Add m4-2-chapter3

คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม ๒
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔
ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔
จัดทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธิการ
ISBN 974-01-3820-9
พิมพครั้งที่หนึ่ง ๑๐,๐๐๐ เลม
พ.ศ. ๒๕๔๗
องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย
พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร
มีลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ
บทที่ 3
เรขาคณิตวิเคราะห
( 42 ชั่วโมง )
สําหรับบทเรียนนี้จะกลาวถึง เรขาคณิตวิเคราะห โดยแบงเปนสองหัวขอใหญ ๆ คือ ความรู
เบื้องตนเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห และภาคตัดกรวย โดยจะเนนการนําความรูไปใชในการแกปญหา แต
ถึงอยางไรก็ตามผูสอนควรใหผูเรียนสามารถหาสูตรไดบาง เพราะถาผูเรียนรูที่มาอันแนนอนของสูตร
ก็ยอมใชสูตรนั้นดวยความเขาใจดีขึ้น สําหรับหัวขอความรูเบื้องตนเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะหที่จะกลาวถึง
เปนการแสดงถึงความเกี่ยวของระหวางเสนตรงและสมการกําลังหนึ่ง โดยมีสาระการเรียนรูดังตอไปนี้
ระยะระหวางจุดสองจุด จุดกึ่งกลางระหวางจุดสองจุด ความชันของเสนตรง เสนขนาน เสนตั้งฉาก
ความสัมพันธซึ่งมีกราฟเปนเสนตรง และระยะหางระหวางเสนตรงกับจุด สวนหัวขอภาคตัดกรวยจะกลาว
ถึงวงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอรโบลา ตามลําดับ ในชีวิตจริงไดมีการนําสมบัติของภาคตัดกรวย
ไปใชกันอยางกวางขวาง เชน ในการศึกษาเกี่ยวกับโครงสรางของอะตอม การประดิษฐเลนสที่ใชใน
กลองสองทางไกล เลนสกลองจุลทรรศน เลนสแวนสายตาการประดิษฐโคมไฟรถยนต เรดาร และ
จานดาวเทียม ซึ่งพื้นผิวดานในเกิดจากการหมุนพาราโบลารอบแกนพาราโบลา
นอกจากนี้ในการหาตนกําเนิดเสียง เชน ในการหาที่ตั้งปนใหญ อาจอาศัยสมบัติของไฮเพอร-โบลา
โดยใชทหารสองคนยืนอยูคนละแหงจดเวลาที่ไดยินเสียงปน จากผลตางของเวลาทั้งสองนี้ ทําใหสามารถ
หาผลตางของระยะทางจากที่ตั้งปนใหญไปยังจุดที่ทหารยืนอยูโดยที่ตั้งปนใหญจะอยูบนไฮเพอรโบลา
ซึ่งมีโฟกัสทั้งสองเปนจุดที่ทหารยืนอยู จุดฟงจุดที่สามจะชวยทําใหหาตําแหนงที่ตั้งของปนไดสําหรับ
การหาตําแหนงของเครื่องบิน ก็ใชวิธีการทํานองเดียวกัน โดยสถานีจากภาคพื้นดินสามแหงคอยรับ
สัญญาณจากเครื่องบินแลวนําผลตางของเวลาที่ไดรับสัญญาณมาคํานวณหาตําแหนงของเครื่องบินดังนั้น
ในบทเรียนนี้ผูเรียนจะไดเรียนรูการนําคณิตศาสตรไปประยุกตใชในชีวิต
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. หาระยะทางระหวางจุดสองจุด จุดกึ่งกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกับจุดได
2. หาความชันของเสนตรง สมการเสนตรง เสนขนาน เสนตั้งฉาก และนําไปใชได
3. เขียนความสัมพันธที่มีกราฟเปนภาคตัดกรวย เมื่อกําหนดสวนตาง ๆ ของภาคตัดกรวยใหและเขียน
กราฟของความสัมพันธนั้นได
4. นําความรูเรื่องการเลื่อนแกนทางขนานไปใชในการเขียนกราฟได
5. นําความรูเรื่องเรขาคณิตวิเคราะหไปใชแกปญหาได

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
157
ผลการเรียนรูที่คาดหวังเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดาน
ความรู ดังนั้นในการจัดการเรียนรู ผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ/กระบวนการทาง
คณิตศาสตรดวยการสอดแทรกกิจกรรมหรือโจทยปญหาที่จะสงเสริมใหผูเรียนเกิดทักษะ/กระบวนการ
ทางคณิตศาสตรที่จําเปน อันไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อ
ความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยง
คณิตศาสตรกับศาสตรอื่น และการคิดริเริ่มสรางสรรค นอกจากนั้นกิจกรรมการเรียนรู ควรสงเสริม
ใหผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหนักเรียนทํางานอยาง
เปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง
ในการเรียนการสอนแตละสาระการเรียนรูของวิชาคณิตศาสตรนั้น ผูสอนควรแสดงหรือยก
ตัวอยางใหผูเรียนเห็นถึงประโยชนและการนําคณิตศาสตรไปใช ดังเชนสองหัวขอในบทเรียนนี้ เพื่อให
ผูเรียนตระหนักถึงคุณคาอันเกิดจากการศึกษาวิชาคณิตศาสตร ซึ่งจะโยงไปถึงเจตคติตอวิชาคณิตศาสตร
ในการจัดกิจกรรมการเรียนรูสําหรับบทเรียนนี้ ผูสอนควรใหผูเรียนไดทดลอง และคนควาหา
ขอสรุปดวยตนเอง
ขอเสนอแนะ
1. ในการสอนเรื่องระยะทางระหวางจุด 2 จุด ผูสอนทบทวนความรูของผูเรียนเรื่องระยะ
ระหวางจุด 2 จุดบนเสนจํานวนที่แทนดวยจํานวนจริง a และ b วาเทากับ ⏐a – b⏐ ซึ่งผูเรียนไดเคย
ศึกษามาแลวในเรื่องจํานวนจริง ถาผูเรียนจําไมได ใหผูสอนยกตัวอยางจุดบนเสนจํานวนที่แทนดวย
จํานวนจริง ใหผูเรียนหาระยะหางระหวางจุดเหลานั้น เชน
ก. ระยะหางระหวางจุดที่แทน 2 และจุดที่แทน 10
ข. ระยะหางระหวางจุดที่แทน –10 และจุดที่แทน 5
ค. ระยะหางระหวางจุดที่แทน –15 และจุดที่แทน –5
ซึ่งผูเรียนควรตอบไดวา เทากับ ⏐10 – 2⏐, ⏐5 – (–10)⏐ และ ⏐–5 – (–15)⏐ ตามลําดับ โดยผูสอน
อาจใชเสนจํานวนแสดงประกอบดวย
2. สัญลักษณที่ใชแทนความยาวของสวนของเสนตรง AB จะเขียนแทนดวย AB หรือ AB
ซึ่งผูเรียนไดเคยใชมาแลวในระดับมัธยมศึกษาตอนตน แตบางครั้งบางคนยังสับสนอยูบาง ใหผูสอนชี้แจง
เรื่องสัญลักษณอีกครั้งหนึ่ง เนื่องจากเปนสัญลักษณที่นักเรียนจะใชตอไปอีกมาก
3. การนิยามความชันของเสนตรงในบทนี้นิยามโดยอาศัยโคอออรดิเนตของจุดสองจุดที่
เสนตรงผาน กลาวคือ ความชันของเสนตรงที่ผานจุด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) จะเทากับ
12
12
xx
yy
−
−

