Intergasi numerik

1. Metode Numerik
PENS-ITS
1
Integrasi Numerik
Umi Sa’adah
Politeknik Elektronika Negeri Surabaya
2012

2. Metode Numerik
PENS-ITS 2
Topik
• Integral Reimann
• Trapezoida
• Simpson 1/3
• Simpson 3/8
• Kuadratur Gauss 2 titik
• Kuadratur Gauss 3 titik

3. Metode Numerik
PENS-ITS 3
INTEGRASI NUMERIK
• Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu
integral dan turunan(derivative)
• Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara
yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh
jawaban hampiran (aproksimasi) dari
pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan
secara analitik.

4. Metode Numerik
PENS-ITS 4
INTEGRASI NUMERIK
• Fungsi yang dapat dihitung integralnya :
• Fungsi yang rumit misal :
dx
e
x
x x
5
.
0
2
0
2
3
sin
5
.
0
1
)
1
cos(
2
 


C
x
x
x
dx
x
C
x
dx
x
C
b
ax
a
dx
b
ax
C
b
ax
a
dx
b
ax
C
a
e
dx
e
C
n
ax
dx
ax
ax
ax
n
n


























|
|
ln
|
|
ln
|
|
ln
1
)
sin(
1
)
cos(
)
cos(
1
)
sin(
1
1

5. Metode Numerik
PENS-ITS 5
INTEGRASI NUMERIK
• Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang
digunakan dalam kalkulus, dalam banyak
keperluan.
• digunakan untuk menghitung luas daerah yang
dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.
• Penerapan integral : menghitung luas dan volume-
volume benda putar

6. Metode Numerik
PENS-ITS 6
Dasar Pengintegralan Numerik
 Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
0
0
0
n
n
i
n
i
i
b
a
x
f
c
x
f
c
x
f
c
x
f
c
dx
x
f




 
 
x0 x1 xn
xn-1
x
f(x)

7. Metode Numerik
PENS-ITS 7
0
2
4
6
8
10
12
3 5 7 9 11 13 15
• Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat
awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.
• Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih
mendekati jawaban eksak.
Dasar Pengintegralan Numerik

8. Metode Numerik
PENS-ITS 8
Formula Newton-Cotes
- Berdasarkan pada
dx
x
f
dx
x
f
I
b
a
n
b
a 
 
 )
(
)
(
 Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
n
n
1
n
1
n
1
0
n x
a
x
a
x
a
a
x
f 



 


)
(
Dasar Pengintegralan Numerik

9. Metode Numerik
PENS-ITS 9
 fn (x) bisa fungsi linear
 fn (x) bisa fungsi kuadrat

10. Metode Numerik
PENS-ITS 10
 fn (x) bisa juga fungsi kubik atau
polinomial yang lebih tinggi

11. Metode Numerik
PENS-ITS 11
 Polinomial dapat didasarkan pada data

12. Metode Numerik
PENS-ITS 12
INTEGRASI NUMERIK
• Luas daerah yang diarsir
L dapat dihitung dengan
:
• L =  

b
a
dx
x
f

13. Metode Numerik
PENS-ITS 13
Metode Integral Reimann
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35
x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

14. Metode Numerik
PENS-ITS 14
Metode Integral Reimann
• Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x
• Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x
= [a,b]
• Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi
panjang dimana )
(
. xi
f
xi
Li 


15. Metode Numerik
PENS-ITS 15
Metode Integral Reimann
• Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :
• Dimana
• Didapat
       
  i
n
i
i
n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
L
L
L
L
L

















0
3
2
2
1
1
0
0
2
1
0
...
..
   




n
i
i
b
a
x
f
h
dx
x
f
0
h
x
x
x
x n 







 ...
2
1
0

16. Metode Numerik
PENS-ITS 16
Contoh
• Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x
untuk range x = [0,1]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x**2

1
0
2
dx
x
L =

17. Metode Numerik
PENS-ITS 17
Contoh
• Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
• Secara kalkulus :
• Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333
• = 0,052
 
   385
,
0
85
,
3
1
.
0
00
.
1
81
.
0
64
.
0
49
.
0
36
.
0
25
.
0
16
.
0
09
.
0
04
.
0
01
.
0
0
1
.
0
)
(
.
10
0













 

i
i
x
f
h
L
.....
3333
,
0
|
3
1 1
0
3
1
0
2


  x
dx
x
L

18. Metode Numerik
PENS-ITS 18
Algoritma Metode Integral Reimann
• Definisikan fungsi f(x)
• Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi
• Tentukan jumlah pembagi area N
• Hitung h=(b-a)/N
• Hitung



N
i
i
x
f
h
L
0
)
(
.

