3
- 1. PAT 1 (เลข) สอบครงท 2/2552
เฉลยอยางไมเป!นทางการ โดย ค&ณแนท ศศ*กานต, เล*ศล-าเนาชย
ทมงานอาจารย,อ01ขอขอบพระค&ณมา ณ โอกาสน
http://teacherooh.com
ขอ 1.
จาก ≡→ qp ~ pq ~→
จะไดวา )]([~)]([)]([~)]([ xPxxQxxQxxPx ∃→∀≡∃→∀
ตอบขอ 2.
ขอ 2.
พจารณา ขอ 4. ]9)[( 22
xyyyxyx +≥−∃∃
จะไดวา
011
011
92
2
222
≥−
≥−
+≥+−
yx
xyx
xyyyxyx
ซงไมมคา x และ y ทอยในจานวนเต"มบวก และนอยกวา 10 ททาใหสมการเป'น
จรง
ตอบขอ 4.
ขอ 3.
สมมตใหผตองการศกษาตอ ค+อ A n(A)=725
สมมตใหผตองการทางาน ค+อ B n(B)=160
จากโจทย-จะได n(AUB)=813
จะได
72)(
)(160725813
)()()()(
=∩
∩−+=
∩−+=∪
BAn
BAn
BAnBnAnBAn
จานวนผทตองการศกษาตอ และทางานดวยมจานวน 72 คน
ตอบขอ 2.
- 2. 2
1− 1 2
2
1 3
3
2
1
2
1− 1 2
ขอ 4.
พจารณาขอ 4. พบวา A⊂1
A⊂2
แต A⊄3
ด.งน./น ขอ 4. ผด
ตอบขอ 4.
ขอ 5.
พจารณาหา เซต A
)2,1[]
2
1
,( ∪−− ∞=A
พจารณาหา เซต B
)3,
2
1
(=B
จะได BA∩
)2,1[=∩ BA
ด.งน./น c=1 และ d=2
จะไดวา 6c-d = 6-2=4
ตอบขอ 1.
ขอ 6.
0153415)3)(1( 2422
≤−+−=≤−− xxxx
0124 24
≤−−= xx
- 3. 6− 6
-3 -2 2 3
-3 -2 2 3
0)2)(6( 22
≤+−= xx
จะได ]6,6[−=A
ด.งน./น 6,6 =−= ba
24)66()( 22
=+=− ab
ตอบขอ 1.
ขอ 7.
พจารณา
)2)(3(
)3)(3)(2)(2(
)2)(3(
)9)(4(
65
3613 22
2
24
++
+−+−
=
++
−−
=
++
+−
xx
xxxx
xx
xx
xx
xx
จะได
),3[]2,2()3,( ∞∪−∪−− ∞=S
),2( ∞∩S จะได
),3[ ∞=
ด.งน./น a = 3 , b = -2
54922
=−=− ba
ตอบขอ 3.
ขอ 8.
พจารณา 5))(( 2
−= xxgf
พจารณา 2
)5())(( −= xxfg
จะไดวา 22
)5(5 −=− xx
- 4. -1 1
1
1
-1
1
3
3010
25105 22
=
=
+−=−
x
x
xxx
ซงจากโจทย-หมายถง a = 3
พจารณาหา )().())(( agafafg =
253)3( −=−=f
9)3( =g
ด.งน./น 18)9)(2())(( −=−=afg
ตอบขอ 2.
ขอ 9.
พจารณา )()( bafbaf −=+
1212 2222
+−++−=+++++ babababababa
bab 24 −=
5.0−=a
ด.งน./น 25.02
=a ซงอยในชวง (0,0.5)
ตอบขอ 1.
ขอ 10.
จากโจทย-วาดกราฟไดด.งรป
พจารณา กราฟอนเวอร-สไดด.งรป
ด.งน./น ก.ถกตอง
พจารณา จ3ดต.ดทเกดจากกราฟท./งสอง
จะได xx ±=2
xx =4
และ x อยในชวง [0,1]
จะได x = 0 และ x = 1
- 5. A
B C
D
4 3
2
5
A
D Cx x
2.5
2
1.5
ด.งน./น ข.ถกตอง
ตอบขอ 1.
