Dokumen ini membahas analisis regresi untuk memodelkan hubungan antara variabel bebas dan terikat berdasarkan data. Metode kuadrat terkecil digunakan untuk menentukan parameter garis regresi linear yang meminimalkan jarak antara data nyata dan garis model. Contoh menunjukkan penerapan metode ini untuk menentukan persamaan garis yang mewakili data debit sungai sebagai fungsi waktu.

1. ANALISIS REGRESI
OLEH: MUNAJI, S.Pd.I., M.Pd.
Universitas 17 Agustus 1945 Cirebon

2. ANALISIS REGRESI
Pendahuluan
Analisis data sering dilakukan pembuatan suatu kurva yang
dapat mewakili suatu rangkaian data yang diberikan dalam
sistemkoordinat x-y. Data tersebut dapat berupa hasil
percobaan di laboratorium atau pengamatan di lapangan
seperti:
1. Pengujian desak beton yang memberikan hubungan
antara beban dan kuat desak beton.
2. Pengukuran debit sungai yang memberikan hubungan
anatara kedalaman aliran suangai dan debit sungai.
3. Pertumbuhan jumlah penduduk sebagai fungsi waktu.

3. Mengingat Kembali Beberapa Fungsi
Statistik
Berikut adalah data hasil pengukuran debit sungai tahunan
sungai Serang di stasiun bendungan Kab. Kulon Progo
selama 15 tahun berturut-turut.

4. No. Tahun
yi (Debit )(m^3/d)
1 1971
8.52 1.486 2.208
2 1972
3.33 -3.704 13.720
3 1973
7.85 0.816 0.666
4 1974
7.65 0.616 0.379
5 1975
10.91 3.876 15.023
6 1976
4.17 -2.864 8.202
7 1977
3.40 7.034 -3.634 13.206
8 1978
8.00 0.966 0.933
9 1979
13.40 6.366 40.526
10 1980
5.40 -1.634 2.670
11 1981
8.87 1.836 3.371
12 1982
4.73 -2.304 5.308
13 1983
7.40 0.366 0.134
14 1984
6.88 -0.154 0.024
15 1985
5.00 -2.034 4.137
105.51
110.508
𝑦
𝑦𝑖 − 𝑦 (𝑦𝑖 − 𝑦)2

5. Penyebaran rata-rata dapat dicari menggunakan rumus
deviasi standar
Penyebaran juga dapat dipresentasikan oleh kuadrat dari
deviasi standar

6. Dari Tabel 4.1 dapat dihitung nilai deviasi standar dan
varians dengan persamaan berikut:

7. Metode Kuadrat Terkecil
Pada gambar 4.2 di bawah ini adalah sebaran titik-titik data
dari hasil pengukuran pada bidang x-y. Akan dicari suatu
kurva g(x) yang dapat mewakili titik percobaan tersebut.
Metode yang lebih pasti untuk mendapatkan kurva tersebut
yaitu dengan membuat kurva yang meminimumkan
perbedaan (selisih) antara titik-titik data dan kurva. Teknik
untuk mendapatkan kurva tersebut dikenal dengan Regresi
Kuadrat Terkecil.

9. Teknik tersebut dilakukan dengan prosedur berikut
Titik-titik percobaan digambar pada suatu sistem
koordinat. Dari gambir akan terlihat kecendrungannya
(trend) apakah berupa garis lurus (linear) atau lengkung.
Dipilih suatu fungsi g(x) yang dianggap bisa mewakili f(x)
yang mempunyai bentuk umum seperti berikut:
𝑔 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ … … … . +𝑎 𝑟 𝑥 𝑟………..(4.1)
Fungsi tersebut tergantung pada parameter 𝑎0, 𝑎1 … 𝑎 𝑟
Ditentukan parameter 𝑎0, 𝑎1 … 𝑎 𝑟 sedemikian hingga
𝑔(𝑎0, 𝑎1 … 𝑎 𝑟) melalui sedekat mungkin titik-titik data.
Apabila koordinat dari titik-titik percobaan adalah M(xi,yi)
dengan 𝑖=1, 2,3,……..n maka selisih ordinat antara titik-
titik tersebut dengan fungsi 𝐺(𝑥𝑖; 𝑎0, 𝑎1 … 𝑎 𝑟 ) adalah :

10. 𝐸𝑖 = 𝑀𝑖 𝐺𝑖 = 𝑦𝑖− 𝑔 𝑥𝑖; 𝑎0, 𝑎1 … 𝑎 𝑟
= 𝑦𝑖 − (𝑎0 + 𝑎1 𝑥𝑖 + 𝑎2 𝑥𝑖
2
+ 𝑎3 𝑥𝑖
3
+ ⋯ … . . +𝑎 𝑟 𝑥𝑖
𝑟
Dipilih suatu fungsi g(x) yang mempunyai kesalahan 𝐸𝑖
terkecil. Dalan metode ini jumlah kuadrat dari kesalahan
terkecil adalah :
𝐷2
= 𝑖=1
𝑛
𝐸𝑖
2
= 𝑖=1
𝑛
𝑦𝑖 − 𝑔(𝑥𝑖) 2
…………….(4.2)
Dicari parameter 𝑎0, 𝑎1, … … … … … 𝑎 𝑟 sedemikian hingga
D2 adalah minimum.
Nilai D2 akan minimum apabila turunan pertamnya
terhadap 𝑎0, 𝑎1, … … … … … 𝑎 𝑟 adalah nol, sehingga