19. Metode Numerik
PENS-ITS 19
Metode Integrasi Trapezoida
• Aproksimasi garis lurus (linier)
 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
0
1
1
0
0
i
1
0
i
i
b
a
x
f
x
f
2
h
x
f
c
x
f
c
x
f
c
dx
x
f




 
 
x0 x1
x
f(x)
L(x)

20. Metode Numerik
PENS-ITS 20
Aturan Komposisi Trapesium
     
 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
n
1
n
i
1
0
n
1
n
2
1
1
0
x
x
x
x
x
x
b
a
x
f
x
f
2
x
2f
x
f
2
x
f
2
h
x
f
x
f
2
h
x
f
x
f
2
h
x
f
x
f
2
h
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
n
1
n
2
1
1
0























 





x0 x1
x
f(x)
x2
h h x3
h h x4
n
a
b
h



21. Metode Numerik
PENS-ITS 21
Metode Integrasi Trapezoida
   
 
  i
i
i
i
i
i
i
i
x
f
f
L
atau
x
x
f
x
f
L








.
2
1
.
2
1
1
1




1
0

i
i
L
L
   
n
n
n
i
i
i f
f
f
f
f
h
f
f
h
L 






 



 1
2
1
0
1
0
1 2
...
2
2
2
2
1










 


n
n
i
i f
f
f
h
L
1
1
0 2
2

22. Metode Numerik
PENS-ITS 22
Algoritma Metode Integrasi
Trapezoida
• Definisikan y=f(x)
• Tentukan batas bawah (a) dan batas atas
integrasi (b)
• Tentukan jumlah pembagi n
• Hitung h=(b-a)/n
• Hitung










 


n
n
i
i f
f
f
h
L
1
1
0 2
2

23. Metode Numerik
PENS-ITS 23
Aturan Simpson 1/3
• Aproksimasi dengan fungsi parabola
 
)
(
)
(
4
)
(
3
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
0
2
2
1
1
0
0
2
0
x
f
x
f
x
f
h
x
f
c
x
f
c
x
f
c
x
f
c
dx
x
f i
i
i
b
a






 
 
x0 x1
x
f(x)
x2
h h
L(x)

24. Metode Numerik
PENS-ITS 24
Aturan Komposisi Simpson
x0 x2
x
f(x)
x4
h h xn-2
h xn
n
a
b
h


…...
h
x3
x1 xn-1

25. Metode Numerik
PENS-ITS 25
Cara II
(Buku Rinaldi Munir)
• Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2
yang melalui ketiga titik tsb
0
2
2
0
0
0
2
2
0
0
2
!
2
)
(
)
(
!
2
)
(
)
(
)
( f
h
h
x
x
f
h
x
f
x
f
h
h
x
x
x
f
h
x
x
f
x
p 












26. Metode Numerik
PENS-ITS 26
Polinom Interpolasi
Newton Gregory

27. Metode Numerik
PENS-ITS 27
Polinom Interpolasi
Newton Gregory
Bentuk Umum

28. Metode Numerik
PENS-ITS 28
Cara II (Buku Rinaldi Munir hlm 285)
• Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
2
2
3
0
2
0
2
0
0
2
2
2
3
0
2
0
2
0
0
2
2
0
0
2
0
2
2
0
3
2
2
3
4
2
2
4
4
6
8
2
4
2
|
4
6
2
!
2
)
(
)
(
f
h
f
h
hf
L
f
h
h
f
h
hf
L
f
h
h
h
h
f
h
h
hf
L
f
h
x
h
x
f
h
x
x
f
L
dx
f
h
h
x
x
f
h
x
f
L
xdx
p
dx
x
f
L
h
x
x
h
h
h

































































