Dokumen tersebut membahas tentang paraboloida, yang terbagi menjadi dua jenis yaitu paraboloida eliptik dan paraboloida hiperbolik. Paraboloida eliptik memiliki irisan yang berbentuk parabola pada bidang-bidang koordinat tertentu, sedangkan paraboloida hiperbolik memiliki irisan berbentuk hiperbola pada satu bidang koordinat dan parabola pada bidang koordinat lainnya. Diberikan juga contoh soal dan penye

1. Nama : Marhamah
Nim : 180101040632
Mata Kuliah : Geometri Analitik Ruang
Dosen : Aziz Muslim, M.Pd

2. PARABOLOIDA
Paraboloida adalah suatu permukaan yang mempunyai irisan
dengan bidang yang sejajar koordinat tertentu berupa parabola
Paraboloida terbagi menjadi 2, yaitu:
1. Paraboloida Eliptik
2. Paraboloida Hiperbolik

3. PARABOLOIDA ELIPTIK
Paraboloida eliptik adalah
suatu permukaan yang
dapat diletakkan
sedemikian rupa sehingga
irisannya yang sejajar
idang koordinat lainnya
berbentuk parabola
Elips yang terletak pada bidang XOY digerak
kan dengan aturan:
1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang
XOY
2. Titik pusatnya tetap pada sumbu z
3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada
parabola yang terletak pada bidang X
OZ
4. Elips tetap sebangun dengan elips yang
digerakkan.

4. PARABOLOIDA ELIPTIK
Misalkan ellips pada bidang XOY yang diberikan, yaitu:
Z =0
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2=1
Digerakkan pada bidang z= 𝜆
(𝑥0. 0, 𝜆)
y =0
𝑥2
= 2𝑝𝑧
𝑥 𝑜
𝑦0
=
𝑎
𝑏
𝑥 𝑜
2
𝑦0
2 =
𝑎2
𝑏2
𝑦0
2=
𝑏2
𝑎2 × 𝑥 𝑜
2
𝑦0
2
=
𝑏2
𝑎2 × 2𝑝𝑧

5. PARABOLOIDA ELIPTIK
𝑥2
2𝑝𝑧
+
𝑦2
𝑏2
𝑎22𝑝𝜆
= 1 (dikalikan 2p𝜆)
𝑥2
1
+
𝑦2
𝑏2
𝑎2
= 2𝑝𝜆 (dikalikan
1
𝑎2)
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 =
2𝑝
𝑎2 λ
Maka persamaan umunya
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 =
2𝑝
𝑎2 z

6. Contoh soal
Diberikan ellips dengan persamaan z=0,
𝑥2
25
+
𝑦2
16
=1 dan parabola dengan persamaan x=0, 𝑦2 =
16𝑧
Tentukan luasan yang terjadi bila ellips tersebut digerakkan dengan aturan:
1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY
2. Titik pusatnya tetap pada sumbu z
3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabola yang terletak pada bidang YOZ.
4. ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan
Penyelesaian:
z=0
𝑥2
25
+
𝑦2
16
=1
𝑥 𝑜
𝑦0
=
𝑎
𝑏
𝑥 𝑜
𝑦0
=
5
4
atau
𝑥 𝑜
2
𝑦0
2 =
25
16

7. 𝑥0
2
=
25
16
× 𝑦𝑜
2
𝑥0
2
=
25
16
× 16𝜆
Persamaan ellips yang terletak pada bidang z=𝜆 adalah
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
𝑥2
25
16
×16𝜆
+
𝑦2
𝑦0
2 = 1
𝑥2
25
16
×16𝜆
+
𝑦2
16𝜆
= 1
𝑥2+16 +(25+𝑦2)
25 ×16𝜆
= 1
𝑥2
+ 16 + (25 + 𝑦2
)= 25 × 16𝜆
𝑥2 + 16 + (25 + 𝑦2)= 25 × 16𝜆 ×
1
25×16

8. 𝑥2
25
+
𝑦2
16
= λ
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= z
Sehingga persamaan paraboloida eliptik dengan sumbu z sebagai sumbunya adalah
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= z

