Logaritma asli

1. FUNGSI TRASENDEN
(Fungsi Logritma Asli, Fungsi Invers & Turunannya)
Dosen Pengampu : Munaji, S.Pd.I., M.Pd.
NIDN : 0404078304
Prodi Teknik Elektro Fakultas Teknik
Universitas 17 Agustus 1945 Cirebon

2. A. Fungsi Logaritma Asli
Definisi
Fungsi logaritma asli, ditulis sebagai
logaritma naperian (ln), didefinisikan
dengan
ln x = 1
𝑥 1
𝑡
𝑑𝑡, 𝑥 > 0
Daerah definisnya adalah himpunan
bilangan riil positif

4. A.1. Turunan Logaritma Asli
Turunan suatu integral terhadap batas atasnya adalah
pengevalausian integran tersebut.
Dx ln x =
1
𝑥
, x > 0
Dengan menggunakan aturan rantai, andaiakan u = f(x) > 0,
maka kita peroleh
Dx ln u =
1
𝑢
𝐷𝑥𝑢
Contoh 1 Tentukan Dx ln 𝑥
Penyelesaian: Andaikan u = 𝑥 = 𝑥
1
2
Dx ln 𝑥 =
1
𝑥
1
2
.
1
2
𝑥−
1
2 =
1
2𝑥

5. Contoh 2 Tentukan Dx ln (𝑥2 − 𝑥 − 2)
Penyelesaian :
Contoh ini artinya, asal 𝑥2 − 𝑥 − 2 > 0. Oleh
karena itu artinya 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 𝑥 − 2 𝑥 + 1 ,
yang positif apabila x < 1 atau x > 2. Sehingga
daerah definisi fungsi Dx ln (𝑥2 − 𝑥 − 2) adalah
(−∞, ∞) ∪ (2, ∞). Sehingga
Dx ln (𝑥2 − 𝑥 − 2) =
1
𝑥2−𝑥−2
𝐷𝑥 𝑥2 − 𝑥 − 2
=
2𝑥−1
𝑥2−𝑥−2

6. Rumus
1
𝑢
𝑑𝑢 = ln 𝑢 + C, 𝑢 ≠ 0
Contoh 3 Tentukan
5
2𝑥+7
𝑑𝑥
Penyelesaian Andaiakan u = 2x + 7. Jadi du = 2
dx. Sehingga
5
2𝑥+7
𝑑𝑥 =
5
2
1
2𝑥+7
2 𝑑𝑥 =
5
2
1
𝑢
𝑑𝑢
=
5
2
ln 𝑢 + 𝐶 =
5
2
ln 2𝑥 + 7 + C

7. Contoh 4 Hitunglah −1
3 𝑥
10−𝑥2 𝑑𝑥
Penyelesaian : Andaikan u = 10 – x2, du = -2x dx, maka
𝑥
10 − 𝑥2
𝑑𝑥 = −
1
2
−2𝑥
10 − 𝑥2
𝑑𝑥 = −
1
2
1
𝑢
𝑑𝑢
= −
1
2
ln 𝑢 + 𝐶 = −
1
2
10 − 𝑥2 + 𝐶
Dengan menggunakan teorema dasar kalkukus kita perolah:
−1
3
𝑥
10 − 𝑥2
= −
1
2
ln 10 − 𝑥2
−1
3
= −
1
2
ln 1 +
1
2
ln 9 =
1
2
ln 9
Agar perhitungan di atas berlaku, 10 – x2 tidak boleh nol
pada selang [-1, 3].

8. A.2. Sifat-Sifat Logaritma Asli
Teorema A
Apabila a dan b bilangan-bilangan positif
dan r sebuah bilangan rasional, maka
(i) ln 1 = 0
(ii) ln ab = ln a + ln b
(iii) ln
𝑎
𝑏
= ln 𝑎 − ln 𝑏
(iv) ln ar = r ln a

9. Contoh 4 : Tentukan dy/dx untuk y = ln
3 𝑥−1
𝑥2 , 𝑥 > 1
Penyelesaian : y = ln
𝑥−1
𝑥2
1
3
=
1
3
ln
𝑥−1
𝑥2 ...........................Teorema (iv)
=
1
3
[ln 𝑥 − 1 − ln 𝑥2] ..........Teorema (iii)
=
1
3
[ln 𝑥 − 1 − 2 ln 𝑥] ......Teorema (iv)
Sehingga
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
3
1
𝑥−1
−
2
𝑥
=
2−𝑥
3𝑥2−3𝑥

10. A.3. Pendeferensialan
Logaritma
Menentukan turunan fungsi yang
menyangkut hasil bagi, hasil kali, dan
pemangkatan dapat disederhanakan
dengan menarik logaritma asli fungsi
tersebut terlebih dahulu. Metode ini
disebut pendeferensialan logaritma.

