Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

SPL m persamaan linear dengan n bilangan yang tidak diketahui part 2

270 views

Published on

sistem m persamaan linier dengan n bilangan yang tidak diketahui

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

SPL m persamaan linear dengan n bilangan yang tidak diketahui part 2

  1. 1. Sistem Persamaan Linear dengan N Bilangan yang Tidak Diketahui A. Sistem persamaan Linear Penyelesaian n persamaan linear dan n bilangan yang tidak diketahui 1. Dua persamaan liniear dengan dua bilangan yang tidak diketahui. a) ................. a1 x + b1 y = k1 ...........(I) b) ................. a2 x + b2 y = k2 ...........(II) a1 dan b1 masing – masing adalah koefisien dari x dan y, k1 = konstanta (I) Γ— π‘Ž2 ≫ π‘Ž1 π‘Ž2 π‘₯ + π‘Ž2 𝑏2 𝑦 = π‘Ž2 π‘˜1 (II) Γ—π‘Ž1β‰«π‘Ž1 π‘Ž2 π‘₯+ π‘Ž1 𝑏2 𝑦= π‘Ž1 π‘˜2 ( π‘Ž1 𝑏2βˆ’π‘Ž2 𝑏1) 𝑦 = ( π‘Ž1 π‘˜2βˆ’π‘Ž2 π‘˜1) βˆ’ Atau Asalkan a1 b2 – a2 b1 β‰  0 Bila ( 𝐼) π‘₯ 𝑏 ( 𝐼𝐼) π‘₯ 𝑏 } maka juga diperoleh Asalkan a1 b2 – a2 b1 β‰  0 Bentuk (III) dan (IV) dapat ditulis dalam bentuk determinan sebagai berikut: Asalkan 2. Tiga persamaan linear dengan tiga bilangan yang tidak diketahui: a) a1 x + b1y + c1z= k1 ...........(I) b) a2 x + b2 y + c2z= k2 ...........(II) c) a3 x + b3 y + c3 z = k3 ...........(III)
  2. 2. a1, b1, dan c1 masing masing adalah koefisien dari x, y,dan z, dan k1 = konstanta (I) π‘₯ 𝑐2 ≫ π‘Ž1 𝑐2 π‘₯ + 𝑏1 𝑐2 𝑦 + 𝑐1 𝑐2 𝑧 = π‘˜1 𝑐22 (II) π‘₯ 𝑐1 ≫ π‘Ž2 𝑐1 π‘₯ + 𝑏2 𝑐11 𝑦 + 𝑐1 𝑐2 𝑧 = π‘˜2 𝑐1 ( π‘Ž1 𝑐2 – π‘Ž2 𝑐1) π‘₯ + ( 𝑏1 𝑐2 – 𝑏2 𝑐1) 𝑦 = π‘˜1 𝑐2 – π‘˜2 𝑐1 βˆ’ (a1c2 – a2c1)x + (b1c2 – b2c1)y = k1c2 – k2c1 .........(IV) (III) π‘₯ 𝑐3 ≫ π‘Ž2 𝑐3 π‘₯ + 𝑏2 𝑐3 𝑦 + 𝑐2 𝑐3 𝑧 = π‘˜2 𝑐3 (IV) π‘₯ 𝑐2 ≫ π‘Ž3 𝑐2 π‘₯ + 𝑏3 𝑐2 𝑦 + 𝑐3 𝑐2 𝑧 = π‘˜3 𝑐2 ( π‘Ž2 𝑐3 – π‘Ž3 𝑐2) π‘₯ + (𝑏2 𝑐3 – 𝑏3 𝑐2)𝑦 = π‘˜2 𝑐3 – π‘˜3 𝑐2 βˆ’ (a2c3 – a3c2)x + (b2c3 – b3c2)y = k2c3 – k3c2 .........