eliminasi gauss jordan

1. • Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi
Gauss, hanya saja augmented matrik yang pada metode
Eliminasi Gauss diubah menjadi matrik segitiga, pada metode
Eliminasi Gauss Jordan diubah menjadi matrik diagonal.
METODE ELIMINASI GAUSS JORDAN
a11 a12 a13 ... a1n b1
0 a22 a23 ... a2n b2
0 0 a33 ... a3n b3
... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ann bn
é
ë
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
1 0 0 0 0 b1
0 1 0 0 0 b2
0 0 1 0 0 b3
... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 1 bn
é
ë
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
Matrik segitiga Matrik diagonal

2. METODE ELIMINASI GAUSS JORDAN
• Langkah2 Metode Eliminasi Gauss Jordan
• 1. Buat matrik augmented
• 2. Buat matrik diagonal
• 3. Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai
d1,d2,d3,…,dn dan atau:
















n
nn
n
n
n
n
n
n
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3
2
1
3
3
33
32
31
2
2
23
22
21
1
1
13
12
11
















n
d
d
d
d
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
0
...
1
0
0
0
...
0
1
0
0
...
0
0
1
3
2
1
n
n d
x
d
x
d
x
d
x 


 ,....,
,
, 3
3
2
2
1
1

3. CONTOH 1
• Selesaikan persamaan linier simultan:
• Dengan cara eliminasi biasa :
x1 + x2 = 3 * 2 2x1 + 2x2 = 6 substitusi
2x1 + 4x2 = 8 * 1 2x1 + 4x2 = 8 x1 + x2 = 3
-2x2 = -2 x1 + 1 = 3
x2 = 1 x1 = 2
8
4
2
3
2
1
2
1




x
x
x
x

4. CONTOH 1
• Selesaikan persamaan linier simultan:
• Dengan cara eliminasi Gauss :
Augmented Matrik
Matrik Segitiga dari baris terakhir :
1 1 3 B2-2B1 1 1 3 2x2 = 2
2 4 8 2–2(1)=0 0 2 2 x2 = 1
4–2(1)=2 substitusi, dari baris 1 :
8-2(3)=2 x1 + x2 = 3
x1 + 1 = 3
x1 = 2
8
4
2
3
2
1
2
1




x
x
x
x

5. CONTOH 1
• Selesaikan persamaan linier simultan:
• Dengan cara eliminasi Gauss :
Augmented Matrik
Matrik Segitiga
1 1 3 B2-2B1 1 1 3 B2/2 1 1 3 2/2 =1
2 4 8 2–2(1)=0 0 2 2 0 1 1 2/2 =1
4–2(1)=2 matrik diagonal
8-2(3)=2 B1-B2 1 0 2 1-1=0
0 1 1 3-1=2
jadi x1 = 2 dan x2 = 1
8
4
2
3
2
1
2
1




x
x
x
x

6. CONTOH 2













0
5
6
3
17
7
2
0
9
2
1
1
B2-2B1
0
5
6
3
1
3
4
2
9
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x
Augmented
matrik
1 1 2 9
2 4 -3 1
3 6 -5 0
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
2-2(1)=0
4-2(1)=2
-3-2(2)=-7
1-2(9)=-17













0
5
6
3
17
7
2
0
9
2
1
1
B3-3B1
3-3(1)=0
6-3(1)=3
-5-3(2)=-11
0-3(9)=-27
1 1 2 9
0 2 -7 -17
0 3 -11 -27
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú

7. CONTOH 2
1 1 2 9
0 2 -7 -17
0 0 -1 -3
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
2B3-3B2
0
5
6
3
1
3
4
2
9
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x
2(0)-3(0)=0
2(3)-3(2)=0
2(-11)-3(-7)=-1
2(-27)-3(-17)=-3
1 1 2 9
0 2 -7 -17
0 0 -1 -3
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
B3 * -1
1 1 2 9
0 2 -7 -17
0 3 -11 -27
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
1 1 2 9
0 2 -7 -17
0 0 1 3
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú

8. CONTOH 2
B2/2
0
5
6
3
1
3
4
2
9
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x
B1 – B2
1 1 2 9
0 2 -7 -17
0 0 1 3
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
1 1 2 9
0 1 -7 / 2 -17 / 2
0 0 1 3
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
1 1 2 9
0 1 -7 / 2 -17 / 2
0 0 1 3
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
1 0 11/ 2 35/ 2
0 1 -7 / 2 -17 / 2
0 0 1 3
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
1-0=1
1-1=0
2-(-7/2)=11/2
9-(-17/2)=35/2

9. CONTOH 2
B1- 11/2 (B3)
0
5
6
3
1
3
4
2
9
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x
B2 + 7/2 (B3)
1 0 11/ 2 35/ 2
0 1 -7 / 2 -17 / 2
0 0 1 3
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
1- 11/2 (0) =1
0- 11/2 (0) = 0
11/2 – 11/2 (1)=0
35/2- 11/2 (3)=1
1 0 0 1
0 1 -7 / 2 -17 / 2
0 0 1 3
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
1 0 0 1
0 1 -7 / 2 -17 / 2
0 0 1 3
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
0+ 7/2 (0) =0
1+ 7/2 (0) =1
-7/2 + 7/2 (1)=0
-17/2+ 7/2 (3)=4/2
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú

10. CONTOH 2
0
5
6
3
1
3
4
2
9
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
Matrik Diagonal
Jadi :
x = 1, y = 2 dan z = 3
Coba dimasukkan ke soal :
1 + 2 + 2(3) = 9
2(1) + 4(2) - 3(3) = 1
3(1) + 6(2) – 5(3) = 0

11. SELESAI