ขอ 11.
พจารณา °°
°°°°
°
°
°
°
10cos10sin
10sin30cos10cos30sin
)
10cos
30cos
10sin
30sin
(
−
=−
°°
°°
10cos10sin
)1030sin( −
=
°°
°
10cos10sin2
20sin2
=
°
°
20sin
20sin2
=
2=
ตอบขอ 3.
ขอ 12.
เม+อพจารณารปจะพบวา เป'นรปสามเหลยมม3มฉาก และเป'นสามเหลยมคลาย
ด.งน./น BC จงเป'นดานหนงของสามเหลยมม3มฉากดวย มคาเทาก.บ 5 หนวย
ตอบขอ 3.
ขอ 13.
จาก
2
)arcsin()5arcsin(
π
=+ xx
Take sin : 1)sin(sin)5cos(sin)cos(sin)5sin(sin 1111
=+ −−−−
xxxx
1)5cos(sin)cos(sin 11
=+ −−
xxxsx
x
xx
1
)cos(sin)cos(sin5 11
=+ −−
)5cos(sin5
1
)5cos(sin 11
x
x
x −−
−= (1)
Take cos : 0)sin(sin)5sin(sin)cos(sin)5cos(sin 1111
=− −−−−
xxxx
- 6. 211
5)cos(sin)5cos(sin xxx =−−
)5cos(sin
5
)cos(sin 1
2
1
x
x
x −
−
= (2)
นา(1)แทนใน(2) จะได
)cos(sin5
1
5
)cos(sin
1
2
1
x
x
x
x
−
−
−
=
212
1
5)(sincos5
)cos(sin
xx
x
x
=− −
−
))(sinsin1(5
)cos(sin 122
1
xsx
x
x −
−
−+=
5
)cos(sin 1
=
−
x
x
พจารณา
)cos(sin
)sin(sin
)tan(arcsin 1
1
x
x
x −
−
=
)cos(sin 1
x
x
−
=
5
1
=
ตอบขอ 1.
ขอ 14.
พจารณาเสนตรง 21,ll ซงส.มผ.สวงกลมทจ3ด P และ Q อกท./งมเสนตรงทผาน
จ3ดศนย-กลาง จ3ด P และจ3ด Q จงทาใหทราบไดวา เสนตรงท./งสองเสนขนานก.น
พจารณาหาเสนตรง 2l ซงมระยะหางจาก เสนตรง 2021 =l (2 เทาของร.ศม
วงกลม)
จะไดวา
41
|5|
202
+
−
=
c
|5|20 c−=
15,25 −=c
เม+อพจารณาจากรปจะพบวา c=-15
ด.งน./น 0152:2 =−− yxl
จะได (15,0) อยบนเสนตรง 2l
ตอบขอ 4.
ขอ 15.
พจารณา S จะไดกราฟด.งรป
- 7. 1717−
p
q
พจารณา A จะไดกราฟด.งรป
พจารณา B จะไดกราฟด.งรป
เม+อนาท./งสามกราฟมารวมก.น พจารณาจ3ดทอยใกลก.นมากทส3ดของ
BSAS ∩∩ , ค+อจ3ดด.งรป
พจารณาหาจ3ด p จะไดวา
1722
=+ yx (1)
122
=− yx (2)
(1)+(2) : 182 2
=x
3±=x
22±=y
จะไดท./งหมด 4 จ3ด ใหจ3ด p ค+อ )22,3(−
พจารณาหาจ3ด q จะไดวา
1722
=+ yx (1)
122
=− xy (2)
(1)+(2) : 182 2
=y
- 8. (1,0)
(1,0)
(-1,0)
3±=y
22±=x
จะไดท./งหมด 4 จ3ด ใหจ3ด q ค+อ )3,22(−
ระยะทางระหวางจ3ด p และ q ค+อ 22
)322()223( −++−
9212882129 +−++−=
22434 −=
144234 −=
423 −=
ตอบขอ 1.
ขอ 16.
