Graf Pohon (Matematika Diskrit)

1. Graf Pohon
Septi Ratnasari 4101412082
By
Matematika Diskrit
Mathematics Department

2. Definisi
Pohon (tree) merupakan salah satu
bentuk khusus dari struktur suatu graf.
Misalkan A merupakan sebuah himpunan
berhingga simpul (vertex) pada suatu graf G
yang terhubung. Suatu graf terhubung yang
setiap pasangan simpulnya hanya dapat
dihubungkan oleh suatu lintasan tertentu, maka
graf tersebut dinamakan pohon (tree).
Dengan kata lain, pohon (tree)
merupakan graf tak-berarah yang terhubung
dan tidak memiliki sirkuit.
Matematika Diskrit

3. G
1
G
2
G
3
G
4
a b
c d
e f
a b
c d
e f
a b
c d
e f
a b
c d
e f
Matematika Diskrit

4. Hutan (forest) adalah
 merupakan kumpulan pohon yang saling lepas.
 graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit.
Setiap komponen di dalam graf terhubung tersebut
adalah pohon.
Matematika Diskrit
Hutan yang terdiri dari tiga buah pohon

5. Sifat-sifat Pohon

Matematika Diskrit

6. Pohon Merentang (spanning
tree)
 Spanning tree dari suatu graf terhubung
merupakan subgraf merentang yang berupa
pohon.
 Pohon merentang diperoleh dengan cara
menghilangkan sirkuit dalam graf tersebut.
Matematika Diskrit

7. G T1 T2 T3 T4
Matematika Diskrit
T1, T2, T3, T4 merupakan spanning tree dari graf G.
Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit mempunyai satu buah
spanning tree.

8. Aplikasi Pohon Merentang
1. Jumlah ruas jalan seminimum mungkin yang
menghubungkan semua kota sehingga setiap kota
tetap terhubung satu sama lain.
2. Perutean (routing) pesan pada jaringan komputer.
Matematika Diskrit
(a) (b)
Router
Subnetwork
(a)Jaringan komputer, (b) Pohon merentang multicast

9. Pohon Merentang Minimum
 Pohon rentang yang mempunyai bobot
minimum dinamakan pohon merentang
minimum (minimum spanning tree).
 Dalam menentukan minimum spanning tree
dari suatu graf terhubung, kita dapat
menggunakan dua cara yaitu Algoritma Prim
dan Algoritma Kruskal.
Matematika Diskrit

10. Algoritma Prim
 Langkah-langkah Algoritma Prim :
1. Pilih sisi dari graf G yang berbobot
minimum, masukkan ke dalm T.
2. Pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot
minimum dan bersisian dengan simpul di T,
dengan syarat sisi tersebut tidak membentuk
sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T.
3. Ulangi langkah 2 sebanyak n-2 kali.
Matematika Diskrit

11.  Contoh :
Tentukan minimum spanning tree graf berikut :
Matematika Diskrit

12.  Penyelesaian
Matematika Diskrit
1. Pilih sisi fg sehingga kita mempunyai T({f, g}, fg)
2. Pilih sisi ef karena sisi tersebut berbobot minimum
yang bersisian dengan simpul f.
3. Pilih sisi ae dan gh karena berbobot minimum yang bersisian
dengan simpul pada T, yaitu e dan g.
4. Pilih sisi ac dan ad karena berbobot minimum yang bersisian
dengan simpul a.
5. Pilih sisi bc yang bersisian dengan simpul c.
Spanning tree tersebut mempunyai
total bobot 2+3+4+4+4+4+3=24

13. Algoritma Kruskal
 Pada Algoritma Kruskal, semua sisi dengan bobot
yang minimum dimasukkan ke dalam T secara
berurutan.
Matematika Diskrit

14.  Penyelesaian
1.T masih kosong
2. Pilih fg yang berbobot minimum yang tidak
membentuk sirkuit di T.
3. Memasukkan sisi yang berbobot 3, sehingga T
berbentuk
Matematika Diskrit

15. 4. Memasukkan sisi-sisi yang berbobot 4, sehingga
T berbentuk
Matematika Diskrit
Spanning tree tersebut mempunyai
total bobot 2+3+4+4+4+4+3=24