(V) Dari [(IV) x (b2c3 – b3c2) – (V) x (b1c2 – b2c1)] diperoleh suatu kesamaan dengan ruas kiri [(a1c2 – a2c1)(b2c3 – b3c2) – (a2c3 – a3c2)(b1c2 – b2c1)] x dan ruas kanan yaitu: (k1c2 – k2c1)(b2c3 – b3c2) – (k2c3 – k3c2)(b1c2 – b2c1) Pada ruas kiri , koefisien dari x adalah (a1b2c2c3 – a2b2c1c3 – a1b3c2 + a2b3c1c2) – (a2b1c2c3 + a3b1c2 – a2b2c1c3 + a3b2c1c2) = a1b2c2c3 - a1b3c2 + a2b3c1c2 – a2b1c2c3 + a3b1c2 – a3b2c1c2 =c2(a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 – a3b2c1 – a2b1c3 – a1b3c2) Sedang ruas kanan menjadi: (k1b2c2c3 – k2b2c1c3 – k1b3c2 + k2b3c1c2) – (k1b1c2c3 – k3b1c2 – k2b2c1c3 + k3b2c1c2) = k1b2c2c3 – k1b3c2 + k2b3c1c2 – k2b1c2c3 + k3b1c2 – k3b2c1c2 = c2(k1b2c3 + k2b3c1 + k3b1c2 – k3b2c1 – k2b1c3 – k1b3c2) Jadi harga x adalah Asalkan koefisien dari x tidak sama dengan nol
  3. 3. Dengan cara perhitungan yang sama, juga diperoleh: Asalkan penyebut tidak sama dengan nol. Dengan demikian maka harga x, y, z yang ditulis dalam bentuk (IV), (VII) dan (VIII) dapat disajikan dalam bentuk determinan. π‘₯ = | π‘˜1 𝑏1 𝑐1 π‘˜2 𝑏2 𝑐2 π‘˜3 𝑏3 𝑐3 | | π‘Ž1 𝑏1 𝑐1 π‘Ž2 𝑏2 𝑐2 π‘Ž3 𝑏3 𝑐3 | 𝑦 = | π‘Ž1 π‘˜1 𝑐1 π‘Ž2 π‘˜2 𝑐2 π‘Ž3 π‘˜3 𝑐3 | | π‘Ž1 𝑏1 𝑐1 π‘Ž2 𝑏2 𝑐2 π‘Ž3 𝑏3 𝑐3 | ; 𝑧 = | π‘Ž1 𝑏1 π‘˜1 π‘Ž2 𝑏2 π‘˜2 π‘Ž3 𝑏3 π‘˜3 | | π‘Ž1 𝑏1 𝑐1 π‘Ž2 𝑏2 𝑐2 π‘Ž3 𝑏3 𝑐3 | π‘Žπ‘ π‘Žπ‘™π‘˜π‘Žπ‘› | π‘Ž1 𝑏1 𝑐1 π‘Ž2 𝑏2 𝑐2 π‘Ž3 𝑏3 𝑐3 | β‰  0 Selanjutnya bila dinamakan: 𝐷 = | π‘Ž1 𝑏1 𝑐1 π‘Ž2 𝑏2 𝑐2 π‘Ž3 𝑏3 𝑐3 | ; 𝐷 π‘₯ = | π‘˜1 𝑏1 𝑐1 π‘˜2 𝑏2 𝑐2 π‘˜3 𝑏3 𝑐3 | ; 𝐷 𝑦 = | π‘Ž1 π‘˜1 𝑐1 π‘Ž2 π‘˜2 𝑐2 π‘Ž3 π‘˜3 𝑐3 | ; 𝐷 𝑧 = | π‘Ž1 𝑏1 π‘˜1 π‘Ž2 𝑏2 π‘˜2 π‘Ž3 𝑏3 π‘˜3 | maka D disebut determinan pokok yaitu determinan yang elemen elemennya terdiri dari koefisien koefisien parameter yang akan ditentukan besarannya Dx adalah determinan yang diperoleh dari determinan D dimana kolom pertama (yaitu elemen elemen yang diambil dari koefisien kolom pertama (yaitu elemen elemen yang diambil dari koefisien koefisien x atau ai) diganti dengan