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
158
นอกจากนี้อาจนิยามความชันของเสนตรงโดยอาศัยฟงกชันตรีโกณมิติ กลาวคือความชันของเสนตรงที่
ทํามุม θ กับแกน X เทากับ tan θ (มุม θ เปนมุมที่วัดทวนเข็มนาฬิกา จากแกน X ดานที่เปนบวก ไป
จนถึงเสนตรงมุม θ นี้เรียกวา “มุมเอียง” ของเสนตรง และ 0° ≤ θ < 180°)
4. ในหนังสือเรียนที่กลาววา “ความชันของเสนตรงเสนหนึ่ง (ที่ไมขนานกับแกน Y) มีเพียง
คาเดียวเทานั้น” ซึ่งในหนังสือเรียนไมไดแสดงวิธีพิสูจนไว ผูสอนอาจแสดงใหผูเรียนเห็นโดยวิธีการดังนี้
ให L เปนเสนตรงที่ไมขนานกับแกน Y และทํามุมแหลมกับแกน X จุด P1(x1, y1) และ
P2(x2, y2) อยูบนเสนตรง L
จากนิยามของความชัน จะไดวา ความชันของเสนตรง L เทากับ
21
21
xx
yy
−
−
ถา P3(x3, y3) และ P4(x4, y4) เปนจุดอีกสองจุดบนเสนตรง L
ดังนั้น ความชันของเสนตรง L เทากับ
43
43
xx
yy
−
−
จากรูป จะเห็นวา ∆ P1P2Q ∼ ∆ P3P4R
ดังนั้น RP
QP
3
1
= RP
QP
4
2
QP
QP
2
1
= RP
RP
4
3
21
21
xx
yy
−
−
=
43
43
xx
yy
−
−
นั่นคือ ความชันของเสนตรงเดียวกันยอมเทากัน
สําหรับเสนตรงที่ทํามุมปานกับแกน X ผูสอนอาจใชวิธีการแสดงในทํานองเดียวกัน
•
•
•
•
0
(x4, y4) x3 – x4
y3 – y4
P4
P3
P2
P1
(x3, y3)
(x2, y2)
(x1, y1)
x1 – x2
y1 – y2
Q
R
LY
X

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
159
5. ในหนังสือเรียน ไดกลาววา เสนตรงสองเสนใด ๆ (ที่ไมขนานกับแกน Y) จะขนานกัน
ก็ตอเมื่อ ความชันของเสนตรงทั้งสองเทากันและในหนังสือเรียนไดแสดงใหเห็นเฉพาะสวนที่กลาววา
ถาเสนตรงสองเสนขนานกันแลวความชันยอมเทากัน แตไมไดแสดงวา ถาความชันของเสนตรงสองเสน
ใดเทากันแลว เสนตรงทั้งสองจะขนานกัน ซึ่งอาจแสดงวาถาเสนตรงสองเสนมีความชันเทากันแลว
เสนตรงทั้งสองจะขนานกัน ไดดังนี้
ให L1 และ L2 เปนเสนตรงที่มีความชัน m1 และ m2 ตามลําดับ และ m1 = m2 จะแสดงวา
L1 และ L2 ขนานกัน
สมมุติวา L1 ไมขนานกับ L2 ให L1 ตัดกับ L2 ที่จุด P1(x1, y1)
ให P2(x2, y3) และ P3(x2, y2) เปนจุดบน L1 และ L2 ตามลําดับ
จะได m1 =
12
13
xx
yy
−
−
และ m2 =
12
12
xx
yy
−
−
เนื่องจาก y3 ≠ y2 ดังนั้น
12
13
xx
yy
−
−
≠
12
12
xx
yy
−
−
จึงทําให m1 ≠ m2 ซึ่งขัดแยงกับที่กําหนดให
ดังนั้น ที่สมมุติวา L1 ไมขนานกับ L2 จึงเปนไปไมได
นั่นคือ L1 ขนานกับ L2
0
P3 (x2, y2)
P2 (x2, y3)
P1 (x1, y1)
L1
Y
X
y1
y2
y3
x1 x2
L2

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
160
6. ในหนังสือเรียนไมไดแสดงการพิสูจนวา ถาเสนตรงสองเสนมีผลคูณของความชันเทากับ
–1 แลว เสนตรงทั้งสองจะตั้งฉากซึ่งกันและกัน ซึ่งหากผูเรียนสนใจการพิสูจนผูสอนอาจแสดงไดดังนี้
ให L1 และ L2 เปนเสนตรงสองเสนที่ไมขนานกับแกน Y มีความชัน m1 และ m2 ตามลําดับ
และ m1m2 = –1 จะแสดงใหเห็นวา L1 ตั้งฉากกับ L2
เนื่องจาก m1m2 = –1 จะได m1 ≠ 0 และ m2 ≠ 0 และ m1 ≠ m2
(เพราะถา m1 = m2 จะได m1
2
= –1 ซึ่งเปนไปไมได)
ดังนั้น L1 ไมขนานกับ L2 ให L1 และ L2 ตัดกันที่จุด R (a, b)
เนื่องจาก L1 และ L2 มีความชันเปน m1 และ m2 ตามลําดับ
ดังนั้น สมการของเสนตรง L1 ซึ่งผานจุด (a, b) และมีความชัน m1 คือ y = m1(x – a) + b
ดังนั้น เสนตรง L1 ตัดแกน Y ที่จุด P(0, b – am1)
และ สมการของเสนตรง L2 ที่ผานจุด (a, b) และมีความชัน m2 คือ y = m2(x – a) + b
ดังนั้น เสนตรง L2 ตัดแกน Y ที่จุด Q(0, b – am2)
จะแสดงวา ∆ PRQ เปนสามเหลี่ยมมุมฉาก
เนื่องจาก PQ2
= [(b – am2) – (b – am1)]2
= a2
m1
2
– 2a2
m1m2 + a2
m2
2
= a2
m1
2
+ 2a2
+ a2
m2
2
(m1m2 = –1)
PR2
= a2
+ [b – (b – am1)]2
= a2
+ a2
m1
2
0
(0, b – am1)
(0, b – am2)
L1
Y
X
P
Q
L2
(a, b)
R
•