16. Pohon Berakar (rooted tree)
 Pada suatu pohon yang sisi-sisinya diberi
arah sehingga menyarupai graf berarah,
maka simpul yang terhubung dengan semua
simpul pada pohon dinamakan akar.
 Pohon yang satu buah simpulnya
diperlakukan sebagai akar maka pohon
tersebut dinamakan pohon berakar (rooted
tree).
Matematika Diskrit

17.  Contoh : Pohon Berakar (Munir, 2003)
Matematika Diskrit
(a) Pohon berakar (b) Pohon berakar setelah
tanda panah pada sisi dibuang
a
b
c
d
e
f g
h i j
a
b
c
d
e
f g
h i j
Pada pohon berakar di atas:
• a merupakan akar
• c, d, f, g, h, i, dan j merupakan daun

18. b sebagai akar e sebagai akar
Pohon dan dua buah pohon berakar yang dihasilkan dari pemilihan
dua simpul berbeda sebagai akar
a
b
c
d
e f
g
h
f
g
a
b
c
d
e
f
g h
d
e
h
b
a c
Matematika Diskrit

19. Terminologi pada Pohon
Berakar
1. Anak (child atau children) dan Orangtua
(parent)
b, c, dan d adalah anak-anak simpul a,
dan
a adalah orangtua dari anak-anak itu.
Matematika Diskrit
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h

20. 2. Lintasan (path)
Lintasan dari a ke h adalah a, b, e,
h dengan panjang lintasan adalah
3.
3. Saudara Kandung (sibling)
f adalah saudara kandung e, tetapi
g bukan saudara kandung e karena
orangtua mereka berbeda.
Matematika Diskrit
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h

21. 4. Subpohon (subtree)
Matematika Diskrit
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h

22. 5. Derajat (degree)
Derajat sebuah simpul adalah jumlah anak pada
simpul tersebut.
Contoh:
Simpul berderajat nol adalah simpul c, f, h, i, j, l,
m.
Simpul berderajat 1 adalah simpul d dan g.
Simpul berderajat 2 adalah simpul b dan k.
Simpul berderajat 3 adalah simpul a dan e.
Jadi, derajat yang dimaksud adalah derajat
keluar.
Derajat maksimum dari semua simpul merupakan
derajat pohon itu sendiri.
Pohon di samping berderajat 3.
Matematika Diskrit
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h

23. 6. Daun (leaf)
Simpul yang berderajat nol (tidak
mempunyai anak) disebut daun.
Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah
daun.
7. Simpul Dalam (internal node)
Simpul yang mrmpunyai anak adalah
simpul dalam.
Simpul b, d, e, g, dan k adalah
simpul dalam
Matematika Diskrit
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h

24. 8. Aras (level) atau Tingkat
9. Tinggi (height) atau Kedalaman (depth)
Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman
pohon tersebut.
Pohon di atas mempunyai tinggi 4.
Matematika Diskrit
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
0
1
2
3
4
Aras

25. Pohon Terurut (ordered tree)
 Pohon berakar yang urutan anak-anaknya
(diperhatikan), maka dinamakan pohon terurut
(ordered tree).
Matematika Diskrit
(a) (b)
(a) dan (b) adalah dua pohon terurut yang berbeda
1
2
6 87
3
4
9
10
5
1
2
68 7
3 4
9
10
5

26. Pohon n-ary
 Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai paling
banyak n buah anak disebut pohon n-ary.
 Pohon n-ary dikatakan teratur atau penuh (full jika setiap simpul
cabangnya mempunyai tepat n anak.
Matematika Diskrit
Contoh: < sentence>
<subject> <verb> <object>
<article> <noun phrase> wears <article> <noun>
A <adjective> <noun> a <adjective> <noun>
tall boy red hat
Gambar Pohon parsing dari kalimat A tall boy wears a red hat

27. Pohon Biner (binary tree)
 Pohon n-ary dengan n = 2
 Pohon yang paling penting karena banyak
aplikasinya
 Setiap simpul dalam pohon biner mempunyai
paling banyak 2 buah anak
 Dibedakan antara anak kiri (left child) dan
anak kanan (right child)
 Ada berbedaan urutan anak, maka pohon
biner adalah pohon terurut
Matematika Diskrit

28.  Contoh:
Matematika Diskrit
a
b c
d
a
b c
d
Dua buah pohon biner yang berbeda

29. Gambar Pohon biner penuh
Matematika Diskrit
Gambar (a) Pohon condong-kiri, dan (b) pohon condong kanan
a
b
c
d
a
b
c
d
(a) (b)

30.  Pohon Biner Seimbang
Pohon biner yang tinggi subpohon kiri dan tinggi
subpohon kanan seimbang, yaitu berbeda
maksimal 1.
Matematika Diskrit
T1 T2 T3
Gambar T1 dan T2 adalah pohon seimbang, sedangkan T3 bukan pohon seimbang.