29. Metode Numerik
PENS-ITS 29
Cara II (Buku Rinaldi Munir hlm 286)
• Mengingat
• Maka selanjutnya
0
1
0 f
f
f 


)
4
(
3
3
3
4
3
3
3
2
3
2
2
2
)
2
(
3
)
(
2
2
3
2
2
2
1
0
2
1
0
0
1
2
0
1
0
0
1
2
0
1
0
0
2
0
0
f
f
f
h
L
f
h
f
h
f
h
L
f
h
f
h
f
h
hf
hf
hf
L
f
f
f
h
f
f
h
hf
L
f
h
f
h
hf
L























0
1
2
0
1
1
2
0
1
0
2
2
)
(
)
( f
f
f
f
f
f
f
f
f
f 












30. Metode Numerik
PENS-ITS 30
Kaidah Simpson 1/3 (total)
Ltotal =
• Disyaratkan jumlah pias (n) harus genap
)
2
4
(
3
)
4
(
3
...
)
4
(
3
)
4
(
3
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
6
,
4
,
2
1
5
,
3
,
1
0
1
2
4
3
2
2
1
0
2
0
4
2 2
n
n
n
i
i
n
i
i
n
n
n
x
x
x
x
xn
b
a
f
f
f
f
h
f
f
f
h
f
f
f
h
f
f
f
h
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x




















  









31. Metode Numerik
PENS-ITS 31
Metode Integrasi
Simpson 1/3
• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang
dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai
berikut:
• atau dapat dituliskan dengan:
• Disyaratkan jml pias (n) genap
       
n
n
n f
f
f
h
f
f
f
h
f
f
f
h
f
f
f
h
L 











 
 1
2
6
5
4
4
3
2
2
1
0 4
3
...
4
3
4
3
4
3











 
 n
genap
i
i
ganjil
i
i f
f
f
f
h
L 0 2
4
3
N = 0 – n
L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln

32. Metode Numerik
PENS-ITS 32
Contoh
• Hitung integral 
1
0
3
2 dx
x
Ltotal
Ltotal = 0.1/3*( f(0) + 4*f(1) + 2*f(2) + …+ 4*f(9) + f(10))
= 0.1/3*(0+0.008+0.032+0.216+0.256+1+0.864
+2.744+2.048+5.832+2)
= 0.0333333 * 15
= 0.5
Nilai eksak = | = 0.5
Nilai error = 0.5 - 0.5 = 0
4
2
1 x 0
1

33. Metode Numerik
PENS-ITS 33
Aturan Simpson 3/8
 Aproksimasi dengan fungsi kubik
 
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
0
3
3
2
2
1
1
0
0
i
3
0
i
i
b
a
x
f
x
f
3
x
f
3
x
f
8
h
3
x
f
c
x
f
c
x
f
c
x
f
c
x
f
c
dx
x
f








 
 
x0 x1
x
f(x)
x2
h h
L(x)
x3
h

34. Metode Numerik
PENS-ITS 34
Metode Integrasi
Simpson 3/ 8
• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari
daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X
dapat dihitung sebagai berikut:
• atau dapat dituliskan dengan:
     
n
n
n
n f
f
f
f
h
h
f
f
f
f
h
f
f
f
f
h
L 












 

 1
2
3
6
5
4
3
3
2
1
0 3
3
8
3
...
8
3
3
3
8
3
3
3
8
3
N = 0 – n
L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln

35. Metode Numerik
PENS-ITS 35
Latihan Soal
• Hitung Integral dengan menggunakan
– Integral Reimann
– Integrasi Trapezoida
– Integrasi Simpson 1/3 dan 3/8
dx
ex
 
1
0
1
1

36. Metode Numerik
PENS-ITS 36
Metode Integrasi Gauss
• Metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson)
 berdasarkan titik-titik data diskrit. Dengan
batasan :
– h sama
– Luas dihitung dari a sampai b
• Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup
besar.

