1. 1
กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ ( Fundamental Principles of Counting )
บทนา ( Introduction )
ในชีวิตประจาวันของมนุษย์เรา มักจะเกียวข้องกับการทานายอนาคตเสมอ เช่น การทานายลมฟ้า
อากาศ ทานายเกี่ยวกับการแข่งขันฟุตบอล เป็นต้น การศึกษาความน่าจะเป็นนี้ เกิดขึ้นประมาณ ศตวรรษที่
17 เมื่อนักพนันชื่อ Cevaalier de Mere ได้ถามปัญหา ปาสคาล (Blaise Pascal) และปาสคาลได้ส่งปัญหานี้ไป
ให้ แฟร์มาสต์ (Pierre de Fermat) และทั้งสองได้ศึกษาปัญหา และเริ่มสร้างทฤษฎีต่าง ๆ ขึ้น การศึกษาเรื่อง
ความน่าจะเป็นนี้ จะช่วยให้นักเรียนสามารถเดาเหตุการณ์ ได้อย่างมีหลักมีเกณฑ์ช่วยในการตัดสินใจได้
ถูกต้องมากยิ่งขึ้น
กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ ( Fundamental Principles of Counting )
กฎข้อที่ 1 ถ้าการกระทาหนึ่งประกอบด้วย 2 ขั้นตอน โดยที่ขั้นตอนที่ 1 มีผลลัพท์ที่เป็นไปได้
จานวน 1
n ผลลัพท์ ในแต่ละผลลัพท์ของขั้นตอนที่ 1 มีผลลัพท์ที่เป็นไปได้ในขั้นตอนที่ 2
จานวน 2
n ผลลัพท์
ดังนั้น จานวนผลลัพท์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด = 21
nn  ผลลัพท์
ตัวอย่าง ศรรามมีเสื้อและกางเกง สาหรับสวมใส่ไปแสดงละคร 3 ตัว และ 2 ตัวตามลาดับ อยากทราบว่า
ศรรามจะสวมใส่เสื้อและกางเกงไปแสดงละครเป็นชุดต่าง ๆ ได้ทั้งหมดกี่ชุด
แนวคิด
ศรรามมีเสื้ออยู่ 3 ตัว
และเสื้อแต่ละตัวใส่กับกางเกงได้ 2 ตัว
ดังนั้นจานวนชุดที่ศรรามสวมใส่ = 3 x 2 = 6 ชุด
แสดงเป็นแผนภาพต้นไม้ ( Tree Diagram ) ได้ดังนี้

2. 2
ขั้นตอนที่ 1 ขั้นตอนที่ 2 ผลลัพท์
ก 1 (ส1, ก1)
ส 1
ก 2 (ส1, ก2)
ก 1 (ส2, ก1)
ส 2
ก 2 (ส2, ก2)
ก 1 (ส3, ก1)
ส 3
ก 2 (ส3, ก2)
ตัวอย่าง ในการเล่นเป่ายิ้นชุบ มีผู้เล่น 2 คน แต่ละคนจะออกมือแทนสิ่งใดสิ่งหนึ่งใน 3 สิ่งต่อไปนี้ คือ
ฆ้อน กรรไกร กระดาษ จงหาจานวนผลลัพท์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
แนวคิด
ผู้เล่นคนที่ 1 จะออกมือได้ 3 แบบ
แต่ละแบบของผู้เล่นคนที่ 1 ผู้เล่นคนที่ 2 จะออกมือได้ 3 แบบ
ดังนั้น จานวนผลลัพท์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด = 3 x 3 = 9 แบบ
แสดงเป็นแผนภาพต้นไม้ ( Tree Diagram ) ได้ดังนี้