31. Terapan Pohon Biner
1. Pohon Ekspresi
Ekspresi aritmatika (a+b)*((c/(d+e) dapat
dinyatakan dalam suatu pohon biner, dimana
peubah sebagai daun dan operator aritmatika
sebagai simpul dalam dan akar.
Matematika Diskrit
Gambar Pohon ekspresi dari (a + b)*(c/(d + e))
*
+ /
a b
+
d e
c

32. 2. Pohon Keputusan
Matematika Diskrit
a : b
a : c b : c
b : c c > a > b a : c c > b > a
a > b > c a > c > b b > a > c b > c > a
a > b b > a
a >c c > a
b > c c > b
b > c c > b
a >c c > a
Gambar Pohon keputusan untuk mengurutkan 3 buah elemen

33. 3. Kode Awalan (prefix code)
Kode awalan merupakan himpunan kode
(salah satunya adalah kode biner)
sedemikian sehingga tidak ada anggota
himpunan yang merupakan awalan dari
kode yang lain.
Contoh:
a. {000, 010, 011, 11} merupakan kode
awalan.
b. {001, 010, 01, 111} bukan merupakan
kode awalan, karena 01 merupakan
awalan dari 010.
Matematika Diskrit

34. 4. Kode Huffman
Kode Huffman merupakan salah satu metode
pengkodean dalam hal kompresi data.
Matematika Diskrit
Perhatikan Tabel Kode ASCII berikut:
Simbol Kode ASCII
A 01000001
B 01000010
C 01000011
D 01000100
Jadi rangkaian bit untuk string ‘ABACCDA’:
01000001010000010010000010100000110100000110100010001000001
atau 7 8 = 56 bit (7 bytes).

35.  Tabel kekerapan (frekuensi) dan kode
Huffman untuk string ‘ABACCDA’
Matematika Diskrit
Simbol Kekerapan Peluang Kode Huffman
A 3 3/7 0
B 1 1/7 110
C 2 2/7 10
D 1 1/7 111
Sehingga rangkaian bit untuk string ‘ABACCDA’ :
0110010101110
atau 13 bit

36. Algoritma Pembentukan kode Huffman
1. Pilih dua simbol dengan peluang (probability) paling
kecil (pada contoh di atas yaitu simbol B dan D). Kedua
simbol tadi dikombinasikan sebagai simpul orangtua
dari simbol B dan D, sehingga menjadi simbol BD
dengan peluang 1/7 + 1/7 = 2/7, yaitu jumlah peluang
kedua anaknya.
2. Pilih dua simbol berikutnya, termasuk simbol baru, yang
mempunyai peluang terkecil.
3. Ulangi langkah 1 dan 2 sampai seluruh simbol habis
Matematika Diskrit

37. Matematika Diskrit
A = 0, C = 10, B = 110, D =111

38. Pohon Pencarian Biner
Matematika Diskrit
kunci S < kunci A
Kunci T > Kunci A
Contoh:
Data 50, 32, 18, 40, 60, 52, 5, 25, 70

39. Penelusuran Pohon Biner
Berikut ini pohon biner dimana A merupakan
akar pohon biner, sementara S dan T
merupakan subpohon (subtree) dari pohon
biner.
Matematika Diskrit

40.  Ada 3 jenis penelusuran pohon biner di atas,
antara lain:
1. Preorder : A, S, T
- kunjungi A
- kunjungi S secara preorder
- kunjungi T secara preorder
2. Inorder : S, A, T
- kunjungi S secara inorder
- kunjungi A
- kunjungi T secara inorder
3. Postorder : S, T, A
- kunjungi S secara postorder
- kunjungi T secara postorder
- kunjungi A
Matematika Diskrit

41.  Contoh:
Tentukan hasil penelusuran preorder, inorder,
dan postorder dari pohon biner berikut:
Matematika Diskrit
Jawab
Preorder : * + a / b c – d
* e f
Inorder : a + b / c * d – e * f
Postorder : a b c / + d e f * - *