37. Metode Numerik
PENS-ITS 37
Metode Integrasi Gauss
• Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]
• Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)
• Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=h/2=1  menjadi metode trapezoida
• Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut
sehingga error integrasinya minimum
 
2
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
)
(
1
1










 

h
f
f
f
f
h
dx
x
f
I
)
(
)
(
)
( 2
2
1
1
1
1
x
f
c
x
f
c
dx
x
f
I 

 


38. Metode Numerik
PENS-ITS 38
Metode Integrasi Gauss
• Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 ? Karena ada 4 perubah
yang tidak diketahui, maka harus ada 4 persamaan simultan
yang mengandung x1, x2,,c1 dan c2.
• Dapat dilihat bahwa nilai integrasi numerik dengan metode
trapesium akan tepat (error = 0) untuk fungsi tetap dan fungsi
linier.
• Misalnya persamaan-persamaan di bawah ini dijadikan fungsi
integral pada interval integrasi [-1, 1]
• f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3

39. Metode Numerik
PENS-ITS 39
Metode Integrasi Gauss
3
2
2
3
1
1
4
4
1
1
4
1
1
3
3
2
2
2
2
1
1
3
3
1
1
3
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
0
)
1
(
4
1
)
1
(
4
1
|
4
1
)
(
3
2
)
1
(
3
1
)
1
(
3
1
|
3
1
)
(
0
)
1
(
2
1
)
1
(
2
1
|
2
1
)
(
2
1
2
)
1
(
1
|
1
1
)
(
x
c
x
c
x
dx
x
x
x
f
x
c
x
c
x
dx
x
x
x
f
x
c
x
c
x
dx
x
x
x
f
c
c
x
dx
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
























































)
(
)
(
)
( 2
2
1
1
1
1
x
f
c
x
f
c
dx
x
f
I 

 


40. Metode Numerik
PENS-ITS 40
0
3
2
0
2
3
2
2
3
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1








x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
c
c
577350269
.
0
3
1
577350269
.
0
3
1
1
2
1
2
1








x
x
c
c
)
3
1
(
)
3
1
(
)
(
1
1



 

f
f
dx
x
f
I
Sehingga :
apabila dipecahkan
menghasilkan
Sekarang sudah didapatkan 4
persamaan simultan sbb :

41. Metode Numerik
PENS-ITS 41
Metode Integrasi Gauss
• Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss
Legendre 2 titik
• Dengan kaidah ini, menghitung integral f(x) di
dalam selang[-1, 1] cukup hanya dengan
mengevaluasi nilai fungsi g pada dan
3
1

x
)
3
1
(
)
3
1
(
)
(
1
1





g
g
dx
x
f
3
1


x

42. Metode Numerik
PENS-ITS 42
Transformasi
• Range [a,b]  [-1,1]
• x  u
• f(x)  g(u)
• dx  du


b
a
i dx
x
f
L )
( 


1
1
)
( du
u
g
Li

43. Metode Numerik
PENS-ITS 43
Transformasi
du
a
b
dx
u
a
b
a
b
x
a
au
bu
a
b
x
a
a
b
u
x
a
b
u
a
x
u
a
b
a
x
2
)
(
2
)
(
2
)
(
2
2
2
)
)(
1
(
2
)
)(
1
(
2
2
2
1























a b
x
-1 1
u

44. Metode Numerik
PENS-ITS 44
Transformasi
du
u
a
b
b
a
f
a
b
du
u
g 
 






 




1
1
1
1
2
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
 



b
a
i du
u
g
dx
x
f
L
1
1
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
a
b
u
a
b
a
b
f
u
g






 




45. Metode Numerik
PENS-ITS 45
Analisa
• Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida,
Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih
sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena
hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.
• Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.
• Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu
menjadi


1
1
)
( du
u
g

46. Metode Numerik
PENS-ITS 46
Algoritma
Integrasi Kuadratur Gauss
dgn Pendekatan 2 titik
(1) Definisikan fungsi f(x)
(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)
(3) Hitung nilai konversi variabel :
(4) Tentukan fungsi f(u) dengan:
(5) Hitung:















