. – 1
3. 1
4. 2
2. ให = ×
โดยที่ =
+ , <
× , =
− , >
ให =
3×3
และ + =
3 4 5
4 6 3
1 5 9
แลว เมทริกซ เทากับขอใด
1.
2 1 1
3 −2 2
1 4 0
2.
2 1 1
3 2 −2
−1 4 0
3.
2 −1 1
3 2 −2
1 4 0
4.
2 −1 2
3 2 −2
−1 4 0
3. ให = 2 +
4 2
, =
1 2
5
โดยที่ , ∈ ถา + =
2 8
9 −3
แลว คาของ + เทากับขอใด
1. – 2
2. –1
3. 1
4. 2
4. กําหนดให , และ เปนเมทริกซ
โดยที่ =
2×2
เมื่อ , ∈
ถา =
− 2
2
−
, =
1 2
3 0
0 5
และ = 2
−
แลวผลบวกของ เมื่อ = มีคาเทากับขอใด
1. –25
2. –32
3. –39
4. –41
5. กําหนดให =
1
2
3
0 −4
, =
−1 0
2
2
3
และ = 2 −1
ขอใดคือคาของ ( )
1. 12
2. 8
3. – 10
4. – 12
6. กําหนดให =
− 2
+ 2
, =
3 2
5 4
โดยที่ ∈ แลว
1
2
มีคาเทากับขอใด
1. –8
2. – 2
3. 2
4. 8
7.กําหนดให =
1
0 1 0
− 0 1
และ ( ) = 4
และ 31( ) = −2 แลว − เทากับขอใด
1. – 4
2. – 2
3. 0
4. 2

27. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 27
8.กําหนดให เปนจํานวนจริงใด ๆ โดยที่ < 0
และ =
1 0 2
0 3 0
2 0
ถา ( ) = 225
แลวคาของ 22( ) เทากับขอใด
1. –5
2. –2
3. 0
4. 2
9.กําหนด
2 1 3
0 4
1 1 2
= 0 แลว − 1 มีคาเทากับขอใด
1. – 6
2. – 2
3. 3
4. 4
10. ให =
1 −1 0
2 1 −1
1 −2
เมื่อ ∈
โดยที่ ( )−1
=
1
8
แลว − 7 มีคาเทากับขอใด
1. – 7
2. –4
3. 1
4. 5
11.กําหนด เปนเมทริกซที่มิใชเอกฐาน มิติ 2 × 2
แลวพิจารณาขอความตอไปนี้
ก. [( −1
)−1
] = ( )−1
ข. ถา −1
= 2 + แลว = 2 + 2
ขอใดกลาวไดถูกตอง
1. ถูกเฉพาะขอ ก.
2. ถูกเฉพาะ ขอ ข.
3. ถูกทั้งขอ ก.และ ข.
4. ผิดทั้งขอ ก.และ ข.
12. สมการเมทริกซ 1 3
2 −1
=
−2
6
ตรงกับระบบสมการในขอใด
1. + 2 = – 2 และ 3 – = 6
2. – = – 2 และ 2 – 3 = 6
3. + 3 = – 2 และ 2 + = 6
4. + 3 = – 2 และ 2 – = 6
13. กําหนด 1 −2
1 −3
+
2 1
−2 0
=
0 1
2 −3
เมื่อ , , , ∈ แลว + + + มีคาเทาใด
1. – 11
2. – 7
3. 7
4. 11
14. กําหนดให 2 3
3 −2
=
5
−12
แลวคาของ 2
− 2 เทากับขอใด
1. – 6
2. –2
3. 12
4. 16
15. ให =
1 2 3
1 0 4
0 4 3
ถา = , =
−1
2
−3
,
และ = แลว − − มีคาเทากับขอใด
1. – 10
2. – 8
3. 8
4. 10

28. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 28
16. กําหนดให =
1 2 −1
1 3 3
2 −1 2
เขียนเมทริกซ ดวยวิธีดําเนินการตามแถว ไดดังนี้
~
1 3
1 2 −1
2 −1 2
12
~
1 3 3
−1 −7
−2 4
− 2
2
แลว − + มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. – 6
2. – 4
3. – 3
4. – 5
ขอสอบ ส. ว. 2 − ป 2557
1. กําหนดให = ×
โดยที่ = 2
+ , <
+ , =
− , >
ให =
3×3
และ =
แลวคาของ 23 − 31 + 11 ตรงกับขอใดตอไปนี้
1. –1
2. 0
3. 1
4. 2
2. ให =
2 + 5
2 − 5
, =
2 − 5 5
2 4
ถา = แลว คาของ − เทากับขอใดตอไปนี้
1. – 2
2. 2
3. 4
4. 8
3. กําหนดให =
2 1
3 5
0 −1
และ =
1 2
4 1
3 −2
แลว มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1.
4 9 4
13 17 −1
−2 1 2
2.
4 9 4
13 −17 −1
−2 1 −2
3.
4 9 4
13 −17 −1
−2 −1 2
4.
4 9 4
13 17 −1
−2 −1 2
4. กําหนดให
1
2 −
2
1 −
− =
2
0
0 7
และ , เปนจํานวนนับ แลว + มีคาตรงกับ
ขอใดตอไปนี้
1. 0
2. 2
3. 3
4. 5
5. กําหนดให
1 −1
2 1
2 3
1 0
= +
−2 3
4 5
ผลบวกของสมาชิกทุกตัวของเมทริกซ มีคาตรงกับขอใด
1. – 1
2. 0
3. 1
4. 2
6. กําหนดให − 1 2 − 5
−4
= 10 , ∈
และ =
− 1 1 −2
−1 3
0 −1 + 1
แลว ( )
มีคาตรงกับขอใดตอไปนี้
1. 0
2. 4
3. 16
4. 32

29. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 29
7. กําหนดให =
2 2
1 5
แลว ( ) มีคาตรงกับ
ขอใดตอไปนี้
1 2
2. 4
3. 6
4. 8
8. กําหนดให =
1
0 1 0
− 0 1
และ ( ) = 2
และ 21( ) = – 3 แลว ( ( )) มีคาตรงกับขอใด
1. – 16
2. – 4
3. 5
4. 25
9. ให =
1 3 2
0 4 5
−1 0 6
, =
( ) ( )
− ( ) − ( )
และ =
1
, , , , , เปนจํานวนเต็ม
แลว – – มีคาตรงกับขอใดตอไปนี้
1. 18
2. 15
3. 10
4. 8
10. ให =
1 −2
0 −1 3
−1 − 1 −
โดยที่ ∈
ถา 21( ) = 10 แลว (6 −1
) มีคาตรงกับขอใด
1. 12
2. 3
3. – 36
4. – 42
11.กําหนดให และ เปนเมทริกซมิติ 3 × 3
โดยที่ ( ) = – 2 และ ( ) = 3
แลว (2 ) มีคาตรงกับขอใดตอไปนี้
1. – 3
2. – 4
3. – 6
4. – 12
12. ถา , และ สอดคลองกับระบบสมการ
– 3 =
3 + – 2 =
2 + 2 + =
และ
1 0 −3
3 1 −2
2 2 1
~
1 0 −3
0 1 7
0 0 1
−2
11
2
คาของ + – ตรงกับขอใดตอไปนี้
1. – 2
2. – 1
3. 0
4. 2
13. กําหนดให เปนเมทริกซขนาด 33 โดยที่
=
1 2 3
1 0 4
0 4 3
ถา =
และ = [1 −2 3]
และ = แลว – + มีคาตรงกับขอใด
1. – 6
2. – 2
3. 1
4. 4

30. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 30
ตอนที่ 2 จงแสดงวิธีทําโดยละเอียด ( 2 ขอ 5 คะแนน )
1. ถา , , เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับระบบสมการ
– 2 + 3 = 7
2 – = 0
3 + = 3
จงหาคาของ + + ( 3 คะแนน )
(แกระบบสมการโดยใชกฎของคราเมอร)
1. เขียนรูปสมการเมทริกซ ( 0.5 คะแนน )
2.แสดงวิธีการหา ( ) ( 0.5 คะแนน )
3. แสดงวิธีการหาคาของ , , ( 1.5 คะแนน )
ขอสอบ ส. ว. 2 − ป 2555
1.กําหนดให 







021
212
y
bax
= 







011
1312
x
ax
แลว 




 
22
yx
yabx
มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. 





 49
60
2. 





49
60
3. 





 46
60
4. 





46
90
2.ให = 




 
32
11
, 







13
21TB และ 






y
x
C
5
11
ถา =
TTTAB












3 แลว คาของ + มีคาเทาใด
1. – 3
2. – 5
3. 4
4. 16
3.กําหนดให =












108
223
110
และ =











35
34
12
ถา = และ ∈ C แลว × มีคาเทาใด
1. 144
2. 133
3 122
4. 111
4.ถา =
nmij
a





, =
pnij
b





,
=
qpij
c





และ =
pnij
d





ขอใดตอไปนี้ไมถูกตอง
1. ( ) = ( )
2. ( + ) = +
3.     TDBATATDB 
4.
n
IAA
m
I 
5.กําหนดให =













122
213
121
แลว คาของ
)()()( 231232 ACACAM  มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. 0
2. 2
3. 4
4. 8

31. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 31
6. ให =











605
410
321
และ =








)(
22
)(
31
)(
23
)(
11
ACAC
ACAC
แลว ( ) เทากับขอใดตอไปนี้
1. 







911
106
2.