จาก xy 82
−=
xy )2(42
−=
จะไดวา โฟก.ส (-2,0)
พจารณาระยะทางระหวางเสนตรง 2x + y =6 และจ3ดโฟก.ส จะได
52
5
10
5
|64|
12
|)6()0(1)2(2|
22
==
−−
=
+
−++−
ตอบขอ 1.
ขอ 17.
จากโจทย-สามารถวาดรปวงรไดค+อ
จากรปจะไดวา 1=c
1=b
ด.งน./น 211 =+=a
จะไดสมการวงร ค+อ 1
2
2
2
=+
y
x
จ3ดทอยบนวงร ค+อ
3
4
,
3
1
ตอบขอ 4.
- 9. ขอ 18.
1)49(log)4(log 22
+−=− xx
2log)49(log
2log
)4(log
22
2
2
+−=
−
x
x
)49(2log)4(log 2
2
2 xx −=−
xx 818)4( 2
−=−
xxx 818816 2
−=+−
22
=x
2,2−=x
ซงคาตอบทไดอยในชวง )2,2[−
ตอบขอ 3.
ขอ 19.
จาก y=5x
จะไดวา xy
yx =
xx
xx )5(5
=
Take log )5log()log(5 xxxx =
)5log()log(5 xx =
)log()5log()log(5 xx +=
)5log()log(4 =x
54
=x
≈= 5
4
x 1.495
ซงคาตอบอยในชวง )2,1[
ตอบขอ 2.
ขอ 20.
จากโจทย-จะไดวา
30
log
log
=
a
d
30
log
log
d
a =
50
log
log
=
b
d
50
log
log
d
b =
จาก 15log =dabc
- 11. 1−=y
(1)+(2) : 853 =− yx
แทนคา y 1=x
แทนคา x,y yxz 37 +−=
3=z
ด.งน./น
01)2(1
321
=+−+=++
zyx
ตอบขอ 1.
ขอ 23.
จาก (1)
(2)
(1)x2 : (3)
(2)+(3) :
(2)-A :
พจารณาหา
det(AB) = -4
จะได
ตอบขอ 4.
ขอ 24.
จากเวกเตอร-สองเวกเตอร-ต./งฉากก.นทาให u.v = 0
พจารณาหา
- 12. ตอบขอ 4.
ขอ 25.
จ.ดรปสมการใหมจะได ubavba )322()( −+=−
เน+องจาก vuvu ≠.
จะไดวา 0=− ba (1)
และ 0322 =−+ ba (2)
(1)x2 : 022 =− ba (3)
(2)+(3) : 034 =−a
4
3
=a
ด.งน./น a อยในชวง )1,
2
1
[
ตอบขอ 2.
ขอ 26.
จาก 014
=+z
จะไดวา 14
−=z
12
−=z
iz =2
iz =
พจารณา
22
11
i
i
z
z +=+
2
1
i
i +
=
i
ii 122
++
=
2
2
==
i
i
ตอบขอ 2.
ขอ 27.
- 13. สมมตให biaz +=1
dicz +=2
idbcazz )()(21 +++=+
3)()( 22
=+++= dbca
9)()( 22
=+++= dbca
922 2222
=+++++= dbdbcaca
))((. 21 dicbiazz −+=
iadbcbdac )()( −++=
จะไดวา 3=+ bdac
4=− adbc
พจารณา )()( 22222
2
2
1 dcbazz +++=+
จาก 922 2222
=+++++ dbdbcaca
692222
−=+++ dcba
ด.งน./น 3
2
2
2
1 =+ zz
ตอบขอ 1.
ขอ 28.
พจารณาหาจ3ดต.ดของท./งสองสมการ
x + 2y =40 (1)
3x+2y = 60 (2)
(2)-(1) : 2x = 20
x = 10
y = 15
พจารณาหาคา P สงส3ด จาก P=5x+4y
P = 50 + 60 =110
ตอบขอ 3.
ขอ 29.
จากสตรลาด.บเลขคณต
จะได d=5
- 14. พจารณา
พจารณา
ตอบขอ 2.
ขอ 30.