3
1
3
1
g
g
L
u
a
b
a
b
x
2
)
(
2
)
( 








 



 u
a
b
a
b
f
a
b
u
g
2
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(

47. Metode Numerik
PENS-ITS 47

48. Metode Numerik
PENS-ITS 48
Metode Gauss Legendre 3 Titik
• Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran
bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat (error = 0) untuk 6 buah fungsi
berikut :
• Dengan cara yang sama dengan 2 titik didapatkan
)
(
)
(
)
(
)
( 3
3
2
2
1
1
1
1
x
f
c
x
f
c
x
f
c
dx
x
f
I 


 

5
4
3
2
)
(
;
)
(
;
)
(
)
(
;
)
(
;
1
)
(
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f






9
5
;
9
8
;
9
5
3
2
1 

 c
c
c
774596669
.
0
5
3
0
774596669
.
0
5
3
3
2
1







x
x
x

49. Metode Numerik
PENS-ITS 49
Metode Gauss Legendre 3 Titik
  





















5
3
9
5
0
9
8
5
3
9
5
)
(
1
1
g
g
g
du
u
g
Sehingga rumus luasannya menjadi :

50. Metode Numerik
PENS-ITS 50
Algoritma Metode Integrasi Gauss
dengan Pendekatan 3 Titik
(1) Definisikan fungsi f(x)
(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)
(3) Hitung nilai konversi variabel :
(4) Tentukan fungsi f(u) :
(5) Hitung:
u
a
b
a
b
x
2
)
(
2
)
( 








 



 u
a
b
a
b
f
a
b
u
g
2
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
  





















5
3
9
5
0
9
8
5
3
9
5
)
(
1
1
g
g
g
du
u
g

51. Metode Numerik
PENS-ITS 51
Metode Gauss n-Titik

52. Metode Numerik
PENS-ITS 52
Beberapa Penerapan Integrasi
Numerik
• Menghitung Luas Daerah Berdasarkan
Gambar
• Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

53. Metode Numerik
PENS-ITS 53
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan
Gambar
• Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau
membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak
mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100
m.
• Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini
n=16). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
Skala 1:100000
0 10
5
6
3
15
9

54. Metode Numerik
PENS-ITS 54
Menghitung Luas Daerah
Berdasarkan Gambar
• Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan
menggunakan 3 macam metode:
• Dengan menggunakan metode integrasi Reimann
• Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida
• Dengan menggunakan metode integrasi Simpson
5
.
73
2
2
15
1
16
0 








 

i
i y
y
y
h
L
5
.
73
16
0

 

i
i
y
h
L
74
2
4
3
16
0 











 
 
 genap
i
i
ganjil
i
i y
y
y
y
h
L

55. Metode Numerik
PENS-ITS 55
Menghitung Luas dan Volume
Benda Putar
• Luas benda putar:
• Volume benda putar:


b
a
p dx
x
f
L )
(
2
 


b
a
p dx
x
f
V 2
)
(


56. Metode Numerik
PENS-ITS 56
Contoh :
• Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian
– bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu
dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,
– bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.
• Bagian I:
• Bagian III:
4
cm
6
cm
7
cm
12
cm
7
cm
5
cm
I II III IV
satuan dalam cm

 56
)
7
)(
4
(
2 

I
L 
 196
)
7
)(
4
( 2


I
V
  
 288
)
12
(
12
2 

III
L    
 3456
12
12
2
2


III
V

57. Metode Numerik
PENS-ITS 57
Contoh :
• Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area ,
misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:
• Pada bagian II dan IV: dan
• Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

 108
2
2
2
)
(
4
1
5
0 








 

i
i
IV
II y
y
y
h
L
L
  
 5
.
1187
2
2
4
1
2
2
5
2
0 









 

i
i
IV
II y
y
y
h
V
V
IV
II L
L 
IV
II V
V 

58. Metode Numerik
PENS-ITS 58
Contoh :
• Luas permukaan dari botol adalah:
• Luas = 1758.4 cm2
• Volume botol adalah:
• Volume = 18924.78 cm3
4
.
1758
560
108
288
108
56















IV
III
II
I L
L
L
L
L





6024
5
.
1187
3456
5
.
1187
196








 IV
III
II
I V
V
V
V
V