610
119
3. 





611
109
4.








611
109
7.กําหนดให 2
24
21



x
x
โดยที่ > 0 และ
= 







13
523
xx
xx
แลว ตัวผกผันการคูณของ เทากับ
ขอใดตอไปนี้
1. 





134
31
2.








13
413
3. 





134
31
4.








14
313
8. กําหนดให = 







43
32
และ 








12
23TB แลว
(4( ) ) − 2 (2 ) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. 24
2. − 12
3. – 8
4. 6
9.กําหนดให และ เปนเมทริกซที่มีมิติ 22  โดยที่
+ = 





73
13
และ – = 





13
31
แลวคาของ 



  TBA 12det เทากับขอใดตอไปนี้
1. – 5
2. – 8
3. – 10
4. – 12
10.กําหนดให เปนจํานวนเต็ม และ = 







329
21
x
x
,
= 







x
xx
352
32
ถา   28det  BA
แลว 





BA
2
3
det มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. − 1224
2. − 1022
3. 1124
4. 1102
11.กําหนดให =










 212
331
021
เขียนเมทริกซที่กําหนดให ดวยวิธีดําเนินการตามแถว ดังนี้
~
1 3 3
1 0
2 −1 2
12
~
1 3 3
1 2 0
−2 4 2 3
~
~
1 3 3
−11 10
4 −2 4
2 − 3 1
แลว + + มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. – 6
2. – 4
3. – 3
4. – 5

32. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 32
12.กําหนดให
1
0002
2401
4300
2231
k



,
2
0002
0630
4300
2231
k



,
และ
3
4460
0630
4300
2231
k



, ถา
321
kkk  ตามสมบัติ
ดีเทอรมิแนนต ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. 60
21
kk
2. 60
21
2 kk
3. 60
2
2
1
 kk
4. 60
21
 kk

33. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 33
ขอสอบสรางเสริมประสบการณ
1. ให =
1 2 −2
3 1 1
4 3 −1
, =
2 −1 0
4 5 −2
−3 1 3
จงพิจารณาวาขอใดถูกตอง
1. ถา ∈ (2 + 3 ) แลว = 5
2. ถา ∈ ( − 2 ) แลว = 10
3. ถา ∈ ( + 2 ) แลว = 1
4. ถา ∈ (3 − ) แลว = 2
2.ให ∈ × โดยที่ =
+ 2 , =
2 + , ≠
และ ∈ × โดยที่ =
− 2 , >
2 , =
3 , <
จงพิจารณาวาขอใดไมถูกตอง
1. ถา ∈ ( − 2 ) แลว = −1
2. ถา ∈ ( + ) แลว = 6
3. ถา ∈ (2 + 3 ) แลว = 13
4. ถา ∈ ( + 2 ) แลว = 12
3. ถา 2
1 3
0
+
1 2
=
5 7
1 10
แลว + − มีคาตรงกับขอใด
1. 5
2. 6
3. 7
4. 8
4.ให =
1 1 0
−1 2 1
2 −1 2
, =
−1 2 1
1 1 1
2 3 −1
โดยที่ ∈ และ ∈
จงพิจารณาวาขอใดไมถูกตอง
1. + = 6
2. + = 5
3. − = 1
4. − = −2
5.ให =
1 0
2 1
และ ∈
จงพิจารณาวาขอใดไมถูกตอง
1. =
2. + + + = 4026
3. + + = 3
4. = 4024
6.ให =
1 1
1 1
แลว มีคาตรงกับขอใด..
1. 2
2. 2
3. 2
4. 2
7.ให =
0
0
โดยที่ = −1 และ =
1 0
0 1
แลว มีคาตรงกับขอใด
1. =
2. = −
3. = −
4. =
8.ให =
1 2
3 0
และ =
−1 0
2 3
แลว ขอใดถูกตอง
1. =
2. =
3. =
3 6
−3 0
4. =
−1 −2
−7 0
9.ให =
3 1
−1 2
แลว − 5A เทากับขอใด
1.
2. −
3. 7
4. − 7

34. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 34
10.ให m, n ∈ และ =
1
0 1
แลว ( ) ( ) เทากับขอใด
1.
2.
3.
4.
11.ให =
1 5
0 2
และ 0 =
0 0
0 0
แลว ขอใดถูกตอง
1. − 2 + 2 = 0
2. − 3 + 2 = 0
3. − 5 + 2 = 0
4. 2 − + = 0
12.ให =
1 2
−1 1
และ ( − 1) = 2 − 3x − 2
แลว ( ) เทากับขอใด
1.
−4 −5
10 −4
2.
4 −5
10 −4
3.
−4 5
10 −4
4.
−4 −5
10 4
13.ให × เปน −
และ = A และ = −1
แลว เทากับขอใด
1.
2. ( )
3. −
4.
14.ให เปน
และ =
1 + 1 1
1 1 + 1
1 1 1 +
แลว เทากับขอใด
1. − 3,0
2. − 2,0
3. − 2,−3
4. − 1,1
15.ให =
1 2 3
4 5 6
3 5
จงหาคา ที่ทําให
เปน
แลว เทากับขอใด
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
16.ให 4 + + 2 = 0, + 4 + = 0
2 + 2 + = 0 และ x, y, z ≠ 0
แลว เทากับขอใด
1. 1,2
2. 2,4
3. 3,5
4. 4,6
17.ให =
1 1 −2
2 0 3
−1 2 1
, =
3 1 −1
−2 0 1
−1 2 −1
เปน −
แลว det( ) เทากับขอใด
1. 36
2. 25
3. 16
4. 9
18.ให 2 3
1 −1
−
−1 0
2 3
3 1
1 2
=
9 −4
−4 −9
แลว 25 −2
เทากับขอใด
1.
−3 −4
4 −3
2.
−3 4
4 −3
3.
−3 4
−4 −3
4.
3 −4
4 −3

35. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 35
19.ให =
1 −1 1
2 1 −3
1 1 1
, 10 =
4 2 2
−5 0
1 −2 3
ถา = แลว มีคาเทากับขอใด
1. 3
2. 4
3. 5
4. 6
20.ให =
+ 1 + 2 + 4
+ 3 + 5 + 8
+ 7 + 10 + 14
แลว det(2 ) มีคาเทากับขอใด.
1. 32
2. 34
3. 36
4. 38
21.ให =
+ + 2 + 3
+ 2 + 3 + 4
+ 4 + 5 + 6
แลว det( ) มีคาเทากับขอใด
1. + + − 3
2. 3abc
3. 1
4. 0
22.ให =
− 1
− 1
− 1
เปน และ , , มีคาแตกตางกัน
แลวขอใดเปนจริง
1. + + = 0
2. + + = −1
3. = 0
4. = −1
23. ถา = −1 แลว
1 + 1 − 1
1 − 1 1 +
1 1 + 1 −
มีคาตรงกับขอใด
1.
2. 1
3. 5
4. 9
24.
1 1 1
1 2 3
1 3 6
มีคาเทากับขอใด
1.
2 1 1
2 2 3
2 3 6
2.
2 1 1
3 2 3
4 3 6
3.
1 2 1
1 5 3
1 9 6
4.
3 1 1
6 2 3
10 3 6
25.
1 1 1
+ 1
มีคาเทากับขอใด
1. −
2. −
3. +
4. 0
26.ให =
⎣
⎢
⎢
⎡
1
√2
−
1
√2
1
√2
1
√2 ⎦
⎥
⎥
⎤
แลว เทากับขอใด
1.
2.
3.
4.
27.ให =
0 −1 0
1 0 0
0 0 −1
แลว เทากับขอใด
1.
2.
3.
4.
28.ให =
4
0
0 0
และdet( ) = 256
แลว มีคา เทากับขอใด
1. 16 2. 25
3. 36 4. 64

36. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 36
29.ให =
−1 −3 0
1 −3 2
1 3 −1
และ ∈ ( ) แลวขอใดไมถูกตอง
1. = −6
2. = 2
3. = 0
4. = −3
30.ให =
0 −3 −2
1 −1 −2
2 3 0
และ ∈ adj ( ) แลวขอใดไมถูกตอง
1. = −4
2. = 2
3. = −6
4. = −2
31.ให =
1 −4 −4
2 −1 0
1 0 −1
แลว det adj(A) มีคาเทากับขอใด
1. − 11
2. 121
3. − 7
4. 49
32.ให =
1 −2 −1
2 −1 1
1 0 −1
แลว det adj adj(A) มีคาเทากับขอใด
1. − 6
2. 36
3. 1296
4. 2592
33.ให det( × ) = −2
แลว det ( (2 )) มีคาเทากับขอใด
1. 2
2. 2
3. 2
4. 2
34.ให det( × ) = −3
แลว det adj ( (3 )) มีคาเทากับขอใด…
1. 3
2. 3
3. 3
4. 3
35.ให det( × ) = −1, det( × ) = −2
แลว | (2 )| มีคาเทากับขอใด.
1. 2
2. 2
3. 2
4. 2
36.ให det( × ) = −4, det( × ) = 0.5
แลว (2 ) มีคาเทากับขอใด
1. 2
2. 2
3. 2
4. 2
37.ให =
−1 −5 2
0 3 1
1 7 3
แลว adj adj(A) เทากับขอใด
1.
2 1 −1
1 −1 1
−3 −2 −3
2.
2 −1 1
1 −1 −1
−3 2 3
3.
−2 1 −1
1 1 −1
−3 2 3
4.
2 1 1
1 −1 1
−3 2 −3
คําตอบ ชุดเสริมประสบการณ
ขอ 1 − 20 ∶ 44233 24341 21414 22131
ขอ 21 − 37 ∶ 44442 11443 23231 24

37. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 37
รวมขอสอบ ชุด เมทริกซ
1.กําหนดให =
0
−2 1
และ =
1 0
1
เมื่อ และ เปนจํานวนจริงที่ไมเปน 0
ถา( )−1
=
8 −2
−3 1
แลว (2 + ) เทากับขอใด. .
1. 3
2. 6
3. 9
4. 12
1 − มี. ค. 59 − (26) − เมทริกซ
2.กําหนดให =
2 −2 1
2
1 2 2
เมื่อ และ เปนจํานวนจริง
ถา = 9 เมื่อ เปนเมทริกซเอกลักษณที่มีมิติ 3 × 3
แลว 2
− 2
มีคาเทาไร.
1. 3
2. 6
3. 9
4. 12
1 − มี. ค.59 − (39) − เมทริกซ
3.ให และ เปนเมทริกซที่มีมิติ 2 × 2 โดยที่ =
1 2
3 4
และ =
−1 2
−1 4
พิจารณาขอความตอไปนี้
(ก) =
7 10
22 32
(ข) ( − )( + ) ≠ −
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง .
1. (ก)ถูก และ (ข)ถูก
2. (ก)ถูก แต (ข)ผิด
3. (ก)ผิด แต (ข)ถูก
4. (ก)ผิด และ (ข)ผิด
1 − มี. ค. 58 − (18) − เมทริกซ์
4.ให และ เปนเมทริกซที่มีมิติ3 × 3 โดยที่ ( ) > 0,
( ) − 2( ) − 3 = 0 และ =
เมื่อ เปนเมทริกซเอกลักษณการคูณมิติ 3 × 3
พิจารณาขอความตอไปนี้
(ก) 7 − < 0 (ข) (2 − 3 ) = 2
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง . .
1. (ก)ถูก และ (ข)ถูก
2. (ก)ถูก แต (ข)ผิด
3. (ก)ผิด แต (ข)ถูก
4. (ก)ผิด และ (ข)ผิด
1 − มี. ค. 58 − (21) − เมทริกซ์
5.ให =
1 2
2 1
และ =
เมื่อ , , และ เปนจํานวนจริงบวก โดยที่ = 9
และ ≠ ถา −1
= −1
และ ( ) = −24
แลว คาของ + + + เทากับขอใด … .
1. 5
2. 6
3. 7
4. 8
5. 9
1 − ต.ค. 58 − ขอ26 − เมทริกซ
6.ให และ เปนจํานวนจริงและ
1 0
4 1
5 −
= −17
แลวคาของ
5 + 2 2 5
8 + 2
2 − 0 −
เทากับเทาใด.
1. 68
2. 69
3. 70
4. 71
5. 72
1 − ต.ค. 58 − ขอ36 − เมทริกซ

38. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 38
7.กําหนดให =
1
4
, =
1 0
0 1
เมื่อ และ เปนจํานวนจริงที่ ≠ 0
และเมทริกซ สอดคลองกับสมการ 2( − )−1
= 4 −
พิจารณาขอความตอไปนี้
(ก) = 2
(ข) (3 ) = 324
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง …
1. (ก)ถูก และ (ข)ถูก
2. (ก)ถูก แต (ข)ผิด
3. (ก)ผิด แต (ข)ถูก
4. (ก)ผิด และ (ข)ผิด
1 − เม. ย. 57 − (7) − เมทริกซ
8.จงพิจารณาขอความตอไปนี้
(ก) ถา , , เปนจํานวนจริงซึ่ง = 1 และ =
0 0
0 0
0 0
และ เปนเมทริกซเอกลักษณขนาด 3 × 3
แลว ( + + ) = 0
(ข)ถา = โดยที่ ( ) = 3 แลว
− 2 + 3 − 2 + 3 − 2 + 3
2 2 2
3 3 3
= −18
ขอใดกลาวถูกตอง ..
1. (ก)ถูก และ (ข)ถูก
2. (ก)ถูก แต (ข)ผิด
3. (ก)ผิด แต (ข)ถูก
4. (ก)ผิด และ (ข)ผิด
1 − เม. ย. 57 − (27) − เมทริกซ
9. ให =
1 −2
0 −1
, =
1 0
0 1
และ เปนเมทริกซใด ๆ ที่มีมิติ 2 × 2
ให เปนจํานวนจริงซึ่งสอดคลองกับสมการ ( 2
+ ) = 0
พิจารณาขอความตอไปนี้
(ก) ( + ) = 0
(ข) ( + − ) = ( )
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง .
1. ก.ถูก และ ข.ถูก
2. ก.ถูก และ ข.ผิด
3. ก.ผิด และ ข.ถูก
4. ก.ผิด และ ข.ผิด
1− มี.ค.57 − (7) − เมทริกซ
10. ให และ เปนเมทริกซจตุรัสมิติเทากันโดยที่ ( ) ≠ 0
และ ( ) ≠ 0 ถา ( −1
+ −1
) ≠ 0
( + ) ≠ 0 แลว ( + ) ตรงกับขอใดตอไปนี้..
1. ( + )
2. ( + )
3. ( + )
4. ( + )
1 − มี. ค.57 − (27) − เมทริกซ
11. ให และ เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับ
| | 1
2 − | |
+ 2
2
−1 | |
=
10 + 0
7 7 −
จงหาคาของ + .
1. 3
2. 4
3. 5
4. 6
1 − พ. ย. 57 − (36) − เมทริกซ

39. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 39
12.ให เปนเมทริกซที่มีมิติ2 × 3, เปนเมทริกซที่มีมิติ3 × 2
และ เปนเมทริกซที่มีมิติเปน2 × 2 โดยที่
=
1 16
1 4
พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ( ) − ( ) = 0
ข. ถา =
−1 2
1 2
แลว =
5 7
6 10
ขอความใดตอไปนี้ถูกตอง … .
1. (ก)ถูก และ (ข)ถูก
2. (ก)ถูก แต (ข)ผิด
3. (ก)ผิด แต (ข)ถูก
4. (ก)ผิด และ (ข)ผิด
1 − พ. ย. 57 − (26) − เมทริกซ
13. ให และ เปนเมทริกซมิติ3 × 3
โดยที่ ( ) = −2 ( ) = −2 และ
=
−
5
3
7 5
0 0
0 −3 − 7
เมื่อ และ เปนจํานวนจริง ถา + 3 = 2
เมื่อ เปนเมทริกซเอกลักษณที่มีมิติ 3 × 3
แลว + เทากับขอใดตอไปนี้ ….
1. 0
2. 1
3. 2
4. 3
1 − 56 − มี. ค.(13) − เมทริกซ
14.ให แทนเซตของจํานวนจริง ทั้งหมดที่ทําใหเมทริกซ
4 −2 7
−1 3
2 0
เปนเมทริกซเอกฐาน และ เทากับผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต
ถา =
1
−1
แลว ((( −1
) )
−1
) มีคาเทาใด ..
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
1 − 56 − มี. ค.(33) − เมทริกซ
15.กําหนดให , , , , และ เปนจํานวนจริง และ
=
1
−1
, = , =
0 1
−1 1
, =
1 0
0 1
ถา 3
= และ = 3 แลวคาของ
1
2
เทากับขอใดตอไปนี้ .
1. 2.25
2. 1.5
3. − 2.25
4. − 1.5
1 − 55 − มี. ค.−(13) − เมทริกซ
16.ให , และ เปนเมทริกซไมเอกฐาน( )
มิติ 3 × 3 และ เปนเมทริกซเอกลักษณการคูณ มิติ 3 × 3
ถา =
ℎ
เมื่อ , , , , , , , ℎ และ เปนจํานวนจริง
และ 3
= −3 , ( −1
) = 5 และ
=
−2 − 3
−2 − 3ℎ
−2 − 3
แลว ( ) เทากับเทาใด .
1. 90
2. 91
3. 92
4. 93 1 − 55 − มี. ค. −(30) − เมทริกซ

40. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 40
17.กําหนดให เปนเมทริกซ ที่มีมิติ3 × 3 และ ( ) ≠ 0
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง . .
ก. ( ) = ( )
ข. ถา = 3 แลว ( ) = 3
1. ก.ถูก และ ข.ถูก
2. ก.ถูก และ ข.ผิด
3. ก.ผิด และ ข.ถูก
4. ก.ผิด และ ข.ผิด
1 − 55 − ต.ค.(13) − เมทริกซ
18.กําหนดให , , เปนเมทริกซที่มีมิติ3 × 3 โดยที่ ≠ 0
ถา =
2 −1 −3
−4 2 1
3 −1 0
และ ( −1
) = −10 แลว ( ) เทากับเทาใด. .
1. 450
2. 500
3. 550
4. 600
1 − 55 − ต.ค.(33) − เมทริกซ
19.กําหนดให เปนจํานวนเต็มและ
=
2 −1
−
เปนเมทริกซที่มี = −3
ถา เปนเมทริกซมีมิติ 2 × 2 โดยที่ −1
+ + = 3
เมื่อ เปนเมทริกซเอกลักษณการคูณมิติ 2 × 2
แลวคาของ อยูในชวงใดตอไปนี้. .
1. [1,2]
2. [−1,0]
3. [0,1]
4. [−2,−1]
1 − 54 − มี. ค. ขอ 12 − เมทริกซ
20.ให =
0 3
, ≤ 0 , เปนเมทริกซขนาด2 × 2
และ เปนเมทริกซเอกลักษณขนาด 2 × 2
ถา 2
= และ 2 −1
− 3 = 2 − 1 − 3 =
จงหาคาของ 2 + 3 .
1. 4
2. 3
3. 2
4. 1
1 − ธ. ค.54 − ขอ10 − เมทริกซ
21.กําหนดให =
2 1 0
0 −1 3
0 0 −
และ ( − −1
) = 0 เมื่อ เปนจํานวนจริงบวก
จงหาคาของ
1
2
−1
(3 − 2 ) ..
1. 3
2. 5
3. 7
4. 9 1 − ธ. ค. 54 − ขอ32 − เมทริกซ
22.ให และ เปนเมทริกซที่มีขนาด 2 × 2 โดยที่
2 − =
−4 −4
5 6
และ − 2 =
−5 −8
4 0
คาของ ( 4 −1
) เทากับเทาใด…
1. 30
2. 31
3. 32
4. 33
1 − 53 − มี. ค.−ขอ 31 − เมทริกซ
23. ให , , และ สอดคลองกับสมการ
1 0
−1
−1
0
=
2 −1
2
1 0
−1
คาของ 4 − 3 + 2 − เทากับเทาใด. .
1. 5
2. 6
3. 7
4. 8 1 − 53 − มี. ค.−ขอ 32 − เมทริกซ

41. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 41
24.กําหนดให =
1 1
1 −1
และ =
ถา −1
=
−2 0
0 4
แลว คาของ เทากับขอใดตอไปนี้ .
1. − 3
2. − 1
3. 0
4. 1
1 − ต.ค. 53 ขอ 12 − เมทริกซ
25.กําหนดให เปนเมทริกซที่สอดคลองกับสมการ
1 −2
4 3
+ 4 =
2 1 −2
0 1 3
3 2
1 4
−3 1
แลวคาของ 2 ( + ) เทากับเทาใด. .
1. 369
2. 396
3. 639
4. 693
1 − ต.ค.53 ขอ 36 − เมทริกซ
26.กําหนดให
=
0 1
0 1
, =
1 1
0 0
และ =
1 −1
0 2
คาของ (2 + + )
เทากับขอใดตอไปนี้ …
1. − 1
2. 0
3. 2
4. 6
1 − 53 − ก. ค. ขอ 12 − เมทริกซ
27.ให , , , เปนจํานวนจริง ถา
3 5
2
= 5 6
− 1 3
+ 4 5 +
2 2
แลวคาของ + เทากับเทาใด … .
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
1 − 53 − ก. ค. ขอ 30 − เมทริกซ
28.ให , , , , เปนจํานวนจริง ถา =
โดยที่ = ≠ 0 และ ( + 2 −1
) = 0
แลวคาของ ( − 2 −1
) เทากับเทาใด… .
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
1 − 53 − ก. ค. ขอ 31 − เมทริกซ
29.กําหนดให =
1 2 −1
2 2
2 1
โดยที่ และ เปนจํานวนจริง
ถา 11( ) = 13 และ 21( ) = 9
แลว ( ) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ … .
1. − 33
2. − 30
3. 30
4. 33
1 − มี. ค. 52 − ขอ21 − เมทริกซ

42. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 42
30.กําหนดให =
−2 2 3
1 −1 0
0 1 4
สมาชิกในแถวที่ 2 และหลักที่ 3 ของ เทากับขอใดตอไปนี้…
สวนบนของฟอรม
1. −
2
3
2. − 2
3.
2
3
4. 2
1 − มี. ค.52 − ขอ22 − เมทริกซ
31.กําหนดให = สอดคลองสมการ = เมื่อ
=
1 2 1
−2 0 1
0 1 2
, =
1 −1 0
2 0 −1
1 4 0
, =
2
−2
3
,
ถา (2 + ) = แลว + +
มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ …
1. 3
2. 6
3. 9
4. 12
1 − 52 − ต.ค.−ขอ11 − เมทริกซ
32.ถา 2
0 0
0 2 2
3 1 5
=
1
− 1
แลว มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ … .
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
1 − 52 − ต.ค.−ขอ12 − เมทริกซ
33.กําหนดให =
1 2 4
−3 8 0
1 2 −1
สมาชิกในแถวที่ 3 หลักที่ 1 ของ −1
เทากับเทาใด ..
1. 0.1
2. 0.2
3. 0.3
4. 0.4
1 − 52 − ต.ค.−ขอ36 − เมทริกซ
35.ถา และ เปนเมทริกซซึ่ง
2 − =
3 4
3 6
และ + 2 =
−1 2
4 −2
แลว ( ) คือเมทริกซในขอใดตอไปนี้ ….
1. −
1
4
0
1 −1
2.
−1 0
1 −
1
4
3. 1
1
4
0 −1
4.
1 −1
0 −
1
4
1 − 52 − ก. ค.−ขอ 23 − เมทริกซ
36. กําหนดให , , เปนจํานวนจริงและ =
−1 0
1 1
1 −1
ให ( )คือโคแฟกเตอรของสมาชิกในตําแหนงแถวที่ หลักที่
ของ ถา ( ) = 1 และ ( ) = −5
แลว เทากับขอใดตอไปนี้…
1. − 5
2. − 1
2. 2
4. 4
2539 − (15) − เมทริกซ

43. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 43
37.เซตของจํานวนจริง ทั้งหมดที่ทําใหเมตริกซ
1 0 −
2 1 0
3 5
เปนเมตริกซเอกฐาน คือขอใด.
1. 1,
5 + 3√5
2
,
5 − 3√5
2
2. 1,5 + 3√3 , 5 − 3√3
3. 1,
3 + √5
4
,
3 − √5
4
4. 1,3 + √5 ,3 − √5
2539 − (16) − เมทริกซ
38. ให =
1 2 −1
2 1 1
−1 1 0
และ =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
ถา เปนเมตริกซที่ทําให = =
แลวคาของ ( ) มีคาเทากับขอใด….
1. 1
2. 16
3. 25
4. 36
2539 − (41) − เมตริกซ
39.ให เปนเมตริกซจัตุรัสขนาด4 × 4
และ ( )คือไมเนอรของ ถา ( ) = 5
แลว (2 )มีคาเทากับขอใด
1. 10
2. 20
3. 40
4. 80
2538 − (22) − เมตริกซ
40. ถา = ×
เมื่อ เปนจํานวนจริง
และ เปนจํานวนเต็มที่มากกวา1 แลวขอความใดตอไปนี้ผิด
−2 ( + ) …
1. ( ) = ( )
2. ( ) = ( ), ∈
3. ( + ) = [ ( ) + 1] ( )
4. [ ( )] = ( ) = ( )
2537 − (30) − เมตริกซ
41. กําหนดให และ เปนเมตริกซจัสตุรัสขนาด3 × 3
และ เปนเมตริกซเอกลักษณ ขนาด 3 × 3
ถา = = และ =
1 1 −1
2 1 3
1 0 1
แลวเมตริกซผูกพันของ เทากับขอใด.
1.
1
3
2. − 3
3.
1
3
4. − 3
2537 − (31) − เมตริกซ
42. ให เปนเมตริกซและ เปนเมตริกซเอกลักษณมิติ 3 × 3
ถา =
1 2 −1
3 0 1
−2 1 0
และ =
0 2 −3
3 −1 2
0 2 1
สอดคลองกับสมการ − −
1
2
= 0 แลว
คือเมตริกซในขอใด ..
1.
1 0 2
0 1 −1
−2 −1 −1
2.
2 0 4
0 2 −2
−4 −2 −2
3.
−1 0 −2
0 −1 1
2 1 1
4.
−2 0 −4
0 −2 2
4 2 2
2537 − (32) − เมตริกซ

44. เอกสารประกอบการเรียนคณิตศาสตร ”Matrix” โดย….อ.สุทธิ คุณวัฒนานนท หนาที่ 44
43. ถา =
−1 1
3 −1
แลว −2 ( + )
มีคาเทากับขอใด..
1. 768
2. − 768
3. 384
4. − 384
2536 − (30) − เมตริกซ
44. กําหนดให และ เปนนอนซิงกูลารเมตริกซขนาด2 × 2
โดยที่ =
−1 −2
เมื่อ และ เปนจํานวนจริง
ถา + 3 = 2 แลว + เทากับขอใด….
1. 2
2. − 2
3. 4
4. − 4
2536 − (31) − เมตริกซ
45. ให = , =
2 − 2
− 2 2
แลว ( ) มีคาเทากับขอใด ….
1. 1 + + 3
2. 1 − + 3
3. 1 + − 3
4. 1 − − 3
2535 − (26) เมตริกซ
46.ให และ เปนเมตริกซมิติ 2  2
จงพิจารณาขอความตอไปนี้
ก. ถา = − แลวสมาชิกในแนวทะแยงมุมจากบนซาย
ถึงลางขวาของ เปน 0 ทั้งหมด
ข. ถา = และ เปนนอนซิงกูลารเมตริกซ
แลว เปนนอนซิงกูลารเมตริกดวย
ขอใดตอไปนี้ถูก
1. ก. ถูก ข. ถูก
2. ก. ถูก ข. ผิด
3. ก. ผิด ข. ถูก
4. ก. ผิด ข. ผิด
. 34 − ขอ 28 − เมตริกซ