จาก
ด.งน./น ซงเป'นจานวนเต"มบวก
จะได k= 4 และ A = 8
ตอบขอ 4.
ขอ 31.
จากโจทย-ตองการ ∑
∞
= 2
2
1
n n
จะไดวา ∑∑
∞
=
∞
=
−
−
=
2
2
2
2
1
11
nn
A
nn
พจารณา ∑ ∑
∞
=
∞
= +−
=
−2 2
2
)1)(1(
1
1
1
n n nnn
)
1
1
1
1
(
2
1
2 2
∑ ∑
∞
=
∞
= +
−
−
=
n n nn
...)
5
1
4
1
3
1
...
3
1
2
1
1
1
(
2
1
−−−−+++=
4
3
)
2
1
1(
2
1
=+=
ด.งน./น A
nn
−=∑
∞
= 4
31
2
2
ตอบขอ 3.
ขอ 32.
- 15. พจารณา cx
x
xxf +−+= 5
2
)(
2
3
1)0( == cf
15
2
)(
2
3
+−+= x
x
xxf
จากโจทย-ตองการหา ∫−
1
1
)( dxxf
จะไดวา ∫−
+−+
1
1
2
3
)15
2
( dxx
x
x
1
1
234
|
2
5
64
=
−=+−+= x
xx
xxx
)1
2
5
6
1
4
1
(1
2
5
6
1
4
1
−−−−+−+=
3
7
2
6
2
=+=
ตอบขอ 2.
ขอ 33.
)1)(()1()()1()( hfghfg ′+′=′+
)1()1()1()1()1( hgfgf ′+′+′=
6
2)1)(2()2)(1(
=
++=
ตอบขอ 4.
ขอ 34.
พจารณาหาความช.นเสนโคงท x=1
x
xy
1
2 3
−=
)
2
1
(6 2
3
2
−
−
−=′ xxy
2
13
)
2
1
(6)1( =
−
−=′y
จะไดความช.นของเสนตรง ค+อ
13
2−
พจารณาจ3ดทอยบนเสนโคง เม+อ x=1
112)1( =−=y
จ3ดต.ดทไดค+อ (1,1)
- 16. พจารณาหาเสนตรง ทผานจ3ด(1,1) และมความช.นค+อ
13
2−
c+
−
=
13
2
1
13
15
=c
จะได
13
15
13
2
+
−
= xy
015132
15213
=−+
+−=
yx
xy
ตอบขอ 4.
ขอ 35.
กรณ 1 ลงทายดวยเลข 0 จะได 5x4x3 = 60 วธ
กรณ 2 ลงทายดวยเลข 2 จะได 4x4x3 = 48 วธ
กรณ 3 ลงทายดวยเลข 8 จะได 4x4x3 = 48 วธ
รวมท3กกรณได 60+48+48 = 156 วธ
ตอบขอ 2.
ขอ 36.
จากโจทย- ตองการหาจานวนเต"มทมคาต./งแต 100 ถง 999 ทหารดวย 2 ลงต.ว แต
หารดวย 3 ไมลงต.ว
น.นค+อ จานวนเต"มทหารดวย 2 –ลงต.ว จานวนเต"มทหารดวย 6 ลงต.ว
พจารณาหาจานวนเต"มทอยในชวงและ 2 หารลงต.ว
450
4491
2)1(100998
2,998,1001
=
=−
−+=
===
n
n
n
daa n
พจารณาหาจานวนเต"มทอยในชวง และ 6 หารลงต.ว
150
1491
6)1(102996
6,996,1021
=
=−
−+=
===
n
n
n
daa n
ด.งน./น จานวนทไดท./งหมดทโจทย-ตองการค+อ 450-150 = 300 ต.ว
ตอบขอ 3.
- 17. ขอ 37.
Sample space = 2863,13 =C
Event :
กรณ 1 สตรอเบอร ชอคโกแลต กาแฟ = 5x4x2 = 40 วธ
กรณ 2 สตรอเบอร ชอคโกแลต มนท- = 5x4x2 = 40 วธ
กรณ 3 สตรอเบอร กาแฟ มนท- = 5x2x2 = 20
กรณ 4 ชอคโกแลต กาแฟ มนท- = 4x2x2 = 16
รวมท./งหมด 40+40+20+16 = 116
ด.งน./นความนาจะเป'นทได ค+อ
143
58
286
116
=
ตอบขอ 2.