11. 𝜕𝐷2
𝜕𝑎0
= 0
𝜕𝐷2
𝜕𝑎1
= 0
.
. (4.3)
.
𝜕𝐷2
𝜕𝑎 𝑟
= 0
Penyelesaian dari persamaan (4.3) akan memberikan
hasil parameter 𝑎0, 𝑎1, … … … … … 𝑎 𝑟. Dengan demikian
persamaan kurva terbaik yang mewakili titik-titik data
telah diperoleh

12. Metode Kuadrat Terkecil untuk Kurva
Linear
Bentuk umum : 𝑔(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 …………….(4.4)
Dengan 𝑎0 = 𝑎 dan 𝑎1 = 𝑏
Jumlah kuadrat dari kesalahan dihitung dengan persamaan (4.2)
𝐷2 = 𝑖=1
𝑛
𝐸𝑖
2
= 𝑖=1
𝑛
𝑦𝑖 − 𝑔(𝑥𝑖) 2……………(4.5)
Agar nilai D2 minimum, maka persaman (4.5) diturunkan
terhadap parameter a dan b dan disamadengankan nol.
Turunan pertama terhadap parameter a adalah :
𝜕𝐷2
𝜕𝑎
= 0
𝜕
𝜕𝑎
(
𝑖=1
𝑛
𝑦𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑥𝑖)
2
= 0

13. -2 𝑖=1
𝑛
(𝑦𝑖−𝑎 − 𝑏𝑥𝑖)
𝑦𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑥𝑖 = 0………………….(4.6)
Turunan pertama terhadap parameter b adalah :
𝜕𝐷2
𝜕𝑏
= 0
𝜕
𝜕𝑏
(
𝑖=1
𝑛
𝑦𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑥𝑖)
2
= 0
-2 𝑖=1
𝑛
[(𝑦𝑖−𝑎 − 𝑏𝑥𝑖) 𝑥𝑖]=0
𝑦𝑖 𝑥𝑖 − 𝑎 𝑥𝑖 − 𝑏𝑥𝑖
2 =
0…………….(4.7)

14. Penjumlahan masing-masing suku pada persamaan (4.6)
dan (4.7) adalah dari 1 sampai n.
Persamaan (4.6) dan (4.7) dapat ditulis dalambentuk
𝑛𝑎 + 𝑥𝑖 𝑏 = 𝑦𝑖…………………(4.8)
𝑥𝑖 𝑎 + 𝑥𝑖
2
𝑏 = 𝑥𝑖 𝑦𝑖………….(4.9)
Selanjutnya persamaan (4.8) dapat ditulis menjadi:
𝑛𝑎 + 𝑥𝑖 𝑏 = 𝑦𝑖
𝑎 =
1
𝑛
( 𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑏)
𝑎 =
1
𝑛
𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑏………………..(4.10)
Atau 𝑎 = 𝑦 − 𝑏 𝑥…………………….(4.11)

15. Interpolasi Persamaan (4.10) ke dalam persamaan (4.9)
Atau
…………(4.12)

16. Untuk mengetahui drajat kesesuaian dari persamaan yang
didapat, dihitung koefisien korelasi yang dibentuk
𝑟 =
𝐷𝑡
2
− 𝐷2
𝐷𝑡
2
Dengan
Nilai r berkisar antara 1 sampai 0. untuk r = 1 artinya
terdapat pengaruh yang kuat, dan untuk r = 0 artinya tidak
ada pengaruh

17. Contoh:
Tentukan persamaan garis yang mewakili data berikut
Peneyelesaian
Penggambaran titik-titik dari tabel di atas disajiakn sebagai
berikut.
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 4 6 8 10 14 16 20 22 24 28

19. Tabel 4.2
Hitungan Regresi Linear
No xi yi xiyi xi2
1 4 30 120 16
2 6 18 108 36
3 8 22 176 64
4 10 28 280 100
5 14 14 196 196
6 16 22 352 256
7 20 16 320 400
8 22 8 176 484
9 24 20 480 576
10 28 8 224 784
∑ 152 186 2432 2912

20. Dari tabel 4.2 nilai rerata x da y adalah
Persamaan garis yang mewakili titik-titik adalah:
Y = a + bx
Dengan :

21. Jadi persamaan garisnya adalah:
Y = 28,5849 – 0,6569x