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
161
และ QR2
= a2
+ [b – (b – am2)]2
= a2
+ a2
m2
2
จะได PR2
+ QR2
= a2
m1
2
+ 2a2
+ a2
m2
2
= PQ2
แสดงวา สามเหลี่ยม PRQ เปนสามเหลี่ยมที่มี PRQ เปนมุมฉาก
และเนื่องจากสวนของเสนตรงPRและสวนของเสนตรงQRเปนสวนหนึ่งของเสนตรงL1และL2ตามลําดับ
นั่นคือ L1 ตั้งฉากกับ L2
7. ในการสอนเรื่องสมการเสนตรง ควรชี้ใหเห็นวา กําลังของตัวแปรแตละตัวในสมการ
เสนตรงนั้นเปนหนึ่งเสมอ และเนื่องจากเสนตรงที่ผานจุดสองจุดที่กําหนดใหมีไดเพียงเสนเดียวเทานั้น
ดังนั้น เพื่อความสะดวกในการเขียนกราฟเสนตรงใดก็ตามเราหาจุดที่เสนตรงนั้นผานเพียงสองจุดก็พอ
แตเพื่อปองกันความผิดพลาดเรานิยมพิจารณาจุดที่เสนตรงผานสามจุด ถาพบวาจุดทั้งสามจุดไมอยูในแนว
เสนตรงเดียวกันแสดงวามีความผิดพลาดเกิดขึ้นตองตรวจสอบใหมอีกครั้ง
8. ในการหาระยะระหวางเสนตรงกับจุด นอกจากจะใชวิธีการในหนังสือเรียนแลวยังมีวิธีอื่น
อีก เชน วิธีหาสมการเสนตรงที่ผานจุดที่กําหนดใหและตั้งฉากกับเสนตรงที่กําหนดให เพื่อหาจุดตัดของ
เสนตรงทั้งสอง แลวจึงหาระยะระหวางจุดที่กําหนดใหกับจุดตัด
9. ถา L เปนเสนตรงที่ขนานกับแกน X และอยูหางจากแกน X เปนระยะ ⏐b⏐ หนวย
ความสัมพันธที่มีกราฟเปนเสนตรง L คือ
{(x, y) ∈ R × R⏐y = b}
หรือ {(x, y) ∈ R × R⏐y = –b}
ทํานองเดียวกัน ถา L เปนเสนตรงที่ขนานกับแกน Y และอยูหางแกน Y เปนระยะ ⏐a⏐
หนวย ความสัมพันธที่มีกราฟเปนเสนตรง L คือ
{(x, y) ∈ R × R⏐x = a}
หรือ {(x, y) ∈ R × R⏐x = –a}
10. ในการหาความสัมพันธที่มีกราฟเปนเสนตรง เมื่อทราบวา เสนตรงผานจุด (x1, y1) และ
มีความชันเปน m แลว ถานักเรียนเขียนความสัมพันธที่ไดเปน
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−
−
m
xx
yy
)y,x(
1
1
ใหผูสอนชี้แจง
ผูเรียนทราบวา ไมถูกตอง เนื่องจากกราฟของความสัมพันธดังกลาวไมรวมจุด (x1, y1) ซึ่งผูเรียนควรเขียนให
ถูกตองเปน {(x, y)⏐y – y1 = m(x – x1)} ซึ่งกราฟของความสัมพันธนี้จะเปนเสนตรงที่ผานจุด (x1, y1)
ดวย

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
162
11. พื้นฐานสําคัญในการศึกษาเรื่อง ภาคตัดกรวย คือ เรื่องการจัดพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีสอง
ใหสวนที่มีตัวแปรอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ ซึ่งจะใชมากเมื่อกําหนดความสัมพันธที่มีกราฟเปน
ภาคตัดกรวยมาให แลวใหหาสวนตาง ๆ ของภาคตัดกรวยนั้น ๆ เชน จุดยอด โฟกัส ความยาวแกนเอก
แกนโท ฯลฯ ในกรณีทั่ว ๆ ไป การจัดพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีสอง ใหสวนที่มีตัวแปรอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ
ผูสอนอาจเสนอทางเลือกใหผูเรียนไดสองทาง คือ
ก. การจัดโดยใชสูตร
ข. การจัดโดยใชขั้นตอนวิธี
การจัดพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีสองใหสวนที่มีตัวแปรอยูในรูปกําลังสองสมบูรณโดยใชสูตร
ผูสอนอาจดําเนินการพิสูจน ดังนี้
จากพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีสองรูปทั่วไป ax2
+ bx + c
เมื่อ a, b และ c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 ใหดําเนินการตามขั้นตอนวิธีดังนี้
ax2
+ bx + c = c)x
a
b
x(a 2
++
= c))
a2
b
()
a2
b
(x
a
b
x(a 222
+−++
= c)
a4
b
)
a2
b
x((a 2
2
2
+−+
= c
a4
b
)
a2
b
x(a
2
2
+−+
= a4
ac4b
)
a2
b
x(a
2
2 −
−+
สูตรที่ตองจําไวใช คือ
จากพหุนาม ax2
+ bx + c เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 จัดใหสวนที่มีตัวแปร
เปนรูปกําลังสองสมบูรณไดเปน
a4
ac4b
)
a2
b
x(a
2
2 −
−+

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
163
สวนการจัดโดยใชขั้นตอนวิธี ผูสอนจะฝกใหผูเรียนดําเนินขั้นตอนตามขั้นตอนในการพิสูจนขางตน
ทั้งสองวิธีการมีจุดเดนและจุดดอยอยูในตัว ขอใหสังเกตขอดีขอเสียจากตัวอยางตอไปนี้
ตัวอยาง จงเขียนสวนที่มีตัวแปรของพหุนามตอไปนี้ใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ
5x2
– 7x + 9
วิธีทํา
ทําโดยใชสูตร ทําโดยใชขั้นตอนวิธี
จากพหุนาม ax2
+ bx + c จัดใหสวนที่มีตัวแปร
อยูในรูปกําลังสองสมบูรณไดเปน
a4
ac4b
)
a2
b
x(a
2
2 −
−+
ดังนั้น จาก 5x2
– 7x + 9 จะจัดไดเปน
54
)()(
)
)(
x(
2
2
×
××−−
−
−
+
9547
10
75
=
20
18049
10
75 −
−− 2
)x(
=
20
131
10
75 +− 2
)x(
5x2
– 7x + 9 = 9
5
75 +− )xx( 2
= 9
100
49
10
7
5
75 +−+− ))(xx( 22
= 9
20
49
10
75 +−− 2
)x(
=
20
49180
10
75 −
+− 2
)x(
=
20
131
10
75 +− 2
)x(
จากตัวอยางจะเห็นไดวา วิธีจําสูตรนั้นขอเสียคือ ถาจําสูตรผิดผลที่ไดจะผิดไปดวย สวนการคิด
คํานวณนั้นตองมีความแมนยําทั้งสองวิธี วิธีการทําตามขั้นตอนวิธีอาจตองระวังมากหนอย ตอนที่คิดหา
พจนคงตัวอาจลืมตัวคูณซึ่งในตัวอยางขางตน คือ 5
12. การใชความรูเรื่องการเลื่อนแกนทางขนานเพื่อหาความสัมพันธของตัวแปร x และ y ที่มี
กราฟเปนภาคตัดกรวย เปนวิธีที่ชวยใหหาความสัมพันธในรูปมาตรฐานไดรวดเร็วขึ้น แตตองอาศัย
ความรูสองเรื่อง คือ
ก. ความสัมพันธของพิกัดของจุด เมื่อใชแกนชุดเดิมและแกนชุดใหมที่เกิดจากการเลื่อนทาง
ขนาน (x′ = x – h และ y′ = y – k)
ข. ความสัมพันธที่มีกราฟเปนภาคตัดกรวย เมื่อจุดยอดหรือจุดศูนยกลางอยูที่จุดกําเนิด เชน
x2
+ y2
= r2
, x2
= 4py, y2
= 4px ฯลฯ