11. Contoh 5 : Turunkanlah 𝑦 =
1−𝑥2
(𝑥+1)2/3
Penyelesaan ln y =
1
2
ln 1 − 𝑥2 −
2
3
ln(𝑥 + 1)
1
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2𝑥
2(1−𝑥2)
−
2
3 𝑥+1
=
−(𝑥+2)
3(1−𝑥2)
Sehingga
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝑦(𝑥+2)
3(1−𝑥2)
=
− 1−𝑥2(𝑥+2)
3(𝑥+1)
2
3(1−𝑥2)
=
−(𝑥+2)
3(𝑥+1)
2
3(1−𝑥2)1/2

12. Grafik Logaritma Asli

13. B. Fungsi Invers
Definisi
Jika fungsi f : A B, dengan 𝑓 =
(𝑥, 𝑦) 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 , maka relasi
g : B A, dengan 𝑔 =
(𝑦, 𝑥) 𝑥 = 𝑔 𝑦 , 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 dinamakan
fungsi invers f ditulis 𝑓−1
.
Secra umum dapat dituliskan :
𝑓−1
𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑓 𝑥 = 𝑦

14. Syarat fungsi memmiliki invers adalah fungsi tersebut
merupakan fungsi satu-satu/bijektif atau merupakan
fungsi monoton murni.
Teorema A
Apabila f monoton murni pada daerah asalnya, maka f
memiliki invers
Contoh 1. Buktikan bahwa
f(x) = x5 + 2x + 1 memiliki invrs
Penyelesaian
𝑓′
𝑥 = 5𝑥4
+ 2 > 0 untuk semua x. jadi f naik pada
seluruh himpunan bilangan rill, ini berarti f memiliki
invers.

15. Contoh 2 Tentukan rumus 𝑓−1
𝑥 apabila y = f(x) =
𝑥
1−𝑥
Peyelesaian 𝑦 =
𝑥
1−𝑥
(1 – x)y = x
y – xy = x
x + xy = y
x(1 + y) = y
x =
𝑦
1+𝑦
𝑓−1 𝑦 =
𝑦
1+𝑦
𝑓−1 𝑥 =
𝑥
1+𝑥

16. C. Turunan Fungsi Invers
Teorema B
(Teorema fungsi invers). Andaikan f dapat diturunkan dan
monoton murni pada selang I. Apabila f’(x) ≠ 0 pada
sesuatu x dalam I, maka 𝑓−1 dapat diturunkan di titik y =
f(x) pada daerah hasil f dan berlakulah
(𝑓−1)′ 𝑦 =
1
𝑓′(𝑥)
Rumus tersbut juga dapat ditulis :
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
1
𝑑𝑦/𝑑𝑥

17. Contoh 3
Andaikan y = f(x) = 𝑥5
+ 2𝑥 + 1, (lihat contoh 1). Tentukan
(𝑓−1)′ 4 .
Penyelesaian
Tanpa menuliskan rumus 𝑓−1, kita bisa pastikan bahwa f(x)
memiliki invers, karena f(x) monoton naik.
(𝑓−1
)′
4 =
1
𝑓′(𝑥)
dengan :
↔ f(x) = 4
↔ 𝑥5 +2𝑥 + 1 = 4, maka x = 1 adalah memenuhi persamaan
tersebut. Oleh karena 𝑓′ 𝑥 = 5𝑥4 + 2, dengan demikian:
(𝑓−1)′ 4 =
1
𝑓′(1)
=
1
5+2
=
1
7

18. Soal-Soal Latihan
1. Gunakan aproksimasi ln 2 = 0,693 dan ln 3 = 1,099 dan
sifat-sifat dalam teorema A untuk mengaproksimasi
logaritma berikut. Misalnya ln 6 = ln (2 . 3) = ln 2 + ln 3
a. ln 6 d. ln 1,5
b. ln 81 e. ln 3
c. ln
1
36
f. ln 48
2. Tentukan turunan-turunan yang ditunjukkan pada
masing-masing soal.
a. Dx ln (x2 – 5x + 6) c. Dx ln (x – 5)4
b. Dx ln 3𝑥 − 25 d.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
jika y = x ln x

19. Soal-soal Ltihan
3. Hitunglah integral-integral berikut
a.
4
2x+1
𝑑𝑥 c.
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
b.
4x+2
x2+x+5
𝑑𝑥 d. 0
3 x3
x4+1
𝑑𝑥
4.