ขอ 38.
Sample space 450)10)(45())(( 1,102,10 ==CC
Event : พจารณาจ3ดทเล+อกจากเซต B พบวาจะทาใหคาของสวนสง เป'น 1 คงท
เสมอ ด.งน./น ถาตองการพ+/นทสามเหลยม ทมขนาด 1 ตารางหนวย ตองไดระยะ
ทางระหวางจ3ด 2 คทเล+อกจากเซต A มระยะทางหางก.น 2 หนวย
จะไดคจ3ดทเป'นไปไดค+อ
กรณ 1 : (0,10)-(0,8) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได 10 วธ
กรณ 2 : (0,9)-(0,7) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได 10 วธ
กรณ 3 : (0,8)-(0,6) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได 10 วธ
กรณ 4 : (0,7)-(0,5) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได 10 วธ
กรณ 5 : (0,6)-(0,4) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได 10 วธ
กรณ 6 : (0,5)-(0,3) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได 10 วธ
กรณ 7 : (0,4)-(0,2) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได 10 วธ
กรณ 8 : (0,3)-(0,1) และเซต B ท./งหมด 10 จ3ด จะได 10 วธ
รวมท./งส/น 80 วธ
ด.งน./นความนาจะเป'นทได ค+อ
45
8
450
80
=
ตอบขอ 1.
- 18. ขอ 39.
Sample space 1532,18 =C
Event :
กรณ 1 : ถ3งเทาสขาว 282,8 =C วธ
กรณ 2 : ถ3งเทาสดา 152,6 =C วธ
กรณ 3 : ถ3งเทาสน/าเงน 62,4 =C วธ
รวมท./งส/น 28 + 15 + 6 =49 วธ
ด.งน./นความนาจะเป'นทได ค+อ
153
49
วธ
ตอบขอ 4.
ขอ 40.
จาก 2
2
x
N
x
sd
i
−=
∑
จะไดวา 9
10
5
2
−=
∑ ix
140
2
=∑ ix
ผลรวมพ+/นทวงกลมท./ง 10 วง ค+อ ∑ = ππ 140
2
ix
ตอบขอ 3.
ขอ 41.
จากโจทย-ทราบวา มน.กเรยนท./งส/น 150 คน
พจารณาขอ 1. ม.ธยฐาน ตองอยในชวงช./นท4 ค+อ 150-159 ด.งน./นขอ 1. ผด
พจารณาขอ 2. ฐานนยม ตองอยในชวงช./นท 4 ค+อ 150-159 ด.งน./น ขอ 2. ผด
พจารณาขอ 3. ควอร-ไทล-ท 3 อยในชวงช./นท 4
)
50
70
4
3150
(5.1493
−
×
+=Q
55.1503 =Q ด.งน./น ขอ 3. ถก
พจารณาขอ 4. เปอร-เซนไทล-ท 20 อยในชวงช./นท 2
)
20
10
100
20150
(5.12920
−
×
=P
5.13020 =P ด.งน./น ขอ 4. ผด
ตอบขอ 3.
- 19. xz = 1.12
ขอ 42.
จากโจทย- มจานวนพน.กงานทไดเงนเด+อนมากกวานายศอยประมาณ 30%
หมายถง มจานวนพน.กงานทไดเงนเด+อนตากวานายยศอยประมาณ 70%
แสดงวา นายยศ อยในตาแหนง เดไซล-ท 7 มเงนเด+อน 25,000 บาท
พจารณาเงนเด+อนนายเอก ค+อ 40,000-25,000 = 15,000 บาท
จากตารางทาใหทราบวา นายเอกอยในตาแหนงเดไซล-ท 3
คดเป'นเปอร-เซ"นต-ของจานวนพน.กงานทไดเงนเด+อนนอยกวานายเอกค+อ 30%
ตอบขอ 2.
ขอ 43.