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
164
ผูสอนควรดําเนินการในเรื่องทั้งสองนี้ใหชัดเจน และถาจะใหการสอนสมบูรณยิ่งขึ้นควรให
ผูเรียนลองหาความสัมพันธที่มีกราฟเปนภาคตัดกรวย โดยใชวิธีที่แตกตางจากในหนังสือเรียน กลาวคือ
สําหรับพาราโบลา วงรี และไฮเพอรโบลา ผูสอนควรลองใหผูเรียนใชวิธีหาความสัมพันธจากบทนิยาม
โดยอาศัยสูตรการหาระยะทางระหวางจุดกับจุดและจุดกับเสนตรง เชน การหาสมการของพาราโบลา
ที่มีจุดยอดอยูที่จุด (h, k) และมีแกนของพาราโบลาขนานกับแกน X หาไดดังนี้
ให (h, k) เปนจุดยอดและระยะจากจุดยอดไปยังโฟกัส คือ ⏐p⏐ จะไดวา ถาโฟกัสมีพิกัด
เปน (h + p, k) แลวไดเรกตริกซ คือ กราฟของสมการ x = h – p (แตถาโฟกัสมีพิกัดเปน (h – p, k)
แลวไดเรกตริกซ คือ กราฟของสมการ x = h + p)
เมื่อ P(x, y) เปนจุดใด ๆ บนพาราโบลา จากบทนิยามของพาราโบลาจะไดวา
PF = PD
นั่นคือ 2)(2))(( kyphx −++− = )( phx −−
(x – (h + p))2
+ (y – k)2
= (x – (h – p))2
(y – k)2
= 4px – 4ph
(y – k)2
= 4p (x – h)
หมายเหตุ 1. รูปที่ใชในการพิสูจนเปนรูปที่สมมุติขึ้นในกรณีที่p เปนจํานวนจริงลบรูปจะไมใชรูปนี้
2. ควรทดลองคิดในกรณีที่พิกัดของโฟกัสเปน (h – p, k) และไดเรกตริกซคือ กราฟของ
สมการ x = h + p แลวดูวาจะไดผลเหมือนกันหรือไม
•
•
Y Y′
X′
X
x = h – p
D P (x, y)
V (h, k) F (h + p, k)
0

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
165
13. ผูสอนอาจขยายความรูของผูเรียนโดยใหเขียนกราฟของอสมการที่เกิดจากการเปลี่ยน
เครื่องหมายเทากับในสมการที่มีกราฟเปนภาคตัดกรวย เปนเครื่องหมาย ≠, >, <, ≥, ≤ เชน
x2
+ y2
> 4 เปนตน
14. การกําหนดมาตราสวนบนแกน X และแกน Y ตองเหมือนกัน เพราะถากําหนดตางกัน
กราฟที่ไดจะไมสมจริง เชน สมการที่กราฟควรเปนวงกลม อาจมีกราฟเปนวงรีได
15. หลังจบบทเรียนแลวผูสอนควรใหแบบฝกทักษะเกี่ยวกับเรื่องภาคตัดกรวยเพิ่มเติม
อยางสม่ําเสมอ เพราะถาละเลยผูเรียนจะลืมวิธีการตาง ๆ ไดงาย
16. ในบทนี้มีการกลาวถึงแกนสมมาตรของภาคตัดกรวย ซึ่งเปนความรูที่ผูเรียนเคยศึกษา
มาแลวตั้งแตระดับประถมศึกษา บทนิยามทั่วไปที่ผูเรียนทราบคือ เมื่อพับรูปตามแกนสมมาตรแลวรูปที่
อยูคนละขางของแกนสมมาตรจะทับกันสนิท แตในหนังสือเรียนนี้กลาววา พาราโบลาที่มาจากสมการ
y2
= 12x มีแกน X เปนแกนสมมาตร เพราะเมื่อแทน y ในสมการดวย –y แลว ไดสมการคงเดิม
แสดงวา กราฟของสมการ y2
= 12x มีแกน X เปนแกนสมมาตรโดยไมไดใหเหตุผลประกอบไววา
เมื่อแทน y ในสมการดวย –y ไดสมการคงเดิมแลว เหตุใดแกน X จึงเปนแกนสมมาตร การที่สามารถ
สรุปเชนนี้ได เพราะจุดที่มีพิกัด (x, y) กับ (x, –y) อยูหางแกน X เปนระยะเทากันคือ y เมื่อแทน y
ในสมการ ดวย –y แลวไดสมการเดิมก็แสดงวาทั้งจุด (x, y) และ (x, –y) ตางอยูบนกราฟของสมการ
โดยมีคา x ที่เหมือนกันตางกันเฉพาะคา y และเนื่องจากการแทนคาดังกลาวไมไดเจาะจงแสดงวาทุก ๆ
จุด (x, y) จะมีจุด (x, –y) ที่อยูบนกราฟคูกันเสมอ ดังนั้น เมื่อพับรูปตามแกน X จุดแตละคูดังกลาว
จะทับกันเสมอ แสดงวาแกน X เปนแกนสมมาตร
ในทํานองเดียวกัน เมื่อมีสมการแสดงความสัมพันธระหวาง x กับ y และถาแทน x
ในสมการดวย –x แลว สมการคงเดิมก็แสดงวากราฟของสมการนั้นมีแกน Y เปนแกนสมมาตร
การสมมาตรที่กลาวถึงในบทนี้กลาวเฉพาะการสมมาตรเมื่อเทียบกับแกน X หรือแกน Y
หรือเสนตรงอื่น ซึ่งนอกจากเสนตรงแลว การสมมาตรอาจเทียบกับจุดหรือระนาบก็ได
17. สมการภาคตัดกรวยในรูปตอไปนี้
(x – h)2
+ (y – k)2
= r2
(y – k)2
= 4c (x – h)
(x – h)2
= 4c (y – k)
2
2
2
2
b
)ky(
a
)hx( −
+
−
= 1
2
2
2
2
b
)hx(
a
)ky( −
+
−
= 1
2
2
2
2
b
)ky(
a
)hx( −
−
−
= 1
2
2
2
2
b
)hx(
a
)ky( −
−
−
= 1