9. PARABOLOIDA HIPERBOLIK
Paraboloida hiperbolik adalah
suatu permukaan yang dapat
diletakan sedemikian rupa
sehingga irisannya dengan
bidang yang sejajar dengan
salah satu bidang koordinat
berbentuk hiperbola dan irisan
dengan bidang koordinat
berbentuk parabola.
Keterangnan:
1. Irisan bidang yang sejajar bidang koordinat X
OY berbentuk hiperbola.
2. Irisan dengan bidang koordiant XOZ dan YOZ be
rbentuk parabola.
Misalkan hiperbola
Digerakkan pada bidang XOY
maka persamaannya:
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
Z= 0
Dan garis arahnya berupa
parabola pada bidang YOZ
dengan persamaan:
𝑦2
= 2𝑝𝑧
X=0

10. PARABOLOIDA HIPERBOLIK
Aturan menggerakkan hiperbola adalah sebagai berikut:
a. Bidangnya sejajar dengan bidang XOY
b. Titik pusatnya selalu terletak pada sumbu z
c. Hiperbolanya selalu sebangun dengan hiperbola semula
d. Titik puncaknya selalu terletak pada garis arah.
Luasan yang terjadi dapat ditentukan :
Hiperbola pada bidang xoy yang diberikan:
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
Z= 0
Digerakkan pada bidang z= 𝜆
((𝑥0. 0, 𝜆)
Sehingga terletak pada parabola :
y = 0
𝑥0
2 = 2𝑝𝜆

11. PARABOLOIDA HIPERBOLIK
𝑥 𝑜
𝑦0
=
𝑎
𝑏
𝑥 𝑜
2
𝑦0
2 =
𝑎2
𝑏2
𝑦0
2=
𝑏2
𝑎2 × 𝑥 𝑜
2
𝑦0
2
=
𝑏2
𝑎2 × 2𝑝𝜆
Jadi persamaan elipsnya yang terletak pada bidang z = a tersebut adalah

12. PARABOLOIDA HIPERBOLIK
Dengan mengeliminasi a pada persamaan tersebut diperoleh persamaan:
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 =
2𝑝
𝑎2 z
Contoh soal:
Diberikan hiperbolaa dengan persamaan:
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1
Dan parabola dengan persamaan :
𝑦2= 8z
X =0
Digerakkan dengan aturan :
1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY
2. Titik pusatnya tetap pada sumbu z
3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabola pada bidang YOZ
4. Hiperbola tetap sebangun dengan hiperbola yang digerakkan

13. Penyelesaian
Misalkan hiperbola digerakkan pada bidang Z = 𝜆 dan terletak pada garis arah sehingga
𝑦0
2= 8z
Karena aturan 1,2, dan 4 maka terpenuhi :
𝑥 𝑜
𝑦0
=
3
4
atau
𝑥 𝑜
2
𝑦0
2 =
9
16
𝑥0
2
=
9
16
× 𝑦𝑜
2
𝑥0
2
=
9
16
× 8𝜆
jadi persamaan hiperbola yang terletak pada bidang Z = 𝜆 tersebut adalah:
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
𝑥2
9
16
×𝑦0
2
−
𝑦2
𝑦0
2 = 1
𝑥2
9
16
×8𝜆
−
𝑦2
8𝜆
=1

14. Penyelesaian
𝑥2×16
𝑎22𝑝𝜆
−
𝑦2
8𝜆
= 1
𝑥2×16−9×𝑦2
9×8𝜆
= 1
𝑥2
× 16 − 9 × 𝑦2
= 9 × 8𝜆
𝑥2 𝑏2 − 𝑎2 𝑦2 = 𝑎22𝑝𝜆 ×
1
92×162
𝑥2
9
−
𝑦2
16
=
8𝜆
16
𝑥2
9
−
𝑦2
16
=
1
2
𝑧
Sehingga persamaan paraboloida hiperbolik dengan sumbu z sebagai sumbunya adalah:
𝑥2
9
−
𝑦2
16
=
1
2
𝑧

15. Thanks