จากโจทย-บอกวา 13.14% ของขอมลมคามากกวา x แสดงวา 12.1=xz
เน+องจาก x มคามากกวา y อย 2% ของสวนเบยงเบนมาตรฐาน
น.นค+อ sdxy 02.0−=
sd
xx −
=12.1 (1)
sd
xy
zy
−
=
sd
xsdx
zy
−−
=
02.0
(2)
นา (1)แทนใน(2) จะได 1.102.012.1 =−=yz
0.1314
0.3643
0.5
- 20. xz = 1.12
10.1=yz
ด.งน./นจานวนขอมลทมคานอยกวา y มคาเทาก.บ 86.43%
ตอบ
ขอ 3.
ขอ 44.
สมมตใหคา Z-score ของนายดา ค+อ x และ Z-score –ของนายแดง ค+อ x
จะไดวา
sd
xscore
x black −
= (1)
sd
xscore
x red −
=− (2)
(1)+(2) ;
sd
xscorescore redblack 2
0
−+
=
เน+องจาก sdscorescore redblack 4=+ จะได
sd
xsd 24
0
−
=
xsd 24 =
จากส.มประสทธ7ความแปรผ.น ค+อ
x
sd
ด.งน./น ส.มประสทธ7ความแปรผ.น ค+อ 5.0
4
2
=
ตอบขอ 1.
ขอ 45.
โจทย-กาหนดใหวา ∑ ∑ ==== 200,100,5.0,75.1 22
xxyxs yx
จะได ∑ =×= 501005.0y
2
2
2
x
n
x
sx −=
∑
2
100
200
75.1 x−=
5.0
25.0
2
=
=
x
x
- 21. 501005.0 =×=∑ x
จาก bxay += (1)
Take sigma : ∑ ∑ ∑+= bxay
ba 5010050 +=
ba += 21 (2)
(1)xX : 2
bxaxxy +=
Take sigma : ∑ ∑ ∑+= 2
bxaxxy
ba 20050100 +=
ba 42 += (3)
(3)x2 : ba 824 += (4)
(4)-(2) : b73 =
7
3
=b
นาคา b แทนในสมการ (4) :
2
7
24
4 −
=a
7
2
=a
จะไดความส.มพ.นธ-เชงฟ8งก-ช.นค+อ xy
7
3
7
2
+=
พจารณาหาคา y เม+อ x =4 จะได 2
7
12
7
2
=+=y
ตอบขอ 4.
ขอ 46.
จากสมการพบวา จะเทาก.นตลอด ข/นอยก.บ n เทาน./น
ด.งน./น ทดลองหาคา n ทมากทส3ดททาใหสมการเป'นจรง
จะได n = 3 น.นค+อให
f(1)=3
f(2)=2
f(3)=1
ซงทาให f(1)+f(2)+f(3) = f(1)f(2)f(3)=6
ด.งน./น f(1)-f(n)=3-1 =2
ตอบขอ 1.
ขอ 47.
- 22. จาก 1
11
1
=+
+nn aa
จะไดวา 1
11
21
=+
aa
12
1
1
1
aa
−= (1)
11
1
2
−
=∴
a
a
a
1
11
32
=+
aa
(2)
23
1
1
1
aa
−=
นา(1)แทนใน(2)จะได 1
11
1
31
=+−
aa
31
11
aa
= 31 aa =∴
1
11
43
=+
aa
1
11
1
42
=+−
aa
a
42
11
aa
= 42 aa =∴
จากท./งหมดขางตนสามารถสร3ปไดวา
1
...
....