suku suku yang diketahui Dy diperoleh dari determinan D dimana kolom kedua (koefisien koefisien dari y atau bi) diganti dengan suku suku yang diketahui (yaitu ki) Dz diperoleh dari determinan D dimana kolom ketiga (koefisien koefisien dari z atau ci) diganti dengan suku suku yang diketahui (yaitu ki). Jadi x, y dan z dapat disajikan sebagai berikut: π‘₯ = 𝐷 π‘₯ 𝐷 , 𝑦 = 𝐷 𝑦 𝐷 π‘‘π‘Žπ‘› 𝑍 = 𝐷 𝑧 𝐷 π‘Žπ‘ π‘Žπ‘™π‘˜π‘Žπ‘› 𝐷 β‰  0
  4. 4. 3. Empat persamaan linier dengan empat bilangan-bilangan yang tidak diketahui A1x + b1y + c1z + d1w = k1 A2x + b2y + c2z + d2w = k2 A3x + b3y + c3z + d3w = k3 A4x + b4y + c4z + d4w = k4 Dengan cara yang sama maka diperoleh π‘₯ = 𝐷 π‘₯ 𝐷 , 𝑦 = 𝐷 𝑦 𝐷 , 𝑧 = 𝐷 𝑧 𝐷 π‘‘π‘Žπ‘› 𝑀 = 𝐷 𝑀 𝐷 Asalkan D β‰  0 𝐷 = | π‘Ž1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 π‘Ž2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 π‘Ž3 𝑏3 𝑐3 𝑑3 π‘Ž4 𝑏4 𝑐4 𝑑4 | ; 𝐷 π‘₯ = | π‘˜1 𝑏1 𝑐1 𝑑1 π‘˜2 𝑏2 𝑐2 𝑑2 π‘˜3 𝑏3 𝑐3 𝑑3 π‘˜4 𝑏4 𝑐4 𝑑4 | 𝐷 𝑦 = | π‘Ž1 π‘˜1 𝑐1 𝑑1 π‘Ž2 π‘˜2 𝑐2 𝑑2 π‘Ž3 π‘˜3 𝑐3 𝑑3 π‘Ž4 π‘˜4 𝑐4 𝑑4 | ; 𝐷 𝑧 = | π‘Ž1 𝑏1 π‘˜1 𝑑1 π‘Ž2 𝑏2 π‘˜2 𝑑2 π‘Ž3 𝑏3 π‘˜3 𝑑3 π‘Ž4 𝑏4 π‘˜4 𝑑4 | ; 𝐷 𝑀 = | π‘Ž1 𝑏1 𝑐1 π‘˜1 π‘Ž2 𝑏2 𝑐2 π‘˜2 π‘Ž3 𝑏3 𝑐3 π‘˜3 π‘Ž4 𝑏4 𝑐4 π‘˜4 | Metode diatas dikenal dengan nama aturan cramer, metode tersebut juga berlaku untuk n persamaan linier atau linear dengan n bilangan yang tidak diketahui Penjelasannya sebagai berikut: Bila determinan pokok D β‰  0 maka bilangan yang tidak diketahui (parameter dari n persamaan linier tersebut, dapat ditentukan dengan cara mengganti element-elemen suatu kolom dari D yang merupakan koefisien-koefisien parameter (yang akan ditentukan besarannya) dengan suku-suku yang diketahui sehingga diperoleh harga parameter tersebut sama dengan harga determinan setelah suatu kolom dari D yang merupakan koefisien- koefisien parameter tersebut diganti dengan suku-suku yang diketahui dibagi dengan harga determinan pokok D.

Γ—