1. Grupoid adalah himpunan tidak kosong dengan operasi biner didalamnya. 2. Semigrup adalah grupoid yang memenuhi asosiativitas. 3. Grup adalah semigrup yang memiliki unsur identitas dan kebalikan.

1. GRUP
FELI RAMURY

2. O GRUPOID
O SEMIGRUP
O GRUP
O GRUP ABEL

3. GRUPOID
Definisi 1.2.1
Suatu himpunan tidak kosong, G
dengan operasi biner (*) didalamnya,
disebut grupoid dan dinyatakan
dengan (G,*)

4. Contoh 1:
* x y z
x x y y
y y x y
z z y x
Tabel ini dibaca x * x = x, x * y = y, z * z = y dan
seterusnya
(G,*) ini merupakan grupoid, karena operasi *
merupakan operasi biner dalam G.

5. SEMIGRUP

6. Contoh 2:
Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan
operasi biner: a*b = a + b + ab
Tunjukkan bahwa (N,*) adalah semigrup!
Penyelesaian:
1. Tertutup
Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.

7. Penyelesaian:
2. Assosiatif
(a * b) * c = (a + b + ab) * c
= (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c
= a + b + ab + c + ac + bc + abc
a * (b * c) = a * (b + c + bc)
= a + (b + c + bc) + a (b + c + bc)
= a + b + c + bc + ab + ac + abc

8. Penyelesaian:
Jadi, (N,*) merupakan suatu semigrup

9. GRUP
Definisi 1.2.3
Suatu himpunan tidak kosong G
merupakan suatu grup, jika dalam
G terdapat operasi misalkan * dan
unsur-unsur dalam G memenuhi
syarat:

10. 1. Tertutup
Grup
2. Assosiatif

11. Contoh 3:
Penyelesaian:
x -1 1
-1 1 -1
1 -1 1

12. Penyelesaian:
a. Tertutup
G tertutup terhadap operasi perkalian biasa x
karena

13. Penyelesaian:
b. Assosiatif
(a x b) x c = (-1 x 1) x 1 = 1 x 1 = 1
a x (b x c) = 1 x (-1 x -1) = 1 x 1 = 1
sehingga (a x b) x c = a x (b x c) = 1 maka
G assosiatif

14. Penyelesaian:
c. Adanya elemen identitas (e = 1) terhadap
perkalian
Ambil sembarang nilai dari G,
-1 x e = e x (-1) = -1
1 x e = e x 1 = 1
Maka G mempunyai identitas

15. Penyelesaian:
d. Adanya invers
- Ambil sembarang nilai dari G,
- Ambil sembarang nilai dari G,
Maka ada invers untuk setiap anggota G

16. GRUP ABEL

17. Contoh 4:
Penyelesaian:
-1 x 1 = -1 dan 1 x (-1) = -1
sehingga -1 x 1 = 1 x (-1) = 1
Jadi, (G,x) merupakan grup komutatif atau grup
abel.

18. Terima Kasih

19. Elements Page