1
1
2
8642
7531
−
=
====
====
a
a
a
aaaa
aaaa
จาก 250... 100321 =++++ aaaa
จะไดวา 2505050 21 =+ aa
2
55
55
5
1
5
1
111
2
1
1
1
1
21
±
=
−=+−
=
−
+
=+
a
aaaa
a
a
a
aa
เม+อ
53
55
,
2
55
21
+
+
=
+
= aa
- 23. เม+อ
53
55
,
2
55
21
−
−
=
−
= aa
พจารณา |5.2| 2552 −a
เม+อ
53
55
25522
+
+
== aa
จะได |
2
5
53
55
||5.2| 2552 −
+
+
=−a
2
5
8
54
|
53
53
)53(2
535
|
|
)53(2
55155210
|
==
−
−
+
−−
=
+
−−+
=
เม+อ
53
55
25522
−
−
== aa
จะได |
2
5
53
55
||5.2| 2552 −
−
−
=−a
2
5
8
54
|
53
53
)53(2
535
|
|
)53(2
55155210
|
==
+
+
−
+−
=
−
+−−
=
ตอบขอ 3.
ขอ 48.
A+B = C (1)
B+C = 2A (2)
(1)-(2) ; A-C = C-2A
3A = 2C
(1)+(2) ; A+2B = 2A
A = 2B
จะได
3
2
2
C
BA ==
พจารณาเง+อนไข (1) พบวา B จะมคามากทส3ด เม+อ C = 100
- 24. ด.งน./น
3
2
2
C
B =
3
200
2 =B
33.33
3
100
≈=B
B อยในชวง [0,40]
ตอบขอ 1.
ขอ 49.
จากโจทย-เม+อพจารณาความเป'นไปไดทเกดข/นมด.งน/
ก ข ง ค จ
จ ข ง ค ก
พบวา นายข จะเขาเสนช.ย เป'นลาด.บท 2 ในท3กกรณทเป'นไปไดตามโจทย-
กาหนด
สวนขอ 1. นาย ก เขาเสนช.ยเป'นลาด.บท 1 น./น พบวา ไมไดเป'นจรงในท3กกรณ
จงถ+อวาผด
สวนขอ 4. นาย จ เขาเสนช.ยเป'นลาด.บท 1 น./น พบวา ไมไดเป'นจรงในท3กกรณ
จงถ+อวาผด
ตอบขอ 2.
ขอ 50.
จากโจทย-เม+อพจารณาความเป'นไปไดทเกดข/นมด.งน/
- ง ข ค - ไดคะแนน 6 คะแนน
- ง ข ค - ไดคะแนน 6 คะแนน
- ข - - - ไดคะแนน 8 คะแนน
- ข - - - ไดคะแนน 8 คะแนน
- ข - - - ไดคะแนน 8 คะแนน
- ข - - - ไดคะแนน 8 คะแนน
คะแนนรวมของนายข ค+อ 6+6+8+8+8+8 =44 คะแนน
ตอบขอ 3.
- 25. ทกคนครบ
การสอบนน ไดคบคลานใกลเขามาอยางชาๆ
แตหลายคนยงเตรยมตวไมพรอม และหลายคนก#ยงออกอาการหว$นใจอย& รวมไปถ)งคณพอคณแมของ
นกเรยนหลายคนก#ย+$งอย&ในภาวะสต+แตก
จะเตรยมตวอยางไร จะอานหนงสอเลมไหนด ท-าอยางไรจ)งจะท-าคะแนนไดด จะเลอกคณะอยางไร
ทงหมดนคงจะวนเวยนอย&ในหวของใครหลายคนเป/นแน
ทงขอสอบท$วายาก ก#เลนเอาหลายคนทอแท และหมดก-าลงใจ
อาจารย0อ&1จ)งขอเช+ญทกทาน ใหอาน "หากเราตองส& เรยนไมเกงก#สอบเขามหาว+ทยาลยไดสบาย"เพ$อ ท$
จะไดเตรยมตวสอบอยางถ&กว+ธ เป5ดเผยทกเคล#ดลบโดยผ&ท$ผานการสอบมาแลว รวมสดยอดกลยทธ0ท$
จะท-าใหสอบไดคะแนนดอยางสบายๆและไมเครยด หนงสอเลมนนนไดรบการออกแบบใหรบกบการ
สอบ GAT PAT เรยบรอยแลว