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
166
เปนรูปสมการที่ชวยใหหาสวนสําคัญเกี่ยวกับภาคตัดกรวย เชน จุดศูนยกลาง จุดยอด ฯลฯ
ไดงายเรียกรวม ๆ กันวา สมการในรูปมาตรฐาน (Standard form) เมื่อกระจายพจนกําลังสองแลวจัดเรียง
พจนใหม จะอยูในรูปสมการกําลังสองสองตัวแปร ซึ่งมีรูปทั่วไปดังนี้
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
เมื่อ A, B, C, D, E และ F คือคาคงตัว เชน จากสมการวงกลมมาตรฐาน
เมื่อกระจายใหอยูในรูปทั่วไปจะได x2
+ y2
– 2hx – 2ky + h2
+ k2
– r2
= 0
ซึ่งเมื่อเทียบกับรูปสมการทั่วไปสองตัวแปรจะไดวา
A = 1, B = 0, C = 1, D = –2h, E = –2k, F = h2
+ k2
– r2
ฉะนั้น อาจกลาวไดวาสมการวงกลมในรูปมาตรฐานทุกสมการ สามารถเขียนอยูในรูปทั่วไปไดเปน
x2
+ y2
+ Dx + Ey + F = 0 เมื่อ D, E และ F คือ คาคงตัว
ในทางกลับกันจากสมการในรูปทั่วไปขางตน ถาพิจารณากลับวา กราฟของสมการดังกลาว
เปนวงกลมหรือไม จะพบวามีบางคาของคาคงตัว D, E และ F ทําใหกราฟไมใชวงกลม ขั้นตอนวิธี
ตอไปนี้เปนขั้นตอนวิธีคอนขางสําคัญในการเขียนกราฟของรูปทั่วไปของสมการวงกลม ซึ่งตองฝกฝน
ผูเรียนใหมีความคลองตัว ขั้นตอนวิธีที่ใชคือ การจัดพจนที่มีตัวแปรใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ เพื่อ
ใหสมการอยูในรูปมาตรฐาน
จากสมการ x2
+ y2
+ Dx + Ey + F = 0
จะได x2
+ Dx + 2
)
2
D
( – 2
)
2
D
( + y2
+ Ey + 2
)
2
E
( – 2
)
2
E
( + F = 0
22
)
2
E
y()
2
D
x( +++ = 4
E
4
D 22
+ – F
= 4
F4ED 22
−+
จากสมการสุดทาย จะเห็นไดชัดเจนวา กราฟของสมการรูปทั่วไปจะเปนวงกลมหรือไมขึ้นอยู
กับคาของ D2
+ E2
– 4F ซึ่งสามารถแยกกรณีพิจารณาไดดังนี้
กรณีที่ 1 D2
+ E2
– 4F > 0
กรณีนี้จะไดวา กราฟของสมการที่กําหนดเปนวงกลมมี )
2
E
,
2
D
( −− เปนจุดศูนยกลาง
รัศมียาว 2
F4ED 22
−+
หนวย

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
167
กรณีที่ 2 D2
+ E2
– 4F = 0
กรณีนี้กราฟของสมการที่กําหนดคือจุด )
2
E
,
2
D
( −− เรียกชื่อจุดที่เปนกราฟในกรณีนี้วา
วงกลมลดรูป (degenerate circle)
กรณีที่ 3 ถา D2
+ E2
– 4F < 0
กรณีนี้สมการที่กําหนดไมมีกราฟ หรือกลาวอีกนัยหนึ่ง คือ ไมมีคูอันดับของจํานวนจริงใด ๆ
เปนคําตอบหรือสอดคลองสมการที่กําหนดให(เพราะไมมีจํานวนจริงใดยกกําลังสองแลวไดจํานวนจริงลบ)
ในทํานองเดียวกัน เมื่อกระจายพจนกําลังสองของภาคตัดกรวยอื่น ๆ จะไดรูปพหุนามทั่วไปของ
ภาคตัดกรวยแตละชนิด เชน
จากสมการ (y – k)2
= 4 c(x – h)
จะได y2
– 2ky + k2
= 4cx – 4ch
หรือ y2
– 4cx – 2ky + k2
+ 4ch = 0
ซึ่งเมื่อเทียบกับรูปทั่วไปของสมการกําลังสอง สองตัวแปรจะอยูในรูป
y2
+ Dx + Ey + F = 0
จากสมการทั่วไปในรูปดังกลาวขางตนจะสามารถใชวิธีการทํานองเดียวกันกับเรื่องวงกลม
พิจารณากรณีตาง ๆ วา สมการทั่วไปดังกลาวจะมีกราฟเปนพาราโบลาเมื่อใด
ในทํานองเดียวกันจากสมการในรูปมาตรฐานของภาคตัดกรวยสมการอื่น ๆ สามารถจัดอยูในรูป
ทั่วไปได และจากสมการในรูปทั่วไปจะมีทั้งกรณีที่มีกราฟเปนภาคตัดกรวยและไมเปนภาคตัดกรวย ควร
ลองใหผูเรียนไดพิจารณาดวยตนเอง
18. สําหรับผูเรียนที่มีความสนใจและความสามารถพิเศษ อาจใหศึกษาเรื่องการหมุนแกน และ
การใชการเลื่อนแกนและหมุนแกนในการพิจารณากราฟของสมการกําลังสองสองตัวแปร รูปทั่วไปคือ
สมการ
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 ในกรณีที่ B ≠ 0 บางสมการที่สามารถใชวิธี
หมุนแกน ทําใหเปลี่ยนรูปสมการใหพจน xy มีสัมประสิทธิ์เปนศูนย ซึ่งจะทําใหไดสมการรูปทั่วไป
เปนกรณีใดกรณีหนึ่งตามขอ 8 ทําใหสามารถเขียนกราฟของสมการไดโดยใชขั้นตอนวิธีจัดตัวแปรใหอยู
ในรูปกําลังสองสมบูรณ ตอไปนี้เปนความรูเรื่องการหมุนแกนอยางงาย
สมมุติหมุนแกนทํามุม θ กับแกนชุดเดิมโดยหมุนในทิศทวนเข็มนาฬิกาไดแนวแกน
ชุดใหมเรียกวา แกน X′ และแกน Y′ ดังรูป

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
168
ถา P เปนจุดใด ๆ บนระนาบมีพิกัดเปน (x, y) และ (x′, y′) เมื่อเทียบกับแกนชุดเดิมและ
แกนชุดใหมตามลําดับ
เนื่องจากแกน X′ ทํามุม θ กับแกน X และผานจุดกําเนิด ดังนั้นแกน X′ ซึ่งเปนเสนตรง
มีความชัน tan θ ผานจุด (0, 0) จะมีสมการเมื่อเทียบกับแกนชุดเดิมเปน
y = (tan θ)x
หรือ (tan θ) x – y = 0 ----------- (1)
และเนื่องจากแกน Y′ ตั้งฉากกับแกน X′ และผานจุดกําเนิด จึงมีสมการเมื่อเทียบกับแกนชุดเดิมเปน
y = x
tan
1
θ
−
หรือ x + (tan θ) y = 0 ----------- (2)
จาก (1) และ (2) เมื่อหาระยะจากจุด (x, y) ถึงแกน X′ และ Y′ โดยใชสูตรหาระยะจากจุด
ไปยังเสนตรงจะไดวา
x′ =
θ+
θ+
2
tan1
y)(tanx
y′ =
θ+
θ−
2
tan1
x)(tany
(จากสูตรหาระยะจากจุดไปยังเสนตรงตองเลือกใชคาที่เมื่อแทนตัวแปร x, y ในสมการแลวได
คามากกวาศูนย แตในที่นี้แทนตัวแปร x, y ดวยคาใด ๆ x, y และคา x′, y′ ก็ยังเปนไดทั้งจํานวนบวก
และจํานวนลบ การเลือกคาถาจะทําใหละเอียดจึงตองพิจารณาเปนกรณี ๆ ไป แตทุกกรณีจะออกมาตรงกัน
ดังที่เขียนไว)
จากคาของ x′, y′ ที่สัมพันธกับ x, y ขางตน จัดสมการใหมโดยเขียน tan θ ในรูป θ
θ
cos
sin
จะได
x′ = x cos θ + y sin θ
y′ = y cos θ – x sin θ
•
Y
X
X′Y′
x′
P (x, y)
(x′, y′)
y′
θ