3. 3
ผู้เล่นคนที่ 1 ผู้เล่นคนที่ 2 ผลลัพท์
ฆ้อน (ฆ้อน, ฆ้อน)
ฆ้อน กรรไกร (ฆ้อน, กรรไกร)
กระดาษ (ฆ้อน, กระดาษ)
ฆ้อน (กรรไกร, ฆ้อน)
กรรไกร กรรไกร (กรรไกร, กรรไกร)
กระดาษ (กรรไกร, กระดาษ)
ฆ้อน (กระดาษ, ฆ้อน)
กระดาษ กรรไกร (กระดาษ, กรรไกร)
กระดาษ (กระดาษ, กระดาษ)
ตัวอย่าง โรงเรียนประโคนชัยพิทยาคม มีประตูอยู่ 3 ประตู ถ้าให้นักเรียนเข้าประตูหนึ่งแล้วออกอีก
ประตูหนึ่ง โดยไม่ซ้ากับประตูที่เข้ามา จะมีวิธีเข้าและออกทั้งหมดกี่วิธี
แนวคิด
โรงเรียนมีประตูอยู่ 3 ประตู
ดังนั้นเวลาเข้ามีวิธีเลือกได้ 3 ประตู
และเวลาออกไม่ต้องการออกประตูซ้ากับประตูเข้า
ดังนั้นในแต่ละวิธีเข้าประตูจะเลือกออกได้ 2 ประตู
 จานวนวิธีที่เข้าและออกไม่ซ้าประตู = 3 x 2 = 6 วิธี
แสดงเป็นแผนภาพต้นไม้ ( Tree Diagram ) ได้ดังนี้

4. 4
ขั้นตอนที่ 1 ขั้นตอนที่ 2 ผลลัพท์
ป 2 (ป1, ป2)
ป 1
ป 3 (ป1, ป3)
ป 1 (ป2, ป1)
ป 2
ป 3 (ป2, ป3)
ป 1 (ป3, ป1)
ป 3
ป 2 (ป3, ป2)
ตัวอย่าง ครูพัฒนาต้องการส่งจดหมาย 5 ฉบับ ลงตู้ 3 ตู้ จะทาได้กี่วิธี
แนวคิด
จดหมายฉบับแรกเลือกตู้ส่งได้ 3 วิธี
จดหมายฉบับที่สองเลือกตู้ส่งได้ 3 วิธี
จดหมายฉบับที่สามเลือกตู้ส่งได้ 3 วิธี
จดหมายฉบับที่สี่เลือกตู้ส่งได้ 3 วิธี
จดหมายฉบับที่ห้าเลือกตู้ส่งได้ 3 วิธี
ดังนั้นนายพัฒนาจะส่งจดหมายได้ทั้งสิ้น 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 5
3 วิธี
หมายเหตุอย่าคิดว่า ตู้แรกเลือกจดหมายได้ 5 ฉบับ
ตู้ที่สองเลือกจดหมายได้ 5 ฉบับ
ตู้ที่สามเลือกจดหมายได้ 5 ฉบับ

5. 5
กฎข้อที่ 2 ถ้าการกระทาหนึ่งประกอบด้วย k ขั้นตอน โดยที่ขั้นตอนที่ 1 มีผลลัพท์ที่เป็นไปได้
จานวน 1
n ผลลัพท์ ในแต่ละผลลัพท์ของขั้นตอนที่ 1 มีผลลัพท์ที่เป็นไปได้ในขั้นตอนที่ 2
จานวน 2
n ผลลัพท์ และในแต่ละขั้นตอนที่ 1 และขั้นตอนที่ 2 มีผลลัพท์ที่เป็นไปได้ในขั้น
ตอนที่ 3 จานวน 3
n ผลลัพท์ เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ
ดังนั้น จานวนผลลัพท์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด = k
nnnn  ...321
ผลลัพท์
ตัวอย่าง หม่ามีกางเกงอยู่ 2 ตัว เสื้อ 3 ตัว เน็คไท 2 เส้น อยากทราบว่าหม่าแต่งตัวได้ทั้งหมดกี่วิธี
แนวคิด
หม่าแต่งตัว 1 วิธีต้องประกอบด้วย 4 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 หม่าเลือกกางเกงได้ 2 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 ใน 1 วิธีที่หม่าเลือกกางเกงจะเลือกเสื้อได้ 3 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 ในหนึ่งวิธีที่หม่าเลือกกางเกงและเสื้อจะเลือกเน็คไทได้ 2 วิธี
ดังนั้น จานวนที่หม่าจะแต่งตัวได้ = 2 x 3 x 2 = 12 วิธี
แสดงเป็นแผนภาพต้นไม้ ( Tree Diagram ) ได้ดังนี้
ขั้นตอนที่ 1 ขั้นตอนที่ 2 ขั้นตอนที่ 3 ผลลัพท์
น 1 (ก1,ส1,น1)
ส 1 น 2 (ก1,ส1,น2)
น 1 (ก1,ส2,น1)
ก 1 ส 2 น 2 (ก1,ส2,น2)
น 1 (ก1,ส3,น1)
ส 3 น 2 (ก1,ส3,น2)
น 1 (ก2,ส1,น1)
ส 1 น 2 (ก2,ส1,น2)
น 1 (ก2,ส2,น1)
ก 2 ส 2 น 2 (ก2,ส2,น2)
น 1 (ก2,ส3,น1)
ส 3 น2 (ก2,ส3,น2)