- 26. อยากร0?วาจะรบมAอกบ GAT PAT อยางไรต?องอาน
อยากร0?ว*ธการเลAอกคณะแบบไมผ*ดหวงต?องอาน
อยากร0?ว*ธมวอยางมหลกการต?องอาน
อานแล?วจะสามารถประกาศให?โลกร0?วา เรยนไมเกง กHสอบต*ดมหาลย (ชAอดง) ได?นะจIะ
อานแล?วท&กคนจะได?แงค*ดดๆ ทงเกยวกบการสอบเข?าโดยตรง และ ม&มมองตอชว*ต
ช$อหนงสอ - หากเราตองส& เรยนไมเกงก#สอบเขามหาลยไดสบาย
เขยนโดย - ธญกฤต คงจนทร0
ราคา - 139 บาท
- 27. ISBN - 9786169034605
เวลาไปถามหนงสอท$รานใหถามวา "หากเราต?องส0?" ก#พอครบ หาเจอแนนอน
อานกอนสอบนะครบ ถาอานหลงสอบเสยใจแยเลย
อานแลวจะไดร&วา เรยนไมเกงก#สอบเขามหาว+ทยาลย (ช$อดง) ไดนะจMะ
อกเลมท$ขอแถม และอยากใหอานมากเชนกน (จร+งแลวอยากใหซอใหคณพอคณแมอาน จะไดเขาขา
กน สอบกนเป/นทม)
คอหนงสอ "เม$อล&กสอบเขามหาว+ทยาลย ค-าแนะน-าไมใหพอแมสต+แตก"
อานแลวคณพอคณแมจะไดเขาใจล&กๆมากข)น เขาใจทงการสอบของล&ก และเขาใจทงการเลอกคณะ
ของล&ก ท-าใหพ&ดจาภาษาเดยวกน เวลาล&กสอบจะไดสอบไดอยางสบายใจ
ช$อหนงสอ - "เม$อล&กสอบเขามหาว+ทยาลย ค-าแนะน-าไมใหพอแมสต+แตก"
- 28. เขยนโดย - อาจารย0อ&1
ราคา - 159 บาท
เวลาไปถามหนงสอท$ราน ใหถามวา "เมAอล0กสอบเข?ามหาว*ทยาลย" ก#พอครบ หาเจองาย
ล&กๆอานเลมแดง พอแม อานเลมฟQา รบรองวาจะสอบดวยความเบ+กบานและผานฉลยครบ
ขอใหไดเรยนในส+$งท$ฝTนไวทกคนครบ
อาจารย0อ&1
]([)]([~)]([ xPxxQxxQxxPx ∃→∀≡∃→∀
ตอบขอ 2.
ขอ 2.
พจารณา ขอ 4. ]9)[( 22
xyyyxyx +≥−∃∃
จะไดวา
011
011
92
2
222
≥−
≥−
+≥+−
yx
xyx
xyyyxyx
ซงไมมคา x และ y ทอยในจานวนเต"มบวก และนอยกวา 10 ททาใหสมการเป'น
จรง
ตอบขอ 4.
ขอ 3.
สมมตใหผตองการศกษาตอ ค+อ A n(A)=725
สมมตใหผตองการทางาน ค+อ B n(B)=160
จากโจทย-จะได n(AUB)=813
จะได
72)(
)(160725813
)()()()(
=∩
∩−+=
∩−+=∪
BAn
BAn
BAnBnAnBAn
จานวนผทตองการศกษาตอ และทางานดวยมจานวน 72 คน
ตอบขอ 2.](https://image.slidesharecdn.com/3-130801104637-phpapp01/85/3-1-320.jpg)
![2
1− 1 2
2
1 3
3
2
1
2
1− 1 2
ขอ 4.
พจารณาขอ 4. พบวา A⊂1
A⊂2
แต A⊄3
ด.งน./น ขอ 4. ผด
ตอบขอ 4.
ขอ 5.
พจารณาหา เซต A
)2,1[]
2
1
,( ∪−− ∞=A
พจารณาหา เซต B
)3,
2
1
(=B
จะได BA∩
)2,1[=∩ BA
ด.งน./น c=1 และ d=2
จะไดวา 6c-d = 6-2=4
ตอบขอ 1.
ขอ 6.
0153415)3)(1( 2422
≤−+−=≤−− xxxx
0124 24
≤−−= xx](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)