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
169
หรือ
x = x′ cos θ – y′ sin θ
y = x′ sin θ + y′ cos θ
ประโยชนประการหนึ่งของการหมุนแกนคือ เพื่อจัดรูปทั่วไปของสมการกําลังสองสองตัวแปร
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
ใหอยูในรูปที่อางถึงแกนชุดใหมเปน
A′x′2
+ B′x′y′ + C′y2
+ D′x′ + E′y′ + F′ = 0
โดยพยายามหมุนแกนใหคาของ B′ = 0 ซึ่งจะทําใหสมการอยูในรูปทั่วไปที่ไมมีพจน xy
เชนจากเรื่องไฮเพอรโบลามุมฉาก ซึ่งเห็นไดชัดเจนวา แกนหมุนไป 45° ในกรณีนี้อยูในรูป xy = k, k > 0
จะใชความสัมพันธเปน
x = x
2
2
′ – y
2
2
′
y = x
2
2
′ + y
2
2
′
แทนคา x และ y ในสมการ xy = k จะได
22
y
2
1
x
2
1
′−′ = k
ดังนั้น จะจัดสมการในรูปมาตรฐาน เปน
2
2
)k2(
x′
– 2
2
)k2(
y′
= 1
กรณีทั่ว ๆ ไป การจะทําใหคา B′ เปนศูนยจะใชสูตร
tan 2 θ = CA
B
−
เชนจากสมการ
4x2
– 4xy + y2
+ 2x – 6y + 17 = 0
จะตองให
tan 2 θ = 14
4
−
−
= 3
4
−
นั่นคือ
θ−
θ
2
tan1
tan2
= 3
4
−
หรือ 2 tan2
θ – 3 tan θ – 2 = 0
(2 tan θ + 1) (tan θ – 2) = 0
tan θ = 2
1
− หรือ tan θ = 2

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
170
ใชเฉพาะคา tan θ ที่เปนบวก หาคา sin θ และ cos θ จะได
sin θ =
5
2
cos θ =
5
1
แทนคา x และ y ในสมการโดยให
x = x
5
1
′ – y
5
2
′
y = x
5
2
′ + y
5
1
′
จะได
22
)y
5
1
x
5
2
()y
5
1
x
5
2
)(y
5
2
x
5
1
(4)y
5
2
x
5
1
(4 ′+′+′+′′−′−′−′
+ 17)y
5
1
x
5
2
(6)y
5
2
x
5
1
(2 +′+′−′−′ = 0
)y
5
2
yx
5
3
x
5
2
(4)
5
y4
5
yx4
5
x
(4 22
22
′−′′−′−
′
+
′′
−
′
+ y
5
4
x
5
2
y
5
1
yx
5
4
x
5
4 22
′−′+′+′′+′
– 17y
5
6
x
5
12
+′−′ = 0
17x52y52y5 2
+′−′−′ = 0
2
)1y5( −′ = x52 ′ – 16
2
)
5
1
y( −′ =
5
8
x(
5
52
−′ )
เห็นไดวา สมการดังกลาวมีกราฟ เมื่อเทียบกับแกนที่หมุนไปเปนพาราโบลามีจุด )
5
1
,
5
8
(
เปนจุดยอด อยางไรก็ตามเรื่องนี้เปนเรื่องที่คอนขางยุงยาก ในกรณีที่ตองการใชเสริมใหผูเรียนควรทําภายหลัง
จากเรียนตรีโกณมิติจนจบแลว และกรณีการจําสูตรคาของ tan 2θ อาจไมตองจําแตใชขั้นตอนวิธีแทนได
ทั้งนี้ ผูสอนอาจตองเลือกโจทยที่ไมยากนักดวย และในการใชหลังจากหมุนแกนแลวจะตองเลื่อนแกนทาง
ขนานกับแกนที่หมุนไปดวย
โดยการใชความรูดังกลาว จะสามารถพิจารณาสรุปเปนทฤษฎีวา จากสมการกําลังสองสองตัวแปร
รูปทั่วไป
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
เมื่อพิจารณาจากคา B2
– 4AC จะมีขอสรุปเกี่ยวกับกราฟดังนี้
1. ถาเปนจํานวนจริงลบ กราฟจะเปนวงรี จุด หรืออาจไมมีกราฟ
2. ถาเปนศูนย กราฟจะเปนพาราโบลา หรือเสนตรง 2 เสนที่ขนานกัน หรือเสนตรงเสนเดียว
หรือไมมีกราฟ
3. ถาเปนจํานวนจริงบวก กราฟจะเปนไฮเพอรโบลา หรือเสนตรงสองเสนตัดกัน

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
171
กิจกรรมเสนอแนะ
ระยะระหวางจุดสองจุด
กอนสอนบอกใหผูเรียนทราบวาระยะระหวางจุด A ถึงจุด B เขียนแทนดวย AB หรือ ⏐AB⏐
1. ผูสอนควรใหผูเรียนหาระยะระหวางจุด 2 จุดบนแกน X หรือแกน Y กอนและหาระยะ
ระหวางจุด 2 จุดในแนวเสนตรงที่ขนานกับแกน X หรือแกน Y แลวจึงใหหาระยะระหวางจุด 2 จุดใด ๆ
บนระนาบ ดังวิธีการแตละขั้นดังตอไปนี้
(1) กําหนดตัวอยางของจุด 2 จุดบนแกน X ใหผูเรียนหาระยะระหวางจุด 2 จุดนี้หลาย ๆ
ตัวอยาง เชน A(0, 0), B(4, 0) และ P(–3, 0), Q(2, 0) ฯลฯ ดังรูป
ผูเรียนควรตอบไดวา AB = 4 หนวย ไดจาก ⏐4 – 0⏐ หรือ ⏐0 – 4⏐
และ PQ = 5 หนวย ไดจาก ⏐–3 –2⏐ หรือ ⏐2 – (–3)⏐
จากกิจกรรมนี้ผูเรียนจะสรุปไดวา ระยะหางระหวางจุด A(a, 0) และจุด B(b, 0) คือ
AB = ⏐a – b⏐ = ⏐b – a⏐
(2) ในทํานองเดียวกันจะหาระยะระหวางจุด 2 จุดบนแกน Y ไดโดยใชวิธีการเดียวกับ
ขอ (1) ซึ่งผูเรียนจะสรุปไดวา ระยะระหวางจุด C(0, c) และ D(0, d) คือ CD = ⏐c – d⏐ = ⏐d – c⏐
(3) กําหนดจุดสองจุดที่อยูในแนวเสนตรงเดียวกันกับเสนตรงที่ขนานกับแกน X หรือ
แกน Y ใหผูเรียนหาระยะทางระหวางจุดสองจุดนั้น โดยวิธีเดียวกับการหาระยะระหวางจุดสองจุดใด ๆ
บนแกน X และแกน Y ผูเรียนควรสรุปไดวา
ระยะระหวางจุด A(a, b) กับจุด B(a, c) คือ AB = ⏐b – c⏐ = ⏐c – b⏐
และ ระยะระหวางจุด C(d, e) กับจุด D(f, e) คือ CD = ⏐d – f⏐ = ⏐f – d⏐
โดยผูสอนยกตัวอยางที่เปนตัวเลขประกอบดวย
X
Y
A (0, 0) B (4, 0)
•• X
Y
P (–3, 0) Q (2, 0)
•• •