6. 6
ตัวอย่าง เมื่อโยนเหรียญหนึ่งอัน จานวน 3 ครั้ง จะได้ผลต่าง ๆ กันกี่วิธี
แนวคิด
ให้ H แทน หัว
T แทน ก้อย
โยนเหรียญครั้งที่ 1 เหรียญจะออก 2 วิธี
โยนเหรียญครั้งที่ 2 เหรียญจะออก 2 วิธี
โยนเหรียญครั้งที่ 3 เหรียญจะออก 2 วิธี
ดังนั้นจานวนวิธีที่โยนเหรียญ 1 อันจานวน 3 ครั้ง = 2 x 2 x 2 = 8 วิธี
แสดงเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้ { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT }
ตัวอย่าง ถ้าต้องการสร้างเลข 3 หลัก ซึ่งแต่ละหลักไม่ซ้ากัน โดยเลือกใช้เลขโดด 0, 1, 2, … , 9 จะสร้าง
ได้ทั้งหมดกี่จานวน
แนวคิด
มีเลขโดดอยู่ 10 ตัว
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเลขหลักร้อยก่อนได้ 9 วิธี ( 0 เป็นหลักร้อยไม่ได้ )
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเลขหลักสิบได้ 9 วิธี ( 0 เป็นหลักสิบได้)
ขั้นตอนที่ 1 เลือกเลขหลักหน่วยได้ 8 วิธี
ดังนั้นจะสร้างเลข 3 หลักได้ทั้งหมด = 9 x 9 x 8 = 648 จานวน
ตัวอย่าง หมายเลขโทรศัพท์ประกอบด้วยตัวเลข 6 ตัว และตัวเลขสามตัวแรกเป็น 670 มีได้ทั้งหมดกี่
หมายเลข
แนวคิด หมายเลขโทรศัพท์ประกอบด้วยตัวเลข 6 ตาแหน่ง ซึ่งแต่ละตาแหน่งก็เป็นสมาชิกของ
เซต S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
ตาแหน่งที่ 1 เลือกเลขใส่ได้ 1 วิธี คือ 6
ตาแหน่งที่ 2 เลือกเลขใส่ได้ 1 วิธี คือ 7
ตาแหน่งที่ 3 เลือกเลขใส่ได้ 1 วิธี คือ 0
ตาแหน่งที่ 4 เลือกเลขใส่ได้ 10 วิธี คือ ตัวใดตัวหนึ่งใน S

7. 7
ตาแหน่งที่ 5 เลือกเลขใส่ได้ 10 วิธี คือ ตัวใดตัวหนึ่งใน S
ตาแหน่งที่ 6 เลือกเลขใส่ได้ 10 วิธี คือ ตัวใดตัวหนึ่งใน S
ดังนั้นหมายเลขโทรศัพท์ที่สามตัวแรกเป็น 670 มีได้ทั้งหมด
เท่ากับ 1 x 1 x 1 x 10 x 10 x 10 = 1000 หมายเลข
ตัวอย่าง มีโรงแรมอยู่ 5 แห่ง อยากทราบว่านักท่องเที่ยว 4 คน จะเลือกพักโรงแรมดังกล่าวโดยไม่ซ้ากัน
ได้กี่วิธี
แนวคิด นักท่องเที่ยวคนที่ 1 สามารถเลือกพักโรงแรมได้ 5 วิธี
นักท่องเที่ยวคนที่ 2 สามารถเลือกพักโรงแรมได้ 4 วิธี
นักท่องเที่ยวคนที่ 3 สามารถเลือกพักโรงแรมได้ 3 วิธี
นักท่องเที่ยวคนที่ 4 สามารถเลือกพักโรงแรมได้ 2 วิธี
ดังนั้นนักท่องเที่ยวจะเลือกพักโรงแรมโดยไม่ซ้ากันได้เท่ากับ 5 x 4 x 3 x 2 = 120 วิธี