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
172
2. ในการหาระยะระหวางจุดสองจุดใด ๆ บนระนาบนั้นตองอาศัยทฤษฎีบทปทาโกรัส ดังนั้น
เพื่อใหผูเรียนเกิดแนวความคิดที่จะนําทฤษฎีบทดังกลาวมาใช ผูสอนอาจใชวิธีการดังตอไปนี้
(1) กําหนดจุด A(0, a) และ B(b, 0) เปนจุดบนแกน Y และแกน X ตามลําดับ ใหผูเรียน
หาระยะระหวางจุด A กับจุด B ผูสอนอาจยกตัวอยางจุดที่มีพิกัดเปนจํานวนจริง เชน A(0, 3) และ
B(4, 0) หรือ A(0, –3) และ B(–4, 0) เปนตน
ซึ่งจากรูป ผูเรียนจะเห็นไดวา AB คือดานตรงขาม
ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ผูสอนใหผูเรียนหา AB (ผูเรียนควรหาไดดวยตนเอง
โดยใชทฤษฎีบทปทาโกรัส)
(2) กําหนดจุด A อยูที่จุด (0, 0) และจุด B เปนจุดใด ๆ เชน B(3, 4) ฯลฯ ใหผูเรียนหา
AB (ผูเรียนควรหาไดโดยเสนอวาควรลากเสนตรงขนานกับแกน X หรือแกน Y โดยใหเสนตรงนั้นผาน
จุด B จะไดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แลวใชทฤษฎีบทปทาโกรัส)
ถาผูเรียนยังเสนอแนะเพิ่มเติมจากสิ่งที่กําหนดใหไมได
ผูสอนควรพยายามตั้งคําถามเพื่อใหผูเรียนนําความคิด
เกี่ยวกับการหาระยะ AB ในขอ (1) มาใช ซึ่งผูเรียน
จะทราบวาจําเปนตองลากเสนตรงขนานกับแกน X หรือ
แกน Y โดยใหเสนตรงนั้นผานจุด B จะไดรูปสามเหลี่ยม
มุมฉากแลวใชทฤษฎีบทปทาโกรัสผูสอนอาจฝกให
ผูเรียนหา AB เมื่อ A เปนจุดบนแกน X (หรือแกน Y)
แตไมใชจุด (0, 0)
X
Y
A (0, a)
B (b, 0)
•
•
0
X
Y
B (a, b)
(0, 0)
•
•
A

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
173
(3) กําหนดจุด A(x1, y1) และ B(x2, y2) เปนจุดในระนาบที่ไมอยูบนแกน X หรือแกน Y
ใหผูเรียนหา AB จากความรูในขอ (1) และ (2) ผูเรียนจะทราบวาตองลากเสนตรงผานจุด A และ B
โดยที่เสนตรงดังกลาวตองขนานกับแกน X หรือแกน Y
เพื่อทําใหเกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แลวใชทฤษฎีบท
ปทาโกรัสสรุปไดวา ระยะทางระหวางจุด A(x1, y1) กับ
B(x2, y2) คือ
AB = 2
21
2
21 )yy()xx( −+−
หรือ AB = 2
12
2
12 )yy()xx( −+−
หมายเหตุ เสนประในรูป ผูสอนควรจะใชชอลกสีลากเปนเสนทึบเพื่อใหผูเรียนเห็นเปนรูปสามเหลี่ยม
มุมฉากไดชัดเจน
จุดกึ่งกลางระหวางจุด 2 จุด
1. ผูสอนกําหนดจุด 2 จุดใด ๆ บนระนาบใหผูเรียนหาจุดกึ่งกลางระหวางจุดทั้ง 2 นั้น ผูเรียน
อาจจะหาตําแหนงโดยการใชวงเวียนหรือการวัดแตไมสามารถหาพิกัดของจุดกึ่งกลางไดทุกกรณี กิจกรรมนี้
ทําเพื่อชักจูงใหผูเรียนเกิดความตองการทราบวิธีหาพิกัดของจุดกึ่งกลางระหวางจุด 2 จุดใด ๆ
2. ผูสอนกําหนดจุด 2 จุด ซึ่งอยูบนแกน X ให เชน A(0, 0) กับ B(8, 0) หรือ A(0, 0) กับ
B(15, 0) ใหผูเรียนหาจุดกึ่งกลางระหวางจุด A และ B
ผูสอนกําหนดจุด 2 จุด เชน A(0, 0), B(– 4, 0) หรือ A(0, 0), B(–7, 0) ฯลฯ ใหผูเรียนหา
จุดกึ่งกลางระหวางจุด A และ B
ผูสอนกําหนดจุด 2 จุด เชน A(8, 0), B(12, 0) หรือ A(9, 0), B(12, 0) หรือ A(– 4, 0),
B(–8, 0) หรือ A(– 4, 0), B(12, 0) ฯลฯ ใหผูเรียนหาจุดกึ่งกลางระหวางจุด A และ B
ผูเรียนควรสรุปไดวา จุดกึ่งกลางระหวางจุด (x1, 0) กับ (x2, 0) คือ จุด )0,
2
xx
( 21 +
ผูสอนควรพยายามหลีกเลี่ยงใหผูเรียนคิดโดยการเขียนรูป ซึ่งอาจใชตัวอยางที่เปนตัวเลขงาย ๆ
(ในขั้นแรก ๆ ผูสอนอาจใชรูปบางเพื่อใหเกิดแนวความคิด แตหลังจากสอนจบแลวผูเรียนควรสรุปขอความ
ขางตนไดโดยไมตองอาศัยรูป)
3. ผูสอนยกตัวอยางจุดซึ่งอยูบนแกน Y แลวทําในทํานองเดียวกับขอ 2 ซึ่งผูเรียนควรสรุปไดวา
จุดกึ่งกลางระหวางจุด (0, y1) กับ (0, y2) คือ )
2
yy
,0( 21 +
X
Y
•
•
A
B
0

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
174
4. ผูสอนกําหนดจุด 2 จุด ซึ่งอยูในแนวเสนตรงเดียวกันที่ขนานกับแกน X เชน จุด A(3, 2)
กับ B(7, 2) หรือ A(4, –3) กับ B(6, –3) ฯลฯ ใหผูเรียนหาจุดกึ่งกลาง
ผูเรียนควรสรุปไดวา จุดกึ่งกลางระหวางจุด (x1, y1) กับ (x2, y1) คือจุด )y,
2
xx
( 1
21 +
5. ผูสอนกําหนดจุด 2 จุด ซึ่งอยูในแนวเสนตรงเดียวกันกับเสนที่ขนานกับแกน Y เชน
A(3, 8) กับ B(3, 6) หรือ A(–3, 6) กับ B(–3, 8) ฯลฯ แลวทําในทํานองเดียวกับขอ 4
ผูเรียนควรสรุปไดวาจุดกึ่งกลางระหวางจุด (x1, y1) กับ (x1, y2) คือจุด )
2
yy
,x( 21
1
+
6. การหาจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรง AB ในกรณีที่สวนของเสนตรงไมอยูในแนวขนาน
กับแกน X หรือแกน Y
ผูสอนกําหนดสวนของเสนตรง ซึ่งมีจุดเริ่มตนจุดหนึ่งอยูที่จุด (0, 0) เชน สวนของเสนตรงที่
เชื่อมจุด A(0, 0) และจุด B(4, 8) แลวใหผูเรียนหาพิกัดของจุด (x, y) ซึ่งเปนจุดกึ่งกลางของ AB
ถาผูเรียนหาคา x ไมได ใหผูสอนแนะโดยการลาก
เสนตรงผานจุด B(4, 8) ตัดและตั้งฉากกับแกน X
ถาผูเรียนยังหาไมไดอีก ใหผูสอนแนะอีกขั้น โดยการลาก
เสนตรงผานจุดกึ่งกลางตัดและตั้งฉากกับแกน X และใช
ความรูเกี่ยวกับสมบัติของสามเหลี่ยมคลาย (ซึ่งผูเรียนควร
หาคา x ได ในทํานองเดียวกันใหผูเรียนหาคา y)
7. ผูสอนกําหนดสวนของเสนตรงซึ่งจุดปลายทั้งสองไมอยูบนแกน X หรือแกน Y ใหผูเรียน
หาจุดกึ่งกลาง โดยผูสอนใชวิธีการถามเปนขั้น ๆ ดังวิธีที่ผานมา
ถาผูเรียนหาคา x ไมได ผูสอนควรแนะใหผูเรียนลากสวน
ของเสนตรง AE ใหขนานกับแกน X ตั้งฉากกับ CD
และ BE ซึ่งเปนสวนของเสนตรงที่ขนานกับแกน Y ที่
จุด D และ E ตามลําดับ แลวใหผูเรียนใชความรูเกี่ยวกับ
สมบัติของสามเหลี่ยมคลาย (∆ ACD ∼ ∆ABE) หาคา
x, y ซึ่งผูเรียนควรสรุปไดวา จุดกึ่งกลางของสวนของ
เสนตรงที่มีจุดปลายที่จุด A(x1, y1) และจุด B(x2, y2)
คือจุด )
2
yy
,
2
xx
( 2121 ++
X
Y
B (x2, y2)
A (x1, y1) D (x, y1) E (x2, y1)•
•
0
C (x, y)
X
Y
•
•
A (0, 0)
B (4, 8)
(x, y) •

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
175
ความชันของเสนตรง
ในการนําเขาสูบทเรียนในเรื่องนี้ ผูสอนอาจยกตัวอยางเรื่องที่ผูเรียนคุนเคยในชีวิตประจําวัน
เชน การพาดบันไดกับกําแพง ดังรูป
ผูสอนอาจใหผูเรียนดูรูปขางตนแลวใหชวยกันตอบคําถามวา บันไดที่พาดในลักษณะไหนมี
ความชันมากกวากัน หลังจากที่ผูเรียนไดรวมกันอภิปรายแลวควรจะสรุปไดวา ความชันของบันไดขึ้นอยู
กับระยะในแนวราบระหวางโคนบันไดกับกําแพง โดยบันไดที่โคนบันไดอยูหางจากกําแพงนอยกวา
จะมีความชันมากกวา
ผูสอนยกตัวอยางใหม โดยสมมุติใหมีบันไดพาดขึ้นไปบนตึกในลักษณะตาง ๆ กัน แตมีระยะ
ในแนวราบระหวางโคนบันไดกับตัวตึกคงเดิม ดังรูป
ผูสอนตั้งคําถามในทํานองเดียวกัน ผูเรียนควรจะสรุปไดวา ความชันของบันไดขึ้นอยูกับระยะ
ในแนวดิ่ง โดยบันไดที่พาดขึ้นไปยังตึกชั้นที่สูงกวาจะมีความชันมากกวาบันไดอันที่พาดขึ้นไปบนตึก
ชั้นที่ต่ํากวา

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
176
ผูสอนลากสวนของเสนตรงในลักษณะตาง ๆ กัน บนกระดานกราฟ ดังรูป
จากรูปผูสอนใหผูเรียนรวมกันพิจารณาความชันของเสนตรง
ผูเรียนควรจะสรุปไดวา ความชันขึ้นอยูกับระยะในแนวดิ่งและแนวระดับ และผูสอนบอกผูเรียน
วา จะนิยามความชันของเสนตรงใด ๆ ไดดังนี้
บทนิยาม ให L เปนเสนตรงที่ผานจุด P1(x1, y1) และ
P2(x2, y2) โดยที่ x1 ≠ x2, m เปนความชันของเสนตรง L ก็ตอเมื่อ
m =
21
21
xx
yy
−
−
จากนั้น ใหผูเรียนฝกหาความชันของเสนตรงโดยอาศัยบทนิยามขางตน เพื่อใหผูเรียนเขาใจ
ขอสรุปตอไปนี้ คือ
1. ถาความชันเปนจํานวนบวก เสนตรงจะทํามุมแหลมกับแกน X (วัดมุมทวนเข็มนาฬิกาจาก
แกน X)
2. ถาความชันเปนจํานวนลบ เสนตรงจะทํามุมปานกับแกน X (วัดมุมทวนเข็มนาฬิกา
จากแกน X)
3. ถาเสนตรงขนานกับแกน X ความชันจะเปนศูนย
4. เสนตรงที่ขนานกับแกน Y นั้น ไมอาจหาความชันได

ISBN 974-01-3820-9
พ.ศ. ๒๕๔๗
177
เสนตั้งฉาก
ผูสอนกําหนดพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (ดานประกอบมุมฉากดานหนึ่ง
ไมขนานกับแกน Y) ให 3 จุด เชน
ใหผูเรียนทดสอบวา เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไมโดยใชบทกลับของ ทฤษฎีบทของ
ปทาโกรัสที่กลาววา “ถารูปสามเหลี่ยม ABC มีดานยาว a, b และ c หนวย ตามลําดับ และ c2
= a2
+ b2
แลว ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและมีดานที่ยาว c หนวย เปนดานตรงขามมุมฉาก”
ใหผูเรียนหาความชันของดานประกอบมุมฉาก และผลคูณของความชันของดานประกอบมุมฉาก
ซึ่งจะไดเทากับ –1
ผูสอนอาจยกตัวอยางอื่น ๆ ในทํานองเดียวกัน
ผูสอนกําหนดเสนตรง 2 เสนที่ตั้งฉากกัน โดยอาศัยการกําหนดจุดบนเสนตรงแตละเสนใหบน
กระดานกราฟ ใหผูเรียนชวยกันแสดงวาผลคูณของความชันของเสนตรงทั้งสองเทากับ –1
ผูสอนยกตัวอยางในทํานองเดียวกัน เพื่อใหผูเรียนมีแนวความคิดวา
“ผลคูณของความชันของเสนตรง 2 เสนที่ตั้งฉากกันมีคาเทากับ –1”
ผูสอนและผูเรียนชวยกันพิสูจนขอความดังกลาวตามวิธีการในหนังสือเรียน
Y
X
(– 4, 2)
(1, 1)
(–1, –1)
0

Add m4-2-chapter3

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (15)

Similar to Add m4-2-chapter3

Similar to Add m4-2-chapter3 (19)

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

Add m4-2-chapter3